16. 1 二次根式知识梳理1 . 理解二次根式的概念；理解及有意义的条件；会根据二次根式有意义的条件求被开方数中字母的取值范围；2 . 理解二次根式的基本性质；知道等式成立的条件；会利用二次根式的性质化简二次根式：3 .经 历 归 纳 等 式 =时 的过程；体会数学知识之间的联系及其表达形式的转换.二. 例题精讲例 题1. 设x是实数，则当x满足什么条件时，下列各式有意义？( 1) V77T； ⑵、 仁二 ( 3 )正工V 3 x - l x解析：在实数范围内正有意义的条件是2 0 ,所以在含有一个字母的二次根式中，求这个字母的取值范围一般是根据被开放数是非负数列出不等式或不等式组求解.解答：( 1)不论X是什么实数都有X 20,则f+1〉所以当X是任意实数时，+ 1有意义;- 2 1 1( 2 )由- - - - -2 0以及3 x — 1H 0 ,可知3 x — l与一2同号， 得x < —,所以当x < 一时,3 x - l 3 3- - - - -有意义;3 x - l( 3 ) 由《1 - 3 x > 0 1 1得—且x H O ,所以当x W—且X H 0时,说明：本题主要是依据二次根式々有意义的条件，即a 2 0 .但需注意，讨论二次根式的被开方数中字母的取值范围时，不要误解为被开方数只能取正值，而忽略了零也是可以取的值. 在求字母取值范围时，一般先列出不等式或不等式组，在求解. 如果被开方数的分母中含有字母，不要忘了分母不能为零这个条件.例题 2. 化简：( 1) V 2 5X2(X > o ) ； ( 2 ) J( 3 . 14- 万尸； ( 3 ) y/x2 - 10 x + 2 5 ( x > 5 ) .解析：应 用 行 =同进行计算或化简时要注意G的取值范围. 解答：( 1) V W = |4 x |, •. •% > 0 , / . |4 x | = 4 x;即原式= |4 x | = 4 x .( 2 ) J( 3 . 14 — 万 > =[3 . 14 — 舛 ,3 . 14 <% , . •. |3 . 14 — 1 | = - ( 3 . 14 — 3 ) = .一3 . 14 ；即原式= [3 . 14 -/=% 一 3 . 14 .(3 ) x ~ - 1 O x + 2 5 = — 5 ) ' = |x — 5| x > 5 , . ' . |x — 5 | = x - 5 . 即 原 式= yj ( x - 5 )2 = |x - 5 | = x - 5说明：为了避免错误一般先把 厢 化 为 同 ，然后根据。
的正负去掉绝对值，这样做可以避免计算V7时发生符号上的差错. 但它们的结果都是非负数.例题 3 .化简：( 1) J- 2 7 / ； ( 2 ) J —( ^ > 0 ) ； ( 3 ) —- - - -( % > 1) .V 16x x V x2- 2 x + l解析：当被开放数含有平方因数或分母时要化简.解答：( 1) V - 2 7 a3 = V - 32a2 -3a = -3a4-3a ；, c、X- l / x5 x -\ I X4 X x -\ X2 . 、( 3 ) ——J -. . . . . . =——J - - - - - - - =- - - - - - - - - V x ( x > 1) .x v x2 - 2 x +1 x \ ( x - 1) - x x - 1说明：化二次根式为最简二次根式要满足两个条件：( 1)被开放数中各因式的指数都为1；( 2 )被开放数的因数是整数，因式是整式，即根号内不含分母.三 . 达标训练1.填空题( 1) .代数式J 2 x - 1中x的取值范围是.( 2 ) .代数式中x的取值范围是X( 3 ) .计算：7 ( - 67 =； ( 一2 & ) 2 二当x < 0时,V? = ( 4 ) .在一Jo . 5 , - Jab， ,2| \ ,府 ,-5 ，茄 中最简根式为2. 选择题( 5 ) .下列各式中一定是二次根式的是()D . s fa( a > 0 ) .B .)( 7 ) .先化简再求值：+ 其中x = 1. 69 .四. 拓展提高( 8 ) .将下列二次根式化成最简二次根式:⑴ .一a( 2 ) .b4a五. 点击中考( 9 ) . ( 2 0 0 9贺州) 下列根式不是最简二次根式的是)A . ;B . V 6 ；c. V s ；D . V 10 .( 10 ) .( 2 0 0 5长沙) 小明的作业本上有以下四题:① Jl 6 a 4 = 4 a 2 ；② 4 5 a x Jl O a = 5 y[2 a ；③北做错的题是-A.①;— =4 a ； —4 2 a = V a .aB.②；C.③；——(D .) 1 6 . 2⑴最简二次根式知识梳理1 . 能概括最简二次根式，会判别最简二次根式；2 . 将非最简二次根式化为最简二次根式， 通过化简二次根式， 体会研究二次根式的方法.二. 例题精解例 题 1 . 判断下列二次根式是不是最简二次根式：+ 1 0 x + 2 5 .解析：判断是否最简二次根式，看被开方数是否符合两个条件：( 1 ) 被开方数中各因式的指数都为1 ; ( 2 ) 被开方数不含分母.解答： ( 1 ) 745=79x5=375； ( 2 ) - 4 是最简二次根式;( 3 ) . I- ； ( 4 ) yJx2 +1 0 x + 2 5 = J( x + 5 )2 = x + 5 .V1 8 V1 8 x 2 6、例题2 . 把下列二次根式化为最简二次根式：( 1 ) , 4 " [ ( a > 0 ) ； ( 2 ) .( a > 0 ) ； ( 3 ) ( x2 — y2) ( x — y)( x > y > 0 ) .\ 5 a解析：这三题化简的关键看被方数是否存在平方的因数，是否含有分母.( 1 ) 质= 可标= 6 屈；⑵偿= 甯= 等( 。
> ( ) ) ；( 3 ) 7 (X2 - y2) ( x -y ) = J( x _ y ) 2 ( x + y ) =卜一计“ + p( x > ^ > 0 ) .说明：例 ( 1 ) ( 2 ) 中的条件( “> 0 ) ,均是间接得到被开方数中另一个字母的条件，是隐含条件，在讲解中要给学生讲明.三. 达标训练1 . 填空题( 1 ) . 当x取 1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 中的 时，y/x是最简二次根式. (4) . 化简：( 加一〃)J ---- (m> n)=.\ m -n2 .选择题(5) .下列根式中，不属于最简二次根式的是------------------------- ( )A . yj3ci ； B. yj2x + y2 . C. -y/5x ； D . V9.3. 化 简 ：(6) yl45x2y(x < 0); (7) a2^ ( b < 0 )；( 8 )1争x> 0 ).四. 拓展提导)：将下列二次根式化成最简二次根式I 4 + 1(10) y/-a3b(a < b).五. 点击中考(11) ,先化简，再求值：x2 -4 x + 4 / 八 、 廿 a 二---------------x(x + 2 ) ,其中x = j5 .2x-4 1 6 . 2 ⑵同类二次根式知识梳理1 .理解同类二次根式的意义；2 .掌握同类二次根式的合并.二. 例题精解例1 .下列二次根式中，哪些是同类二次根式:解析：判别同类二次根式，先把它化成最简二次根式后，再看被开方数是否相同.解答：. ——.----- =—>/2 ； V3 2 = Jl 6 x 2 = 4 5 / 2 ；V8 V8 x 2 4= 5^xy-y2 = 5y4xy ； \/x^y = . 孙 =x弧.所以J5 , J J J芨是同类二次根式；5历 ? 与 " 豆 是 同 类 二 次 根 式 .例2 .合并同类二次根式：( 1 ) 1 V3 -3 V5 +V1 2 +V2 O ；(2)y/ah + niy[ab - nyfab .解析：合并同类二次根式前，先判别是否最简二次根式，再判别是否同类二次根式.解答：( 1 )原式=；6- 3后 + 2百 + 2石= ( ；+ 2 ) 6 + ( -3 + 2 )指 = [ 百 - 石 ;( 2 )原式+ n)\[ab .三. 达标训练1 .填空题( 1 ) .在一左,回， 我 ， 后， 麻中为同类二次根式的是.( 2 ) .若最简二次根式V 6 x - 5与j7 + 3 x是同类根式，则x =.( 3 ) .若最简二次根式Ja + 2 b与 折 是 同 类 二 次 根 式 ,则 。
b=.⑷. 计算：6亚 + 2亚 = ；2G- 6 = ( 5 ) . 计算：—+ y/x = ； 2 y[ab — — \ [ab = .3 --------- 2 ---------2 . 选择题⑹ . 在 ＜ 2 》 血 ?, 阮 」 42, 点病 中 ，是同类二次根式的有-------( )V 2 V 1 0A . 一组； B .二组； C.三组； D.四组.( 7 ) . 下列各式中，与而 石 是同类二次根式的是---------------------- ( )A . _ + b) ~ ； B. - ，2 伍 + b) ； C . ----- + b ) ，； D.. --------- .a 3 a + b N a + b3 . 简答题( 8 ) . 计算：4 &一 V3 + ^- + —V2 ； ( 9 ) . i f W ： —V x- - V x- - V x V x ；3 2 2 4 8 4( 1 0 ) . 计算： g + 2.四. 拓展提高( 1 1 ) . 当a取什么最小正整数时，J 5 a + 3与G是同类二次根式.( 1 2 ) . 已知J3nl +( 和' " 划薪 是同类二次根式,求加， 〃的值.五. 点击中考( 1 3 ) . ( 2 0 0 7 上 海 ) 在 下列二次根式根式中A.q2 a ； B. ,3 。
- ；, 与正是同类二次根式的是-----C.必； D . Va7() 1 6 . 3 ( 1 )二次根式的加减法知识梳理1 . 类比整式加减运算，归纳二次根式的加减过程；2 . 在掌握最简二次根式和同类二次根式基础上进行二次根式加减.二. 例题精解例1 .计算：( 1 ) 2加 一 半 ；( 2 ) 4后- (回 + 2后)一3 A .解析：二次根式的加减法类似于整式加减法，整式加减法归结为合并同类项，二次根式的加减法归结为合并同类二次根式.解答：( 1 )原 式 = 2 x 3 7 1 — ：啦= 6五 一 : 血= ( 6 -：) 夜 = ， 夜；( 2 )原 式 二 嗜 -( 2 9+ 6肉 —囱 =— 用.说明：计算时，注意先把它化简成最简二次根式，在例2时，先把小数化成分数，再化成最简二次根式，而在去括号时，注意符号改变.例2 .计算：⑴. 3年 + 1岳；( 2 ) 3商 一1历+ V 4+犷 .4 3 2 \ y解析：把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.a 1解答：( 1 )原 式 =—x 4> Jx H— x 3> fx = 3 Vx + y/~X - 4 5 / x ;4 3( 2 )原式= 3y/^ -+ 2 y6 .2 y '说明：在化简时，注意被开方数中的分母放到根号外，仍是分母.三 .达 标 训 练1 .填空题( 1 ) .计算：30 + a = ,2 V 4 00-V 1 000 = ,-V 1 8 + —= .——3 4 ~( 2 ) .计算：V 5 0+ V 1 8 + V 8 =,V 4 8 -V 2 7 -V 1 2 =. 2 . 选择题( 6 ) . A + 2 G - 6 的计算结果是A. y/3 ；B. 1 ；C. 5 7 3 ；D. 6 5 /3 - J 7 5 .( 7 ) . J 万 + J 石减去30 + 2G所得的差是()A . 负数;3 .简答题B . 大 于 1 的数;C. I ；D . 小 于 1 的数.( 8 ) . V 7 5 + 2 j 5 - - 3 V i 0 8 - 8 j - ；( 9 ) . X^ J— — y[^ x . — g y/9x — 2 y.33( 1 0) .解不等式：3aL 有 Y四 .拓 展 提 高( 1 1 ) .己知：a =拒 - 瓜 b = 5 + 也,求 4 % +。
/ 的值.( 1 2 ) .已知x + y = J j 2 01 0 + j 2 009 ,x — y = J j 2 01 0 - J 2 009 ，求孙.五.点击中考( 1 3 ) . ( 2 009 .山西) 计算g一6 =( 1 4 ) . ( 2 009 .湖北) 计算： & +J；- 2 16. 3 ( 2 )二次根式的乘除知识梳理在让学生掌握乘除运算法则的基础上，正确表达运算过程.4a » 4b - Vab(a 0, b 2 0 ) ； ^^ = $(a N 0 , b N O)例题精解例 1 . 计算：⑴ 』加 x 5 血 ；(2) S j - X - y / 2 ;1 6 4—\ jab~ + 2 yla2b .5解析：利用二次根式乘法法则和除法法则计算.解答：(1)原 式LX5V^ = *X4 = 1 0； (2 )M ^ = 8 x ix -V 2 = -V 2 ；2 2 4 4 2(3)原式=(1- —V2 ； (4)原式=，＞ ＜ 」., 加 +a,b - - 4 a b -2 , 3 3 3 5 2 5 a说明：在计算时，被开方数能开尽方的，先把它开出来，在做除法时特别注意把系数相除，系数为1 时，别遣漏.例2 .计算：(1)布+ 石 ；(2)“_寺+解析：第 2 题中在计算时，把 (x-y)看成一个整体.解答：(1)原 式 =J 1 5 + 3XG =石 ＞ 底⑵ 原 式 二 …三乒=* =〒….说明：在 例 1 时，学生注意不能先算6x6, 导致错误， 应先左后右，而例2 中(x-y)是多项式，计算时看成一个整体且注意条件.三 .达 标 训 练1.填空题 ( l ) .x /3 x V 6 =⑶ ;痣 义3五 =( 5 ) j 2 62 -1 02 =( 7 ) .V 2 4 -5 -V 2 =( 9 ) .g 闻+ ；行 =a喈'92 X( 2 ) -V 1 2 x V 4 8 = __ ; ( 4 ) J a% x」2abs =； ( 8)VO^4H-7O7 =1_ ; ( i o ) .-a; ( 6 ) .(。
