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1、第一节第一节 QRQR分解分解QRQR分解也称为正交三角分解分解也称为正交三角分解 矩矩阵阵QRQR分分解解是是一一种种特特殊殊的的三三角角分分解解，在在解解决决矩矩阵阵特特征征值值的的计计算算、最最小小二二乘乘法法等等问问题题中中起起到到重重要作用。要作用。主要内容：主要内容：1 1矩阵的矩阵的QRQR分解分解- Schmidt- Schmidt正交化方法正交化方法2 2矩阵的矩阵的QRQR分解分解- Householder- Householder变换、变换、 GivensGivens变换变换1学习园地QRQR分解定理分解定理任意一个满秩实任意一个满秩实( (复）矩阵复）矩阵A A，都可唯
2、一地分解，都可唯一地分解A = QR A = QR ，其中其中Q Q为为正交（酉）矩阵，正交（酉）矩阵，R是具有正是具有正对角元的上三角矩阵。对角元的上三角矩阵。由于由于x x 1 1, ,x x 2 2, , , ,x x n n 线性无关，将它们用线性无关，将它们用SchmidtSchmidt正交正交证明证明设设A A是一个实满秩矩阵是一个实满秩矩阵, A, A的的n n个列向量为个列向量为 x x 1 1, ,x x 2 2, , , ,x x n n 定义定义:设设如果存在如果存在n阶酉矩阵阶酉矩阵Q和和n阶上三角矩阵阶上三角矩阵R R，使得，使得则称之为则称之为A A的的QRQR分解
3、或酉三角分解分解或酉三角分解当当 时，则称为时，则称为A的正三角分解的正三角分解化方法得标准正交向量化方法得标准正交向量e e 1 1, ,e e 2 2, , , ,e e n n2学习园地其中其中从而有从而有3学习园地由此得由此得式中式中D=RD=R1 1R R-1-1仍为具有正对角元的上三角矩阵。由于仍为具有正对角元的上三角矩阵。由于即即D D为正交矩阵，因此为正交矩阵，因此D D为单位矩阵（正规上三角为对角阵）为单位矩阵（正规上三角为对角阵）故故4学习园地说明：说明：1若不要求若不要求R具有正对角元，则具有正对角元，则A的不同的不同QR分解仅在正交分解仅在正交矩阵的列和上三角矩阵矩阵的
4、列和上三角矩阵R的对应行相差模为的对应行相差模为1的因子。的因子。该定理的证明过程给出了利用该定理的证明过程给出了利用SchmidtSchmidt正交化方法求可逆矩阵正交化方法求可逆矩阵QRQR分解的方法。分解的方法。例例 求矩阵求矩阵A A的的QRQR分解分解解解2 2若若A A为满秩复矩阵，则存在酉矩阵为满秩复矩阵，则存在酉矩阵Q Q与复非奇异上三角矩与复非奇异上三角矩阵阵R R，使，使A = QR A = QR 5学习园地将将 正交化正交化6学习园地整理得整理得令令则则7学习园地例例1 1：利用：利用SchmidtSchmidt正交化方法求矩阵的正交化方法求矩阵的QRQR分解分解设设则则
5、 线性无关，首先将它们正交化得：线性无关，首先将它们正交化得：再单位化再单位化：8学习园地于是：于是：从而从而9学习园地HouseholderHouseholder变换变换O+O则则记记即：该变换将向量即：该变换将向量 变成了以变成了以 为法向量为法向量的平面的对称向量的平面的对称向量 。HouseholderHouseholder变变换换又又称称为为反反射射变变换换或或镜镜像像变变换换，有有明明显显的的几几何何意意义义。在在 中中，给给定定一一个个向向量量 ，令令 表表示示 关关于于平平面面 （以以 为为法法向向量量）的的反反射射变变换换所所得得像像，如如图所示，图所示，10学习园地定义定义
6、 设设 是一个单位向量，令是一个单位向量，令则称则称H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵或矩阵或HouseholderHouseholder变换。变换。性质性质5.1.1 5.1.1 设设H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵，则矩阵，则（1 1）H H是是HermiteHermite矩阵，矩阵， ；（2 2）H H是酉矩阵，是酉矩阵， ；（3 3）H H是对合矩阵，是对合矩阵， ；（4 4）H H是自逆矩阵是自逆矩阵（5 5）diagdiag( (I I, ,H H ) ) 也是一个也是一个HouseholderHouseholder
