2022年《线性代数与概率统计》课后答案

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1、优秀学习资料欢迎下载线性代数第一章参考答案一、 选择题1.D 2.D 3.C 4.C 5.C 6.C 7.A 8.B 9.B 10.A 二、填空题1. 7 2. -8 、4 3.-3 、a3 4.6 5-44312213aaaa、43312214aaaa 6. 72 7.0、0 8. niiia1三、计算题1.解：48200002000020111163111131111311111631111311113111132. 解：xxxxxxxxxxxxxxx0000000111111111111111111111111111111111111400000001111xxxxxxxx3.解：abb

2、abaababbbabbaababbbbababaababbbababbababbba00000000222baba名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载niiniinnniiniinniinniinniinnnnaxaxaxaaaaaxaaaxaaaaxxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxxaaaaxaaaaxaaaaxD11231221212113212121211321

3、212121100000014.解：解：.5当2n时，21xxDn；当2n时，0111111111212121211222111niinnnnxxxccnxxxnxxxnxxxD四; 设333231232221131211aaaaaaaaaD，ija取 0 或 1，若 D 的第一列元素全为零， ，则 D=0，结论成立；否则，第一列中至少有一个非零元素， 设111a， 当3121,aa不全为零时， 通过初等变换可把行列式变为32233322333223221312001bbbbbbbbaaD，其中jijijijijaabab1或，因此1ijb，故2D.五、 1、解方程组有非零解，则系数行列式01

4、11111111D，而由01000011111131131132D可知10或时齐次线性方程组有非零解。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2、解：系数行列式121256427825169454321111D4812564271251691543111111D721256418251614541211112D48125127825194513211113D121642781169

5、4143211114D故1,4,6,444332211DDxDDxDDxDDx线性代数第二章参考答案一、 选择题1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.D 9.A 10.B 二、填空题1.E 2. 1A3. 3E 4.EA2315. 16 、167296. 0 7. -6 8.n29. 1 三、计算题1.解:43110231101420121301= 1199129名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 43 页 - - -

6、- - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2.解：223171116555AB221153151765223171116555TTTTABAB014121401112110TTABAB3.解: 由AEAEB1，左乘AE得AEBAE即EBAAB,于是有EEBEBA2，即EEAEB21故4300032000210001211EABE。000003000001119017151077763034443600111901715111048114531723112171514.141312311172rrrrrrrrA解：故3AR027151212417是一个最高阶非零子式。5.00101220030

7、159401000121001002321100012100100232100101220000110234213313rrrrrrEA1061210006311010010100010430100011061210006311010011612021001002321242344rrrr故名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载106126311101043011A四、证明题（本

8、题共 2 小题，每题 6 分，满分 12 分）1.A、B 为 n 阶方阵且满足EBBA421，证明：EA2可逆。111114122,412424242,42BAEAEAEBAEAABEAABABAABBAAEBBA可逆，且由逆矩阵的定义可知即故证：2. 设 n 阶矩阵BA,满足ABBA,E 为 n 阶单位矩阵（1） 证明EA为可逆矩阵 .（4 分）（2） 证明：BAAB.（3 分）证： （1）由已知等式ABBA有EEBAAB，即EEBEA，即EA为可逆矩阵 ,且EBEA1。（2）由EBEA,互为可逆矩阵知EAEBEBEA，即有BAAB。五、 设2222222222222222A，求nAA ,2

9、EA16160000160000160000162当 n 为偶数，即1,2kkn时，EAAAkkkn1622当 n 为偶数，即1,12kkn时，AAAAAAkkkn1622线性代数第三章综合自测题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载一、单项选择题 （在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面横线上。本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1. 如果

10、向量能由向量组m,21线性表示，则（D ） 。（A）存在一组不全为零的数mkkk,21，使得mmkkk2211（B）对的线性表示惟一（C）向量组m,21线性无关（D）存在一组数mkkk,21，使得mmkkk22112. 向量组t,21线性无关的充分条件是（C ）（A）t,21均为非零向量；（B）t,21的任意两个向量的分量不成比例；（C）t,21中任意部分向量组线性无关；（D）t,21中有一个部分向量组线性无关。3. 若m,21线性相关，且0mmkkk2211，则（D ） 。（A）021mkkk（B）mkkk,21全不为零（C）mkkk,21不全为零（D）上述情况都有可能4. 一个nm阶矩阵

11、A 的秩为m，则下列说法正确的是（A ）（A）矩阵 A 的行向量组一定线性无关；（B）矩阵 A 的列向量组一定线性无关；（C）矩阵 A 的行向量组一定线性相关； （D）矩阵 A 的列向量组一定线性相关。5. 两个n维向量组A：s,21，B：t,21，且rBRAR)()(，于是有（C ）（A）两向量组等价，也即可以相互线性表出；（B）sR,(21，rt),21；（C）当向量组A 能由 B 线性表出时，两向量组等价；（D）当ts时，两向量组等价。6. 若向量组 ,线性无关，向量组 ,线性相关，则（C ） 。（A）必能由 ,线性表示（B）必不能由 ,线性表示（C）必能由 ,线性表示（D）必不能由 ,

12、线性表示7. 下列命题中正确的是（D ）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（A）若向量组的秩为r，则该向量组的其中的任意r个向量均线性无关；（B）若向量组中有r+1 个向量线性相关，则该向量组的秩一定至多等于r；（C）向量组 A 与向量组B 等价的充要条件是)()(BRAR；（D）可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数。8. 已知n维向量组（）：m,21和 （） ：s,21的秩都等于r，

13、 那么下述命题不正确的是（A ） 。（A）若sm，则向量组（）与向量组（）等价（B）若向量组（）是向量组（）的部分组，则向量组（）与向量组（）等价（C）若向量组（）能由向量组（）的部分组表示，则向量组（）与向量组（）等价（D）若rRsm),(2121，则向量组（）与向量组（）等价9. 设)1 , 1 , 1(1，)3 ,2, 1(2，3=),3, 1 (t，当321,线性无关时，t不等于（D ）（ A） 1 ；（B）2；（ C）3；（D）以上都不对10. 设A是nm矩阵，B是mn矩阵，则（B ）（ A）时，当nm0AB；（B）时，当nm0AB；（ C）当mn时，0AB；（D）当mn时，0AB。