2 >. ；(叫］X2 .选择题( 1 3 ) .下列运算中，正确的是------------------------------------------ ( :( /) .( 而 了 =/ + ( 岳y =/ + 2 5 ) .( 3 7 3 + V 2 ) ( 3 V 3 -V 2 ) = 9 - 2 = 7 ；( C) .( > /^ - J a +1 ) ( V ^ + a +1 ) =-1( ) .- 1 2 v 7 + 4月=-3 8 .3.简答题/ 、 1( 1 4 ) . -X3( 1 5 ) . 4 \ /^ + ( -5小1? ；( 1 6 ) . ( V 6 -1 ) ( 7 2 + V 3 ) ；( 1 8 ) . - 7^- (b 2 3 V a . . , 1 d 1 —2 yjc i~ — 2 1 ,,..( 1 9 ) . 已知求----------------彳 -------的值.y /3 Q — 1 Cl" — C l四.拓展提高( 2 0) .化筒复合二次根式：二次根式中套叠着二次根式的式子叫做复合二次根式，配方法是化简复合二次根式的重要方法.如 :, 7- 2 c原 式 =J 1 2 _ 2 x l x ( 由2=-^ ( 1 — V 6 ) - = | 1 V d | — V 6 - 1 .727 + 1072原 式 =行 +2x5x6(五 ) 2= 7 ( 5 + V 2 )2 = 7 ( 5 + V 2 )2 = 5 + VI请按照上面的方法化简下列各式：(1) .75-276; (2).79 + 475.五.点击中考( 2 1 ) . ( 2 005 上海) .计算：( 7 2 + 1 ) ( 7 2 -1 ) ;( 2 2 ) . ( 2 008 南通) .计算：( 3 V 1 8 + |V50 - 4^1) -7 3 2 . 16. 3 ( 3 )分母有理化知识梳理1 .理解有理化因式的概念，掌握二次根式加减乘除及混合运算.2 .两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.3 . 2 J3的有理化因式为五；J a - 2的有理化因式为Ja —2 ；a4x + b-Jy的有理化因式为a & + b-Jy .二. 例题精讲例L把下列各式分母有理化：(1) 一 」「；V2 —V3( 3⑵4. ：加) ， 二」 ―解答：( 1)原 式 =五 + 百(V 2 -V3)(V2+ V3)( 向及 +百= 一6一62 _ (扬 2 7 "( 2 )原 式 二1一眄(472 + 710)(472-710)6(472-710) _ 126- 3 M22 ― n原 式 == ( " 份 ( & + 〃 ) = & + %a -h(a - b)(& + 4b)(y/a — >Jb)(yJa + 4b)或 原 式 = +\JU — yJb说 明 ：形 如 。
4± b 6的 有 理 化 因 式 往 往 选 取 正 不b Q ,利用平方差公式(a4x + b-y/y)(a4x - b-Jy) - c T x -b 'y .例2.4 1计算： + ^_ .V5 V5-1解答:原式考+常乐5 4 2 〜 01+ - .4说明: 解此类问题可以先通分，也可以先进行分母有理化，然后在计算. 因此在解题时要根据实际情况选用方法. 三. 达标训练1 . 填空题⑴ ..( 2 ) . y[Z+b的有理化因式是.V 3 - 1( 3 ) . & +%的 有 理 化 因 式 是 . ( 4 ) . V 3-V 2的倒数是.13 - 2 上⑸ . 分母有理化- - -7 = = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； - - - - - -7= =_________ -1 + V2 3 + 2 V3( 6 ) . -3— + V 1 8 - 4 J - = . ( 7 ) . 方程( 4 一 J 7 ) x = 9 的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.V 2 - 1 V2( 8 ) . ( V3 - l ) x > 2 的解是.3 . 简答题( 9 ) (4A/48-3V27)-V3 ； ( 1 0 ) ( 而-4 岳) x ( 一 两 ;、 1 4 6（11）五 一 后 工 ；( 1 2 ) ( V3 + 3 V2 )2；( 1 5 )2c + 3 亚2y[a —3y[hm +n / 、( 1 6 ) — f=—— -j= (in / 7 ) ；N n1 7 rl ( 1 7 ) V5 ( x — y/~5) = V3 ( x + V 3 ) ；( 1 8 ) <也x - y/~5y = V3V5 x - y[3y = V5四. 拓展题( 1 9 ) x、y分别为8 —J T T的整数部分和小数部分，求29一 /的值., . _, VT o _ 3 . V w+3 - V ub / j 1土( 2 0 )已 知 ci = ] — ， b = - 7 = , 求 [ —— ： 的值.7 1 0 + 3 V i o —3 L +: + 1 1 1 6 . 3 （ 4 ）混合运算知识梳理1 . 理解分母有理化的意义；2 . 掌握对分母仅是一个二次根式的代数式的分母有理化;3 . 掌握二次根式的加减乘除混合运算.二. 例题精解例 1 . 计算：( 1 ) . ( 2 ) 。
一； ( 3 )中V CI-V h —2 Ctyjh- hyj C l解析：熟悉有理化因式并熟练运用因式分解. 常见的有理化因式有人与八;(y/a - & )与(日 + y[b).解答：( 1 ) 原 式，(pM]叵厂= & +&或者 a -b _ (Ja)2 -(-Jb)2 _ r- [7坡 11 - 尸 尸' 一 尸 ~ r= - V ci + 7 b .yja -y/h yja -yjh（ 2 ） 原式=石 + 2( V 3 - 2 ) ( > / 3 + 2 )= V3 + 2；⑶ 原 式 =场 诋2 _函)2 ]y/ab(-Ja —y/b)(-Ja + y/b)(-Ja — yjh)Vo _ yfb—yfa + y[b .说明： 例 1 （ 1 ） 可以用分母有理化， 也可以把a - b 化成（ 、 5） 2-（ 、 历了 再因式分解约分,例 1 （ 3 ）也是利用同样的方法，特别注意利用公式4 = （ 、 5） 2 伍 ＞0 ） .例 2.计算：（ 1 ） （ 而——丝 =） + 叵心；（ 2 ） 解 方 程 ： 2 不X-6 G = 3 6X.a-}-yjab a -b\[ab -ba -b/ 、,a^Jah + ab ah 、解答：⑴ 原 式 = ( - - - - - -产- - - - - - - -尸 ) +a + y/ah a + y/aha4ab ab-ab- - - - - - - - / = - - -xa + dab+ 8 ) ( 6 -y/b(\[a -\/b )a\[ab \[a + \[b _五( 五+ 而XU ="； ⑵ 2 底-6 百 = 3 氐，3 氐- 2 氐= - 6 百 ，x = - - V 1 5说明：在做例2⑴ 时 ，特别注意尽量先化简，同时会把。
旅 化 成 ( 后 产 + 奴 ,能提出公因式J 石 ，在例2 ( 2 ) 解方程过程中，注意二次根式的分母有理化的应用.三. 达标训练1 . 填空题N,但 2 4 a — h⑶ . 计算： 行正=——万 =——' 不存=2 2、 t g 、 m -n( 4 ) . 计 算 中 心 ： [ - - - - -\m + n3x — 3 J a + 1 + J t — 1yj x — 1 J a + 1 — J a = 1⑸・计 算 : 空留a + b-2y[aby/~ Q - y[b2 .选择题( 6 ) .后一 1 的有理化因式是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ()(A)# ; ( 5 ) . 1 - V 5； ( Q . 1 + V5 ； (D)#- 1.( 7 ) . 下列各式中， 不是互为有理化因式的是一 一((A) — - 1 与J a — 1 ； (B).y/5 ~ 与 - > / 5 — V2 ；)( C ) . Va 一 6 与 一 yfci + 4b ； (D )aG + b 6与a G - by[y .( 8 ) . 下列各式中，分母有理化错误的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ((A).- r 1-F= V3 - V2 ；V 3 + V 2---- = y 1 ~ 5 - 2.< 5 + 23 . 简答题 (9).计算：V 3 -V 2 X — ^ - ( 7 2 4 + 712).3 -V 2(10) . 计算:125-V 1336V13-V10 4 + V10(11) .当x = 0'时，求代数式+ 的值.y/x + 1 2s/3(y + 1)- 373 .(13) . 已知：x = _」7 = _ / _广, 求 (x + 2 )(y + 2 )的值.V5 + V3 V5 - V3四. 拓展提高(14) .比 较 店 + 后 与 后 + 疗 的 大 小 .五. 点击中考(15). (2009. 辽宁) 先化简，再求值:X +1 / 1 + 工 2——. (1 一一； 一 ) ，x2x其中x = V2 + 1 . 二次根式章节训练选择题（ 每题2分，共1 2分）1 .已知：x = — j=-, y = 2 + A/3,那么x与y的关系是. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （ ）A/3 — 2A . x = y ； B . x = -y ； C . x — — ； D . x - ---.y y2 . J / ， + Y _ a）等于. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （ ）A . 0 ； B . 2。
C . —2 a ； D . - 2 .3 .下列二次根式中最简二次根式为. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （ ）A . y]9x ； B .J ，； C . yj3c 1 2 b ； D . Xx ? — 3 .4 .下列说法中正确的是. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （ ）A .最简根式一定是同类根式； B .任何两个根式都可以化为同类二次根式；C . Jd +V不是最简二次根式；D. 任何根式都可以化为最简根式.5 .下列式子中一定成立的是. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（ ）A . ^22 4 - 32 = 2 + 3 = 5 ； B . N ab = y[a - y[b ；C . J ( - 5 ) ( - 6 ) = y / ~ 5 x V6 ；D . J ( - 2 ) ( - 3 ) = J - 2 x J - 3 .6 .下 列 各 取 值 范 围 内 的 数 能 使 有 意 义 的 是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . （ ）A . x > 1 ； B . x > 8 ； C . x < 8 ； D . x < 1 .二. 填空题（ 每题2分，共2 4分）7 .当x 时二次根式用受有意义. 8 .后 一 1的倒数是9 . 化简： | , （ 3 a V2 ^）2 =.21 0 .分母有理化：』=____________3 V51 1 . (VX+77)(VX- 7 7 )=12. V50 — Vs — 13 .比较大小：4后 _35,-3A/2 _-2V 3.14 .后 -2后的有理化因式为.15. 当x _______时，二 次 根 式 阜 = 有 意 义 .V 5-x1 6 .最简二次根式，2加一1与J34 —3〃 ？ 是同类二次根式, 则m =17. 当x的取值范围是_ _ _ _ _ _18. 如 果 ( 百 一2) x < l,则三 . 计 算 题 ( 每 小 题5分 ，19. (1)2VO5 + V18- - —；(3) V3 + V12-3V18 + 7V2八 , 、3V2 + V320 . ( 1) —----；2V3+V2(3) (Vx + y[y)2 — (y/-x — J— 时，二次根式J3 —2 x在实数范围内有意义.X _____________・共4 0分)(2) 3A/1 8 X — yfi -5 - 2,y/~6 ;6J( 4)海 -2 a B8品⑵闺-(-425 8y )2 ； (4) (6 4- 2V3(3y/2 — 1 ). 四 . 解 答 题 （ 每 小 题8分 ，共2 4分 ）21 .计算：.（ 4 一6 ） + （ & + 后 ） 一 . + / ? - 新 ）w b） .22 .化简：x + Vx ~ — 4 x + 4 . ( x <2).23.己知x-2 j^ -l5 y = 0,求2x + y[x y + 3yx + ^xy - y的 值 (x > 0 f y >0 ).24 . 己 知4- 血 的 整 数 部 分 为a ,小数部分为b.（ 1）求a, b的值；（ 2）计算：a T +b T的值.yl X2 — 4 + 4 — X2 +125 . 已 知 实 数 满 足 》=二 一 ” , 求2x — 3y的值.x -22 6 .已知实数a满足|20 10 - a| +Ja- 20 11 = a ,求代数式。
