面面平行的判定和性质面面平行的判定和性质 一一. 面、面平行的定义与表示方法面、面平行的定义与表示方法平行平面的定义平行平面的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面叫做平行平面. 记作记作α//β.1.两个平面的位置关系两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点符号表示图形表示没有公共点有一条公共直线 2. 平行平面的平行平面的画法画法：在画两个平面平行时，通常把表示这两：在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线平行线.一般画法一般画法错误画法错误画法 思考题：思考题：1 1、如果一个平面内的一条直线与另一个平面、如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行，能否说明平面与平面平行？平行，能否说明平面与平面平行？2 2、要求一个平面内的多少条直线与另一个平、要求一个平面内的多少条直线与另一个平面平行才可判定两个平面平行呢？面平行才可判定两个平面平行呢？通过上面的两个问题，我们感觉到判定面面平行通过上面的两个问题，我们感觉到判定面面平行转化为线面平行时不是条数的问题，而是要求一转化为线面平行时不是条数的问题，而是要求一个平面内的直线之间具备某种关系。
个平面内的直线之间具备某种关系 二、两个平面平行的判定• 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．M A②②图形语言：图形语言：③③符号语言：符号语言： 已知：在平面已知：在平面 内有两条直线内有两条直线 、、 相交且和相交且和 平面平面 平行．平行． 求证：求证： 证明：证明：( (用反证法用反证法) ) 假设假设 ．． 同理同理这与题设这与题设 和和 是相交直线矛盾．是相交直线矛盾． 判定定理简而言之为：判定定理简而言之为：一交，一交，两在，两在，两平两平行线面平行线面平行 面面平行面面平行 A 推论推论:如果一个平面内有两条相交如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直直线分别平行与另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行线，那么这两个平面平行mn 练习：练习： 判断下列命题是否正确，并说明理由．判断下列命题是否正确，并说明理由．（（1）若平面）若平面α内的两条直线分别与平面内的两条直线分别与平面β平行，则平行，则α与与β平行；平行；（（2）若平面）若平面α内有无数条直线分别与平面内有无数条直线分别与平面β平行，则平行，则α与与β平行；平行；（（3）平行于同一直线的两个平面平行；）平行于同一直线的两个平面平行；×××（（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；（（5））a、、b为异面直线，且分别在平面为异面直线，且分别在平面α和和β内，若内，若 a// β , b // α ,则则α//β。
(6)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．．××√ 例题例题1. 已知三棱锥已知三棱锥P－－ABC中，中，D，，E，，F，分别是，分别是PA，，PB，，PC的中点，求证：平面的中点，求证：平面DEF//平面平面ABC证明：在证明：在△△PAB中，因为中，因为D，，E分别是分别是PA，， PB的中点，的中点， 所以所以DE//AB，， 因此因此DE//平面平面ABC，，又知又知DE 平面平面ABC，，FEDCBAP同理同理EF//平面平面ABC，，又因为又因为DE∩EF=E，， 所以所以 平面平面DEF//平面平面ABC 例例1. 如图，在长方体如图，在长方体 中，中， 求证：平面求证：平面 平面平面 . ABDCD'C'B'A'证明：证明：是平行四边形是平行四边形平面平面平面平面又又平面平面平面平面同理：同理：平面平面平面平面 思考：如果两个平面平行，那么思考：如果两个平面平行，那么（（1）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？由思考一可以得到证明线面平行的另一种方法，由思考一可以得到证明线面平行的另一种方法，即可以用面面平行证明线面平行即可以用面面平行证明线面平行（（2）分别在两个平面内的两条直线是否平行？）分别在两个平面内的两条直线是否平行？ （可以由反证法说明）（可以由反证法说明）（线面无交点）（线面无交点）4 .平面与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理:符号语言：符号语言：α//β，，α∩γ=a，，β∩γ=b，则，则a//b.如果两个平行平面同时和第三个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行相交，那么它们的交线平行. 与与 没有公共没有公共点点与与 也没有公共点也没有公共点证明证明:已知：已知： α//β，，α∩γ=a，，β∩γ=b，求证：，求证：a//b. 练习练习2.（（1）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例成比例.已知：平面已知：平面α//平面平面β//平面平面γ，两条直线，两条直线l，，m分别与平面分别与平面α、平、平面面β、平面、平面γ相交于点相交于点A、、B、、C和点和点D、、E、、F，， 求证：求证： 证明：连接证明：连接DC，设，设DC与平面与平面β相交于相交于点点G，则平面，则平面ACD与平面与平面α，，β分别相交分别相交于直线于直线AD，，BG，，平面平面DCF与平面与平面β，，γ分别相交于分别相交于直线直线GE，，CF，， 因为因为 α//β，，β//γ，所以，所以BG//AD，，GE//CF，， 于是得于是得 所以所以 （（2））. 已知三棱锥已知三棱锥P－－ABC中，中，D，，E，，F，分别是，分别是PA，，PB，，PC的中点，求证：平面的中点，求证：平面DEF//平面平面ABC。
证明：在证明：在△△PAB中，因为中，因为D，，E分别是分别是PA，， PB的中点，的中点， 所以所以DE//AB，， 因此因此DE//平面平面ABC，，又知又知DE 平面平面ABC，，FEDCBAP同理同理EF//平面平面ABC，，又因为又因为DE∩EF=E，， 所以所以 平面平面DEF//平面平面ABC （（3））.已知已知a∥∥β , AB和和DC为夹在为夹在α、、β间的平行线段间的平行线段求证：求证： AB＝＝DC.证明：证明： 连接连接AD、、BC∵∵AB//DC∴∴ AB和和DC确定平面确定平面AC 又因直线又因直线AD、、BC分别是平面分别是平面 AC与平面与平面α、、β的交线，的交线， ∴∴AD//BC，四边形，四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. ∴∴AB＝＝DC 性质：夹在两个平行平面间的平行线段相等性质：夹在两个平行平面间的平行线段相等性质：经过平面外一点只有一个平面和已知性质：经过平面外一点只有一个平面和已知 平面平行。
平面平行 两个平面平行的其它性质：两个平面平行的其它性质：性质：如果两个平面平行，那么其中一个平性质：如果两个平面平行，那么其中一个平 面内的所有直线一定都和另一个平面平行面内的所有直线一定都和另一个平面平行 1.六棱柱的表面中六棱柱的表面中,互相平行的面最多有互相平行的面最多有_________对对.2.如图如图,设设E,F,E1,F1分别是长方体分别是长方体ABCD－－A1B1C1D1的棱的棱AB, CD, A1B1, C1D1的中点的中点.求证求证:平面平面ED1∥∥平面平面BF1ABCDA1B1C1D1EE1FF1分析分析:在其中一个平面内在其中一个平面内找两条相交直线平行另一找两条相交直线平行另一个平面即可个平面即可.4 3. 已知已知a、、b为异面直线，求证过为异面直线，求证过a、、b分分别存在平面别存在平面α和和β，且，且α//β.提示：在提示：在a上取一点上取一点A，过，过A作直线作直线b’//b，，同样在同样在b上取一点上取一点B，作直线，作直线a’//a，，则则a和和b’确定平面确定平面α，，b和和a’确定平面确定平面β，且，且α//β. 例例1. 如图，在长方体如图，在长方体 中，中，E为为 上任意一点上任意一点 求证：求证：AE// 平面平面 . 证明：证明：是平行四边形是平行四边形平面平面平面平面又又平面平面平面平面同理：同理：平面平面平面平面D'C'又因为又因为AE 面面所以所以AE// 平面平面 . ABDCB'A'E 。