14、二、填空题（本大题共10 个空，每个空2 分，满分20 分）1. 已 知), 1 , 3 , 52(，),3,724( ， 则3= 2,22,1,110，54= 1534,112，。2.已 知)3 , 1 ,5, 2(1，)5, 2, ,1 ,2(2，)1 , 1,1 ,4(3，且)(5)(2)(3321， 则= 37,2235，。3. 一个向量组含有两个或两个以上的最大无关组，则各个最大无关组所含向量个数必相等。4. 设321,是 3 维线性无关的向量组，A 为 3 阶方阵，且211A，322A，313A，则 A = 2 ，)(AR3 。5. 向量组1=（2，3，-1，5） ，2=（6，3，

15、-1，5） ，3=（4，1，-1，7）的秩 = 3 ，最大无关组为321,。6. 两个n维向量组 A：m,21， B：m,21，1)(rAR，2)(rBR，3),(rBAR则),max(21rr，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载21rr，3r的大小关系是：21321),max(rrrrr。7. 若向量),2, 1(t，可由向量组)1 , 1 , 2(1，)7 ,2, 1(2

16、，)4, 1, 1 (3线性表示，则t= 5 。8. 已知向量组)1 ,1,2, 1(1，)0 ,0,2(2t，)2,5 ,4,0(3的秩为 2，则t= t= 3 。9已知向量组4321,线性无关，若向量组21k，32，43，14线性相关，则k1 。10. n维向量组)3(,21nmm，而m,21中任何一个向量都不能用其余向量线性表示，是该向量组线性无关的充要条件。三、 计算题（本大题共3 个小题，第1，2 小题每题5分，第三小题10 分，满分20 分）1已知TTTT)1 ,4,6 ,2(,)1 ,2,3 , 1(,)1, 1 , 1 ,0(,)0,0, 1, 1(4321，讨论向量组4321

17、,及向量组321,的线性相关性。解：令1110421063112101,4321A111042104210210153000000421021010000530042102101，故，3),(),(3214321RR，所以4321,线性相关，而321,线性无关。2.已知向量组TTTba)0 , 1 ,(,)1 ,2,(,)1,1 , 0(321与向量组TTT)7, 6,9(,)1 ,0, 3(,)3,2 , 1(321具有相同的秩，且3可由321,线性表示，求ba,的值。解：因为07131602931,3321bbbb5000211260931故2),(321R又因为向量组321,与向量组,2

18、1具有相同的秩，且3可由321,线性表示，所以2),(),(),(3213321321RRR故，505bb；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载则01112150,321a3500130121a，故15035aa。3. 利用初等变换法求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组。（ 10 分）（1）97963422644121121112（ 2）131141520312102112

19、01解：1. 令 A=9796342264412112111200000310000111041211故3)(AR，且T,1,4,32，T6, 6, 1 ,17 ,2, 1 , 1为最大线性无关组。（2）令 A=13114152031210211201000000001000011002012000200020000110120121102550211002201201故,3)A(R且T12211，T15120，T14011是它的列向量组的最大线性无关组。四、 证明题（本大题共3 个小题，每题10 分，满分30 分）1. 证 明 ： 向 量 组r,21线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件

20、 是 向 量 组11，rr21212,线性无关。证明：不妨假设，r,21为列向量组，由11，rr21212,知名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载r21能由r,21线性表示，故rrRR2121（1）且，rr2121100110111（*） ，令 K100110111，显然01K，也即 K 可逆。 （*）式两边同时右乘1K，有rrK21121也即r,21能由r21线性表示，故rr

21、RR2121（2）由（1） ， （2）得rrRR2121，也即r,21与r21有相同的 线 性 相 关 性 ， 故 向 量 组r,21线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 向 量 组11，rr21212,线性无关。2. 证明：如果n维单位坐标向量组n,21可以由n维向量组n,21线性表示，则向量组n,21线性无关。证 明 ： 因为n维 单 位坐 标 向 量 组n,21可以 由n维向 量 组n,21线 性表 示 ， 所 以),(),(2121nnRR， 又 因 为n,21线 性 无 关 ， 所 以nRn),(21， 故nRn),(21，所以n,21线性无关。3. 设TTTTTbbb)2

22、, 0, 1 , 1(,)0,2, 1, 3(,)1 , 1 , 0,2(,)3, 1 , 1 ,3(,) 1, 1 , 1, 1(32121，证明向量组21,与向量组321,bbb等价。 。证明：因为32121,bbb=2013102111110111323100000000001112013231故而),(21R=),(321bbbR=,(21R2),321bbb，因此向量组21,与向量组321,bbb等价。线性代数第四章综合自测题一、 单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面横线上。本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）名师归纳总结 精品学习

23、资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1. 已知21,uu是非齐次线性方程组BAX的两个不同的解，21,vv是其对应导出组0AX的基础解系，21,cc为任意常数，则非齐次线性方程组BAX的通解是（B ）A、2)(2121211uuvvcvcB、2)(2121211uuvvcvcC、2)(2121211uuuucvcD、2)(2121211uuuucvc2.设方程组的系数行列式为零，则（D ）A、方程

24、组有无穷多解；B、方程组无解；C、方程组有唯一解；D、方程组可能无解，也可能有无穷多解。3. A为nm阶矩阵，则关于齐次方程组的结论是（C ）A、nm时，方程组仅有零解；B、nm时，方程组有非零解，且基础解系含有mn个线性无关的解向量；C、若A有n阶子式不为零，方程组仅有零解；D、若A所有n-1 阶子式不为零，方程组仅有零解4. 321,vvv为齐次线性方程组0AX的一个基础解系，则（D ）也是该方程组的基础解系。A、321323123,3 ,vvvvvvv；B、3221321,2vvvvvvv；C、与321,vvv等价的同维向量组4321,； D、与321,vvv等价的同维向量组321,。5

25、. 要使2011，1102都是线性方程组0AX的解，只要系数矩阵A为（ A ）)(A112)(B110102)(C110201)(D1102241106. 齐次线性方程组000313221xxxxxx，_ C _ 是它的一个基础解系。A、011,222B、110,444C、111D、101名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载7. 方程组002121xxxx，当=_ B _ 时