—20 1（ ） 2的值27. 化简:V2+ VsV10 + V14 + V15 + V21 17. 1 一元二次方程的概念知识梳理1 . 一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式：任何一个关于x的一元二次方程都可以化成a? +hx + c = O( a,b,c是常数，a H 0 )的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般式. 其中a/ , b x, c分别叫做二次项、一次项和常数项， 力 叫做二次项系数和一次项系数.二. 例题精讲例 题1.下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？2( 1) 2x ~ + 3~ = 9 ； ( 2) ( x — 30 )( x + 3) = x ~ — x ； ( 3)- - - - 2 = 0X2( 4 ) 3x -2 y — 2 ； ( 5) 3x ? + 2y + 2 = 2y .解析：判别一个方程是不是一元二次方程，首先要看它是不是整式方程，如果是整式方程，那么可把方程进行整理，若得到的方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次， 则原方程就是一个二次方程. 本题中( 2)整理后得到的方程式不是一元二次方程;( 5)整理后得到的方程式是一元二次方程.解答：只 有( 1)和( 5)是一元二次方程，其他的都不是一元二次方程.例2.将下列关于x的一元二次方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.( 1) 6 x ? = 3x + 2 ； ( 2) x ? — a( 3x — 2 a + b) — b~ = 0 .解析：一元二次方程的一般形式是：等号左边是关于未知数的降塞排列，右边是0 ,方程( 2)中的a , 6均为常数.解答：( 1)移项，得6万2- 3%一2 = 0 ,二次项系数是6 , 一次项系数是- 3,常数项是- 2.( 2) 去括号，合并同类项，得*— 3ax + 2a2— ab — / =0,二次项系数是1, 一次项系数是一3a,常数项是2a2 一外―三. 达标训练 1 . 填空题( 1) . 一元二次方程的一般形式是 ..( 2) .在下列方程中：3X2=2X, 2x - 3x y = 5y J。
，ax 、3x + l = 0 ( a 是常数)，= 4 , 是一元二次方程的是 一 .( 3) . 当机 时,方程( 加2 - 1)X2 一( 〃 ? + i )x + 3 = 0 是关于x的一元二次方程.( 4 ) . 把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数：①.2X2+1=5X;一 一 般式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _二次项为, 一次项系数为, 常数项.②. 2x ( x + l )= 3x - 3一般式：二次项为, 一次项系数为, 常数项.2. 选择( 5) . 一元二次方程( x + 3» + 2( x + 3)+ 4 = 0 的二次项系数、 一次项系数、 常数项分别是( )A . 1,2,4 ； B. 1,2, 10 ； C. 1,8, 19 ； D. 以上都不是.四. 拓展提高( 6 ) .如何构造一个一元二次方程，使它的两个根分别是5, - 8?( 7) . 写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是- 1 , 它的二次项系数是3.五. 点击中考( 8) . ( 20 0 7,兰州)下列方程中是一元二次方程的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A . 2x + l = 0 ； B. y2+ x = l ； C. x3+ l = 0 ； D. — + x2 = 1 .x( 9) . ( 20 0 7,武汉)如果2 是一元二次方程x 2= c 的一个根， 那么常数c是一 - ( )A . 2； B. -2 ； C. 4 ； D. - 4 . 17.2 (1) 一元二次方程的解法一一开平方法一.知识梳理如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合( x + h ) 2= k ( k 20 )的形式求解.( 1 ) 直接开平方法的依据是平方根的定义及其性质，直接开平方法使用于解：①形如x 2= k ( k 20 )的方程；② 形 如 ( x + h ) 2= k ( k 20 )的一元二次方程. 根据平方根的定义可知，x + h 是 k的平方根，当 k 2 0 时，x + h = ± 4 ,x = - h ± 6 ,当 k 〈 0时方程没有实数根.( 2 ) 对于一般形式下的一元二次方程就不能直接应用开平方法求解.二. 例题精讲例 1 . 用直接开平法求下列方程： ( 1h 2- 9= 0 ； ( 2) 4(X-2)2-36=0解析：用直接开平方法解方程，可先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的常数形式，在根据平方根的定义求解.解答：⑴ 移 项 ,得 娱 9,开平方，得* = ±3 , 所以x i = 3,x z = - 3.( 2)移项,得 4 ( x - 2) J36 , ( x - 2)J9,得 X- 2 = ± 3 ,所以 XI=5, X2=-1.三达标训练1 .填空题⑴ . 若方程( X -1)2 + 6 = 0 有解，则b 的取值范围是.2 .选择题( 2) . 要使一元二次方程ax ?+ b = 0 有实数根的条件是- - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )A . a 0 ,6 > 0 ； B. 。
0 , 6 < 0 ；C. 且 、b异号或b = 0 ； D . a 0 ,b < 0.(3 ) . 下列方程能用开平方法解的是-----------------------------------( )A . (x + 3 )~+4 = 0 ； B . x ~ + l = O；C . = 8 ； D . (x + + 3 = 0 .(4 ) . 方程、 2 + c = 0 的根是- - ( )A. 无解;B . 0；C . ± J — c ；D . ± C7或无解. 3.用开平方法解下列方程(5 ) 4 x 2 -16 = 0 ；(6 ) 2 5 y 2 — 6 4 = 0 ；(7 ) ( 1 + X)2-16 = 0 ；(8 ) 5(X-3)2=0；(9) ( 4X-3)2=9；(10)16 (x +2 )= 8 1.四 .点 击 中 考（ 11） . （ 2 007 ,无锡）一元二次 方 程（ xT） J2的解是 17.2 (2) 一元二次方程的解法——因式分解法知识梳理1 . 因式分解法的定义：运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解.2 . 因式分解法的理论依据是：若两个因式的积等于零，则这连个因式中至少有一个等于零，将一元二次方程分解成A - B = 0,则 A = 0或 B = 0.3 . 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程右边化为零：(2 )将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；(3 )令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；( 4 ) 分别解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解.二. 例题精讲例 1 . 用因式分解法解下列方程：(1) (x -3 ) (x -5 )= 0； (2 ) 13 x = x 、3 6 ； (3 )8 x (x +5 )-3 (x +5 )= 0； (4 ) 9(x +l )-(2 x +l ) = 0.解答：(l )x -3 = 0 或 x +5 = 0 , 得 x = 3 或 x = -5 ；(2 ) X2-13X+3 6 = 0, (X-4 ) (X-9)= 0,即 x -4 = 0 或 x -9= 0,得 x = 4 或 x = 9；(3 )方程左边提取公因式(x +5 ),得 (x +5 ) (8 x +3 )= 0,即 x +5 = 0, 8 x +3 = 0,得 x = -5 或 x = -3 /8 ；(4 )方程左边利用平方差公式分解因式，得[ 3 (x +1) ]2-(2X+1)2= 0, [ 3 (x +l ) + (2 x +l ) [ 3 (x +1)- (2 x +l ) ] = 0,即 3 (x +l ) + (2 x +l )= 0 或 3 (x +D - (2 x +l )= 0,分别解这两个一元一次方程，得 x = -4 /5 或 x = -2 .三达标训练1 . 用因式分解法解下列方程：(D x (x T )= 0； (2 )x -3 x +2 = 0；(3 )x +2 x -4 8 = 0；⑷ x (x -4 )-5 (x -4 )= 0； ⑸ 4(X-1)2-9(X-2)2=0；( 6)2X2-3X-5=0.四. 拓展提演)(7 ) .如果(x ' +y > ) (x2+yJ-l ) -12 = 0,求 x ' +y ' 的值.(8 ) . a A B C 的三边a 、b 、c的长度是r -7 *+6 = 0的解，求a A B C 的周长. 17.2 （ 3） 一元二次方程的解法——配方法知识梳理1 . “ 配方”的意义.2 .配方法解方程的步骤.二.例题精讲例L方程f + 8 x = 0可用因式分解法，那么能用开平方法解方程吗？解析：观察方程的左边/ + 8x,它与（ x + 4 ） 2的展开式相差一个常数16 ,如果在方程两 边同时加上16 ,那么方程f + 8 x = （ ）可化成（X + 4） 2= 16 ,再利用开平方法，得x + 4 = 4或x + 4 = - 4 ,所以原方程根为弟 =0, %2 = — 8 .解答：/ + 8X + 16 = 0 + 16, （X + 4） 2=16, X + 4 = ± 4 , 所以X = 0 或X = — 8./.原 方 程 的 根 为= 0 , X 2 = -8 .说明：配方法解一元二次方程狈2 +b x + c = 0（。
H 0）的一般步骤：（ 1）先把二次项系数化为1;方程两边同除以二次项系数；（ 2 ）移项：把常数项移到方程右边；（ 3 ）配方： 方程两边都加上一次项系数一半的平方， 把原方程化成（ x + 〃 ?）2 = 〃 的形式;（ 4 ）当〃）0时，用直接开平方的方法解变形后的方程.例2 .用配方法解下列方程： （ 1） X2- 4X = 1； （ 2 ） 3 f - 6 x - 8 = 0.解析：方 程（ 1）的右边为常数，左边是二次项和一次项，且二次项系数为1,如果左边添 上 “ 一次项系数一半的平方”这一项，当然方程的右边必须同时添上这一项，这是应用等式的性质，保持方程的同解性，这样左边就是含X的完会平方式，此时右边只要是非负常数，这 样 的 “ 二项式”就用开平方法来解.方程（ 2 ）中，先把常数项右移，再把二次项系数化为1,就可按解（ 1）的步骤方法来解.解答：（ 1）在原方程两边同时加上4 ,得X2-4X + 4 = 5,由（ *-2 ） 2=5得x - 2 = 后 或％_ 2 = _石 ，解得 x = 2 + yf5 或 2 -7 5 ,所以原方程的根是，%, = 2 + 7 5 ,x2 = 2 - 7 5 . Q( 2 ) 把常数项右移，两边同时除以3 , 得X2-2X = - ,3Q 1 1由 / - 2 x + l = ? + l 得 ( x - l ) 2 = w ，两边开平方得x —1 = 画 或 x - l=- 叵3 3所以原方程的根是三. 达标训练1.填空(1). x- + lx + ( ) = ( )2 ；⑵ .-- 3x + ( )= ( )-；(3 ) . x2 + —x + ( ) = ( y；(4 ) . x2 + m x + ( ) = (x + )2 ；h(5 ) . X2 d X + ( ) = ( X +)2 .a2 .选择(6 ) . 一元二次方程一 — + 2 工 一 〃 2 = 0 经过配方后的的方程是A . (x — I )2 = m — 1 ； B . (x — I )2 = 1 — ；C . (X — I )2 = 7 7 72 + 1 ; D . (1 — X )~ =加 + 1 .(7 ) . 一元二次方程3/ + 历—6 = 0 , 配方后得到的方程是一A .,血 、 2 3 7 n / 收 、 2 3 7(X H ----)- =---- ; B . (x d ----)■ =—— ；6 18 6 18C .,近 、2 2 2 / 1、 2 19(X H ----)-=— ； D . (x + — ) =— .3 8 3 9 3 . 用配方法解下列方程:(8 ) . x ** — 4x — 2 = 0 ；(9) . x ~ — \ [Sx — 1 = 0 ；(10) . 2 x ~—x —1 = 0 ；(11) . — x — 3x + 1 = 0.四. 拓展提导］(12 ) .用配方法解方程： nt2x2 + 2 m2nx = n2 - m2n2.五. 点击中考(13 ) . (2 009.兰州)用配方法解一元二次方程：2X2+1 = 3X. 17 .2 (4 ) 一元二次方程的解法——公式法知识梳理1 .求根公式的推导.2 . 一元二次方程的求根公式x 土 - (〃—4 a c 2 0且。
云0 ) .2 a二. 例题精讲例1 .用配方法解一元二次方程a x 2 +b x + c = 0(a ，0).解析： 配方法是推导求根公式的思考依据， 通过求根公式的推导又进一步巩固了配方法.解答：略 .说明：用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式；(2 )确 定8c的值；(3 )求出6 2 -/的值(或代数式)；(4 )若廿一心 则把a ,b,c及〃 一 4ac的值代入求根公式， 求出x i ,X 2；若/ -4tz c< 0 ,则方程无解.例 2.用公式法解下列方程：( 1) 3 * + 5 x — 2 = 0 ； ( 2) 2X2-2A/3X-V3 =V3X2+2.解析：( 1)原方程已是一般形式，确定a ,b,c后 并 算 出 济 -的 值 ，代入求根公式便可得两根；( 2)本题经过整理代成一般形式后， 系数和常数都是根式， 只要正确算出加一加c的值，代入求根公式，从而求出原方程的两根.解答：( 1)原方程中，3 ,力 =5 , c — — 2 > b~ - 4ac -5 ~ — 4x 3x ( -2) = 49 ,-5 + V 49 -5 + 7 1 1...x = . W = 即》= 土 或x = -2, . •.原方程根是X i =上，Xi = -2 .2x 3 6 3 3( 2)把原方程2 Y—2后 一 道 =怎2 + 2整理成一般式( 2_扬/ _2 ®_2 _6 = 0 则 4 = 2 - 6 6 = _ 2 6 , ° = _ 2_仆 = _ (2 + 两b2 — 4a c = ( — 2A/3)2 + 4( 2 — ^ 3) ( 2 +V 3) = 12+ 4 = 16.=26士 瓜 =2百±4 =百 ±2" - 2( 2-V 3) -2( 2-V 3)-2-V 3 即x = 3* = 7 + 4 G或% =叵4 =- 1 J .原方程根是XI.2 = 7±4百 .2 - V 3 2 - V 3—. 达标训练1.填空( 1) .一元二次方程依2 + 次 + 。
