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1、追与与相遇追与与相遇问题1、从运动形式看：、从运动形式看： 匀速追匀加速；匀加速追匀速匀速追匀加速；匀加速追匀速 匀速追匀减速；匀减速追匀速匀速追匀减速；匀减速追匀速 匀加速追匀减速；匀减速追匀加速匀加速追匀减速；匀减速追匀加速 综合类追击综合类追击2、从时间看：、从时间看： 同时运动追和不同运动时追同时运动追和不同运动时追 运动中追和被追者停止后追运动中追和被追者停止后追3、从初始运动位置看：、从初始运动位置看： 同地追和异地追同地追和异地追一、追与问题的类型一、追与问题的类型1.定义定义 同向运动的两物体在相同时刻到达相同的同向运动的两物体在相同时刻到达相同的 ,称为后面的物体追上了前面的
2、物体称为后面的物体追上了前面的物体.2.在两个物体的追与过程中：在两个物体的追与过程中： (1)当追者的速度小于被追者的速度时当追者的速度小于被追者的速度时,两者的距离两者的距离在在 。(2)当追者的速度大于被追者的速度时当追者的速度大于被追者的速度时,两者的距离两者的距离在在 ;(3)当两者的当两者的 相等时相等时,两者之间的距离有极值。两者之间的距离有极值。 是最大值，还是最小值，视实际情况而定。是最大值，还是最小值，视实际情况而定。3.临界条件临界条件追和被追的两物体追和被追的两物体 是能追上、追不上、两者之是能追上、追不上、两者之间的距离有极值的临界条件间的距离有极值的临界条件.二、追
3、与和相遇问题的核心位置位置速度相等速度相等增大增大减小减小速度速度三、解题思路分析三个物理量的联系三、解题思路分析三个物理量的联系 讨论追与、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在讨论追与、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时刻，能否到达相同的位置的问题。相同时刻，能否到达相同的位置的问题。2两个关系：时间关系和位移关系两个关系：时间关系和位移关系1一个条件：两者速度相等一个条件：两者速度相等 两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者距离最大、最小的临界条件，是分析、计算的切入点。距离最大、最小的临界条件，是分析、计算的切入点。分析思路：分析
4、思路： 运动轨迹的草图与运动图象运动轨迹的草图与运动图象 甲一定能追上乙。甲一定能追上乙。v甲甲= v乙乙的时的时 刻为甲、乙有最大距离的时刻刻为甲、乙有最大距离的时刻。 判断判断v甲甲= v乙乙的时刻，甲乙的位置情况：的时刻，甲乙的位置情况：假设甲在乙前那么能追上，并相遇假设甲在乙前那么能追上，并相遇两次。两次。假设甲乙在同一处，那么甲恰能追假设甲乙在同一处，那么甲恰能追上乙。上乙。假设甲在乙后面，那么甲追不上乙，假设甲在乙后面，那么甲追不上乙，此时是相距最近的时候。此时是相距最近的时候。情况同上情况同上提醒：假设涉与刹车问题，提醒：假设涉与刹车问题，要先求停车时间，再判别！要先求停车时间，
5、再判别！ 例例1.1.匀减速追匀速匀减速追匀速 一辆客车在平直公路上以一辆客车在平直公路上以30 m/s30 m/s的速度行驶的速度行驶, ,突然发现突然发现 正前方正前方40 m40 m处有一货车正以处有一货车正以20 m/s20 m/s的速度沿同一方向匀的速度沿同一方向匀 速行驶速行驶, ,于是客车立即刹车于是客车立即刹车, ,以以2 m/s22 m/s2的加速度做匀减速的加速度做匀减速 直线运动直线运动, ,问此后的过程中客车能否会撞到货车上问此后的过程中客车能否会撞到货车上? ? 解析解析 在客车追上货车前在客车追上货车前, ,当当v v客客vv货时货时, ,两车的距离将两车的距离将不