26、，方程组有非零解。A、0 B、 1 C、 2 D、 任意实数8.对于n元线性方程组，下列命题中正确的是（D ）A、BAX有唯一解nAR)(；B、0AX仅有零解，则BAX有唯一解；C、0AX有非零解，则BAX有无穷多解；D、BAX有两个不同的解，则BAX就有无穷多组解。9.n阶矩阵A的伴随矩阵A非零，如果4321,是非齐次线性方程组BAX的互不相同的解，则导出组0AX的基础解系所含解向量的个数是（C ）A、3 个；B、 2个；C、1 个；D、0 个。10. 设A为nm阶矩阵，非齐次线性方程组BAX有解的充分条件是（C ）A、mAR)(；B、nAR)(；C、mAR)(；D、nAR)(。二、填空题（

27、本大题共4 个小题，每题5 分，满分20 分）1. 非齐次线性方程组bAX（A为mn矩阵）有唯一解的的充分必要条件是)(ARnbAR)(。2. 1n个n维向量，组成的向量组为线性 _ 相关 _ 向量组。3. 已知线性方程组03121232121321xxxaa无解，则a= -1 。4. 设n阶 矩 阵A的 各 行 元 素 之 和 均 为 零 ， 且A的 秩 为n-1 ， 则 齐 次 线 性 方 程 组0AX的 通 解 为Ckk),1 ,1 ,1 (。5.设矩阵54332221tA，3 阶矩阵0B，若0AB，则t= 2 。6 设A为32矩阵，,2)(AR21,是非齐次线性方程组BAX的两个解，若

28、T)1 , 1 ,0(1，T)3,2,2(2，则BAX的通解为CkkXTT,)1 , 1 ,0()2, 1 ,2(。7.已 知 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组, ()3Axb r A，321,是 它 的 三 个 解 向 量 ， 其 中TT)3 ,1 ,0, 1(,)2,0,2, 1(3221， 则齐次线性方程组的通解为CkkXTT,) 1 ,0, 1 ,21() 1, 1,2 ,0(。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 43 页 -

29、 - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载二、 求下列线性方程组的通解（本大题共4 个小题，每小题6 分，共 24 分）1. 032030432143214321xxxxxxxxxxxx；解 ： 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵A=321131111111, 将 系 数 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换 得000021001011A，故2)(AR，基础解系中包含4-2=2 个向量，而方程组的同解方程组为434212xxxxx，取10,0142xx， 得 到 方 程 组 的 基 础 解 系 为，1201001121故 方 程 组 的 通 解 为2211Xkk，),(2

30、1Ckk2. 02) 1(121nnxxxnnx解：设方程组的系数矩阵为A，则121nnA,显然1)(AR，故基础解系中包含n-1 个向量；把原方 程组移项得到）（1212) 1(nnxxnnxx，取1000,0010,0001121nxxx，得 到一组基础解系为21001010,001121nnn故方程组的通解为112211Xnnkkk，),(121Ckkkn。3. 2749422536372432143214321xxxxxxxxxxxx解：设方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B，则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资

31、料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载271494225361372)(bAB0000011101111151011211911101初等行变换因为42)()(ARBR，所以方程组有无穷多组解。方程组的同解方程组为1110111115112119111432431xxxxxx，取1,043xx，得到方程组的一个特解为1011，方程组对应的导出组为432431111115119111xxxxxx，取10,0143xx，得到方程组的一组基础解系为11019,0115121故方程组的通解为)

32、,( ,212211CkkkkX4、12334523622232375432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx设方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B，则12133452362210231123711111)(bAB00000000000023622101651101初等行变换因为52)()(ARBR，所以方程组有无穷多组解，方程组的同解方程组为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 43 页 - - - - -

33、- - - - 优秀学习资料欢迎下载2362216554325431xxxxxxxx，取0,0,0543xxx，得方程组的一个特解0002316方 程 组 对 应 的 导 出 组 为543254316225xxxxxxxx， 分 别 取100,010,001543xxx， 得 导 出 组 的 一 组 基 础 解 系10065,01011,00121321，所以方程组的通解为),( ,321332211CkkkkkkX三、 计算题（本大题共两小题，每题8 分，共 16 分）1. 取何值时，非齐次线性方程组23213213211xxxxxxxxx，有惟一解；无解；有无穷多个解？解： 系数矩阵行列式

34、231232111111A。 当2,1时，0A，方程组有惟一解； 当2时，增广矩阵300033302121633033302121421111122121421121211112121312132122rrrrrrrrrrbAAARARARAR, 3,2，方程组无解。 当1时，增广矩阵0000000011111111111111111213rrrrbAA，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀

35、学习资料欢迎下载31ARAR，方程组有无穷多解。基础解系的个数213rnl，为2. 已知四阶方阵),(4321A，4321,均为四维列向量，其中432,线性无关，3212，如果4321，求线性方程组AX的通解。解：因为432,线性无关， 所以3)(AR，又因为3212，故4321,线性相关， 所以3)(AR，又因为4321，即AX有解，且T1111为方程组的一个特解；又3212，即02321知T0121是其对应导出组0AX的解，又因为3)(AR，所以导出组的基础解 系 中含有4-3=1个 线性 无 关的 解， 即T0121为 导出组的 基础 解系 ，所 以方程组 的通 解为)( ,CkkX五、

36、证明题（本大题满分9 分）设n元齐次线性方程组0AX的基础解系为：)( ,21Arntt，令),(21tB，证明：对于任意可逆的t阶矩阵C，BC的列向量组构成0AX的基础解系证明：因为C 为t阶可逆矩阵， 所以tBRBCR)()(，且BC的列向量组中共有t个向量，故BC的列向量组线性无关且含有t个向量，又因为,21t为n元齐次线性方程组0AX的基础解系，所以0AB，故0)(BCAABC，所以BC的列向量组是齐次线性方程组0AX的解，综合以上有BC的列向量组构成0AX的基础解系。线性代数综合自测题一、选择题（本题共10 小题，每题3 分，满分30 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

37、，把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、排列 4 1 3 2 的逆序数是（C ）（ A） 2；（B）3；（C）4；（D）5；2、设 A 是 n 阶可逆矩阵，*A是A的伴随矩阵，则（A ）（A）1*nAA（B）AA*（C）nAA*（D）1*AA；3、已知 A、B为 n 阶非零矩阵，则下列公式成立的是（A ）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（A）ABBA；（B）2222)(

38、BABABA；（C）,AYAX则YX；（D）TAA；4、已知 A 为 3 阶矩阵，且A=2，则*A=（B） (A)2 ；（B）4；（C） 0；（D）8；5、下列命题正确的是（ C ）（A）若向量组m,21是线性相关的，则1可由m,2线性表示；（B）若有不全为零的数m,21，使01111mmmm成立，则m,1线性相关，m,1线性相关；（C）包含零向量的向量组一定线性相关；（D） 设n,21是一组n维向量， 且n维单位坐标向量neee,21能由它们线性表示，则n,21线性相关；6、已知),det(ijnaD则jninjijiiAaAaAa221（) ji（ntAjt,1,为代数余子式）的值是（C

39、） 。(A)nD；（B）-nD；（C）0；（D ）以上都不对；7、设n阶行列式nD，若nD中有一列元素全部为0，则nD（D） 。（A） 1；（B）1；（ C） 2 ；（D） 0；8、m个方程n个未知量的非齐次线性方程组bAX，有无穷多组解的充分必要条件是（ B ） 。（A）nbARAR)()(；（B）nbARAR)()(；（C）nbARAR)()(；（D）nbARAR)()(；9、如果线性方程组050403zykxzyzkyx有非零解，则（C ） 。（A）0k（ B）1k（C）31kk或（D）3k10、设向量组)1 ,0,0,0(),0, 1 ,0 ,0(),0 ,0, 1 , 0(),0 ,

40、0,0, 1(4321，则它的最大线性无关组是（ D ）(A) 21,； (B) 321,； (C) 421,； (D) 4321,；二、填空题（本题共6 小题， 7 个空，每空2 分，满分14 分，把答案填在题中的横线上）。1、设01A，则kAkkk101。 （k 为正整数）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2、设 A为 3 阶矩阵，21A, 则1A2 ；*15)2(AA

41、= -16。3、向量组)0,0, 1 (1，)0, 1 ,0(2，)1 ,0,0(3是线性无关。 （填“相关”或“无关” ）4、已知矩阵5221A，则1A1225。5、设0111v，1102v，0433v，则32123vvv210。6、设101020101A, 且BAEAB2, 则 B= A+E=201030102。7.EAABA23,32112，则1B11021。8.设BA,为 n 阶矩阵，3, 2 BA，则1*2BA12231n。9.已知向量组)1 ,1,2, 1(1，)0,0 ,2(2t，)2, 5,4,0(3的秩为 2，则t= 3。10.设321,是 3 维线性无关的向量组，A 为 3

42、 阶方阵，且211A，322A，313A，则 A = 2 ，)(AR3 。三、计算题。（本大题共6 小题，共46 分 ）1、计算下列行列式。（本题共两小题，每题5 分，共 10 分）（1）71100251020214214；（2）nDxaaaxaaax；（1）解： D=71100251020214214=71100215020704221=71120215427=711851704590=0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 43 页 -

43、 - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（2）解：nDxaaaxaanxanxanx) 1()1()1(=x+(n-1)a axax0000111=x+(n-1)a1)(nax2、设111111111A，150421321B，求AAB23及BAT。 （10 分）解：AB=150421321111111111=092650850而TA=A 092650850ABBAT 3AB-2A=22942017222132222222222027618150241503、求矩阵 A 的逆矩阵。 （5 分）A=;1210232112201023解：100012100301594000101220

44、0100232110001210010023210010122000011023EA10612100043011100100012100100232120101200430111001000121001002321名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载106121000631101001010001042110001106126311101042111A4、设Ta)1 , 1

45、, 1 ,1(1，Ta)2,2,2,2(2，Ta )3,3,3 ,3(3，Ta)4,4,4 ,4(4，当a为何植时，向量组4321,线性相关？当4321,线性相关时，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表出。（5 分）解：令aaaaA43214321432143214321则aaaaaaaaaaaA432104321043210432104321432143214321)10(aaaa4321432143214321)10(a3)10(0010010010001aaaaa因为当0A，向量组4321,线性相关，所以当10a或0a时向量组4321,线性相关。（1）当0

46、a时，aaaaA43214321432143214321=43214321432143210000000000004321初等行变换故1),(4321R，1为它的一个最大线性无关组，且122，133，144；（2）当10a时名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载aaaaA43214321432143214321=63214721438143290000110010101001行

47、变换，故3),(4321R，321,为它的一个最大线性无关组，且3214；5、设)(ijaA是n阶方阵，（1）如果1)(nAr，且A的各行元素之和均为零，求0AX的通解；（2）如果1)(nAr，而21,是0AX的两个不同的解，求0AX的通解；(3) 如果1)(nAr，2n，且代数余子式011A，求0)( ,0,0*XAXAAX的通解。（6 分）解：（1）因为1)(nAr，故齐次线性方程组0AX的基础解系中含有1 个解向量，也即0AX的任意一个非零解都构成方程组的基础解系；又A的各行元素之和均为零，所以T111是方程组的一个解，所以方程组的通解为TkX111（Ck） ；（2） 因为21,是0AX

48、的两个不同的解， 所以21是0AX的一个非零解， 同 （1） 有为0AX的基础解系，所以0AX的通解为)(21kkX（Ck） ；（3）记A的列向量组为n,21，即Tniiiiaaa),(21，),2, 1(ni*A的列向组为n,21，也即TnjjjjAAA,21(nj,2, 1), （i ）由1)(nAr，知0A，故而有0*AAAA，所以n,21是0AX的解，又011A，所以01, 同上有1是0AX的基础解系，所以0AX的通解为1kX（Ck） ；（ii ）由0*AA，知n,21是0*XA的解， 又1)(nAr，所以1)(*Ar，所以方程组0*XA的基础解系中含有1n个线性无关的解向量，又因为0