= 0( 0 ) , 当_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，它有两个实数根,是 41,2 =------------ '( 2) .一元二次方程狈2 + 区 + 0 50) ,如果有两个实数根，那么这两个根的和为, 积为.( 3) . 一元二次方程分 2 + bx + c = 0( 0 ) , 有实数根的条件是.( 4) .把下列方程中b2- 4ac的值写在括号内X- + 2 = 2\/2x ( ) ；2 . 用公式法解下列方程( 5 ) . x ? + 3x + l = 0 ；岳2 =如 + 2 0 ().1,( 6 ) , 一 x — 1 = 2x “ ；2( 7 ) .xH --= X ;2( 8 ) . x2 + 2 = i j l x .3四. 拓展提高( 9 ) . ( a2- b2) x2- 4 a b x ^ a2- b2 ( / 为常数) .五. 点击中考( 10) . ( 2009 .南充) 方程( x — 3) ( x + l ) = x —3 的解是----------------------( )A . x = 0 ；B . x = 3 ；C . x = 3或x = — 1 ；D . 1 = 3 或 % = 0. 17. 3 一元二次方程的根的判别式知识的梳理在一元二次 方 程a x 2+ bx + c = 0( a W 0)中，△ = ( ) = 方程有两个不等实数根；A = 0= >方程有两个相等实数根；A < 0 = >方程没有实数根.反之方程a x、bx + c = O ( a W O ) ,有两个不等实数根= △ > 0 ；方程有两个相等实数根n A = 0 ,方程没有实数根n A < 0.说明：1.根的判别式是指4 = 4 - 4 a c ,而不是指4 = " > 2-4“ c .2 .根的判别式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况.要注意方程中各项系数的符号.3 .如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时作一4a c 20,不要丢掉等号.4 .判别式有以下应用：( 1)不解方程，判定一元二次方程根的情况：( 2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；( 3)应用判别式进行有关的证明.例题精讲例L不解方程，判别下列方程的根的情况：( 1) 3X-2A—1= 0； ( 2) /= 2y一4； ( 3) ( 2尸 +1) ¥ —2於 +1= 0；( 4) 9 x — ( p+ 7 ) x + p—3= 0.解答：( 1) V z l = ( -2) 2- 4 X 3 X ( -1) = 4+ 12> 0, . ..原方程有两个不相等的实数根.( 2)整理得/ - 2尸+4= 0. • . • / = ( - 2 ) 2 - 4 X l X 4 = 4 - 1 6 < 0 ,原方程无实数根.( 3) ；2发 +1# 0, . •.原方程为一元二次方程.又：/ = ( -2A ) 2-4 ( 2六 +1) X l = -4N -4V 0, . ..原方程无实数根.( 4) 4= [ - ( p+ 7 ) ]-4X 9 X ( p-3) = ( p-11) 2+ 36 ,: 不 论p取何实数，( p-11) 2均为非负数，( 〃-11) 2+ 36 > 0,即 /> 0,原方程有两个不相等的实数根.说明：( D运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，要把不是一般形式的化为一般形式.( 2)判别式的应用是以方程a f + 6 x + c = 0中a W O为前提条件的，对于含字母系数的二次方程要特别注意这一点.( 3)要判断含字母( 代表实数) 的二次式的正负等情况，配方是个有效的方法，如( 4)小题.例2 .已知关于x的一元二次方程( A —1) * 2+ 2AX+ A + 3 = 0 ." 取什么值时，( 1)方程有两个不相等的实数根？( 2)方程有两个相等的实数根？( 3)方程没有实数根？解答：A = ( 2A )2—4 解—1) ( %+ 3) ——8 4+ 12.3( 1)当一8 4+ 12> 0,且发一1 W 0 ,即4〈一且A W 1时，方程有两个不相等的实数根；2 3( 2) 当一8 4 + 1 2 = 0 , 且 4—1 # 0 , 即衣= 2 时，方程有两个相等的实数根；23( 3) 当一8 衣+ 1 2 < 0 , 且 A —1 # 0 , 即衣> ±时，方程没有实数根.2说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零.例 3 . 已知方程2x2+ ( k-9 ) x + ( k2+ 3k+ 4) = 0有两个相等的实数根， 求 k 值， 并求出方程的.解答：因为方程有两个相等实数根，所以A = 0( k-9 ) 2-8 ( k2+ 3k+ 4) = 0,1? -18 1< + 8 1-8 ~ -2妹-32k= 0 ,化简，得 k2+ 6 k-7 = 0, ( k+ 7 ) ( k-7 ) = 0,所以 ki = -7 ,k= l .当 k= -7 时，原方程为 2X2-16X+32=0,得 XI=X2=4 ;当 k= l 时,原方程为 2x ? -8 x + 8 = 0,得 X3=XF2.说明：方程根的情况确定△的取值范围.例 4 . 若关于x的方程x 2+ 2( a + l ) x + ( a 2+ 4a -5 ) = 0有实数根，试求正整数a的值.解析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数.解答: 由方程有实根A MO , 得 [ 2(a +D ] 2-4 X1 X。
4 2-5 )妾0,不等式两边同除以正数4, 不等号的方向不变，得 a 2+2a +l -a '-4 a +5 20,,-2a +6 20,所以 aW3.因为 a 是正整数，所以 a =l ,2, 3 .例 5 ：如果关于x 的方程丁+2广 勿 +9没有实数根，试判断关于y 的 方 程 /+”一2 "5 = 0 的根的情况.解析：要判断2勿+5 = 0 根的情况，只要判断/ 2 = 病一4 ( - 2" /+5 )= 勿 " +8 勿 -20的取值情况即可. 而f + 2 x —0—9= 0 没有实数根，可得4 = 2 2 —4 (—m —9 ) = 4 疗F 4 0<0 , 即必< — 1 0,而当/< 一 1 0时，/ + 8 次-20恒大于零，所以方程/+勿尸-2 / 5= 0有两个不等的实数根.解答:+ 2 x —卬-9 =0 没有实数根，4 1 = 2“ 一4 (一7 - 9 ) = 4 m + 4 0 < 0 , 即 /?< —1 0.又 y my—2m + 5 = 0 的判断式 dz. Az= nt—4 (—2 ® + 5 ) —z?+8 m - 20当 Z- IO 时，/»+8 ® -20>0,即 4 >0.，方程2鬲*5 = 0 有两个不相等的实数根.说明：判定人的值用到了 4<0 所得的结论® < - 1 0,这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常见到.三. 达标训练1 . 选择题(1 ) . 一元二次 方 程 @ / + " + 。
= 0 «£0 ) 的判别式是-------------------- ( )A. -Jb2 —4ac ； B. 4 a c—4； C . Z >2—4 a c； D . I tf—Aac I .(2) . 关于x 的 方 程 /+ 4 x + l = 0 有两个不相等的实数根， 则勿的取值范围是( )A . /< 4 ； B . 勿 W 4 且启C . m 2 4 且 z»W O； D . w< 4 且必¥ 0.(3 ) . 关于x 的一元二次方程仪-1 )/+2履 + 4 + 3 = 0 有两个不相等的实数根， 则 “的最大整数值是一 一( ) A. 0； B. - 1 ； C . 1 ； I ) . 2.(4 ) . 方 程 /+ * + = 0 有两个相等的实数根，则 0、 之间的关系是---- ( )A. //'-4 q#0； B. p —2 -Jq ； C . g = 4 q ； D . ff> 4q .2 . 简答题(5 ) . 不解方程，判断下列方程根的情况：① /—2 y + l = 0 ； ②/一 2 后 x = 3 ；③ 百 f 一 ( 2 - V 3) %+1 = 0； ® ^ - 4 % - A2+3 =0.(6 ),已知关于x 的方程, / 一 (0—2) X+R'=0.4①有两个不相等的实数根，求)的取值范围；②有两个相等的实数根，求加的值，并求此时方程的根;③没有实数根，求勿的最小整数值.四. 拓展提高(7 ) . 己知关于x 的一元二次方程x'—Z m x —3 n ?+8 m —4 =0 .求证：原方程恒有两个实数根；五. 点击中考(8 ) . 已知a , b, c 是a A B C 的三条边长，且 方 程 (£ +1 ?) ( —2cx + l = 0 有两个相等的实数根，试判断A A B C 的形状. 17.4 (1) 一元二次方程的应用( 二次三项式的分解)知识梳理把二次三项式a x， bx+c (a H O)因式分解时，1 . 如果△》()，那么先用公式法求出方程a x\ bx+c=O (a W O)的两个实数根xi , X2,再写出分解因式 a x?+bx+c=a (x-xi ) (x-xz)；2 . 如果△ W (),那么方程a x?+bx+c=O (a #0)无实数根,多项式a x. bx+c (a W O)在实数范围内不能因式分解；3 . 反之，a x2+bx+c (a W O)能在实数范围内因式分解，则△》()，在实数范围内不能因式分解，则△W ().",例题精讲例 题 L在实数范围内因式分解： (1 ) x-2x-2； (2) 2x2-3 xy-y.解析：易犯的错误是在分解的结果中漏掉二次项系数a和漏掉y , 在 ( 2 ) 中含x、y 两个字母，若把x 看作未知数，y 看作已知数，则整个式子可看作关于x 的二次三项式.解答：(1 )令 d-2x-2=0,则△=bZ -4 a c=(-2)2-4 Xl X (-2)=1 2,原方程的解为 x i= l+ , X2=l-V3 . x2-2x-2=(x-l -V3 ) (x-l +V3 ).(2) 令 2x2-3 xy-y2=0, 则 ^ = b2-4 a c= (-3 y)2- 4 X 2X (-y2) = 1 7 y2,原方程的解为 xi ,k台 七 后 y . 2x'-3 xy-y2=2 (x- y) (x-匕叵y ).4 4 4例题2,如果二次三项式3 x2+x+2b-l 在实数范围内能因式分解求b 的取值范围.解答：• • • 3 x2+x+2b-l 在实数范围内能因式分解，； . A>0.13即 1 -4 X3 X (2b-l )》0 , 解得 b W — .24说明： 二次三项式能不能在实数范围内因式分解与一元二次方程有无实数根有密切关系，考虑这类问题，与根的判别式有关.三. 达标训练1 . 填空题-2 + J5(1 ) .己 知 4X2+8X-1 = 0 的 两 根 为 一二， 则 二 次 三 项 式 4X2+8X- 1 可分解为2(2) .如 果 1 , 2是 方 程 a x2+bx+c=O (a W 0 ) 的 两 个 根 ， 则 因 式 分 解a x'+bx+c=.1 + J i I _ J 3(3 ) . 若 a x2+bx+c=9 (x------) (x--------),贝 ! ! a =_ _ _ _ _ _, b =_ _ _ _ _ _ , c =_ _ _ _ _ _ .3 3 (4 ) .二次三项式a x2+ bx- c在实数范围内不能因式分解，则2.选择题(5) .将二次三项式x ? - x - 3分解因式，正确的结果是一()A/ 1 + V 13. . 1- V 13.A . (x + - - - - - - - - ) (x + - - - - - - - - ) ；2222C . ( x + 3 ) g 三叵 ) ;22/ 1 + 7 1 3 ^ 1- V 13 xD. (x - - - - ) (x + - - - ) .22(6) .将x ? + x y - y 2在实数范围内分解因式， 正确的结果是)A . (x-士且) (x-土立 ) ;22B .( xy-±5 )( xy-±5 )；2 2C .( X-Zll^y)( x+ZlZ^2 2y ) ；, —1 + A/5 1 - - \ / 5D. (x + - - - - - - - -y ) (x + - - - - - - - y ) .2 23.解答题(7 ) .在实数范围内分解因式:X2+3X-2；4 x - 7 x - 2；x '+ 2x y - 5y - '；—x " - 2x y + y " .2(8) .如果二次三项式3y 2- 4 y + 2m + l是一个完全平方式，求m的值. 17.4 (2 )一元二次方程的应用填空(1)如果三月份的产值为a ,二月份的产值为b ,则月增长率为.(2)如果2005年的产值为a ,年平均增长率为x% ,则2007年的产值为(3)某公司2007年的外贸额为2. 5亿元，2009年达到了 4亿元， 设平均每年的增长率x,则可列方程为一 一 .达标训练(4)用22厘米长的铁丝，折成一个面积是30平方厘米的矩形，求这个矩形的长和宽. 又问：能否折成面积是32平方厘米的矩形呢？为什么？(5)某一件商品，由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同，已知原售价是1000元，降价两次之后的售价是810元，求每次下降的百分率是多少.(6)某商场将进货单价为4 0元的商品按50元售出时， 一个星期最多卖出500件. 已知这种商品每件提价1元，其销售量会减少10件，问：为了在一个星期中能从这种商品销售中赚的8000元的利润，这种商品单价应定为多少元？(7)某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球经济危机的不利影响，仍实现盈利2160万元. 从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同. 求：①该企业2007年盈利多少万元？②若该企业的年增长率继续保持不变，预计2010年盈利多少？ 一元二次方程章节测试一.选择1 . 下列方程中，关于X的一元二次方程是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（ ）A . （ x +1）2 = 2（ x 4 - 1） ； B. - - - - -2 = 0.X Xc . a x2 + b x + c = Q - D, x2 + 2x = JC2 - 1.2 . 使代数式3 % 2 - 6 的值等于21 的 x的值是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - （ ）A . 3； B. - 3； C. ±3 D. ±7 3.3 . 关于x的一元二次方程X ? +2 "+。
