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1、学习必备 欢迎下载 选修 4-1 几何证明选讲 A 组(供高考题型为填空题的省份使用) 1如图，BD，AEBC，ACD90 ，且 AB6，AC4，AD12，则BE_. 解析 AC4，AD12， ACD90 ， CD2AD2AC2128， CD8 2. 又 AE BC， B D，ABEADC， ABADBECD， BEAB CDAD68 2124 2. 答案 4 2 2如图，A，E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC4，ADBC，垂足为 D，BE 与 AD 相交于点 F，则 AF 的长为_ 解析 如图，连接 CE，AO，AB.根据 A，E 是半圆周上的两个三等分点，BC为直径， 可得 CEB9
2、0 ， CBE30 ， AOB60 ， 故 AOB 为等边三角形，AD 3，ODBD1， DF33， 学习必备 欢迎下载 AFADDF2 33. 答案 2 33 3如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，CBAB，ABADa，CDa2，点E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF_. 解析 连接 DE，由于 E 是 AB的中点，故 BEa2. 又 CDa2，AB DC，CB AB， 四边形EBCD 是矩形 在 Rt ADE 中，ADa，F 是 AD 的中点，故 EFa2. 答案 a2 4.如图，已知 PA，PB 是圆 O 的切线，A，B 分别为切点，C 为圆 O 上不与 A，B重合的另
3、一点，若ACB120 ，则APB_. 解析 如图，连接 OA，OB， PAO PBO90 ， 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 ACB120 ， AOB120 .又 P，A，O，B 四点共圆，故 APB60 . 答案 60 5如图，点 P 在圆 O 直径 AB的延长线上，且 PBOB2，PC 切圆 O 于 C 点，CDAB于 D 点，则 CD_. 解析 由切割线定理知，C2PA PB，解得 PC2 3.连接 OC，又 OC
4、PC，故 CDPC OCPO2 324 3. 答案 3 6如图，点 A、B、C 都在O 上，过点 C 的切线交 AB的延长线于点 D，若 AB5，BC3，CD6，则线段 AC 的长为_ 解析 由切割线定理，得 CD2 BD AD. 因为 CD6，AB5，则 36BD(BD5)， 即 BD25BD360， 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 即(BD9)(BD4)0，所以 BD4. 因为 A BCD，所以 ADCCDB，于是AC
5、CBCDBD. 所以 ACCDBD BC64392. 答案 92 7如图，在ABC 中，C90 ，A60 ，AB20，过 C 作ABC 的外接圆的切线 CD，BDCD，BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为_ 解析 由题意，得弦切角 BCD A60 ， ACB D90 ， ABCCBD. ABCBACCD，CDCB ACAB20sin 60 20cos 60205 3. 又 CD与 圆 相 切 ， CD2 DE DB ， 则 DE CD2DB 5 32CBsin 6025320sin 60 sin 605. 答案 5 8如图，O 的割线 PBA 过圆心 O，弦 CD 交 PA于点 F，且C
6、OFPDF，若 PBOA2，则 PF_. 解析 由相交弦定理可得 BF AFDF CF， 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 由 COFPDF 可得CFPFOFDF， 即得 DF CFPF OF. BF AFPF OF， 即(PF2) (6PF)PF (4PF)，解得 PF3. 答案 3 9如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB和 DC 相交于点 P.若PBPA12，PCPD13，则BCAD的值为_ 解析
7、P P， PCB PAD， PCBPAD.PBPDPCPABCAD. PBPA12，PCPD13，BCAD66. 答案 66 10如图，AB是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，延长 BC 到 D 使 BCCD，过 C作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB6，ED2，则 BC_. 解析 C 为 BD 中点，且 AC BC，故 ABD 为等腰三角形ABAD6，AE4，DE2，又AEACACADAC2AE AD4624，AC2 6， 在 ABC 中，BCAB2AC236242 3. 答案 2 3 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上
8、且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 11如图，已知 RtABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm，4 cm，以 AC为直径的圆与 AB 交于点 D，则 BD_cm. 解析 如图，连接 DC，则 CD AB， Rt ADC Rt ACB. 故ADACACAB，即AD335， AD95(cm)， BD595165(cm) 答案 165 12 如图所示， 直线 PB 与圆 O 相切于点 B， D 是弦 AC 上的点， PBADBA.若 ADm，ACn，则 AB_. 解析 直线PB 与圆相切于点 B，且 PBA D
9、BA， ACB ABP DBA，由此可得直线 AB 是 BCD 外接圆的切线且 B 是切点，则由切割线定理得 AB2AD ACmn，即得 AB mn. 答案 mn 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 13如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E， 与 AB相交于点 F， AF3，FB1，EF32，则线段 CD 的长为_ 解析 由相
