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1、3.5函数的极值与最大值最小值函数极值的定义函数极值的定义函数极值的求法函数极值的求法最值的求法最值的求法应用举例应用举例一、函数极值的定义定义定义使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.极极 值值二、函数极值的求法定理定理1(1(必要条件必要条件) )定义定义注意注意:例如例如,极值点极值点驻点驻点可导可导定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )(是极值点情形是极值点情形)定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )(不是极值点情形不是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤: :(不是极值点情形不是极值点情形)(是极值点情形是极值点情形)例1 1 求函数求函数的极值的
2、极值 . .解解: :1) 1) 求导数求导数2) 2) 求可能的极值点求可能的极值点令令得得令令得得3) 3) 列表判别列表判别是极大点，是极大点， 其极大值为其极大值为是极小点，是极小点， 其极小值为其极小值为例例2 2解解注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.(不是极值点不是极值点弯弯曲方向改变曲方向改变)(是极值点是极值点曲线曲线弯曲方向不变弯曲方向不变)定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证同理可证同理可证(2).由极限的局部保号性由极限的局部保号性例3 3 求函数求函数的极值的
3、极值 . . 解解: : 1) 1) 求导数求导数2) 2) 求驻点求驻点令令得驻点得驻点3) 3) 判别判别因因故故 为极小值为极小值 ; ;又又故需用第一判别法判别故需用第一判别法判别. .P156-2定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )三、最值的求法步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值.注意注意: : 如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值, ,则这个极值则这个极值就是最值就是最值.(
4、.(最大值或最小值最大值或最小值) )四、应用举例例例4 4解解计算计算比较得比较得实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;( kR)例例5. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取? 20解解: 设则令得 又所以 为唯一的极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问km ,公路, 某房地产公司有某房地产公司有5050套公寓要
5、出租，当租金定为套公寓要出租，当租金定为每月每月180180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加元时，公寓会全部租出去当租金每月增加1010元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费每月需花费2020元的整修维护费试问房租定为多少元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？可获得最大收入？例例6 6解解设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收入为（目标函数）（目标函数）未租出房子为未租出房子为 套，套，P161-15P161-15（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为35
6、0350元时收入最高元时收入最高. .最大收入为最大收入为点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例6 6解解如图如图,解得解得五、小 结极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.2.2.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.3.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)1.1.注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别. .最值最值是是整体整体概念而概念而极值极值是是局部局部概念概念. .4. 4. 实际问题求最值的步骤实际问题
7、求最值的步骤. .作业:P162:1-(1)(7)、3、4-（2）、6、9、13、思考题思考题1下命题正确吗？下命题正确吗？思考题思考题1解答解答不正确不正确例例在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立思考题思考题2思考题思考题2解答解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点. .例例在在 有最小值，但有最小值，但解解令令f (x)=0, 得得 x =1， x=1为极大值点，极大值为极大值点，极大值 在在(-1，0)内，内， f (x)0;例例6 求求 的极值，并求其在的极值，并求其在-1,1上的最值。上的最值。 x=0为极小值点，极小值为极小值点，极小值 f (0)=0.例例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁，问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .
