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1、高三一轮复习数学（理）高三一轮复习数学（理）高三一轮复习数学（理）高三一轮复习数学（理）第二章第二章第二章第二章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用函数、导数及其应用函数、导数及其应用补充专题一：抽象函数补充专题一：抽象函数制作：制作：制作：制作： 八仙中学八仙中学八仙中学八仙中学 朱朱朱朱 俊俊俊俊合作软件：合作软件：合作软件：合作软件： 几何画板几何画板几何画板几何画板 数学编辑器数学编辑器数学编辑器数学编辑器第一轮复习的策略：第一轮复习的策略： 1.1.全面复习，突出重点全面复习，突出重点全面复习，突出重点全面复习，突出重点 全面、系统地掌握高中数学的基础知识，深刻理解基本概念，正确掌
2、握定理、原理、法则、公式，并形成记忆、形成技能；把相关的知识相连结，融会贯通、着眼联系、互相渗透、灵活应用2.2.夯实基础，提炼方法夯实基础，提炼方法夯实基础，提炼方法夯实基础，提炼方法 数学思想和方法的是对数学知识在更高层次上的抽象和概括，要与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，对数学思想和方法的理解；强化对通性通法的学习与应用，淡化特殊的技巧，突出对数学思想方法应用的掌握。 3.3.加强联系、形成知识网络加强联系、形成知识网络加强联系、形成知识网络加强联系、形成知识网络 加强课本上各知识点的联系，对知识系统化网络化，加深对知识的理解和记忆，避免简单的重复和机械的记忆，把所学的知识形成网络
3、化，形成体系，基本达到综合、灵活应用的水平。抽象函数如水无形，却处处存在！抽象函数如水无形，却处处存在！抽象函数在数学教材中并没有给出抽象函数在数学教材中并没有给出具体的概念和性质，以及抽象函数具体的概念和性质，以及抽象函数问题的解决方法，但是在高考中却问题的解决方法，但是在高考中却经常存在，且以多种考察形式出现，经常存在，且以多种考察形式出现，所以对抽象函数归纳和补充复习对所以对抽象函数归纳和补充复习对于使函数知识系统化网络化尤为重于使函数知识系统化网络化尤为重要。要。抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质的特征。例如苹果、香蕉、梨、葡萄、桃子等，它们共同的特性就是水
4、果。得出水果概念的过程，就是一个抽象的过程。要抽象，就必须进行比较，没有比较就无法找到在本质上共同的部分。一一. . 抽象抽象数学中我们通过把数学中我们通过把基本函数基本函数的共同特性抽取得出来，且没有的共同特性抽取得出来，且没有给出具体解析式的函数称为给出具体解析式的函数称为抽象函数抽象函数。例如：。例如：f f( (x x1 1x x2 2) )f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2) )是正比例函数型抽象函数.抽象函数没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特抽象函数没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点，也是与大学殊条件的
5、函数，它是中学数学函数部分的难点，也是与大学高等数学的衔接点，从而也就成为了高考中的一个热点与难高等数学的衔接点，从而也就成为了高考中的一个热点与难点。点。大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得。而得。由于这类问题可以全面考查对函数概念和性质的理解，同时由于这类问题可以全面考查对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现。周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现。二二. .抽象函数抽象函数1满足
6、解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是正比例函数型抽象函数2满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是对数函数型抽象函数3满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的指数函数型抽象函数 4满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的幂函数型抽象函数 抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型：抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型： 当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。的一种函数。抓住函数中的某抓住函数中的某些性质，通过局些性质，通过局部性质或图象的部性质或图象的局部特征，利用局部特征，利用常规
7、数学思想方常规数学思想方法（如法（如赋值法，赋值法，图像性质法、恒图像性质法、恒等变形等变形等）。等）。高考题和平时的高考题和平时的模拟题中经常出模拟题中经常出 现现 。 抽象性较强；抽象性较强；综合性强；综合性强； 灵活性强；灵活性强； 难度大。难度大。 没有具体给出函没有具体给出函数解析式但给出数解析式但给出某些函数特性或某些函数特性或相应条件的函数相应条件的函数三三.高考中的抽象函数高考中的抽象函数概念概念概念概念题型特点题型特点题型特点题型特点解题思路解题思路解题思路解题思路2014年陕西数学高考题（理）年陕西数学高考题（理）四四. .抽象函数问题的解决策略抽象函数问题的解决策略解答抽