6、不 断减少断减少; ;假设假设v v客客vx+Lx客客, ,两车不会相撞两车不会相撞. . 答案答案 不会相撞不会相撞例例2.2.匀减速追匀速匀减速追匀速 甲火车以甲火车以4 m/s4 m/s的速度匀速前进的速度匀速前进, ,这时乙火车误入同一轨道这时乙火车误入同一轨道, ,且以且以20 m/s20 m/s的速度追向甲车的速度追向甲车, ,当乙车司机发现甲车时两车当乙车司机发现甲车时两车仅相距仅相距125 m,125 m,乙车立即以乙车立即以1 m/s21 m/s2的加速度制动的加速度制动. .问两车是问两车是否会发生碰撞否会发生碰撞? ?解析解析 设乙车制动设乙车制动t t s s后后,v,
7、v甲甲=v=v乙乙, ,即即v v甲甲=v0-at=v0-at 代入数据得代入数据得t=16 st=16 s 此时此时x x甲甲=v=v甲甲t=64 mt=64 m x x乙乙=v0t- =192 m=v0t- =192 m 因为因为(x(x甲甲+125)m=189 mx+125)m=189 mxA。可见，A追上B前,物体B已经静止。 设A追上B经历的时间为t，那么 t= 答案 8 s1. 运动的两物体追与就称为相遇.2.相向运动的物体,当各自发生的 大小之和等于开始时两物体的距离时，就称为相遇.3.怎样分析相遇问题? 相遇问题的主要条件是： 两物体在相遇处的位置相同 (1)利用两物体相遇时必
8、处在同一位置,寻找两物体位移间的关系. 注意:两个物体运动时间之间的关系. (2)寻找问题中隐含的临界条件. (3)常用联系图象法和相对运动的分析方法.四、相遇问题同向同向位移位移一一. .不计反应时间的避碰不计反应时间的避碰例例4 4由于某种错误致使两列车相向行驶在同一轨道上由于某种错误致使两列车相向行驶在同一轨道上, ,两车两车司机同时发现了对方司机同时发现了对方, ,同时刹车同时刹车, ,设两车的行驶速度分别为设两车的行驶速度分别为54 km/h54 km/h和和36 km/h,36 km/h,刹车加速度分别为刹车加速度分别为1.5 m/s1.5 m/s2 2和和0.5 m/s0.5 m
9、/s2 2, ,两司机需在多远处同时发现对方，才不会相碰两司机需在多远处同时发现对方，才不会相碰? ? 解析解析 从开始刹车到停止运动两车所行驶的路程分别为从开始刹车到停止运动两车所行驶的路程分别为 x x1 1= m =75 m= m =75 m x x2 2= m =100 m= m =100 m x x= =x x1 1+ +x x2 2=175 m=175 m 两车需在相隔两车需在相隔175 m175 m处刹车才不相碰处刹车才不相碰.例5.为了安全,在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.某高速公路的最高限速为120 km/h。假设前方车辆突然停止,后车司机从发现这一情况开始，经操纵刹
10、车到汽车开始减速所经历的时间为(即反应时间)t=0.5 s,刹车时汽车加速度为4 m/s2.那么该段高速公路上汽车间应保持的最小距离是多少?2、考虑反应时间的避碰 解析 在反应时间内在反应时间内, ,汽车做匀速直线运动汽车做匀速直线运动, ,运动的距运动的距 离离x x1 1为：为： x x1 1= =v v0 0t t= 0.5 m= m= 0.5 m= m 刹车时汽车的加速度的大小刹车时汽车的加速度的大小 a a= 4 m/s= 4 m/s2 2 自刹车到停下汽车运动的距离自刹车到停下汽车运动的距离x x2 2为：为： x x2 2= = 所以所以汽车的间距至少应为：汽车的间距至少应为：
11、x x= =x x1 1+x+x2 2= = 答案答案 156 m156 m追击问题的一题多解例例6 6一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s3m/s2 2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s6m/s的速度匀速从后边超过汽车。求：汽车从路口开的速度匀速从后边超过汽车。求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？此时距离是多少？ x汽汽x自自x分析：此题为同时同地追与问题分析：此题为同时同地追与问题方法
12、一：公式法方法一：公式法当汽车的速度与自行车的速度相等当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时时，两车之间的距离最大。设经时间为间为t t，那么，那么x汽汽x自自x 那么，汽车经过多少时间能追上自行车那么，汽车经过多少时间能追上自行车? ?此时汽车的速度是此时汽车的速度是多大多大? ?汽车运动的位移又是多大？汽车运动的位移又是多大？方法二：图象法方法二：图象法解：画出自行车和汽车的速度解：画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移时间图线，自行车的位移x自等于自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽那么等于汽那么
13、等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离那么等其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离那么等于图中矩形的面积与三角形面积的差。不难看出，当于图中矩形的面积与三角形面积的差。不难看出，当t=t0时矩形时矩形与三角形的面积之差有极大值。与三角形的面积之差有极大值。v/ms-1自自行行车车汽车汽车t/so6t0V-t图像的斜率表示物体的加速度：图像的斜率表示物体的加速度：当当t=2s时两车的最大距离为：时两车的最大距离为：动态分析：随着时间的推移动态分析：随着时间的推移,矩形矩形面积面积(自行车的位移自行车的位移)与三角形面积与三角形面积(汽车的位移汽车的位移)的差的变化规律。的
14、差的变化规律。方法三：二次函数极值法方法三：二次函数极值法设经过时间设经过时间t汽车和自行车之汽车和自行车之间的距离间的距离x，那么，那么x汽汽x自自x 那么，汽车经过多少时间能追上自行车那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多此时汽车的速度是多大大?汽车运动的位移又是多大？汽车运动的位移又是多大？方法四：相对运动法方法四：相对运动法选自行车为参照物，那么从开始运动到两车相距最远过程中，以选自行车为参照物，那么从开始运动到两车相距最远过程中，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：理量的分别为
15、：v0=-6m/s，a=3m/s2，v=0 对汽车由公式对汽车由公式 问：问：xm= - 6m中负号表示什么意思中负号表示什么意思？以自行车为参照物以自行车为参照物,公式中的各个量都公式中的各个量都应是相对于自行车应是相对于自行车的的.注意：物理量的注意：物理量的正负号正负号. 表示汽车相对于自行车是向后运动的表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车其相对于自行车的位移为向后的位移为向后6m. 知识小结知识小结 初速度小者追速度大者的三种典型情况总结类型类型图象图象说明说明匀加速甲匀加速甲追匀速乙追匀速乙设设x x0 0为开始时两物体间的距为开始时两物体间的距离，离，x x是是t t0
16、 0时间内乙比甲多时间内乙比甲多走的距离。则：走的距离。则：t t= =t t0 0以前以前, ,两物体间距离增两物体间距离增大大t t= =t t0 0时时, ,两物体相距最两物体相距最远为远为x x0 0+x xt t= =t t0 0以后以后, ,甲物体比乙物体甲物体比乙物体快，两者间距减小快，两者间距减小只能相遇一次，相遇时刻只能相遇一次，相遇时刻由方程求出：由方程求出： x x甲甲=x=x乙乙+ +x x0 0匀速甲追匀速甲追匀减速乙匀减速乙匀加速甲匀加速甲追匀减速追匀减速乙乙 初速度大者追速度小者时3种典型情况小结类型类型图象图象说明说明匀减速甲匀减速甲追匀速乙追匀速乙设设x x0
