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1、经济数学基础期末复习第1章 函 数复习知识点：函数的概念、函数的奇偶性、复合函数、分段函数、基本初等函数和初等函数、经济分析中的几个常见函数、建立函数关系式复习规定：( 1 )理解函数概念， 掌握求函数定义域的方法， 会求初等函数的定义域和函数值；( 2 ) 了解复合函数概念， 会对复合函数进行分解；( 3 ) 了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；( 4 )知道初等函数的概念， 理解常数函数、 幕函数、 指数函数、 对数函数和三角函数( 正弦、余弦、正切和余切) 的解析表达式、定义域、重要性质及图形：( 5 ) 了解需求、供应、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；下面我们来
2、看例题.例 1 设/ ( x ) = x + l ,则 / ( / * ) + 1 ) =( ) .A . x B.x + 1 C. x + 2 D .x + 3解 由于x ) = x + l ,得 / ( / ( x ) +1 ) = ( / ( x ) +1 ) + 1 = / ( X ) + 2将 f(x) = x +1 代入，得 f(f(x) + l) = ( x + l) + 2 = x + 3对的答案:D例2 下列函数中，( ) 不是基本初等函数.A . y = ( ) v B. y = I n x2 C . y = D. y =e c osx解 由于y = l n /是由y =
3、i nM , a = /复合组成的， 所以它不是基本初等函数对的答案:B例3设函数/ ( x ) = 0TT ITA ./ ( -) = / ( -) B. / ( 0 ) = / ( 2万 )4 4CJ(0) = /(-2T) D.咛=乎解 由于 一2 % 0时，x si n，仍然是无穷小量. 所 以li m x si n = 0 .x x对的答案：0例6 若li m f ( x ) = A，则/ ( 处在点工。 处( )X T*。A .有定义 B .没有定义 。C .极限存在 D .有定义，且极限存在解函数在一点处有极限与函数在该点处有无定义无关.对的答案：Cx+1 x 0例7当k 时，
4、/( x ) = 在x = 0处仅仅是左连续.x1+k x0+即当 = 1时，/( x )在x = 0不仅是左连续，并且是连续的.所以， 只有当上w 1 时， /( X ) 在X = 0仅仅是左连续的.对的答案： w l“ I 八 什 ” 、 冗 n l. . f ( x + A r ) - f ( x ) ,例 8 右 /( x ) =c os ,则 - - - - - - - - - - - - - - -= ( ) .4 A x收 八 , 7 1 . 7CA . O B . C . - s i n o D . s i n 2 4 4TT解 由于/( x ) =c os 是常数函数， 常数
5、函数是可导的， 并且它的导数是0 .4所以由导数定义可得1 i m 史 = / ( 0 ) = 0A r 0 A r对的答案:ATT注意：这里的_ /( X ) =CO Sz 不是余弦函数.例 9 曲线y = d- 无在点( 1 , 0 )处的切线是( ) .A . y = 2 x - 2 。 。 。 B. y = - 2x4- 2C. y = 2x + 2 D. y = - 2x - 2解由导数的定义和它的几何意义可知，y ( l ) = ( - -x ) 1 = ( 3 - - 1 ) | =2X= X =1是曲线y = /x 在点( i , o )处的切线斜率，故切线方程是y 0 = 2
6、 ( x l ) ,即 y = 2 x 2对的答案:A例 1 0 已知 y = , 则 y = ( ) .A . x3 B . 3x2 C. 6x D. 6解直接运用导数的公式计算：y =( l x4y = x3, 0v9 + s i n3 x - 3xx 5x + 4 - - - - - - -XT4 - x - 1 2 l i m (XT13 x 1x2 - 1 x- i)( 1 ) 解 对分子进行有理化， 即分子、分母同乘J9 + s i n3 x + 3 ， 然后运用第一重要极限和四则运算法则进行计算. 即l i m1 0j 9 + s i n3 x - 3x=11m (j9 + si
7、n 3 R + sin 3 x+ 3 )a 。 x ( j 9 + s i n3 x + 3 )= l i ms i n 3 尤xx l i m . 1 = 3 x 1 = 1s。 j 9 + s i n3 x + 3 6 2( 2 ) 解 将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再用四则运算法则和连续函数定义进行计算. 即l i m 3 + 4 = 园 (x -4 )(1 )x f 4 x - x - 1 2 x4 ( x - 4) (x + 3 )= 丽3 = 乂 = 33 ( x + 3 ) 4 + 3 7( 3 ) 解 先通分, 然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义