1 = 0的根的情况是- - - - - - -（ ）A . 有两个相等的实根； B. 没有实数根；C . 有两个不等的实数根； D . 无法确定.4 . 用配方法解下列方程, 其中应在左右两边同时加上4的是- - - - - - - - - -（ ）A . X 2 - 2% = 5 ； B. 2x2 - 4 x = 5 ；c . x2 + 4 x = 5 ； D. x2 + 2x = 5 .5 . 一个面积为120的矩形苗圃，他的长比宽多2 米，苗圃长是- - - - - - （ ）A . 10 ； B. 12； C. 13； D. 14 .6 .等腰三角形的两边的长是方程F —20x + 91 = 0 的两个根，则此三角形的周长为（）A . 27 ； B. 33 ； C. 27 和 33； D .以上都不对.填空7 . 一元二次方程的一般形式是.8 . 一元二次方程x2 - 3 = 2%的二次项系数是_ 常数项是9 . 方程］2 = 1 6的解是.10 . 方程（ X-百 ＞ = 2 的解是.11 . 一元二次方程］2 — 2% — 1 = 0的根的判别式的值是12 . 如果一元二次方程m x2 - 4 x- l = 0有两个相等的实根，则 m=. 13 . 一元二次方程3— — 2% +m= 0的一个根是- 1 , 则 m=.14 . 一个两位数，个位数字比十位数字大3 , 个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是.15 . 已知方程Y —加 》+ 3 = 0的两个实根相等，那么机=.16 . a是实数，且J二 彳 +| 。
2 一2 一8 | = 0 , 则a的值是.17 . 关于x的方程(加— -》+ 3 = 0是一元二次方程，则加=.18 . 己知(%2 + 、2 ) (》 2 + y2 - 1) = 6 ,则+ y2 =.三 . 解 答 题19 . ( % - 2 ) 2 =(2 % + 5 ) 2 ； 2 0 . (3x - l l ) (x - 2 ) = 2 ；2 1. (C3vx - 22) - 5S(3vx - 2 ) + 4 = n0x (x + l ) 1 (x - l ) (x + 2 )； 2 2 . - - -- - - - - -1 = - - - - - - - - - -.2 3. 已知a、b 、c 为/ A B C 的三边，试判断关于x的方程( b -c ) x2 - 2 ax + b - c = 0(b ^c)的根的情况. 四. 应用题2 4 . 一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽.2 5 . 某工厂生产一种产品，原来每件的成本是2 0 0 元，经过两次技术革新，两次降低了成本，现在每件商品的成本是14 4 . 5 元，如果每次降低成本的百分率相同，求这个百分率 .2 6 .美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿化面积不断增加(如图所示)(1) 根据图中所提供的信息，回答下列问题：2 0 0 1年的绿化面积为 公顷，比2 0 0 0 年增加了 公顷. 在1999年，2 0 0 0 年，2 0 0 1年这三年中，绿化面积增加最多的是 年 .(2 ) 为满足城市发展的需要，计划到2 0 0 3年使城区绿化地总面积达到7 2 . 6公顷，试求这 两 年 (2 0 0 1—2 0 0 3) 绿地面积的年平均增长率. 18.1 ( 1 ) 函数的概念( 函数的基本概念)知识梳理1 . 变量: 取不同数值的量叫做变量.2 . 常量：保持数值不变的量叫做常量(或常数) .3 . 函数：在某个变化过程中有两个变量，设为x和 y , 如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，他们之间存在着确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.4 . 函数解析式：表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.例题精讲例 L A 、B 两地相距10 千米，小王由A骑车到B , 速度为每小时12 千米. 在小王由A到 B 这个过程中，有哪几个量？其中哪些是常量？哪些是变量？解答：涉及到速度、时间、路程. 两地的距离，小王的速度是常量. 在行程中的时间和路程是变量.说明：行程问题中通常有速度、时间、路程三个量，三者的关系是：路程= 速度X时间.在小王从A到 B这样一个过程中，速度是一个常量，等于每小时1 2 千米，时间和路程是变量，因为小王骑行过程中时间在变化，路程也跟着变化.在这个问题中，路程限制在 0至 1 0 千米范围之内，时间则相应地限制在0至』小时之内.6例 2. 下列各式中丁是否是x的函数？为什么？⑴ y = ；x； ^ > y - 7 V x ； ( 3 ) y - x2 ； Wy = ±V x .解答：根据解析式x与y的对应值，可看到：⑴、⑵、⑶中，当x取确定的值后，y有唯一的值与它对应，所以⑴、⑵、( 3 ) 中y是x的函数；而( 4 ) 中，当x取确定的值后，y有两个对应值，所以y不是x的函数.说明：判断歹是否为x的函数，要两个条件，一是有两个变量x和》，二是当一个变量x的值取定后，另一个变量歹的数值也必随之唯一确定，另外还要注意有一种函数叫做常值函数.如产3 .三 .达标训练1 .选择题( 1 ) . 半径是H的圆周长C = 2 〃 R , 下列说法正确的是--------- ( )A . C , %, 7 ? 是变量，2是常量； B . C是变量，2 , %, R 是常量；C . R是变量，2 , 肛 C是常量； D . 是变量，2 , 乃是常量.( 2 ) . 下列各式中，y不是x的函数是--------------------( )A . y — \ [x ； B . y - -y/x ； C . y - ±y[x ； D . y — 4-x .2 .填空题( 3 ) . 一般地，设在某个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某个允许取值范围内的，按照某一个对应法则，y都有 与它对应， 那么就说x是, 是 的函数.( 4 ) . 今有小李带人民币5 0 元去买笔记本，已知笔记本每本售价3元，问：①所花的钱y ( 元) 与买笔记本的数量x之间的关系可用式子表示为：'=.②小李剩下的钱N ( 元) 与买笔记本的数量x之间的关系可用式子表示为：y=. ( 5 ) .长 方 形 的 面 积 是 1 0 0 ,长 是 x c 〃 7 ,宽 是 ycm,则 y与 x的函数关系式是；当长是2 0 。
加时，宽是 c m .3 . 解答题( 6 ) .写出下列问题中的函数关系式.①半圆形花坛的半径为火，花坛面积S 与 R之间的函数关系；②出租车行驶不超过3 千米收起步费1 1 元，3千米后每千米1 .2 , 出租车车费y ( 元)与乘坐的路程x (x>3,单位：千米) 之间的函数关系；某运动员在400〃 ? 一圈的跑道上训练， 他跑一圈的时间f ( s ) 与速度v ( m / s ) 的函数关系.( 7 ) .观察本题图形中的气温图.①这幅图反映了温度T 与时间， 之间的什么关系？②时间t 的取值范围是什么？③这一天中什么时间气温最高？最高气温是几度？④这一天中什么时间气温最低？最低气温是几度？四. 拓展提高1 . 填空题( 8) . 设打字收费标准是每千字4元，则打字费y ( 元) 与千字数x 之间的关系式可写成.其中常量是.( 9 ) . 三角形三边长3 c 0 ，5c 卬 ，x c m ,则三角形周长少( c m ) 与 x ( c w) 的函数关系式是，自变量x的取值范围是 .2 . 选择题 (10) . 下列说法正确的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. 一年中，时间t 是气温T 的函数；B.正方形面积公式S=a?中，a 是 S 的函数：C.公共汽车全线有15个站，其 中 1——5 站票价0 .5 元，6——10站票价1 元，11一一15站票价1. 5 元，则票价y 是乘车站数x 的函数；D.圆的周长与半径间无函数关系.3. 简答题(11) . 某移动通讯公司开设了两种通讯业务： “ 全球通”一一使用者先缴纳50元月租费,然后每通话1 分钟，再付话费0. 4 元；“ 快捷通” 一一不缴月租费，每通话1 分钟，付话 费 0 .6 元( 指室内通话费) . 设一个月通话计费时间为X分钟，两种方式的收费分别是y｝元和y2元 .(1 )写出乂, 为与x 之间的函数关系式；⑵一个月通话多少分钟，两种方式的通讯费相同？五. 点击中考(12) . (2008长沙) 星期天，小王去朋友家借书，图 2 是他离家的距离y ( 千米) 与时间 x ( 分钟) 的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是( )A .小王去时的速度大于回家的速度；B .小王在朋友家停留了 10分钟；C .小王去时所花的时间少于回家所花的时间;D .小王去时走上坡路，回家时走下坡路.图2 18.1(2)函数的概念( 定义域与值域)知识梳理1 . 解析式形如y =k x + b ( k、b是常数，且k R O )的函数叫一次函数.2 . 一次函数的定义域是一切实数.3 . 函数y =C ( C为常数) 叫做常值函数.例题精讲例1. ⑴ 当x = — 4时，求函数^ = ， 白 +4 % + 1 8的值;⑵当x取何值时，函数. = ， 》2 - 8的值等于1 .解答：⑴当x = — 4时，y = 7( - 4 )2+ 4 x ( - 4 ) + 1 8 = V 1 8 = 3 72 ；⑵要使y的值等于1 ，即= 也就是使乂2 - 8 = 1 ,即f = 9 ,两边开方得x = ±3 ,所以当x = ±3时，函数的值等于1 .说明：当函数的值已知，要求自变量的对应值时，通常可以转换为方程问题来解决.例2 .求下列函数中自变量的取值范围：( D y = ———； ( 2 )y — x + x_1 . . ( 3 )y — \ /2 x - i - T — — ； ( 4 ) y = T-—4 x + 6 1 2 x \ x \ -x解答：⑴当4 x + 6 = 0时，代数式y 3 x二没有意义，4 x + 63 r 3所以函数夕=- ^ 中自变量x的取值范围是4 x + 6 w 0,即xH— '的所有实数.- 4 x + 6 2⑵函数关系式是关于x的整式，所以自变量的取值范围是全体实数.[ 2% + 1 >0⑶函数关系式中既有分母，又含有二次根式，应综合考虑这两个方面，\ ,X H 0解这个不等式组， 得X 2 - L且XW0.所以这个函数中的自变量X的取值范围是X > - -2 2且XW0的所有实数.⑷根据题意得：| x| —X HO即|X|H X.根据绝对值的意义，x只能取负数，即x<0 .说明：本题函数关系直接由一个等式给出，没有实际背景，所以自变量取值只需使等式右边的代数式有意义. 根据已有的知识，通常转化为列不等式或不等式组求解.三 .达标训练1 .选择题( 1 ) . 函数y = 中自变量x的取值范围是- - - - - - - - - - - - -( )A . x>2 ； B . x>2； CJ C^ 2； D.烂 2.J i - 2x( 2) .函数y =又一±^ 中自变量入的取值范围是- - - - - - - - - - - - - ( )xA . x〈一且x w O； B . x> —且x w O； C.x w O； D. x< 一且xwO .222( 3) . 两个函数只有当它们的自变量取值范围相同且对应法则也相同时才能说它们是同 一个函数， 下列各组中表示同一个函数的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (A . y = V P " 和 y = x ； B . y = V?和 y = x ；C . y =-—— ^ 和 y = x + l ； D. 丁 = % 和 ^ = ( 4) 2.x- 12 .填空题( 4) . 函数y = 二 中 自 变 量 x 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.X — 1( 5) . 函数表示法有, , .