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1、函数逼近与希尔伯特矩阵函数逼近与希尔伯特矩阵切比雪夫多项式切比雪夫多项式勒让德多项式勒让德多项式正交多项式的应用正交多项式的应用数值分析 19函数逼近中的伯恩斯坦多项式，函数逼近中的伯恩斯坦多项式，f(x)C0，1Bezier曲线曲线P0P1P2P32/18引引例例. 求二次多项式求二次多项式 P(x)= a0 + a1x + a2x2 使使连续函数的最佳平方逼近连续函数的最佳平方逼近已知已知 f(x)C0, 1, 求多项式求多项式 P(x) = a0 + a1x + a2 x2 + + an x n使得使得令令3/18系数矩阵被称为系数矩阵被称为Hilbert矩阵矩阵令令记记4/18定定义义
2、6.3 设设 f(x), g(x)Ca, b, (x)是是区区间间a,b上上的的权函数权函数,若等式若等式成立成立,则称则称f(x), g(x)在在a, b上带权上带权(x)正交正交.当当(x)=1时时,简称正交简称正交。 例例1 1 验证验证 0(x)=1, 1(x)=x 在在 1, 1上正交上正交,并求二次多项式并求二次多项式 2(x) 使之与使之与 0(x), 1(x)正交正交解解:4/18 设设 2(x) = x2 + a21x + a22 所以所以, a22= - 1/3 a21=02/3+2a22 = 02a21/3=05/18切比雪夫多项式切比雪夫多项式: T0(x)=1, T1
3、(x)= cos = x, T2(x)=cos2 Tn(x)=cos(n ),由由 cos(n+1) =2 cos cos(n ) cos(n-1) 得得 Tn+1(x) = 2 x Tn(x) Tn-1(x) (n 1)所以所以, T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x2 1 , 1.递递推推公式公式:7/18T0(x)=1,T1(x)=x, T2(x)=2x2 1T3(x)=4x3 3x , T4(x)=8x4 8x2 + 1 前五个切比雪夫前五个切比雪夫多项式图形多项式图形8/18(m n)所以所以, ,切比雪夫多项式切比雪夫多项式在在 1 , 1上带权上带权 正交正交2.
4、切比雪夫多项式的正交性切比雪夫多项式的正交性9/183.切比雪夫多项式零点切比雪夫多项式零点n阶阶Chebyshev多项式多项式: Tn=cos(n ), 或或, Tn( x ) = cos(n arccos x )(k=0,1,n-1 )取取T1=cos =x即即(k=0,1,n-1 )10/184.切比雪夫多项式的极性切比雪夫多项式的极性Tn(x) 的最高次项的最高次项 xn 的系数为的系数为 2n 1 所有最高次项系数为所有最高次项系数为1的的n次多项式中次多项式中, Pn(x)= 21 n Tn(x)则则例如例如 tk= 1+0.2k ( k = 0, 1, 2, , 10)( k =
5、 0, 1, 2, , 10)11/18令令, P11(x) = (x x0)(x x1)(x x10) Q11(x) = (x t0)(x t1)(x t10)则有则有P11(x)Q11(x)12/18勒让勒让德德(Legendre)多项式多项式1.表达式表达式 P0(x) = 1, P1(x) = x(n 1)2. 正交性正交性13/183.递推式递推式 4.零点分布零点分布Pn(x) 的的n 个零点个零点,落入区间落入区间 1, 1中中P2(x)的两个零点的两个零点:P3(x)的三个零点的三个零点:14/18用正交多项式作最佳平方逼近用正交多项式作最佳平方逼近设设P0(x), P1(x)
6、, ,Pn(x)为区间为区间a , b上上的正交的正交多项式多项式, 即即 (k j , k, j = 0,1, n )求求 P(x) = a0P0(x) + a1P1(x) + + anPn(x)使使15/18(k = 0, 1, 2, , n )令令记记 (Pk , f ) = 由于由于则有则有(k = 0, 1, 2, , n ) f(x)的平方逼近的平方逼近16/18例例6 6 在区间在区间1/4, 1上求函数上求函数 f(x) = 的一次的一次多项式最佳平方逼近多项式最佳平方逼近解解: 令令 P0(x) = 1, P1(x) = x 5/8,则则(P0, P0)=3/4, (P1, P1)=9/256, (P0, f ) =7/12, (P1, f )=11/480所以所以, 广义付立叶级数部分和广义付立叶级数部分和17/18最佳平方逼近最佳平方逼近:18/18