8、进行计算. 即. 3 x 1 ( 3 x ) ( x + 1 )l i m ( - - - - - - - - - -) = l i m - - - - - - - - - - - - - - -x - i 1 - i x - 1 ( x - l ) ( x + l )r- 2 1= l i m - - - - = - 1X f 1 X + 1例 12求下列导数或微分：( 1 ) 设 y = (4 + l ) ( 3 l ) , 求 dy .( 2 ) 设丫 = J x + e* s i nx ,求 dy .( 3 ) 设丁 = 05 6 + 1 1 1 1 - - -， 求 y .2x 一
9、1( 1 ) 角 吊 由于 y ( V +1 ) ( 1 ) = y/x H广yJX yJX且 yf = (-Vx + - J=)r = - - - =- - -= - - - - - - - 7 =( 1 + - )Nx 2 j x 2 Vx3 2jx Xdy =- -( 1 + ) dx2 j尢 x注意：求导数时，要先观测函数， 看看能否将函数化简， 若能， 应将函数化简后再求导数，简化计算过程.导数运算的重点是复合函数求导数， 难点是复合函数求导数和隐函数求导数.解由于. 一号e“ s i n打 + e* + e： c os %2 j x + e s i nx 2ylx + ex s i
10、 nx. 7 l + ex( c os x + s i nx ) ,所以 dy = ydx = - - - -1 - dx2 j x + e， s i nx )( 3 )解 yr = ( c os V- l n( 2 x - l ) )r= - s i nVx - ( Vx )r- - - - - = - =s i n Vx +- -2.x 1 2 J x 2 x 1复合函数求导数要注意下面两步：分清函数的复合环节，明确所有的中间变量；依照法则依次对中间变量宜至自变量求导，再把相应的导数乘起来.第3章 导 数 的 应 用复习知识点：函数的单调性、函数的极值和最大( 小) 值、导数在经济问题中的
11、应用复习规定：掌握函数单调性的判别方法， 会求函数的单调区间；了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法， 知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值；了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；纯熟掌握求经济分析中的应用问题( 如平均成本最低、收入最大和利润最大等) .下面通过例题复习本章重点内容例 1 3 函数/( x ) = x I n x的单调增长区间是.解 由 于 fx) = ( x - I n x )f = 1 -x令 . ( x ) = l 得 1X故函数的单调增长区间是( 1 , + 8 ) .对的答案： ( 1 , + 8 )例 1 4
12、 满足方程/ ) = 0的点是函数y = f(x)的 () .A.极大值点 B . 极小值点 C . 驻点 D,间断点解 由驻点定义可知，对的答案：C例 1 5 下列结论中() 不对的.A . /( x ) 在龙=与 处连续， 则一定在X0处可微.B . . f( x ) 在 x = x ( ) 处不连续，则一定在和 处不可导.C . 可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D . 若 /( 幻 在 小 6 内恒有/ ( x ) 0 , 则 在 a , 6 内函数是单调下降的.解由于函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，对的答案: A求经济分析中的最值问题是本课程的重点之一， 要掌握运用函
13、数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题的方法.下面举一个求获得最大利润时的产量的应用问题， 而其它两种类型的应用问题请大家自己练习.例 1 6 生产某种产品q 台时的边际成本C ( q) = 2 . 5 q + 1 0 0 0 ( 元 /台 ) ， 固定成本50 0元，若已知边际收入为R( q) = 2 q + 2 0 0 0 , 试求( 1 ) 获得最大利润时的产量；( 2 ) 从最大利润的产量的基础再生产1 0 0台, 利润有何变化？解(1) L = R -C = 2g + 2000(2.5q + 1000) =0.5 + 1000令 = 0 ,求得唯一驻点q =