49、11A，所以n,2线性无关，所以n,2构成0*XA的基础解系，故0*XA的通解为nnkkkX132211,2, 1,niCki；（iii）因为1)(*Ar，所以0)(*Ar，也即0)(*A，故而任意一个n 维向量均是0)(*XA的解，所以方程的通解为nnkkkX2211，niCkii,2, 1,为单位向量组，。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载6、已知非齐次线性方程组131

50、5341432143214321bxxxaxxxxxxxxx有三个线性无关的解，（ 1）证明方程组系数矩阵的秩为2,；（ 2）求ba,的值及该方程组的通解。（10 分）（1）证明：设方程组的系数矩阵为A，则baA3115341111，记rAR)(显然A第一、二行线性无关， 故2r；又非齐次线性方程组1315341432143214321bxxxaxxxxxxxxx有三个线性无关的解，设这三个线性无关的解分别为321,，则3121,是其对应的导出组0AX的两个线性无关的解向量，也即0AX的基础解系中至少含有2个解向量，故24r，即2r，由知2r。（2）方程组的增广矩阵为abaabaA245424

51、0035110242011311153411111初等行变换，由)()(ARAR=2 ，得054024baa32ba，此时方程组的通解方程组为35242432431xxxxxx，取,043xx得方程组的特解0032，方程组的导出组为432431542xxxxxx，分别取100143，xx，得方程组的基础解系为01121，10542，故方程组的通解为2211kkX， （Ckk21,）四、证明题。 （本大题满分10 分）1、设A为 n 阶矩阵，证明：)()(1nnARAR。证法一 ： 显然齐次线性方程组0XAn的解一定是01XAn的解，设是01XAn的解，假设它不是0XAn的解，也即有0,01nn

52、AA，则这 n+1 个 n 维向量nAAA,2线性无关，（因为若有0121nnAkAkk（1）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（1） 式两边同乘nA， 则有01nAk， 由001kAn， 此时 （1） 式等同于012nnAkAk（2）同理（ 2）两边同乘1nA，得02k，同理可推导出0121nkkk，也即nAAA,2线性无关。）这与 n+1 个 n 维向量必线性相关相矛盾

53、，故也是0XAn的解，所以方程组0XAn与01XAn通解，故)()(1nnARAR。证法二： 显然数列)()()()(12nnARARARAR，为单调递减数列，若数列中第k 项与 k+1 项相等时，也即)()(1kkARAR（为自然数k） ，则必有)()()(21kkkARARAR。 （因为AAAkk1，故1kA的列向量组能由kA的列向量组线性表示，又因为)()(1kkARAR，故kA的列向量组与1kA的列向量组等价，所以存在矩阵C，使得kkACA1，从而 mk 时，有211,mmmmACAACA，即kkmmACA，又kmkmAAA，所以kA与mA的列向量组等价，故有)()()(21kkkAR

54、ARAR。 ）又因为nAR)(，因此nk,所以)()(1nnARAR。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载学院：专业：学号：姓名：教学班号：概率论 第一章 综合自测本试题满分 100分，考试时间 120 分钟。题号一二三四五六七总分得分阅卷人一、选择题1、设 A、B、C 为三个事件，则下列命题成立的是（D ） 。(A) 若CBCA，则BA；(B) 若BCAC，则BA(C)若0

55、ABP，则AB；(D) 若ABA，则AB. 2、下列关于事件公式不正确的是（D ） 。(A)()()()(ABPBPAPBAP；(B) )()()(,APBPABPBA；(C)()()(BAPBPABP；(D) )()()(BPAPABP. 3、设 A、B 为两事件，则命题（B ）是正确的。(A) 若 A 与 B 互不相容，则A与B也互不相容；(B)若 A 与 B 相互独立，则A与B也相互独立；(C)若 A 与 B 相容，则A与B也相容；(D) 若 A 与 B 互不相容，则A 与 B 相互独立 . 4、设 A、B、C 三个事件满足CPBPAPABCP，则下列命题成立的是（D ） 。(A) A

56、与 B 相互独立；(B)A 、B 与 C 相互独立；(C) A 、B、C 相互独立；(D) 以上结论均不准确. 5、某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户的概率为（B ） 。(A) %65%50%85；(B) %85%65%50；(C) %50%65%85；(D) CBA,均不是 . 6、设 10 把钥匙中有3 把能打开门，任取两把，能打开门的概率为（D ）(A) 2101213CCC；(B) 2101913CCC；(C) 2101713CCC；(D) 21023CC+2101713CCC. 7、投掷两颗骰子，已知两颗骰子的

57、点数之和为7，求其中一颗为1 点的为（B ）（A）0 ；（ B）31；（C）32；（D）1.第 1 页（共5 页）密封线名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载8、假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%, 从中任意抽取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（C ）（A）0 ；（B）31；（C）32；（D）1. 9、设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等，

58、若已知事件A 至少出现一次的概率为2719，则事件A在一次实验中出现的概率为（B ）（A）0 ；（B）31；（C）32；（D）1. 10、设一射击手每次命中目标的的概率为p，现对某一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5 次为止，则射击手共射击10 次的概率为（C ）(A)555101pPC；(B) 544101pPC；(C)55491pPC; (D) 54491pPC. 二、填空题。1、设 A、B 为两个事件，且3.0,7 .0BAPAP，则ABP0.6 . 2、设 A、B、C 为三个事件，且161,0,25.0BCPACPABPCPBPAP，则CBAP3/8 . 3、设2 .0, 8. 0

59、, 6. 0ABPBPAP，则)(BAP= 0.6 . 4、把 10 本书任意放在书架上，则其中指定三本书放在一起的概率为. 5、在一标准英语字典中有55 个由 2 个不同字母组成的单词，若从26 个英文字母中任取2 个字母排列，则能排列上述单词的概率为1301125265555226P. 6、设在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间1，3上的诸数字，旋转这陀螺，它停下来时其圆周上诸点与桌面接触的可能性相等，则接触点的刻度落在1，23上的概率为1/4 . 7、用事件CBA,的运算关系表示下列事件：（1）CBA,都不发生；（2）CBA,中不多于一个事件发生；（3）CBA,中至少两个事件发生；（3）

