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1、专题13 双曲线中的定点、定值、定直线问题限时:120分钟 满分:150分一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1P为椭圆上异于左右顶点,的任意一点,则直线与的斜率之积为定值,将这个结论类比到双曲线,得出的结论为:P为双曲线上异于左右顶点,的任意一点,则()A直线与的斜率之和为定值 B直线与的斜率之积为定值C直线与的斜率之和为定值 D直线与的斜率之积为定值2已知直线l:与双曲线C:交于P,Q两点,QHx轴于点H,直线PH与双曲线C的另一个交点为T,则()ABC1D23已知A,B是双曲线:1(a0,b0)的左、右顶点,动点P在上且P在
2、第一象限若PA,PB的斜率分别为k1,k2,则以下总为定值的是( )Ak1k2B|k1k2|Ck1k2D4已知双曲线,为坐标原点,为双曲线上两动点,且,则()A2B1CD5已知,是双曲线的焦点,是过焦点的弦,且的倾斜角为,那么的值为( )A16B12C8D随变化而变化6已知双曲线:的渐近线方程为,且焦距为,过双曲线中心的直线与双曲线交于两点,在双曲线上取一点(异于),直线,的斜率分别为,则等于()ABCD7已知双曲线的离心率为3,斜率为的直线分别交F的左右两支于A,B两点,直线分别交F的左、右两支于C,D两点,交于点E,点E恒在直线l上,若直线l的斜率存在,则直线的方程为()ABCD8数学美的
3、表现形式多种多样,其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置,我们称(其中)的双曲线为黄金双曲线,若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点,以原点O为圆心,实轴长为直径作,过P作的两条切线,切点分别为A,B,直线与x,y轴分别交于M,N两点,则()ABCD二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.9已知双曲线的左、右焦点分别为、,点在双曲线上,下列结论正确的是()A B双曲线的渐近线方程为C存在点,满足 D点到两渐近线的距离的乘积为10已知A,B分别为双曲线的左、右顶点,P为该曲线上不同于A,B的任意一点设的面积为S,则()A
4、为定值B为定值C为定值D为定值11已知点P为双曲线上任意一点,为其左、右焦点,O为坐标原点过点P向双曲线两渐近线作垂线,设垂足分别为M、N,则下列所述正确的是()A为定值BO、P、M、N四点一定共圆C的最小值为D存在点P满足P、M、三点共线时,P、N、三点也共线12已知双曲线的左,右焦点分别为,点P是双曲线C的右支上一点,过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M,N,则()A的最小值为8B若直线l经过,且与双曲线C交于另一点Q,则的最小值为6C为定值D若直线l与双曲线C相切,则点M,N的纵坐标之积为三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13设P是双曲线
5、右支上任一点,过点P分别作两条渐近线的垂线,垂足分别为E、F,则的值为 14已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线(且)与双曲线交于A,B两点,直线,的斜率的倒数和为,则直线恒经过的定点为 .15双曲线的离心率为,分别是的左,右顶点,是上异于的一动点,直线分别与轴交于点,请写出所有满足条件的定点的坐标 .16已知双曲线,过点的动直线与C交于两点P,Q,若曲线C上存在某定点A使得为定值,则的值为 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17从双曲线上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,点分别是双曲线的左、右顶点,点,且,.(1)求双曲线的方程;(2
6、)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点,直线与直线交于点,证明:点在定直线上.18已知双曲线过点,且焦距为.(1)求的方程;(2)已知过点的动直线交的右支于两点,为线段上的一点,且满足,证明:点总在某定直线上.19已知双曲线的焦距为,点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程;(2)点是双曲线上异于点的两点,直线与轴分别相交于两点,且,求证:直线过定点,并求出该定点坐标.20已知点为双曲线上一点,的左焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程;(2)不过点的直线与双曲线交于两点,若直线PA,PB的斜率和为1,证明:直线过定点,并求该定点的坐标.21已知双曲线:实轴长为4(在的左侧),双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程;(2)设过的直线与双曲线交于,两点,记直线,的斜率为,请从下列的结论中选择一个正确的结论,并予以证明.为定值;为定值;为定值22已知双曲线的右焦点,右顶点分别为,点在线段上,且满足,直线的斜率为1,为坐标原点.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线的右支相交于,两点,在轴上是否存在与不同的定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.