14、 2000. 由于驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2023时，可使利润达成最大.(2)在利润最大的基础上再增长1 00台, 利润的改变量为2100= ( -与2 +1000公2000(2100= -2500 AL = 1皿( 0.5g + 1000 )dq。即利润将减少2500元.第4章 一元函数积分学复习知识点：原函数、不定积分和定积分概念、积分的性质、积分基本公式、第一换元积分法、分部积分法、无穷限积分复习规定：理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念, 知道不定积分与导数( 微分) 之间的关系；纯熟掌握积分基本公式和直接积分法；掌握第一换元积分法( 凑微分法) 、分部积分法；(
15、 4 )知道无穷限积分的收敛概念，会求简朴的无穷限积分.下面通过例题复习本章重点内容例 17 假如 J/(x)dx = sin2x + c ,则 /(x ) =.解根据不定积分的性质可知/( x ) = ( j/( x W = (Sin2x + cy = 2cos2x且 f(x)= (2cos2x) = -4sin2x对的答案： 4sin2x例1 8 设/( x )的一个原函数是e- 2 ， ,则/( x ) = (。 ).A . e2 B . -2e2x C . - 4 e 2 x D . 4e-2x。 解 由于/( x )的一个原函数是e -21故/( x ) = (e-2 x)=-2e2
16、x所以对的答案：B例1 9 广义积分 ( ，e2 vdx = _J 00解 由于 f e2 xdA - = l i m -e2x = l i m -(l -e2a)=-JF a- 2 2 2所以对的答案：-2r x3例2 0 计算不定积分J解用第一换元积分法求之. - d x =J 4 + x2?4 +x 2x ：,2dx2T ( i-44 + x2)d x2= y -21 n (4 + x2) + c例2 1南 ,卜 算 定积分J。x c o s % x d x解用分部积分法求之.x c o s乃_ x d x = -x s i n % x - - f s i n x d xJo 7t 0
17、1 2= COS-X = -乃 一 0 万 一例22.计算定积分 J： ： s i n杷解 由于， 当0 %O Ms i n X = s i n x ;当 % v x v 27r 时,s i n x v 0,即卜 i n = s i n x ;向根=s i r u u i r +(-s i n x )d r= - c o s ：+c o s x | ： =1 + 1 + 1 + 1 = 4第 5 章 积 分 应 用复习知识点：积分的几何应用、积分在经济分析中的应用、常微分方程复习规定：(1 )纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；(2) 了解微分方程的几个概
18、念，掌握简朴的可分离变量的微分方程的解法， 会求一阶线性微分方程的解.用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量，一般出现在应用题中， 并且经常与导数应用中求最值问题相联系， 所以一定要综合应用所学的知识求解应用问题.有关的例题，我们在第3章中已经讲过， 这里就不在举例了.微分方程中的基本概念是指微分方程、阶、解(也就是通解、特解)，线性微分方程等,这些概念大家要比较清楚的.比如例 23 。 )3 + e -2, = 0 是 阶微分方程.解 由于微分方程(y )3 +e -2x y = 0 中所含未知函数的导数的最高阶数是2 次，所以它是2 阶微分方程.对的答案：2例 24 微
19、分方程y = y的通解是y =() .A . 0.5x2 + c B . c e * C . cex D . y = e + c解用可分离变量法很容易求解， 因此，对的答案: B例 25 求微分方程y = 满足初始条件y (0) = 0 的特解.解 将微分方程y = e 2， -变量分离，得 e 、 d y = e 2 k , 等式两边积分得ev = - e2v +c2将初始条件y (0) = 0代入，得c = l /2.所以满足初始条件的特解为：e = 0.5(e2x + 1 )第6章 数 据 解 决考核知识点：总体与样本、重要特性数复习规定：了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、
20、众数和中位数等概念， 掌握它们的计算方法；例26 设 一 组 数 据 % =0,超 =1 0，与=2 0,其权数分别为1 =0.1 ,， 2=0-6,“ 3 = S3 ,则这组数据的加权平均数是( ).A . 1 2 B . 1 0 C . 6 D . 4解 由 于 加 权 平 均 数 是3p .x . =0.1 x 0 + 0.6x 1 0+0.3 x 20 = 1 2i=i所以， 对的答案：A第七章随机事件与概率复习知识点：随机事件与概率、事件的关系与运算、概率的加法公式与乘法公式、事件的独立性复习规定：知道随机事件的概念，了解事件互不相容和对立事件等概念，；了解概率的概念及性质，会计算简