17、 0是是t=0t=0时甲乙间的距离，时甲乙间的距离，x x是是t t0 0时间内甲比乙多走的距离。时间内甲比乙多走的距离。开始追时甲乙间的距离在减小。开始追时甲乙间的距离在减小。当当t t= =t t0 0两物体速度相等时：两物体速度相等时：若若x x= =x x0 0，则恰能追及，则恰能追及, ,且两且两物体只能相遇一次。物体只能相遇一次。这也是甲乙避碰的临界条件。这也是甲乙避碰的临界条件。若若x x x x0 0, ,则相遇两次。则相遇两次。其中相遇时刻其中相遇时刻t t1 1和和t t2 2由下列方程由下列方程求出：求出： x x甲甲= =x x0 0+x+x乙乙匀速甲追匀速甲追匀加速乙
18、匀加速乙匀减速甲匀减速甲追匀加速追匀加速乙乙练习两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后以相练习两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后以相同速度匀速行驶。某时刻前车突然以恒定加速度刹车。同速度匀速行驶。某时刻前车突然以恒定加速度刹车。在它刚停止时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。在它刚停止时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。前车在刹车过程中行驶距离前车在刹车过程中行驶距离S，上述过程中要使两车不，上述过程中要使两车不相撞，那么两车在匀速运动时，保持的距离至少应为相撞，那么两车在匀速运动时，保持的距离至少应为 A. SB. 2SC. 3SD. 4S B 两次相遇问题两次相遇问题例例7乙车在前面
19、做初速度为零、加速度为乙车在前面做初速度为零、加速度为a的的匀加速直线运动匀加速直线运动, 甲车在后面做速度为甲车在后面做速度为v的匀速的匀速运动运动.开始时两车相距开始时两车相距s,求求(1)假设经假设经t时间相遇时间相遇,甲车、乙车通过的位移为甲车、乙车通过的位移为多少多少? 解：解：x1=vt x2=1/2at2(2)假设两车相遇假设两车相遇,应满足什么关系应满足什么关系?解：由相遇条件得：解：由相遇条件得：x1=x2+s 即即vt=(1/2) at2+s 整理得整理得 at2 2vt-s=0 (3)满足什么条件时，能相遇一次、两次、不能满足什么条件时，能相遇一次、两次、不能相遇相遇?解
20、：解： 思维拓展 如果乙车在后面追甲车,有相遇两次的可能吗? 答案：只能相遇一次. 方法归纳 判别式法应用时应注意: (1)由位移关系列方程,方程有解说明相遇的时间存在, 可以相遇(或追上).当=0有一解,只能相遇(或追上)一次当0有两解,两次相遇(或追上)当=0.28180 m/s=50.4 m/s 30 m/s 30 m/s 乙错乙错, ,因为因为t t= = 正确解法正确解法: :摩托车的最大速度摩托车的最大速度v vm m= =atat1 1 atat1 12 2+ +v vm m( (t t- -t t1 1)=1 000+)=1 000+v vt t 解得解得a a=0.56 m/
21、s=0.56 m/s2 2 答案答案 甲、乙都不正确甲、乙都不正确, ,应为应为0.56 m/s0.56 m/s2 2 例例1010升降机以升降机以10 m/s10 m/s的速度匀速下降时的速度匀速下降时, ,在升降机底板在升降机底板 上方高上方高5 5米的顶部有一螺丝脱落米的顶部有一螺丝脱落, ,螺丝经多长时间落到升螺丝经多长时间落到升 降机的底板上降机的底板上? ?如果升降机以如果升降机以2 m/s22 m/s2的加速度匀加速下降的加速度匀加速下降, , 脱离的螺丝经过多长的时间落到升降机的底板上脱离的螺丝经过多长的时间落到升降机的底板上? ? g=10 m/s2 g=10 m/s2 思路