60、CBA,中恰有两事件发生. 8、若事件A与B独立，则A与B独立，A与B独立（判断是否独立）.第 2页（共5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载9、甲、乙、丙三人依次从装有7 个白球，三个红球的袋中随机地摸取1 个球，已知丙摸取了红球，则甲、乙摸取到不同颜色球的概率为7/18 . 10、袋中有5 个乒乓球，其中2 个新球， 3 个旧球，有两人随机从袋中各取一球，取后不放回

61、，结果第二个人取到一个旧球，则第一个人取到新球的概率为1/2 . 三、在房间里有10 个人，分别佩戴1 号到 10 号的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码。求：（1）最小号码为5 的概率；（2）最大号码为5 的概率。解：总的基本事件数：310CA=最小号码为5; 12131025CCAPB=最大号码为5 20131024CCBP四、将 3 个球随机放入4 个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1、2、 3 的概率：解：将 3 个球放入4 个杯子中的方法共有：34种A=杯子中球的最大个数为1 834244333334PCAPB=杯子中球的最大个数为2 169436433132314CCCBPC=杯

62、子中球的最大个数为3 161444333314CCCP五、设有两支球队进行比赛，每场比赛两队获胜的概率分别为pp 1,，并且规定一队胜四场就宣告比赛结束，求该比赛需进行7 场的概率。解：3336333633361111ppCpppCpppC第 3 页（共5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载六、设有 5 个独立工作的元件，分别记为：1、2、 3、 4、 5， 第i号元件

63、的可靠度（即正常工作的概率）为p，i=1, 2, 3, 4, 5，将元件按照以下两种方式连接，试分别求两个系统的可靠度. （ 1）（ 2）解：设系统正常工作为A, 第i号元件正常工作记为iB则（ 1）41321BBBBBA则423432141321)()()()(pppBBBBPBBPBBBPAP（ 2）2345453121BBBBBBBBBBA52522)(432ppppAP第 4 页（共5 页）2 3 1 4 3 2 3 1 4 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

64、- - - 第 27 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载七、有三个相同的箱子，第一个箱子中有3 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有2 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有3 个黑球 2 个白球试求：(1)随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？(2)已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多少？解：设A= 取得的球为白球，B= 取得的球为黑球 ，iC= 取得的球为第i箱的 ，3,2 ,1i由题意知53)(,52)(,43)(,52)(,53)(,41)(321321CBPCBPCBPCAPCAPCAP又31)()()(3

65、21CPCPCP所以31125)()()(iiiCPCAPAP258)()()()()()(3333APCAPCPAPACPACP故 随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是125；已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是258。第 5 页（共5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载学院：专业：学号：姓名：教学班号：概率论 第二章 综合自测题

66、本试题满分 100分，考试时间 120 分钟。题号一二三四五六七总分得分阅卷人一、选择题1、下列命题正确的是（C ）（A）连续型随机变量的密度函数是连续函数（B）连续型随机变量的密度函数xf满足10xf. （C）连续型随机变量的分布函数是连续函数. （D）两个概率密度函数的乘积仍然是密度函数. 2、设n320.7k0.7k0.7k0.7k0.7n3210，则 k 的值是（C ）（A）0.1；（B）0.2；（C）0.3；（D）0.4；3、若N(0,1)X，则1P X2是（D ）（A）21；（B） 1 ；（C）31；（D）0 ；4、设随机变量X的密度函数为xkxf2cos)(，4,4x，其余定义为

67、零，则k 的值为（B ）（A）0.5；（B）1；（C）2；（D）0.25；5、设随机变量X的分布函数)0()(221xBeAxFx，其余定义为零，则BA,的值是（A ） 。(A) 1, 1 BA；(B) 1, 1 BA；(C) 1, 1 BA；(D)1, 1 BA6、设随机变量xfNX,0,2为随机变量X的密度函数，则对于任意正数0a，有（A ）(A)afaf；(B) afaf；(C) afaf；(D) 1afaf.第 1 页（共5 页）密封线名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

68、 - - - - - 第 29 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载7、下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是（C ）(A)211xxF；(B) xxFarctan2143；(C) 0100xxxxxF；(D) 1arctan1xxF. 8、设连续型随机变量X的分布函数为：, 1,122,2, 0)(22xxxxF221100xxxx，则)23(F=( C ) (A) 81(B) 83(C) 87(D) 1619、设连续型随机变量X的概率密度为其他021210xxxxxf，则2321XP（ A ）(A) 43(B) 83(C) 87(D) 9810、已知

69、随机变量,3.042,22XPNX则，0XP（ B ）(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.5 (D) 0.8 二、填空题1、设随机变量X的概率分布律为：NakXP), 2, 1(Nk，则a1 2、进行某种试验，设试验成功的概率为43，失败的概率为41，以X表示试验首次成功所需试验的次数，则2XP= 3/16 ，2 XP= 15/16 . 3、设随机变量xfNX,2为随机变量X的密度函数，则xf的两个拐点为= . 4、设2,0 U，则31P1/6 . 5、设连续型随机变量X的概率密度函数为：100,0( )0,0xexf xx，则系数= 1/100 .第 2页（共5 页）名师归纳总结 精

70、品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载6、随机变量X服从二项分布，当(n+1)p 为整数，则),; 1(),;(pnmBpnmB为最大值。7、随机变量X在5 ,2上服从均匀分布，对随机变量X进行三次独立观察，至少有两次观察值大于3 的概率为20/27 . 8、设随机变量X的概率密度函数为其他01001xxCxxCxf，则常数C= 1 .9、一电话交换机每分钟收到呼叫次数服从参数为4 的泊松分布

71、，则每分钟恰好有8 次呼叫的概率为48! 84e=0.0298 ，每分钟呼叫次数大于3 的概率为44!4kkek=0.0567 . 三、已知在15 只同类型零件中包含2 件次品，在其中抽取3 次，每次任取1 只，做不放回抽样，用随机变量X表示取出次品的数量，求：（1）随机变量X的分布律；（2）画出随机变量X的图形35221311141215130XP35121321413151313121421513131214131521XP3513512352212XP图略四 、 已 知 随 机 变 量X的 概 率 密 度 为其他0021)(232xexxfx,求 随 机 变 量X的 分 布 函 数)(F