21、朴古典概型问题；了解条件概率概念， 掌握概率的加法公式和乘法公式；(4 )理解事件独立概念， 掌握有关计算.下面举几个例题来说明这一章的重点.例2 7. 对任意二事件A ,B ,等式( ) 成立.A. P(AB) = P(A)P(B) B. P(A + 3) = P(A) + P(B)C.P(A|B)=P(A) (P (B )HO) D. P(AB) = P(A)P(BA) (P (A )HO)解 由 概 率 乘 法 公 式 可 知 ，对的答案:D例28 掷两颗均匀的骰子， 事 件 “ 点数之和为3”的概率是( ).11- 1A. B. C. D.36 18 12111解 两颗均匀的骰子的“
22、点数之和”样本总数有6x6 =3 6个，而 “ 点数之和为3”的事件具有：1+2和2+1两个样本，因此，该事件的概率为2 .18对的答案：B例2 9 .假设事件A,8互相独立，已知尸(A) = 0.3, P(3) = 0 .6 ,求事件4与3只有一个发生的概率.解 A与8只有一个发生的事件为：A B + A B ,且 与 初 是 互 斥 事 件 ， 于是PAB + M ) = P(A 历 + P(AB) = P(A)P(历 + P(A)P(B)= 0.3 x (l-0.6) + (l-0.3)x 0.6=0.54例3 0 .己知 P( A) = 0.7, P(B)=0.3, 口4月 )=0.5
23、,求 (川3).解 由于A = A8+A耳， 且AB与A是互斥事件，得P(A) = P(AB) + P(A有 )所以，尸 邓 ) = 久坐=地心幽=口丝= 2 。1 P(B) P(B) 0.3 3例3 1有甲、 乙两批种子, 发芽率分别是0.85和0.75,在这两批种子中各随机取一粒,求至少有一粒发芽的概率.解 设A表达甲粒种子发芽,B表达乙粒种子发芽，则A, 8独立， 且尸 (A ) = 0 . 1 5 , P ( B ) = 0 . 2 5故至少有一粒发芽的概率为：P (A + B ) = 1 -P ( A + 8) =1- P A B )= 1 - P(A )P(B ) = 1 - 0
24、. 1 5 x 0 . 2 5 = 0 . 9 6 2 5例 3 2 已知事件A, 8, C互相独立， 试证( A + 6 )与C互相独立.证 由于事件A , B ,C互相独立， 即P(AC) = P(A)P(C), P(BC) = P(B)P(C)且 P(A+ B)C1 = P(AC) + P(BC)- P(ABC)= P(A)P(C) + P(B)P(C) 尸(A)P(8)尸(C)= P(A) + P(B) - P(A)P(8)P(C) = P(A + B)P(C)所以( A+8 )与 C 互相独立.第8章 随机变量与数字特性复习知识点：两类随机变量、常见分布(二项分布、泊松分布、均匀分布
25、、正态分布)、盼望与方差复习规定：了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质；了解随机变量盼望和方差的概念及性质，掌握其计算方法； 了 解 二 项 分 布 ， 记住它的盼望与方差；(4 )理解正态分布、标准正态分布，记住其盼望与方差. 纯熟掌握将正态分布化为标准正态分布的方法. 纯熟掌握正态分布的概率计算问题.将一般正态分布X N(,cr2)化为标准正态分布Y N(0,1)的公式：Y = X -Aa它们的概率计算公式:h n a LIP ( a Y b ) =(。 )一(。 )，P ( a X b ) = 0 (出)-D(y a下面举几个例子说明本章的重点：例 3 3 设随机变量X的概
26、率分布为- 1 00 . 1 0 . 2 a 0 . 4则 =.解 根据离散型随机变量的概率分布的性质:ZP =1k对的答案： 0 . 3例 3 4 设 乂 8 (n， p ) , 且 E (X ) = 6 , D (X ) = 3 . 6 , 则 =解 根据二项分布的盼望和方差的定义： (X ) - np- 6, D (X ) - np - p) - 3 . 6得 1 。 = 0 . 6 , p = 0 . 4 , n对的答案：1 5例 3 5设随机变量X的密度函数为/( x ) = ,3 (% - 2 )0a x 3其它求 (1 )常数。 ； E (X )解(1 )根据密度函数的性质 1
27、= f f(x)dx= f33 (x - 2 )2d x = (x - 2 )3|3 = 1 (a- 2) 3J - a o Ja I a得 a = 2/(x )= 3 (x - 2 )2 2 x 30 其它E (X ) = 4 (x )d x = 1 3 x (无一2 )? d x例 3 6 某类钢丝的抗拉强度服从均值为1 0 0 (k g / c n? ), 标准差为5 (k g / c m2) 的正态分布, 求抗拉强度在9 0 1 1 0 之间的概率.(= 0 . 8 4 1 3, (2 ) = 0 . 9 7 7 2 )解 设钢丝的抗拉强度为X , 则X-N (1 0 0 , 5 ?