10、交弦定理得 AF FBEF FC， FCAF FBEF2.由 AFCABD， 可知FCBDAFAB， BDFC ABAF83. 由切割线定理得 DB2DC DA，又 DA4CD， 4DC2DB2649， DC43. 答案 43 14如图所示，已知圆中两条弦 AB与 CD 相交于点 F，E 是 AB延长线上一点，且 DFCF 2，AFFBBE421.若 CE 与圆相切，则线段 CE 的长为_ 解析 设 AF4k，BF2k，BEk，由 DF FCAF BF，得 28k2，即 k12.所以 AF2，BF1，BE12， AE72.由切割线定理，得 CE2BE EA127274，所以 CE72. 形学习
11、必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 答案 72 15如图，点 D 在O 的弦 AB 上移动，AB4，连接 OD，过点 D 作 OD 的垂线交O 于点 C，则 CD 的最大值为_ 解析 当 OD 的值最小时，DC 最大，易知 D 为 AB 的中点时，DBDC2最大 答案 2 B 组(供高考题型为解答题的省份使用) 1如图，ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明：ABEADC； (2)若ABC 的面积 S1
12、2AD AE，求BAC 的大小 (1)证明 由已知条件， 可得BAECAD.因为AEB与ACB 是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC. (2)解 因为ABEADC，所以ABAEADAC， 即 AB ACAD AE. 又 S12AB ACsinBAC， 且 S12AD AE， 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 故 AB AC sinBACAD AE. 则 sinBAC1， 又BAC 为三角形内角， 所以BAC90
13、 . 2(2014 辽宁卷)如图，EP 交圆于 E，C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且PGPD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB垂直 EP，垂足为 F. (1)求证：AB为圆的直径； (2)若 ACBD，求证：ABED. 证明 (1)因为 PDPG，所以PDGPGD. 由于 PD 为切线，故PDADBA， 又由于PGDEGA， 故DBAEGA. 所以DBABADEGABAD， 从而BDAPFA. 由于 AFEP，所以PFA90 ，于是BDA90 . 故 AB是直径 (2)连接 BC，DC. 由于 AB是直径，故BDAACB90 . 在 RtBDA 与 RtACB 中，
14、ABBA，ACBD， 从而 RtBDARtACB，于是DABCBA. 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 又因为DCBDAB，所以DCBCBA， 故 DCAB. 由于 ABEP，所以 DCEP，DCE 为直角 于是 ED 为直径由(1)得 EDAB. 3如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A点作直线 AP 垂直直线 OM，垂足为 P. (1)证明：OM OPOA2； (2)N 为线段 AP 上一点，直线
15、 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点过 B 点的切线交直线 ON 于 K.证明：OKM90 . 证明 (1)因为 MA 是圆 O 的切线，所以 OAAM.又因为 APOM， 在 RtOAM 中，由射影定理知，OA2OM OP. (2)因为 BK 是圆 O 的切线，BNOK，同(1) ，有 OB2ON OK，又 OBOA，所以 OP OMON OK， 即ONOPOMOK.又NOPMOK， 所以ONPOMK，故OKMOPN90 . 4如图，已知在ABC 中，ABAC，D 是ABC 外接圆劣弧上的点(不与点 A，C 重合)，延长 BD 至 E. (1)求证：AD 的延长线平分CDE； (2
16、)若BAC30 ， ABC 中 BC 边上的高为 2 3， 求ABC 外接圆的面积 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 (1)证明 如图，设 F 为 AD 延长线上一点 A、B、C、D 四点共圆， CDFABC. 又 ABAC，ABCACB， 且ADBACB， ADBCDF. 又EDFADB， 故EDFCDF， 即 AD 的延长线平分CDE. (2)解 设 O 为外接圆圆心，连接 AO 交 BC 于 H， 则 AHBC. 连接
17、 OC，由题意OACOCA15 ，ACB75 ， OCH60 . 设圆半径为 r，则 r32r2 3， 得 r2，ABC 外接圆的面积为 4. 5如图，梯形 ABCD 内接于O，ADBC，过点 C 作O 的切线，交 BD 的延长线于点 P，交 AD 的延长线于点 E. (1)求证：AB2DE BC； (2)若 BD9，AB6，BC9，求切线 PC 的长 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 ABCD，EDCBCD. 又 PC 与
18、O 相切，ECDDBC. CDEBCD.DCBCDEDC. CD2DE BC，即 AB2DE BC. (2)解 由(1)知，DEAB2BC6294， ADBC，PDEPBC， PDPBDEBC49. 又PBPD9， PD365，PB815. PC2PD PB36581554252.PC545. 6如图，直线 AB为圆 O 的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明：DBDC； (2)设圆的半径为 1，BC 3，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径 (1)证明 如图，连接 DE，则DCBDEB， 形学习
19、必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 DBBE， DBCCBE90 ，DEBEDB90 ， DBCCBEDEBEDB， 又CBEEBFEDB， DBCDEBDCB， DBDC. (2)解 由(1)知：CBEEBFBCE， BDECDE， DE 是 BC 的垂直平分线， 设交点为 H，则 BH32， OH13412， DH32， tanBDE323233， BDE30 ， FBEBDE30 ， CBFBCF90 ， BFC90 ， BC 是BCF 的外接圆直径 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得学习必备 欢迎下载 BCF 的外接圆半径为32. 形学习必备欢迎下载答案如图在直角梯形中点分别为线段的中点则解析共圆故答案如图点在圆直径的延长线上且切圆于点于点则解析由切割线案如图在中过作的外接圆的切线与外接圆交于点则的长为解析由题意得