72、 x及42XP解答：当0x时，00)()(Fxxdxdxxfx；当0x时，)21(1210)()(F22023022xedxexdxdxxfxxxxx；即0),21(10,0)(222xxexxFx891)2()4(42eFFXP第 3 页（共5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 31 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载五、设连续型随机变量X的分布函数exexxxxF11ln10)(求（ 1）系数252,30

73、,2XPXPXP；（2）随机变量X的密度函数)(xf。2ln22FXP10330FFXP45ln225252FFXP)(xf=其他011exx六、假设随机变量X的概率密度为其他002cos21xxxf，对X独立观察4 次，用Y表示观察值大于3的次数，试求Y的分布律解：212cos211)(1)(131330303dxxdxxfdxxfXPXP令A= 观察值大于3 故21)(AP，则4444)21()21()21(kkkkCCkYP，4,3,2, 1 ,0k第 4 页（共5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

74、- - - - - - - - - - - - - - 第 32 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载七、设随机变量具有如下的概率分布-2 -1 0 1 P1/6 1/3 1/6 1/3 求（ 1）31，（2）1222的概率分布。解：（1）因为-2 -1 0 1 311 2 3 4 故的概率分布为31311 2 3 4 P 1/6 1/3 1/6 1/3 （2）因为-2 -1 0 1 12229 3 1 3 故1222的概率分布为：12221 3 9 P 1/6 2/3 1/6 第 5 页（共5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

75、- - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载学院：专业：学号：姓名：教学班号：概率论第三章综合自测题本试题满分 100分，考试时间 120 分钟。题号一二三四五六七总分得分阅卷人一、选择题1、设为随机变量，下面的等式或命题正确的是（B ）. (A)()(aEbaE；(B) 22)()()(EED；(C) )()(DabaD；(D) 2)()(baDbaD. 2、设随机变量的分布函数为.1, 1; 10,;0,0)(3xxxxxF则)(E（

76、D ）. （A）dxx04；（B）1014xdxdxx；（C）1023dxx； （D）dxx1033. 3、设随机变量X的概率密度函数为其他若,0; 10,1;01,1)(xxxxxf则)(XE（A ）. （A）0 ；（B）1 ；（C）2 ；（ D）3 . 4、设离散型随机变量X的所有可能取值为, 3,2, 1321xxx且xE=2.3，xD=0.61，则321,xxx所对应的概率为（B ）. （A）0.1, 0.2, 0.8；（B）0.2, 0.3, 0.5 ；（C）0.3, 0.5, 0.1 ；（D）0.2, 0.5, 0.3. 5、设服从的分布率为-2 -1 0 1 2 P 0.1 0.

77、2 0.4 0.2 0.1 则)(E=（A ）. （A）0 ；（B）61；（C）31；（D）1. 第 1 页（共5 页）密封线名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 34 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载6、 设随机变量X表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射击击中目标的概率为0.4， 则)(XE、)(XD分别为（B ）. （ A） 4, 5 ；（ B） 4， 2.4 ；(C) 5, 2.4 ；(D) 0,

78、 5 . 7、设随机变量X的概率密度为其他010xbaxxf，且5.0)(XE，则ba,的值分别为 （A ）. （ A） 0， 1; （ B）1， 0；（C）1， 1；（D）0， 2；8、某车间生产的圆盘其直径在区间ba,服从均匀分布，则圆盘面积的数学期望为（D ）. （A）12（B）12ba（C）1222ba（ D）1222baba9、设随机变量X的概率密度函数为000)(xxexfx，则)2( XE（D ）. （A） 0 （ B）1 （C）e（ D） 2 10、设随机变量X的分布律如下，则)(),(2XDXE分别为（A ）. X-2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 （A）2.8, 2.

79、76 （ B）13.4, 2.76 （C）2.8 , 13.4 （D）2.76, 2.8 二、填空题1、)(cXE，)(dcXE. 2、)(cD= ，)(dcXD. 3、)(XD)(2XE. 4、设随机变量)N(2，则)(E，)(D. 5、设随机变量( ,)XB n p，则)(XE，)(XD. 6、设随机变量PX ，则)(XE，)(XD. 7、设随机变量baUX,，则)(XE，)(XD. 8、设随机变量EX ，则)(XE，)(XD. 9、设服从2,0上的均匀分布，则)(sinE= 0 . 10、设电压（以V 计）9 ,0 NX，将电压加到一检波器，其输出电压为25XY，则输出电压Y的均值为45

80、 .第 2 页（共5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 35 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载三、投掷两枚硬币，X表示 “ 国徽面朝上 ” 的次数，求XDXE,X的分布律为：X0 1 2 P4121411XE231212XE)(XD)(2XE21)(2XE四、设随机变量X具有概率密度函数1,0, 010,2)(xxxxxP，求： （1）)( XE.（2）)13(2XE.（3）)(XD. 解：32020)()

81、(1100dxxxdxxdxxdxxxpXE又21020)()(121020222dxxxdxxdxxdxxpxXE181)32(21)()()(222XEXEXD又2512131)(3)13(22XEXE故32)(XE，25) 13(2XE，181)(xD五、设随机变量具有如下的概率分布-2 -1 0 1 P1/6 1/3 1/6 1/3 求)E2(，1)(2E2，D第 3 页（共5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 36 页，共 43 页 -

82、- - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载六、一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为000414xxexfx工厂规定，出售的设备若在售出一年内损坏可以调换，若工厂售出一台设备盈利100 元，调换一台设备厂方需花费300 元，试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望。解：依题意， 1 XPdxedxxfdxxfdxxfx1041100141)()()(=1041xe=411e，1 XP1- 1XP41e，令Y为售出一台盈利数的随机变量，则其分布律为Y 100 -200 P41e411e)(YE=10041e+（-200）)1(41e=30041e-200 即为所求。

83、第 4页（共 5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 37 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载七、设连续型随机变量的分布密度为,0,)(2cbxaxxf其他10x，已知203)D(,21)E(，求系数cba,。解：dxxf)(1230)(011020cbadxdxcbxaxdx即有123cba又dxxxf)(2340)(011020cbadxxdxcbxaxxxdx又dxxdxcbxaxxdxxdxxfxXE1