8、象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识。解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识。如果连基本的函数知识都没有掌握，解决抽象函数如果连基本的函数知识都没有掌握，解决抽象函数问题只能是空谈。具体说，学好函数要掌握常见函问题只能是空谈。具体说，学好函数要掌握常见函数的性质。例如，中学涉及的数的性质。例如，中学涉及的函数性质函数性质一般有一般有单调单调性性、奇偶性奇偶性、有界性有界性（最值）（最值）、对称性对称性及及周期性周期性；常见的基本函数有常见的基本函数有正比例函数正比例函数、一次函数一次函数、反比例反比例函数函数、二次函数二次函数、指数函数指数函数、对数函数对数函数、幂函数幂函数、对勾函数对勾
9、函数（ ）等）等. .1.特殊值法特殊值法特殊值法是处理抽象函数选择题的有力特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质，选择方法。根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。可以解决大部分选择题。（1）求证： ；（2）求证：为偶函数；例题例题例题例题1 1 1 1、设函数 （，且任意实数满足），对证明：证明：（1）令再令（2）令再令，即为偶函数。2.图像性质法图像性质法抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题利用它的性质图象直接来解题。【解
10、析解析】 （图解法）（图解法）据题设条件作据题设条件作 y=f (x)草图草图(右右). 在图中找在图中找出出 f(x)与与x异号的部分异号的部分,可以看出可以看出 x f(x) 0的解集为的解集为 x|0 x 3或或 -3 x 0，选，选D. 【例例2 2】 若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f (-3)=0，则则 x| x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0【解题反思解题反思】 f f ( (x x) )是个抽象函数，千万不要去想是个抽象函数，千万不要去想 f f (
11、 (x x) )的解的解析式析式. . 思维取向不能先考虑一般，而是在一些思维取向不能先考虑一般，而是在一些特殊条件上特殊条件上“不择手段不择手段”. .2024年8月19日163.递推法递推法解决抽象函数的方法和技巧多种多样，解决抽象函数的方法和技巧多种多样，除了除了合理赋合理赋值，整体思考，借助特殊点，值，整体思考，借助特殊点，还可以还可以利用递推式利用递推式法法来逐步递推来求解，来逐步递推来求解，有的时候需要运用多种方法和有的时候需要运用多种方法和手段手段.2024年8月19日17分析：分析：这同样是没有给出函数表达式的这同样是没有给出函数表达式的抽象函抽象函数，其一般解法是根据所给关系
12、式进行递推，数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出若能得出 （T T为非零常数）为非零常数）则则 为周期函数，为周期函数，且周期为且周期为T。例例3 3、设、设定义在定义在R R上且对任意的上且对任意的有有，求证：，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。是周期函数，并找出它的一个周期。2024年8月19日18 证明：证明：已知得由（3）得由（3）和（4）得上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。2函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)（ ）13C.22D.13A13B2C课内练习课内练习1. 设 定义在(0,+)上的增函数,且则 03.鉴于时
13、间关系和所复习的进度本节课就讲这些。鉴于时间关系和所复习的进度本节课就讲这些。鉴于时间关系和所复习的进度本节课就讲这些。鉴于时间关系和所复习的进度本节课就讲这些。关于抽象函数的内容还有很多，希望大家今后关于抽象函数的内容还有很多，希望大家今后关于抽象函数的内容还有很多，希望大家今后关于抽象函数的内容还有很多，希望大家今后善于思考、善于积累，学习取得大得进步！善于思考、善于积累，学习取得大得进步！善于思考、善于积累，学习取得大得进步！善于思考、善于积累，学习取得大得进步！内容小结内容小结 以上列举了求解抽象型函数问题的常规解题思想，以上列举了求解抽象型函数问题的常规解题思想，当然对于用常规思想难以解决的当然对于用常规思想难以解决的 数学问题，若利用一些数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，如合理赋值、类比联想特殊的数学思想方法求解，如合理赋值、类比联想;归纳归纳猜想等等。处理这类问题时，常需将几种解题思想综合运猜想等等。处理这类问题时，常需将几种解题思想综合运用，用，多管齐下多管齐下。通过抽象型函数问题的解题思想的探求，。通过抽象型函数问题的解题思想的探求，提高解题能力，培养思维的灵活性，最终达到创新思想的提高解题能力，培养思维的灵活性，最终达到创新思想的培养。培养。
