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1、 实数知识点归纳及典型例题 Last updated at 10:00 am on 25th December 2020 第十三章实数-知识点总结 一、算术平方根 1. 算术平方根的定义: 一般地,如果 的 等于 a,即 ,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根a的算术平方根记为 ,读作“根号 a”,a 叫做 规定:0 的算术平方根是 0. 也就是,在等式ax2 (x0)中,规定ax 。 理解: ax2 (x0) ax a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的算术平方根 a的算术平方根是 x 2. a的结果有两种情况:当 a 是完全平方数时,a是一个有限数; 当 a 不是一个完全
2、平方数时,a是一个无限不循环小数。 3. 当被开方数扩大(或缩小)时,它的算术平方根也扩大(或缩小); 4. 夹值法及估计一个(无理)数的大小(方法: ) 二、平方根 1. 平方根的定义:如果 的平方等于 a,那么这个数 x 就叫做 a的 即:如果 ,那么 x 叫做 a的 理解: ax2 ax a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的平方根 a 的平方根是 x 2.开平方的定义:求一个数的 的运算,叫做 开平方运算的被开方数必须是 才有意义。 3. 平方与开平方 :3 的平方等于 9,9 的平方根是3 4. 一个正数有 平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数 平方根,即
3、负数不能进行开平方运算 5. 符号:正数 a 的正的平方根可用a表示,a也是 a 的算术平方根; 正数 a 的负的平方根可用-a表示 6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系: 区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个; 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根 1. 立方根的定义:如果 的 等于a,这个数叫做a的 (也叫做 ),即如果 ,那么x叫做a的立方根。 2. 一个数a的立方根,记作3a,读作:“三次根号a”, 其中a叫被开方数,3 叫根指数,不能省略,若省略表示平方。 理解: ax 3 3ax a 是 x 的立方
4、 x 的立方是 a x 是 a 的立方根 a 的立方根是 x 3. 一个正数有一个正的立方根;0 有一个立方根,是它本身; 一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根。 4. 利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即330aa a 。 四、实数 1. 有理数的定义:任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2. 无理数的定义:无限不循环小数叫无理数 3. 实数的定义:有理数和无理数统称为实数 4. 像有理数一样,无理数也有正负之分。例如2,33,是正无理数,2,33,是负无
5、理数。由于非 0 有理数和无理数都有正负之分,实数也可以这样分类: 5. 实数与数轴上点的关系: 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来, 数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数, 实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6. 数a的相反数是a,这里a表示任意一个实数。 7. 实数的绝对值:一个正实数的绝对值是本身; 一个负实数的绝对值是它的相反数; 0 的绝对值是 0。 8. 无限小数是有理数( ) 无限小数是无理数( ) 有
6、理数是无限小数( ) 无理数是无限小数( ) 数轴上的点都可以用有理数表示( ) 有理数都可以由数轴上的点表示( ) 数轴上的点都可以用无理数表示( ) 无理数都可以由数轴上的点表示( ) 数轴上的点都可以用实数表示( ) 实数都可以由数轴上的点表示( ) 五、考点分析 类型一、有关概念的识别 例 1下面几个数:57223064. 0010010001. 1 , 7231 . 03,其中,无理数的个数有 A、1 B、2 C、3 D、4 【变式 1】下列说法中正确的是( ) A、81的平方根是 3 B、1 的立方根是 1 C、11 D、5是 5 的平方根的相反数 【变式 2】如图,以数轴的单位长
7、线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点 A 表示的数是( ) A、 B、 C、2 D、3 类型二、计算类型题 例 2设a26,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 举一反三: 【变式 1】1)的算术平方根是_;平方根是) -27 立方根是_. 3)_, _,_. 【变式 2】求下列各式中的 (1)252x (2)912x (3)643x 类型三、数形结合 例 3. 点A在数轴上表示的数为53,点B在数轴上表示的数为 2,则A,B两点的距离为_ 举一反三: 【变式 1】如图,数轴上表示 1,2的对应点分别为 A,B,点 B 关于点
8、 A的对称点为 C,则点 C 表示的数是( ) A12 B21 C22 D22 类型四、实数非负性的应用 例 4已知026262zyyxx,求33zyx的值。 【变式 1】已知01522cba,求cba的值。 类型五、易错题 例 5判断下列说法是否正确 (1)23的算术平方根是-3 ( ) (2)225的平方根是15 ( ) (3)当 x=0 或 2 时,02 xx ( ) (4)23是分数 ( ) 类型六、实数应用题 例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm,宽为 8cm 的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少。 类型七、引申提高 例 7. 把下
9、列无限循环小数化成分数:0.6 0.23 0.107 一、填空题 1、()2的平方根是 2、若=25,=3,则 a+b= 3、已知一个正数的两个平方根分别是2a2 和 a4,则 a 的值是 4、43 _ 5、若 m、n 互为相反数,则nm5_ 6、大于- 2,小于 10的整数有_个。 7、一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4,则 a= ,x= 。 二、选择题 2ab1、以下语句及写成式子正确的是( ) A、7 是 49 的算术平方根,即749 B 、7 是2)7(的平方根,即7)7(2 C、7是 49 的平方根,即749 D 、7是 49 的平方根,即749 2、下列语句中正确的是( ) A、9的平方根是3 B 、9的平方根是3 C、 9的算术平方根是3 D 、9的算术平方根是3 3、下列语句中正确的是( ) A、任意算术平方根是正数 B 、只有正数才有算术平方根 C、3 的平方是 9,9 的平方根是 3 D 、1是 1 的平方根 三、利用平方根解下列方程 四、解答题 1、若0) 13(12yxx,求25yx 的值。 4、已知052522xxxy,求 7(xy)20 的立方根。