84、2102202220)(0)()(=245cba已知203)D(,21)E(XX，)()()(22XEXEXD245cba2)21(综合上述可得：123cba21234cba245cba2)21(203三式联解得：3,12,12cba第 5 页（共 5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 38 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载学院：专业：学号：姓名：教学班号：概率论部分综合自测题本试题满分 100分，考试时间

85、 120 分钟。题号一二三四五六七总分得分阅卷人一、选择题。1、设 A、B 满足1）（ABP则（D ）(A) A 是必然事件；(B)0）（ABP；(C)BA；(D)）（）（BPAP2、将一枚均匀硬币连接抛两次，以A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“正面和反面各至少出现一次” ，则（A ） 。(A)BA；(B) A 与 B 互不相容(C) A 与 B 相互独立(D) A 与 B 不独立3、已知121,0,41BCPACPABPCPBPAP，则事件 A、B、C 全不发生的概率为（C ） 。(A)121；(B) 123；(C) 125；(D) 127。4、有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8

86、 和 0.7，在这两批种子中各随机地抽取一粒都能发芽的概率为（B ） 。(A) 94.0；(B)0.56；(C) 0.38；(D)0.5 5、设随机变量X和随机变量Y，下列等式中正确的是（C ）（A）YDXDYXD; （B）YDXDXYD；（C）YEXEYXE；（D）YEXEXYE6、设000)(2xxAexfx是某个随机变量的密度函数，则A的值是（ B ） 。(A) 1 ；(B) 2；(C) -2 ；(D) 0.5.第 1 页（共 5 页）密封线名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

87、 - - - - - - 第 39 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载7、随机变量的分布函数），在（)()(xPxF上（C ） 。(A) 处处连续；(B)必有间断点；(C)处处左连续；(D) 处处右连续 . 8、设随机变量xFNX,2为其分布函数，则对任意实数a，有aFaF=（D ）（ A） 0；（B）21；（C）31；（D）1；9、设随机变量),Bpn（，)(D（C ）（A）np; （B）p；（C）)1(pnp；（D）2np10、设随机变量1 , 0 NX，则下列结论正确的是（B ）（A）xxXP；（B）xxXP1；（C）xxXP；（D）xxXP；二、

88、填空题。1、设A、B为两个集合，若BA且AB则称集合A与B相等. 2、设A、B为两个事件，若UBA，AB，则称A、B两事件对立. 3、已知5.0)(,8 .0)(,6.0)(BAPBPAP,则)(ABP0.4 , )(ABP2/3 . 4、已知,3.0,6 .0BPBAP则BAP0.3 . 5、设)(xF为随机变量X 的分布函数，则)(limxFx= 1 . 6、 设连续型随机变量的概率密度函数为)(xf，则dxxf)(= 1 . 7、已知0,1XN，则31YX. 8.、设A为事件A的逆事件，则)()(APAP1 9、设有随机变量nXXX,21，常数nCCC,21，有nnXCXCXCE2211

89、(= . 三、已知在10 件产品中有2 件次品，在其中抽取两次，每次任取一件，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）两件产品均为正品（ 2）两件产品均为次品（3）一件正品，一件次品（ 4）第二次取出次品第 2 页（共5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 40 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解：记iA=第 i 次取出正品；iB=第 i 次取出次品i=1， 2 （1）45289710812121AAPAPAA

90、P（2）4519110212121BBPBPBBP（3）4516981029210812112121212121BAPBPABPAPABPBAPABBAP（4）519110292108121121212121212BBPBPABPAPBBPBAPBBBAPBP四、设第一个盒子中装有3 只蓝球， 2 只绿球， 2 只白球；第二个盒子中装有2 只蓝球， 3 只绿球， 4 只白球，独立地分别在两个盒子里面各取1 只球。试求： 1、至少有一只蓝球的概率2、已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球和一只白球的概率解：在两个盒子里面各取1 球的取法共有1917CC，两球中只有一只蓝球的取法有12141713CCC

91、C两球均为蓝球的取法有1213CC两球中一只蓝球一只白球的取法有12121413CCCC所以（1）至少有一只蓝球的概率为951917121312141713CCCCCCCC（2）已知至少有一只蓝球，为一只蓝球和一只白球的概率为351612131214171312121413CCCCCCCCCC第 3 页（共 5 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 41 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载五、设电子管的寿命X具有

92、密度函数（单位：小时）01000)(2xxf1000,1000,xx，假设电子管损坏与否相互独立，任选5 只同样的电子管，问其中至少2 只寿命大于1500 小时的概率是多少？3210001500150021500dxxdxxfXP32,5 BY9547. 0323131110123153CYPYPYP六、已知随机变量X的分布律如下：X-2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求XXY2的分布律，以及YDYE,解： （1）4 .03 .023. 011. 001 .0) 1(2.02)(iipxXE又4 .23 .023 .011.001.0) 1(2 .0)2()(2

93、222222iipxXE24.216.04 .2)()()(22XEXEXD故4.0)(XE，24.216.04 .2)()()(22XEXEXD（2）因X-2 -1 0 1 2 XXY22 0 0 2 6 所以Y0 2 6 P 0.2 0.5 0.3 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 42 页，共 43 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载第 4 页（共5 页）8 .23 .065 .022. 00)(iipyYE又8.123

94、.065. 022 .00)(22222iipyYE96.48 .28 .12)()()(222YEYEYD故8.2)(YE，96.48.28.12)()()(222YEYEYD七、设国际市场上对某种出口商品的需求量X（单位：吨）是随机变量，且服从区间2000,4000上的均匀分布，每销售一吨商品，可为国家赚取外汇3 万元；若销售不出，则每吨商品需贮存费1 万元，问：应组织多少货源，才能使得国家受益最大？解：随机变量Y 表示国家受益，假设组织货源t 吨，显然要求40002000t，则有tXtXtXttXgY43,由题意知： X 的概率密度函数为其他04000200020001)(xxfX则ttXdxtdxtxdxxftxgYE200040003420001,=62104700010001tt3500,07000210001ttdtYdE则应组织3500 吨货源，才能使得国家受益最大。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 43 页，共 43 页 - - - - - - - - -