( 6 ) , 已知/ ' ( X ) = 2x + l , g ( x) = x2 -x +1,则/ ( l ) + g6=3 . 求下列函数中自变量的取值范围( 7 ) . y — x ~ + x — 2 ； ( 8 ) . y - ；y/x). . x + 3( 9 ) . y = i4 .求值( 1 1 ) . 当x =2 时，求下列函数值.®y = — j =^=； ② y = J x - 2 .J 2x — 2( 1 2) . 已知函数y = 2( x- 6 ) ( x + l )①分别求出当x = — 2 和 x = 7时，函数少的值;②当y = 0 时，求自变量x 的取值.四. 拓展提高1 . 填空题( 1 3) . 函 数 尸 二= 中自变量x 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.J x - 4( 1 4) . 三角形三边长3CR, 5 c m, x c m ,则三角形周长y ( c 而与x ( c m ) 的函数关系式是，自变量x 的取值范围是.( 1 5) . 〃 边形的内角和A与边数n的函数关系式是,自变量〃的取值范围是 ( 1 6 ) . 如果函数 / ( X ) = J x + 1 5- y / x ,那么 / ( 1 2) =2. 选择题( 1 7 ) . 函数片， 2x + l的自变量*的取值范围是- - - - - - - - - - - - -X — 1A . B . X # l ； C . x^~ - ,且 X W 1 ；2 2( 1 8 ) . 下列函数中， 自变量x 的取值范围选取错误的是- - - - - - - - -A . 歹= 2》 2中，x 取全体实数； B . y =--— 中，x +1C . y = J x - 2 中 , x 取 x 2 2 的实数； D. y = 中 ,J x + 33 . 求下列函数中自变量的取值范围( 1 9 ) . y = [ j —； ( 20 ) . y =W - i)D. x > -1-2旦 X # l .x 取x w — 1 的实数；x 取 x 2 — 3 的实数.4 . 解答题( 21 ) . 判断下面几个函数是否是同一个函数？请说明理由.⑴ y =x ( x 取全体实数) ：⑵ ^ 二 二(x WO)；⑶ ^ 二 』？( x 取全体实数) .x( 22) . 商店试销一种新的电子产品，将进价为8元的商品按1 0 元零售价销售，平均每天可以卖出6 0 个 . 一段时间之后商店感到利润太薄，准备稍作提价，但经市场调查，若这种商品零售价每上涨1 元，则每天销售量将减少1 0 个 . 试分析是否应该提价？能否算一下零售价定为多少时，每天的销售总利润最大？五 .点 击 中 考(23) . (20 0 6 年中考题5 ) 函数歹= 」 一的定义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .x — 3(24) . (20 0 7 年中考题4 ) 已知函数/(x ) = — — ，则/(1)= .x + 2(25 ) . (20 0 7 年中考题5) 函数y = 的定义域是. . . 18 .2 ( 1 )正比例函数( 基本概念)知识梳理1 .如果两个变量的每一组对应值是一个常数(这个常数不等于零)，那么就说这两个变量成正比例.两个变量x 、y 成正比例，用数学式子表示就是上= 左， 或 y= k x (x ，O ), k 是x不等于零的常数.2 .函数y= k x (k 是不等于零的常数)叫做正比例函数，定义域为一切实数，其中常数k叫做比例系数.例题精讲例 1.解答:已知：在函数> = ( m-2)£三3中，当加为何数时，它是正比例函数？根据题意得:m-2 H om~ - 3 = 1加。
2m — +2m = -2 .说明：本例根据正比例函数y = A x (左H 0 ) 的定义可知：Z w O , x 的次数是一次.例 2 . 下列函数( x 是自变量)中，哪些是正比例函数................... ( )A . y =—— ； B . y = — 3x ； C . y = 6 x — l； D . y = 9 x2 .5 x解 答 : 选择B .说明：A 、D中x的次数是- 1 次和2 次，所以不是正比例函数.C中的函数解析式不符合y = k x ( k H 0 )这样的形式.例 3 . 已知y + 1与x成正比例，并且当x = l 时y = — 2.( 1 ) 写出y 与x之间的函数关系式；(2)求x = —1时，y 的值.解答：(1) •••y + 1与x成正比例 . •.设丁 + 1 = 米(左0 )把x = 1 / = — 2 代入得人=—1 y + 1 = — x y = — x — 1(2)把x = — 1 代入y = - l , ^ = 1 — 1 = 0 . , .当x = -1 时，y = 0说明：本例中的y + 1与x成正比例关系，所以y + 1是x的正比例函数，用待定系数法可以确定比例系数左的值，从而求出歹与x之间的函数关系式.三. 达标训练1.填空题(1) .形如.函 I 数是正比例函数.(2) .歹与x成正比例，且当x = 0 时，y = -2 ,那么比例系数是(3) .已知： y = -2 ( x +1), 那么歹与 成正比例， 比例系数k为 .⑷ .圆周长C与半径r的关系式C = 2 兀 厂电,常量是.(5 ) .若 x 、y 是变量，且 函 数 尸 (k +1) 是正比例函数，则 1< =(6 ) .已知y 与 x 成正比例，且产2 时尸- 6 , 则尸9时产2.选择题(7 ) .下列关系中， 成正比例关系的是- - - - - - - - - - - - - - - - -)A. 被除数一定，除数和商；C. 正方形的面积和它的周长;B . 园面积与半径；D. 正方形周长与它的边长. (8 ) .下列函数中，y 是 x的正比例函数的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )A . 尸4x +l ； B . y= 2 x ； C . y= -\ [5 x ； D . y= \ [x .(9 ) .下列说法中不成立的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )XA. 在尸3尸1 中片1 与 x 成正比例； B . 在 六 - 一 中 y 与 x 成正比例；2C . 在片2 (户1 ) 中 y 与 广 1 成正比例； D . 在产鼾3 中 y 与 x 成正比例.(10 ) .若 函 数 产 (2加 ' 6 ) (I - ? ? ? ) x是正比例函数，则力的值是- - - - - - - ( )A . ZZF-3 ； B . ZZFI ； C . 炉3 ； D . 勿 ＞ 一 3.3.简答题(11) .己知歹是x + 3 的正比例函数，且当x =4 时，y = -l,求歹与x的函数关系式.(12) .如果y = (6 — 3t)x , - 3是正比例函数，求函数关系式.(13) .写出下列各题中x与 y 的关系式，并判断y 是否是x的正比例函数？①电报收费标准是每个字0 . 1 元，电报费y (元 )与 字 数 x (个)之间的函数关系；②地面气温是28 ℃ , 如果每升高1k m , 气温下降5 " C , 则气温x ( ℃ )与高度y ( k 加的关系；③圆面积y (以力与半径x (c加的关系. 四. 拓展提导］L填空题(14) .若函数y = Ax + (Z -2 )是正比例函数，则 这 个 正 比 例 函 数 的 解 析 式 是 .(15) .若工与8 成正比例，且当x = 2 时，、=2，则函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.y4(16) .正比例函数丁 = 云 伏 。
0 ) ,当 自 变 量 增 加 2 , 函 数 值 相 应 地 减 少 4 , 那么(17) .歹与/ 成正比例，且当x = 2 时，y = - 1 6 , 则当x=时，y = -4.(18) .y - 3 与x + 5 成正比例，当工= 一3 时，y = 7 ,则当歹= 9 时，x =.2 .简答题(19) .已知y = 必 + % ,必与4成正比例，% 与x 成正比例，且当x = 4 时，y = 0 ；当x = 9 时，歹二一3 , 求y 与x 的函数关系式.五. 点击中考(20) . (2007♦南宁)随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量y(g/m 3)与大气压强x (kP a)成正比例函数关系.当x=36 (k P a)时，y=108(g /m 3 ), 请写出y 与 x 的函数关系式.(21) . (2010四川南通) 如果正比例函数产kx经 过(1 ,・2 ) 那么k=. 18.2 （ 2）正 比 例 函 数 （ 图 像 与 性 质 ）知识梳理1 . 正比例函数y=kx（ k 为常数，kwO） 的图像是经过原点0（ 0,0） 和 点（1, k）的一条直线 .2 . 当 k>0时，图像经过一、三象限，y 值随x 的增大而增大；当 k〈 0 时，图像经过二、四象限，y 随 x 的增大而减小.例题精讲例 L已知正比例函数图象经过（3, 2） , （a, 18） , 求a 的值.2 2解答： 设正比例函数的解析式为y = 米（ 左H 0） , 把x = 3, y = 2代入得k = % V = ：》 •2当 y = 18 时，3 a = 18 a = 27 .说明：因为正比例函数的图象过点（3, 2）所以可以用待定系数法求出解析式y = kx（k H 0） , 又因点（ a , 18） 也在函数图象上， 即（a , 18） 符合解析式， 把 x = a,y = 18代入即可.例 2 . 夕 = （ 2〃-1 ） 》 2-"2为正比例函数，且y 随着x 的增大而减小，求〃的值.解答：根据题意得：4 2 2 ：.n = - \ .2 -〃 =1 , ,1[n = ±1说明：根据正比例函数的定义可知x 的次数是1 次，由正比例函数的图象性质可知，当后< 0 时，也就是2〃一1<0, y 随着x 的增大而减小.例 3 . 已知正比例函数夕= b （ 左。
0） 图象经过二、四象限，且经过点p 6 + 2,2左+ 1） ,求左的值.解答：把点M 上+ 2,2% + 1） 代入^ = 红 得 24 + 1 = % （ 《+ 2） . •. 左= ±1•••> = 设 图象经过二、四象限 . . . 左= 一1.说明：本题结合了待定系数法，再根据图象的性质来确定人的值.三 . 达 标 训 练1 . 填空题（ 1） . 正比例函数尸kx （ k 为常数，k<0）的图象依次经过第 象限，函数值y 随自变量x 的增大而.（ 2） . 函数y = 的图象是经过点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.6（ 3） . 已知函数y =（ 加+ l） x + 3加一 1,若要使函数图象经过原点， 则加=.（ 4） . 已知点4 （ 百 ,12） 在正比例函数的图象上, 则正比例函数的解析式为.（ 5） . 正比例函数图象经过点⑵-4） , 且 x 的取值范围是一 3 W x W 4 , 那么y 的取值范围是.（ 6） . 如 果 y =（ 加+ 2） x + （ 〃 —3）是 正 比 例 函 数 ，且 图 象 经 过 点（2,6） , 则nr___, n=____ .⑺ . 正比例函薮工二kx（k W 0） 图象经过A点,已知4 点在第三象限内， 它到x 轴的距离 是2,它到y轴的距离是3 ,则函数解析式是.(8) .已知( 为，y i)和( X2 ,姓) 是直线产-3 x上的两点，且xi＞初 则 /与 % 的 大 小 关系是.2. 简答题(9) .如果正比例函数图象经过点⑵-4 ),求出函数解析式；并说明(-4, 16)是否在这个图象上.(10) .已知函数歹= ( 左一；) / :①人为何值时, 函数是正比例函数；②左为何值时, 正比例函数的图象在二， 四象限；③ k为何值时, 正比例函数歹随x的减小而减小.⑴) . 正比例函数图象过点(-4, 8), ( 、 历 ，6 ) ,求H的值.(12).正比例函数图象过(-2, 8 ),过图象上的一点A作y轴的垂线, 垂足B的坐标是(0 ,-6 ),求 ：⑴4点坐标. ⑵见。
. . 四. 拓展提高( 1 3 ) . 已知正比例函数y = ( 2 加- l ) x 的图象上两点A ( 项 ，必) ，B ( x2, y2 ) ,当X ] ＜x2时，有必 . 那么m 的取值范围是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )A . m V — ； B . — ； C . /V2 ； D . 卬＞0 .2 2( 1 4 ) . 在函数尸- 3 % 的图象上取一点P,过 P点作P A _ L x 轴，已知P点的横坐标为- 2 ,试求A P O A 的 面 积 ( 0 为坐标原点) .( 1 5 ) . 已知丁- 1 与x + 1 成正比例关系， 比例系数左＞0 , 函数的图象是一条直线, 它与坐标轴围成的三角形面积为2个面积单位, 求这个函数的关系式.五. 点击中考( 1 6 ) . ( 2 0 1 0 西安) 一个正比例函数的图像经过点( 2 , - 3 ) , 它的表达式为--( )A . y — — x ； B . y - - X ； C . y - - X ； D . y — — x .2 3 2 3( 1 7 ) . ( 2 0 1 0 泸州) 已知函数y = k x 的函数值随x 的增大而增大, 则函数经过一( )A . 第一、二象限； B . 第一、三象限； C . 第二、三象限； D . 第二、四象限.( 1 8 ) . ( 2 0 1 0 广西玉林) 对于函数y = Fx(k是常数， k / 0 ) 的图像是- - - ( )A.是一条直线;B . 过点( 2 , A ) ；C . 经过一三象限或二四象限;D . y随 x的增大而增大. 18.3 ( 1 )反比例函数知识梳理1 . 一般地，如果两个变量x、y 之间的关系可以表示成y = & (k 为常数，k 不等于0 )x的形式，那么称y 是 x 的反比例函数.2 . 反比例函数的概念需注意以下几点：(1) k 是常数，且 k 不为零；( 2) x 的指数为-1；( 3 ) 自变量x 的取值范围是不为零的一切实数；( 4 ) 应变量y 的取值范围是不为零的一切实数.二. 例题精讲例 1 . 已知反比例函数的图象过点4(1一 ) , 点8 (加一) 也在此函数图象上，求用的值.2 8k \ \ k 1解答： 设 ^ = 士( 4 。