28、), 且 - - - - - - - - - N (0 , l ).P (9 0 X l l 0 )= P(90-100 X 100 110-100- A = B .矩阵AHO ,3WO ,也许有A B = ( ) .下面举例说明本章的重点：例 3 7 设矩阵A = l - 2 3 , / 是单位矩阵， 则 人丁人/=.-2 3解 由 于 AT = 1 - 2 3-2 4 -63 - 6 9所以假如矩阵运算AT A成立,0-2 30-2 3- 2 3 - 6. 对的答案：- 2 3 - 63-6 83-6 8该例题说明，可转置矩阵不一定是方阵;A 也不一定是方阵.例 3 8 矩阵1000310
29、1-2110100000()0_的 秩 是 （)B.2C. 3D. 4解 化成阶梯形矩阵后， 有 3 个非0 行, 故该矩阵的秩为3.对的答案: C例 39 设 矩 阵 A101- 2B =2 - 3200 - 12计 算（ BA）工解 由 于8 A=2 - 30201- 2- 5 - 32042(BA /)=所以 ( BA) 1- 5 - 3 1 0- 11 142 042 011 - 1 - 11 00 - 24 50 11 %- 21 %- 2 5 / ,1例 4 0 设 矩 阵 A- 3- 3021， 求矩阵A-111 - 11解 由于 A I- 3- 3 20 11000100011
30、11 - 3 2- 0 9 70 4-31 0 0 1 1 3 23 1 0 - 0 - 1 1- 1 0 10 4-31 0 01 1 2- 1 0 11 0 - 1f 0 - 1 10 0 1- 2 - 3 - 6-1 13 41 02 f o i9 J | _ 0 00011 1 3 -2 3 73 4 91 1 3所以 A- = 2 3 73 4 9例 4 1 设 A,8均为”阶对称矩阵，则A8+BA也是对称矩阵.证。 由于 A,B是对称矩阵，即 AT = A, 夕 丁 = 6且 ( AB + BA)r = ( AB) ， +(BA)T = 8 T A1 + Ar Br= BA+ AB
31、 = AB+ BA根据对称矩阵的性质可知，4 B + A 4 是对称矩阵.第 10章 线性方程组复习知识点：线性方程组、消元法、线性方程组有解鉴定定理、线性方程组解的表达复习规定：了解线性方程组的有关概念， 纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解;理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理.非齐次线性方程组4X = b 的解的情况归纳如下：AX = b 有 唯 一 解 的 充 足 必 要 条 件 是 秩 ( 彳 ) =秩(4)=;/X = % 有无穷多解的充足必要条件是秩( 彳) = 秩(A) ；AX 无解的充足必要条件是秩( W) 二秩(A).相应的齐次线性方程组AX = 0 的解的情况为：AX
32、= 0 只有零解的充足必要条件是秩(4)= ;AX0有非零解的充足必要条件是 秩（ ! ） .下面用几个例来说明本章的重点:_ 1 2 2例4 2 若线性方程组的增广矩阵为A = ,则当；1 = （。 ） 时线性方程组2 1 4有无穷多解.A. 1 B. 4 C. 2 D . -2解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，一 1 4 2 1 1 2 2 14 = 2 1 4 ）L0 1 - 2 4 0此线性方程组未知量的个数是2 ,若它有无穷多解， 则 其 增 广 矩 阵 的 秩 应 小 于2 ,即1 - 2九= 0 ,从而4 = 1 .2对的答案：D例4 3 若非齐次线性方程组Am xn X = b的（
33、 ） ， 那么该方程组无解.A .秩（ - n B .秩（ A ） - mC.秩（ A） w 秩（ A ） D .秩（ A） =秩（ A ）解 根据非齐次线性方程组解的判别定理， 得 Ax X = 6无解O 秩 （ A ）H秩 （ 彳）对的答案：C例4 4 求下列解线性方程组的一般解% , - 3尤2 + 2X3 + 尤4 = 0 X 1 + 2 % 2 % 3 + 2 % 4 0% , - 2X2 + 3无3 - 2X4 = 0解 将系数矩阵化成阶梯形矩阵1A = - 11- 3 22 - 1- 2 31 1 32 - 0 1- 2|_ 0 12 11 31 - 31 07 0 10 0- 1 - 8 1 F 11 3 -02 0 00 01 00 1- 8- 30由于，秩 （/ ） = 3 4,所以，方程组有非零解.一般解为x1 - 8X4 0c 0-2 1 -1-5 3 -1-5 3 c-11 20 -50 0-1 13 -10 c可见，当c= 0 时，秩（ A） =秩（ A）23 ,所以方程组有无穷多解. 。1 _53503-5_501 0入T 0 10 0原方程组的一般解为3 1Xl二彳一三尤3 （ 当是自由未知量）尤2 = 1 +广
