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1、内容提要内容提要 1.1.元素法；元素法； 2.2.平面图形的平面图形的面积；面积； 3.3.立体的体积。立体的体积。教学要求教学要求 1.1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题际应用题 ； 2.2.熟悉各种平面面积的积分表达方法；熟悉各种平面面积的积分表达方法； 3.熟练掌握应用微元法求体积的方法；熟练掌握应用微元法求体积的方法； 4. 能用定积分表达某些物理量能用定积分表达某些物理量 。 定积分的应用定积分的应用 回顾回顾 用定积分求曲边梯形面积的问题：用定积分求曲边梯形面积的问题：及直线及直线所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积其求解步骤
2、如下：其求解步骤如下：ab xyo一、一、一、一、 定积分的微元法定积分的微元法定积分的微元法定积分的微元法ab xo第一步：分割第一步：分割 将区间将区间任意分成任意分成个小区间个小区间由此曲边梯形就相应地分成由此曲边梯形就相应地分成个小曲边梯形。个小曲边梯形。第二步：近似第二步：近似形面积之和形面积之和即即所求的曲边梯形面积所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯为每个小曲边梯为底为底的小矩形面积的小矩形面积近似代替小曲边梯形面积近似代替小曲边梯形面积第三步：第三步： 求和求和第四步：第四步： 取极限取极限总结：总结： 上述四步中，由第一步知，上述四步中，由第一步知，有关，有关，部分量的和，部分
3、量的和，可加性可加性.分成许多小区间，分成许多小区间，的面积的面积A这个量就相应地分成许多部分量，这个量就相应地分成许多部分量，如果把区间如果把区间具有具有这种性质称为所求量这种性质称为所求量A对区间对区间则所求则所求而而A是所有是所有ab xo所求面积所求面积A这个量与这个量与就是定积分的被积表达式就是定积分的被积表达式ab xo上述第二步中的近似表达式上述第二步中的近似表达式可确定定积分的被积表达式可确定定积分的被积表达式方法是：方法是：于是有于是有再将区间再将区间则则可写为可写为称称为面积为面积A的微元，的微元，于是于是即即记为记为一般地，当所求量一般地，当所求量F符合下列条件：符合下列
4、条件：以上方法称为以上方法称为这就给出了定积分的被积表达式这就给出了定积分的被积表达式于是于是“微元法微元法”微元法解决实际问题的一般步骤如下：微元法解决实际问题的一般步骤如下：(1) 根据问题的具体情况，根据问题的具体情况， 选取一个变量选取一个变量 例如取例如取为积分变量，为积分变量， 并确定它的变化区间并确定它的变化区间以上步骤要熟练掌握以上步骤要熟练掌握!如：平面图形的面积；如：平面图形的面积；引力和平均值引力和平均值;液体的压力；液体的压力；变力做功；变力做功；平面曲线的弧长；平面曲线的弧长；体积；体积；注意注意 微元法解决实际问题的使用对象：微元法解决实际问题的使用对象：具有可加性
5、的量具有可加性的量等等等等.二、平面图形的面积二、平面图形的面积1）如果）如果则则SS即即（一）、在直角坐标系下的面积问题（一）、在直角坐标系下的面积问题如图如图则则 熟熟记记用微元法：用微元法：cd 熟熟记记用微元法：用微元法：所围成的图形所围成的图形例例1 计算由抛物线计算由抛物线的面积的面积A . 解解 用微元法用微元法确定积分区间：确定积分区间：解解方法一：选择方法一：选择 x 作积分变量作积分变量1从而得到积分区间从而得到积分区间区间上任取一小区区间上任取一小区间间dA面积微元面积微元oxy确定积分区间：确定积分区间：面积微元面积微元方法二：选择方法二：选择 y 作积分变量作积分变量
6、解得解得 y=0, y=1 从而得到积分区间从而得到积分区间区间上任取一小区区间上任取一小区间间1yy+dydA解解求两曲线的交点求两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量选选 x 作积分变量时，需求作积分变量时，需求两块面积两块面积yy+dy作面积微元作面积微元 dAdA成的图形的面积成的图形的面积.解解 由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积注意：注意：如果曲边梯形的曲边如果曲边梯形的曲边的方程为参数方程：的方程为参数方程：o曲边梯形的面积曲边梯形的面积由上例可知：由上例可知：解解 由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限