0 )・ ・•反比例函数的图象经过点4(1,—), , : .k = _ ,x 2 2 1 2：.y = — .又• • •点8 (加一) 在此函数图象上， , ：.m = 4.2x 8 8 2m说明：本题中先用待定系数法求得反比例函数解析式，然后将歹 = ；代入，求得X 的值就是小的值.三. 达标训练1.填空题(1) . 反比例函数y =&(% H 0), 当X = 1时，V = 2 , 那么上=—, 函 数 关 系 式 是 .X(2) . 当 长 方 形 的 面 积 一 定 时 , 长 方 形 的 长 与 宽 成 .(3) . 反比例函数y = " 的图象经过(一 1,3 ) , 若点(2 ,加) 在这个图象上， 则机=.X8(4) . 若双曲线歹二——经过点A(m, —2 m ),则〃.x2.选择题(5) . 下列函数中, 反比例函数是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )/ 小1 1 人 1 1A. x(
且点的坐标为(一1, 2 ) . ①分别求直线Z8 及双曲线的解析式；② 已知点的横坐标是一2,求点C的坐标；③根据图象，当X在什么范围内取值时，必 > 歹 2 ?(8) . 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识： 一定体积的面团做成拉面，面 条 的 总 长 度 是 面 条 的 粗 细 (横 截 面 积 ) S 加方) 的反比例函数，其图像如图2所示.①写出y与 S的函数关系式.②求当面条粗1 . 6 “ 病时，面条的总长度是多少米？四. 拓展提用］(9 ) . 点 A、B在反比例函数尸4的图象上，且点A、B 的横坐X标分别为〃 、 2 a (a > 0 ) , A C J _ x 轴于点C , 且AAOC的面积为2 .⑴求该反比例函数的解析式.(2 ) 若点(- 〃，刈) 、(- 2 a , 及) 在该函数的图象上，试比较为与” 的大小.五. 点击中考(1 0 ) .(湖南常德) 下面的函数是反比例函数的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( ),2X 2A . y = 3 x + l ； B . y — x + 2 x ； C . = — ； D . y = — 2 x(1 1 ) , (嘉兴市) 某反比例函数的图象经过点(- 2 , 3 ) , 则此函数图象也经过点( )A . (2 , — 3 ) ； B . (— 3 , —3 ) ； C . (2 , 3 ) ； D . (— 4 , 6 ) . 18.3 （ 2）反比例函数知识梳理1 . 反比例函数的图象.反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限. 它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.2 . 画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）反比例函数自变量的取值范围是不为零，因此不能把两个分支连接起来；（3 ）由于在反比例函数中，x 和 y 的值都不能为0 , 所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势.二. 例题精讲例 1 . 如 图 1 , 已知「是反比例函数丁 = 8 图象上的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴引X垂线，它们与两坐标轴所围成的矩形面积为2 , 求反比例函数的解析式.解答: 设点尸（ %,%） 二％ = — ，k = xoyo, 根 据 题 意 得 闻 •闻 =2xo当x（）J o 同号时，玉 ） ， %=2 = 占当刀0,及 ） 异号时，一 丫 （）・%=2 k2 = -2说明：在这类题目中，根据坐标求线段长或面积时必须加绝对值，因为在这种情况下往往有两种情况，不然可能要漏解.三. 达标训练1 . 填空题（ 1） . 反比例函数y = H0） 的图象叫做.x2（ 2） . 函数y = - 一中， 当自变量x 逐渐增大时，N 的值在 象 限 内 随 之 逐 渐 .x（ 3） . 写出一个图象不经过第二、四 象 限 的 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 .（ 4） . 请 写 出 一 个 当 时 ，函数值y 随x 的 增 大 而 增 大 的 反 比 例 函 数 .2 . 选择题4（ 5） . 反比例函数y = ——的图象大致是一 一（ ） A. y = —(x > 0 )；xC. y = —(x < 0 )；x3 .解答题B. y = - —( x > 0 )；xD. y = — (x < 0).x⑺ . 如 图 3 ,。
是反比例函数夕= 4 图象上的一点,X矩形/P 8 O 的面积为4 , 求反比例函数的解析式.(8) . 已知7=%+为，刃与x 成正比例，”与 x 成反比例，并且当x = T 时，产T， 当k 2时，歹 二 5 , 求y 关于x 的函数关系式.四. 拓展提高2(9) . 点 P 为反比例函数》= - 一 上的任意一点，作 PC Lx轴于C , 求△POC的面积.x五. 点击中考(10) . ( 佳木斯市) 用电器的输出功率P 与通过的电流/、 用电器的电阻R 之间的关系是P = I2R,下面说法正确的是)A . 尸为定值，/ 与 R 成反比例； B. P 为定值，厂 与火成反比例；C. P 为定值，/ 与 R 成正比例； D. P 为定值，尸 与 R 成正比例.k -2(11) .( 哈尔滨市) 已知反比例函数丫= 上」 的图象位于第一、第三象限，则 k 的取值x范围是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. k > 2 ； B. k 2 2 ； C. kW2； D. k<2 . 18.3 ( 3 )反比例函数知识梳理反比例函数的变形形式为^ = 丘 - | 伏 ，0 ) , 所以：1 . 其图象的位置是：当人＞ 0 时，图象在第一、三象限；当后＜ 0 时，图象在第二、四象限.2 . 若点( a , b ) 在反比例函数的图象上，则 点 ( - a , - b ) 也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.二. 例题精讲且在每个象例 L若函数y = ( 2 加 - 6 ) £ “2- 7 爪“，当加为何值时，函数是反比例函数,限内y随着x的增大而增大？m2 - 7 m+ 11 = -12m-6 > 0加=3,加=4, /. m —m>3解答：根据题意得：4 .加=4时，y = ( 2 加一6 )X" '- 7M+U是反比例函数， 在每个象限内y随着工的增大而增大.k说明：反比例函数解析式y =—也可以写成歹 = 履 7,再结合反比例函数图象的性质来x求解m 的值.三. 达标训练1 . 填空题( 1 ) . 已知y = ( a T ) x 『 - 2 是反比例函数，则 。
=.( 2 ) . 若正比例函数歹=(的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式是.〃 + 2( 3 ) . 反比例函数歹二——图象在二、四象限， 则正比例函数y 二履图象在第一象限.x( 4 ) . 如果x与歹成正比例，y与z成反比例，那么x与 z成.2 . 选择题( 5) . 如果反比例函数》=- - - - 的图像经过点( 2 , 3 ) , 那么此函数的图像经过点x( )A . ( - 2 , 3 ) ; B . ( 3 , 2 ) ； C. ( 3 , - 2 ) ； D . ( - 3 , 2 ) .Ill k( 6 ) , 若乂( 一一,乃) 、N ( 一一,以) 、P ( - ，乃) 三点都在函数歹二一( k > 0 ) 的图象上,2 4 2 x则 M、及、乃的大小关系是 ( )； B . yi> y\ > y3 ； C. yy> y\ > y2 ; D . yy> yi> y\ .3 . 解答题 （ 7 ） . 水池内储水4 0 〃 / ，设放净全池水的时间为T小时，每小时放水量为W » ? , 规定放水时间不得超过2 0 小时，求 T与 W 之间的函数关系式，指出是什么函数，并求W 的取值范围.3k（ 8） . 直线歹=履+ 伙攵W 0 ） 过x 轴上的点A（ ±, 0 ） , 且与双曲线y = -{k W 0 ） 相交于B 、2xC 两点，已知B点坐标为（ -；, 4 ） ,求直线和双曲线的解析式.四. 拓展提悬）4（ 9 ） .直线当少= 丘（ 左＞0） 与双曲线歹= 一相交于4。
两点， 过 / 做 x轴的垂线， 交xx轴于6,过 做x轴的垂线，交x轴与求证：当左取不同正数时，四边形的面积是常数.五. 点击中考5 — 4（ 1 0） . （ 甘肃省兰州市）已知正比例函数_ y = "的图象与反比例函数y =——（ 左为常x数，kw O ）的图象有一个交点的横坐标是2 .①求两个函数图象的交点坐标；5 — 4 -②若点/ （ 不 凹） ，B[xv %） 是反比例函数y = 土 上 图 象上的两点，且须 ＜赴，试比X较凹，外 的大小• 1 8 . 4 （ 1 ）函数的表示法知识梳理函数的表示法有解析法、列表法、图象法.二. 例题精讲例1 .已 知 : 函 数 尸 （ 左2 + 5左+ 4 ） / - 2 .（ 1 ）当人为何值时，它是正比例函数，且丁随x的减小而减小.（ 2 ）当人为何值时，它是反比例函数.解析：（ 1 ）正比例函数自变量的指数为1且满足％ W0 ,还要根据性质判断比例系数的符号；（ 2 ）反比例函数自变量的指数为- 1且满足女声0 ,还要根据性质判断比例系数的符号.解答：（ 1 ）根据题意，得『 一2 = 1 ,解得左= ± 百当左=百 时 ，-+5左+ 4 = 7 + 5百 ＞0 ,当左= 一 百 时，上2 + 5 4 + 4 = 7 — 5百 ＜0.：y随x的减小而减小., .左=J i .（ 2 ）根据题意，得左2一2 = — 1 ,解得左= ±1当左= 1 时，4 2 + 5左+ 4 = 1 0〉0 ,当％ = —1 时，k ~ + 5 k + 4 - 0 k = \ .说明：这类问题其实是综合运用了正比例与反比例函数的定义与性质，要根据题意考虑全面，在利用自变量的指数求出未知字母的所有可能取值后，要根据题意结合性质进行检验，最后确定未知字母的取值.例 2 .在 R / Z U 3C 中，A C = 6 , B C = 8, Z A C B = 9 0° , P 为 B C 上一点,且 CP = x ,若用少表示A 4尸8的面积.求：（ 1 ） y与x之间函数关系式.（ 2 ）函数的定义域.（ 3）画出函数图像.解析：把有关的平面几何知识引入到平面直角坐标系中，代数与几何知识的紧密联系,构成了知识的综合应用.解：（ 1 ）在网口8。
中，N / C 8 = 9 0 ，/ C = 6 , 8 c = 8S.,„r — — A C xB C = ' x 6 x 8 = 2 4M B C 2 2SMPC = ； 4 C x C P = 3x , SMB P = SMB Cy = 2 4 — 3x .( 2 ) 0< x < 8 .（ 3）函数y = 2 4 — 3x的图像如图1所示.三. 达标训练1 .填空题（ 1 ） .汽车行驶的路程为1 2 0千米， 则汽车的速度y （ 千米/ 小时） 与时间x （ 小时） 之间的函数解析式是，x的取值范周是.（ 2 ） .设矩形的长为x米，宽为丁米，①当矩形周长为1 0米时，y与x之间的函数解析式是,定义域为 ②当矩形的面积为1 0米 2 时，y与x之间的函数解析式是, 定义域为.（ 3） .如果直角三角形的面积是I O //,那么两条直角边长. 加） 和 x （ c m ） 之间的函数解析式是^，x的取值范围是.（ 4 ） .如图2是某水池存水量 （ 万吨） 与注水或排水时间/ （ 小时） 之间的函数关系图.①水池原有水_ _ _ _ _ _ _ _万吨：（ 1 ） 向水池内注入水 小时,每小时注水 万吨；③小时把水排空；每小时排水 万吨.2 .选择题2（ 5 ） . 4 、8为双曲线丁 = 一上关于原点对称的两点，且 N C 〃 y 轴，轴 ，若XSfBC ~ S '贝 I （ ）A. S = 2 ； B . S = 3 ； C. 5 = 4； D . S -5 .（ 6） .某气球内充满了一定质量的气体.当温度不变时，气球内气体的气压P （ 馆。