7、矩阵矩阵; ;（6 6）det Hdet H = -1 = -1。11学习园地其中其中 为实数。为实数。定理定理 设设 是一个单位向量，则对于任意的是一个单位向量，则对于任意的当当 时，取单位向量时，取单位向量 使使存在存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H，使得，使得证明证明 当当x=0x=0时，任取单位向量时，任取单位向量则则则则12学习园地所以所以 当当 时，取时，取由于由于13学习园地推论推论1 1 对于任意的对于任意的 ，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H，使，使其中其中 为实数。为实数。推论推论2 2 对于任意的对于任意的
8、，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H上述结论表明，可以利用上述结论表明，可以利用HouseholderHouseholder变换将任意向量变换将任意向量化为与第一自然基向量化为与第一自然基向量 平行的向量（共线）平行的向量（共线）。 ，其中，其中使得使得得得14学习园地例例2 2 用用HouseholderHouseholder变换将向量变换将向量化为与化为与 平行的向量。平行的向量。因此因此解解 由于由于为了使为了使为实数，取为实数，取令令则则也可取也可取 或或说明说明15学习园地1 1 将矩阵将矩阵A A按列分块按列分块 , ,取取利用利用Househol
9、derHouseholder矩阵求矩阵的矩阵求矩阵的QRQR分解的步骤：分解的步骤：则则16学习园地2 2 将矩阵将矩阵 按列分块，按列分块，取取则则其中其中17学习园地则则 A=QRA=QR依次进行下去，得到第依次进行下去，得到第n-1n-1个个n n阶的阶的HouseholdHousehold矩阵矩阵H Hn n-1-1，使得，使得33因因 为自逆矩阵，令为自逆矩阵，令 18学习园地例例2：已知矩阵：已知矩阵利用利用HouseholderHouseholder变变换求换求A A的的QRQR分解分解因为因为记记令令则则从而从而记记则则令令19学习园地记记则则取取则则20学习园地GivensG
10、ivens变换变换x 2yx O我们知道，平面坐标系我们知道，平面坐标系 中的旋转角为中的旋转角为 变换可表变换可表示为示为T T是正交矩阵，称为平面旋转矩阵。是正交矩阵，称为平面旋转矩阵。将其推广到一般的将其推广到一般的n n维酉空间中，维酉空间中，可以得到初等旋转变换，也称为可以得到初等旋转变换，也称为GivensGivens变换。变换。21学习园地定义定义 设设记记n n阶矩阵阶矩阵由由 所确定的线性变换称为所确定的线性变换称为GivensGivens变换或初等旋转变换。变换或初等旋转变换。称称 为为GivensGivens矩阵或初等旋转矩阵；矩阵或初等旋转矩阵；容易验证，容易验证，Gi
11、vensGivens矩阵是矩阵是酉矩阵酉矩阵，且，且 。 22学习园地定理定理 对于任意向量对于任意向量 ，存在，存在GivensGivens变换变换 ，使得，使得 的第的第l l个分量为个分量为0 0，第，第k k个分量为非负实数，其个分量为非负实数，其余分量不变。余分量不变。证明证明 记记由由GivensGivens矩阵的定义可得矩阵的定义可得23学习园地当当 时，取时，取c c=1,=1,s s=0=0，则，则T Tkl kl = = I I, ,此时此时当当 时，取时，取, ,结论成立。结论成立。则则24学习园地与第一自然基向量与第一自然基向量推论推论 给定一个向量给定一个向量 ，则存
12、在一组，则存在一组GivensGivens矩阵矩阵 ， 使得使得称为用称为用GivensGivens变换化向量变换化向量证明证明 设设由上述定理存在由上述定理存在GivensGivens矩阵矩阵使得使得共线。共线。25学习园地依此继续下去，可以得出依此继续下去，可以得出对于对于 又存在又存在GivensGivens矩阵矩阵 ，使得，使得26学习园地例例3 3 用用GivensGivens变换化向量变换化向量 与第一自然基向量与第一自然基向量共线共线 解解 由于由于取取则构造则构造GivensGivens矩阵矩阵27学习园地对于对于由于由于取取则则28学习园地利用利用GivensGivens矩阵
13、求矩阵的矩阵求矩阵的QRQR分解的步骤：分解的步骤：先将矩阵先将矩阵A A按列分块，按列分块，1 1 对于对于存在一组存在一组GivensGivens矩阵矩阵于是于是使得使得29学习园地又存在一组又存在一组GivensGivens矩阵矩阵使得使得2 2 将矩阵将矩阵 按列分块按列分块30学习园地33令令 。依次进行下去，得到依次进行下去，得到因此因此其中，其中，则则A=QRA=QR31学习园地说明说明：利用利用GivensGivens矩阵进行矩阵进行QRQR分解，需要作分解，需要作 个初等个初等旋转矩阵的连乘积，旋转矩阵的连乘积， 当当n较大时，计算量较大，因此较大时，计算量较大，因此常用镜像变换来进行常用镜像变换来进行QRQR分解分解32学习园地