7、部分面积注意：注意：练习练习面积微元面积微元曲边扇形的面积曲边扇形的面积（二）、在极坐标系下的面积问题（二）、在极坐标系下的面积问题所围成的图形，所围成的图形， 称为曲边扇形称为曲边扇形.解解 用微元法用微元法解解解解所围平面图形的面积所围平面图形的面积A .例例2 求心形线求心形线 解解 由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积求双纽线求双纽线所围平面图形的面积所围平面图形的面积.练习练习2. 在极坐标系下的面积问题在极坐标系下的面积问题三、三、 体积体积旋转体旋转体圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台（一）、旋转体的体积（一）、旋转体的体积由一个平面图形绕这个平面内一条
8、由一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体直线旋转一周而成的立体这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴取横坐标取横坐标x为积分变量为积分变量, , 一般地一般地, ,轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形, ,及及 x轴旋转一周而成轴旋转一周而成绕绕 x由连续曲线由连续曲线 直线直线的立体的立体, ,它的变化区间为它的变化区间为相应于相应于上任一小区上任一小区小曲边梯形小曲边梯形绕绕x轴旋转而成的薄片轴旋转而成的薄片近似地等于以近似地等于以f(x)为底面半径、为底面半径、dx为高的圆柱体的为高的圆柱体的体积，体积， 即体积微元为即体积微元为于是，在闭区间于是，在闭区间a,b上作定积分，上作定
9、积分， 得所求旋转体得所求旋转体体积为体积为的体积的体积例例1 1圆锥体的体积圆锥体的体积解解直线直线 的方程为的方程为利用旋转体体积公式，利用旋转体体积公式， 知：知： 例例2 计算椭圆计算椭圆绕绕x轴旋转而形成的旋转体轴旋转而形成的旋转体的体积的体积.解解 这个旋转体可以看成这个旋转体可以看成以半个椭圆以半个椭圆绕绕x轴旋转而成的立体轴旋转而成的立体取积分变量为取积分变量为x,利用利用旋转体体积公式旋转体体积公式，知：，知： 所求的体积为所求的体积为求星形线求星形线绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.解解由由旋转体的体积公式旋转体的体积公式，知：，知： 练习练习 类似地，如
10、果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yxj j= =直线直线cy = =、dy = =及及y轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形 绕绕y轴旋转轴旋转体积为体积为熟记熟记一周而成的立体，一周而成的立体，例例3 3 旋转一周而成的旋转体的旋转一周而成的旋转体的体积体积.图形图形解解（二）、平行截面面积为已知的立体的体积（二）、平行截面面积为已知的立体的体积设设一一立立体体位位于于 过过点点x=a, x=b 且且垂垂直直于于 x 轴轴的的两两平平面面之之间间， 从而从而用垂直于用垂直于 x 轴的任一平面截轴的任一平面截此立体所得的截面积此立体所得的截面积 A(x) 是是 x 的已知
11、函数，的已知函数，x取取 x 为积分变量，在区间为积分变量，在区间 a, b 上任取一小区间上任取一小区间过其端点作垂直过其端点作垂直 x 轴的平面，轴的平面，x x+dx作体积微元：作体积微元：x x+dxx , x+dx ，以以A(x) 为底，为底，dx 为高作柱体，为高作柱体，用微元法：用微元法：解解 取坐标系如图取坐标系如图底半圆方程为底半圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积而垂直于底面上一条固而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积.解解设截面面积为设截面面积为取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程练习练习解解 设截面面积为设截面面积为cd恰当的恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积分运算有助于简化积分运算.小结小结1. 在直角坐标系下的面积问题在直角坐标系下的面积问题注意：注意：2. 旋转体的体积旋转体的体积3.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平面图形绕平面图形绕 轴旋转一周而成的立体的体积轴旋转一周而成的立体的体积平面图形绕平面图形绕 轴旋转一周而成的立体的体积轴旋转一周而成的立体的体积(掌握掌握)(理解理解)求摆线求摆线的一拱与的一拱与0= =y所围成的所围成的x轴轴 旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积. .解解图形绕图形绕练习练习