22、剖析思路剖析 (1) (1)当升降机匀速运动时当升降机匀速运动时: : 升降机与螺丝的相对初速度是多少升降机与螺丝的相对初速度是多少? ?相对加速度是多少相对加速度是多少? ? 答答 相对初速度为相对初速度为0, 0,相对加速度为相对加速度为g. g. 螺丝落到地板上时螺丝落到地板上时, ,螺丝相对升降机的位移为多少螺丝相对升降机的位移为多少? ? 答 5 m 落到地板上用多少时间? 答 s1= s=1 s (2)当升降机以2 m/s2的加速度匀加速下降时: 升降机与螺丝的相对初速度和加速度分别为多少? 答 相对初速度为0,相对加速度为a=(10-2)m/s2=8 m/s2 螺丝落到地板上时,
23、螺丝相对升降机的位移为多少? 答 5 m 落到地板上用多少时间? 答 s2= a2t22,那么t2= 答案 1 s s 思维拓展 如果升降机以2 m/s2减速下降呢? 答案 s 方法归纳 假设以地面为参照物,要考虑升降机的速度,解此题非常困 难,假设以升降机为参照物,可以不考虑初速度.给出的升 降机速度在此没有用处,但在升降机加速运动中会出现 相对加速度.例例1111将小球以将小球以30m/s30m/s的初速竖直上抛，以后每隔的初速竖直上抛，以后每隔1s1s抛出一抛出一个，设空中各个球不相碰，个，设空中各个球不相碰，g g取取10m/s210m/s2问问1 1空中最多有几个球？空中最多有几个球
24、？2 2设在设在t=0t=0时第一个球被抛出，那么它应该在哪些时刻时第一个球被抛出，那么它应该在哪些时刻和以后抛出的小球在空中相遇而过？和以后抛出的小球在空中相遇而过？解法一解法一1 16 6个个2 2第一个球在第一个球在t=0t=0时抛出，而第抛出，而第n n个球在个球在t t抛出，抛出，当第一个运当第一个运动t t时，第，第n n个球运个球运动t- t- t ,t ,此此时两球位移两球位移分分别为： x=v0t-1/2gt2 x=v0t-1/2gt2 ， x=v0(t- x=v0(t- t )-1/2g(t- t )-1/2g(t- t)2t)2由由x= xx= x得：得： t=1/2 t
25、=1/2 t +v0/g=0.5 t +v0/g=0.5 t +3t +3当当t =1st =1s时，t=3.5s t=3.5s ，此，此时与第与第2 2个球相遇个球相遇当当t =2st =2s时，t=4.os t=4.os ，此，此时与第与第3 3个球相遇个球相遇当当t =3st =3s时，t=4.5s t=4.5s ，此，此时与第与第4 4个球相遇个球相遇当当t =4st =4s时，t=5.0s t=5.0s ，此，此时与第与第5 5个球相遇个球相遇当当t =5st =5s时，t=5.5s t=5.5s ，此，此时与第与第6 6个球相遇个球相遇解法二解法二 图像法图像法x-tx-t图图练习
26、练习 甲、乙两个同学在甲、乙两个同学在直跑道上练习直跑道上练习4100 m4100 m接力接力, ,他们在奔跑时有相同的最大速他们在奔跑时有相同的最大速度度. .乙从静止开始全力奔跑需乙从静止开始全力奔跑需跑出跑出25 m25 m才能达到最大速度才能达到最大速度, ,这一过程可看作匀加速直线运动这一过程可看作匀加速直线运动, ,现在甲持棒以最大速现在甲持棒以最大速度向乙奔来度向乙奔来, ,乙在接力区伺机全力奔出乙在接力区伺机全力奔出. .假设要求乙接棒假设要求乙接棒时奔跑达到最大速度的时奔跑达到最大速度的80%,80%,那么那么: : (1) (1)乙在接力区需奔跑出多少距离？乙在接力区需奔跑出多少距离？ (2) (2)乙应在距离甲多远时起跑？乙应在距离甲多远时起跑？解析 (1)设两人奔跑的最大速度为v v2=2ax (0.8v)2=2ax x=25m 由比例关系得：x=16 m 故乙在接力区需奔出的距离16 m (2)设乙在距甲为x0处开始起跑,到乙接棒时跑过的距离 为x,那么vt = x0+x, 又x=16m= 所以vt=40m 解得x0=24 m 答案 (1)16 m (2)24 m