是气体体积产（ 加3 ） 的反比例函数，图像如图3所示.当气球内气压大于1 4 0切时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应一 一（ ）图3布）2 4A.不大于一 》 ?；3 57 4C.不大于一用3 ；3 72 4B .不小于——m3 5丁 I 丁 2 4 3D .不 小 于 一m .3 7 3 . 解答题( 7 ).甲、乙两人从山脚( 0 ) 登上山顶，图 4中的两条线段分别表示甲、乙两人离开山脚的距离y ( 米)与所用时间x ( 分钟)的关系.①分别写出为与x 、y乙与x 之间的函数解析式.②当甲出发后经过多长时间后，两人相遇？相遇点在何处？( 8 ).小杰利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表:输入n…123-1• • •输出y・ ・ ・1 / 22 / 53 / 104 / 17・ ・ ・①求出y 与〃的函数关系式；②当输入数据为8时，输出数据为多少？四. 拓展提方)( 9 ) .为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过1 0/ 时，水价为1 .2 元 / £ ；超过1 0/ 时，超过的部分按1 .8 元 / / 收费.该市某居民5月份水》( x > 1 0 ) , 应交水费y 元 .求 歹 与 x 的关系式.五. 点击中考( 1 0) .若正比例函数的自变量增加5 时， 对应的函数值减少2 , 则这个正比例函数的解析式为 18. 4 ( 2 )函数的表示法知识梳理从图形或已知中获取相关信息.二. 例题精讲例 L某同学带5 0元钱去新华书店买数学书，已知每册定价9元 4角，写出买书册数X与余下钱数y 之间的函数关系式，并画出函数图像.解析：要根据实际问题的含义，确定出自 v变量的取值范围.这里x 代表买书的册数，因此X的取值是非负整数，y 为钱数也是 .非负数，因此图形是一些孤立点. .解答：所求函数关系式为y = 5 0 - 9. 4 x . 因为x表示买书的册数，所以x的取值范 .围为0 W x W 5 且为整数. 万 ----- ； ---- J---- ； ---- ； ---- ； -----味( :此函数的图象是如图1 所示的六个点.图 1例 2 如图2 所示， 周长为2 4的凸五边形A B C D E被对角线3E分为等腰三角形/8 E及长方形B C D E , 且= 4 E = E D .设 48 的长为x , CD长为y , 求夕与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并在所给出的坐标系中画出这个函数的图像.解析：根据周长关系确定V 与X之间的函数关系，在确定自变量X的取值范围时，要注意三角形/8 E构成的条件.解答：• . . 四边形BC0E为矩形:.B C = D E , B E = C DA B = A E = E D = x , C D = y/. B C - x, B E - y• . •凸五边形A B C D E 的周长为24y = 24 - 4xV A B - A E < B E < A B + A E/. 0 < 24 - 4x < 2x 4 < x < 6其图像如图3 所示.说明：在确定函数中的定义域时，要根据具体情况进行分析. 对于实际问题中的函数，其定义域要考虑实际意义. 如本例中，要根据三角形任何一边都小于其他两边之和而大于其他两边之差来确定函数定义域.三. 达标训练1 . 填空题(1 ) . 水槽内有水3 0 0 升，现用每分钟可抽水1 5 升的抽水机来抽，那么水槽中剩余水量Q (升)和抽水机工作时间f ( 分 钟 ) 之 间 的 函 数 解 析 式 是 , 自变量， 的取值范围是.(2) . 拖拉机的油箱里盛油5 6千克，使用时，平均每小时耗油6 千克.①若拖拉机工作4小时，则油箱里还盛油 千克；②油箱里还盛26千克油，则拖拉机工作了 小时； ③油箱里盛油歹(千克)与使用拖拉机工作时间f (小 时 ) 之 间 的 函 数 解 柝 式 为，函 数 的 定 义 域 为 .2 . 选择题(3 ). 若 A ( -3 , y。
B ( -2, y2), C ( - 1 , y3) 三点都在函数y = ■的图象上，则X山、y2、 y3 的大小关系是----------------------------------------------( )A.B- 乂 < %< %； c . = y2=y3； D . y[< y3< y2.(4 ). 函数y =々左0 )的图象如图4 所示， 那么函数y =履一左的图象大致是( )3 . 解答题(5 ) . 某人在银行的信用卡中存入2 万元，每次取出5 0 0 元. 设卡中余额为y 元，取款次数为X, 试写出y 与x之间的函数关系(不计利息)，并写出定义域.(6) . 如图5 ,学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为24 平方米的长方形饲养场地A B C D . 设 B C 为 x 米，A B 为 y 米.① 求 y 与 x的函数关系式；②延长B C 至 E, 使 C E 比 B C 少 1 米，围成一个新的矩形A B E F ,结果场地的面积增加了1 6 平方米，求 B C 的长. 四. 拓展提导］( 7 ) . 某厂从2 0 0 1 年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：年 度2 0 0 12 0 0 22 0 0 32 0 0 4投入技改资金Z ( 万元)2 . 5344 . 5产品成本( 万元/ 件)7 . 264 . 54( 1 ) 请认真分析表中数据，哪种函数能表示其变化规律，为什么？求出函数的解析式;( 2 ) 按照这种变化规律，若 2 0 0 5 年已投入技改资金5万元.① 预计生产成本每件比2 0 0 4 年降低多少万元？②如果打算在2 0 0 5 年把每件产品成本降低到3万元，则还需投入技改资金多少万元？五. 点击中考( 8) . 某种灯的使用寿命为1 0 0 0 小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为.( 9) . 近视眼镜的度数y ( 度) 与镜片焦距x ( m) 成反比例，已知4 0 0 度近视眼镜镜片的焦距为0 . 2 5 m, 则 y与 x 的 函 数 是 关 系 式 为 . 第十八章正比例函数和反比例函数单元测试一 选 择 题 ( 2 分义6 二 1 2 分)1 . 下列函数中的正比例函数是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )1 3 xA . y = —— ； B . y = ； C . y = ； D . y = 6 x — l.5 x x 32 . 若反比例函数少=人 的图像在每个象限内，y随 x 的增大而减小，则衣( )xA . k 2 0 ； B . k > 0 ； C. k W O ； D . k < 0 .3 . 下列说法中，错误的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A . 函数y%(4V 0)的图像经过第二、四象限；B . 正方形的周长与它的边长成正比例；C . a+ 1 是 x 的函数；D . 函数y = m y随 x 的增大而减小.X4 . 下列函数图像过一三象限的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )3 ,, 7A . y = — ; B . y= x ； C . y= -2 x ； D . y - ---.x x5 . 点 ( 3 、4 ) 是反比例函数y = & 图像上一点，则此函数图像经过点- 一 ( )XA . ( 2 , - 6 ) ； B . ( 2 , 6 ) ； C . ( 4 , - 3 ) ； D . ( 3 , - 4 ) .6 . 下列函数中，y随 x 的增大而增大的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A . y = ( k2 + l ) x ； B . y = — ( k2 + l ) x ； C. y = ― —— ； y =― ― —― .x x二 . 填 空 题 ( 3 分X 1 2 二 3 6 分)7 . 已知y =( h l ) x是正比例函数，则在满足条件.8 . 函数y = V x -3的定义域是.9 . 已知 f ( x) =—，贝 ！J f ( V2 ) =.xk1 0 . 如果点4 ( 2 , 3 ) 在反比例》= — 的图像上，则公.x1 1 . 已知一正比例函数图像上有一点( 1 , 3 ) , 则其解析式为.1 2 , 点力( 3 , - 1 ) B ( / ? , 3 ) 都在同一个正比例函数的图像上，则 〃= .1 3 . 函数y =( 2 丁3 ) x的图像过二四象限，则 a的取值范围是1 4 . 如果函数y =2 / 自变量x 的取值范围是- 3 VxV0 , 那么y的取值范围是—1 5 . 写出一个图像过一三象限的 反 比 例 函 数 解 析 式 .1 6 . 如果片( 勿- 2 ) 广 为 2 - 4 是正比例函数，那么2 Z 7 - . 1 7 . 如图，△。
图 是边长为2的等边三角形，为坐标原点，点Q在 x 轴 上 ，若 反 比 例 函 数 的 图 像 过 点 a 则它的解析式是1 8 . 己知4 8 两地相距2 0 千米，某人从4 地步行前往8 地，步行速度是8 千米/ 小时，步 行 t 小时后离8 地 S 千米，写出S 与匕的函数解析式及定义域三 . 简 答 题(5分X 2+6分X 2=22分)4, , ,1 9 . 若 y与 2A+1成反比例，当下1 时 ， ，y =— ，求 y与 x 的函数解析式.32 0 . 若函数夕=( 机— 3 ) x" ， H是正比例函数，求力的值并写出解析式.42 1 . 已知直线y= k x与双曲线y = —交于M 、N点 ,点 M的横坐标是2 .x( 1 ) 求. " 点的坐标；( 2 ) 写出正比例的函数解析式.2 2 . 某水库有水0与排水时间t (时)的函数图像如图所示，根据图像回答问题.(1 )排水前，水池内有多少立方米水？(2 )排 水 1 0小时后，水池还剩多少水？(3 )剩水4 00/ 时，已排水几小时？(4 )写出0 与 £ 的解析式及定义域.8006004002000 10 20 30 40 t（ 时）22题图 四 . 解 答 题（7分X 2+8分X 2=30分）2 3 . 已知y= yi+yz,力与x +X成反比例，匕 ■ 与x -\成正比例，且当产0 时，y= -l,当x = 2时，y - 3 .（ 1 ） 求 y 与 x 之间函数解析式；（ 2 ） 判断加2 , T） 是否在这个图像上.2 4 . 如图，长 方 形 3的边力庐4 , 叱 5,点 八 0 分别从4 6 1 出发向〃、6以相同的速度运动，设 4 尸的长为必四边形9 % 的面积为二（ 1 ） 写出y关于x的函数解析式；（ 2 ） 写出函数的定义域.24题图2 5 . 正比例函数的图像经过点（ - 3 , 5 ） ,过图像上另一点4作 y轴的垂线，垂 足 6点的坐 标 是 （ 0, 4 ） ,求点力的坐标与△力出的面积.2 6 . 己知R t/ 4 ? C N / = 9 0° , " 比1 , 将它放在直角坐标系中，使斜边a 1 在 x 轴/ ?上，直角顶点4 在反比例函数y = » 的图像上，求 点 。
的坐标.x26题图 1 9 . 1 ( 1 )命题和证明知识梳理1 .演绎推理(演绎法)的思想.2 .演绎推理的过程，就是演绎证明. 简称证明.二 . 例题精讲例 1 . 请填写下面题目中的逻辑证明每一步的理由.已知：如图 1 , BD±AC, EF±AC, D 、尸是垂足，N 1 = N 2 . 求证：N 4 D G = N C.证明：因为 EF±AC(所以/ 3 = / 4 = 9 0 ( ) .所以 BD//EF( ).所以 Z 2 = Z C 5 D (因为 Z 1 = Z 2 ( ),所以 Z l = Z C f i Z )(所以 G D//BC(所以 Z A D G = Z C ()，) .) .) .)解析：从填写逻辑证明每一步理由的过程中, 逐渐体会逻辑证明的过程.解答：已知；垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等.三 . 达标训练1 . 填空题(1 ) . 如图 2 , / / + / £ )= 1 8 0° (已知)，； .// ( ).： .Z\= ( ) .V Z 1 = 5 O° (已知)，. \Z C = 5 0o ( ).(2 ) . 在中，N B= 45 。
, Z C = 7 2 °, 那么与NZ相 邻 的 一 个 外 角 等 于 .(3 ) . 在△ / 8 C 中，Z A+Z B= 1 1 O°, / C = 2 / Z , 则//=, Z5=.(4 ) . 在直角三角形中，两个锐角的差为2 0 ，则两个锐角的度数分别为_ _ _ .(5 ) . △ N 8 C 中，AB= AC, ZA =ZC ,则/8=°.(6 ) . 如图 3 , AB//CD, Z A= 2 1 °, Z C = 5 6 °. 则NE=度.图 2图32 . 选择题(7 ) . 已知的三个内角度数比为2 ： 3 ： 4 , 则这个三角形是- - - - - -( )A. 锐角三角形；B . 直角三角形； C.钝角三 角 形 ； D . 等腰三角形.(8 ) . 若等腰三角形的一个外角为1 1 0 ，则它的底角为- - - - - - - - - - - - - - ( ) A. 5 5 ° ； B . 7 0° ； C . 5 5 或 7 0° ； D . 以上答案都不对.(9 ) . 如图4,点 O, E分别是Z 8 , 4C上的点，连结8 E , CD.若/ 8 = / C , 则N N E 8 与 的 大 小 关 系 是 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. N A E B > N 4 D C ； B . N A E B = N A D C ； C . Z A E B < Z A D C ； D . 不能确定.(1 0) . 下列条件中， 不能成为全等三角形的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( 4 )A. 有两角及一边对应相等的两个三角形；B . 有一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形：C.有一条边对应相等的两个等边三角形；D . 有两边及一角对应相等的两个三角形. B々 图 4 ) 、 c(1 1 ) . 一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 则这两个角的关系是一 ( )A. 相等； B . 互补； C . 相等或互补； D . 不能确定.3 . 解答题(1 2 ) . 如图 5 , B C LE D ,垂足为 O, Z A= 2 7 °, Z £ > = 2 0°, 求N / C 8 与N 8 的度数.四. 拓展提高(1 3 ) . 若三角形三个外角度数之比为2 ： 3 ： 4,则与之对应的三个内角的度数之比为A. 4 ： 3 ： 2 ； B . 3 ： 2 ： 4 ； C . 5 ： 3 ： 1 ； D . 3 ： 1 ： 5 .(1 4 ) . 如图6 , 把△ 4 8 C 纸 片 沿 折 叠 ，当点力落在四边形8 C D E 内部时，则N4与Z1+Z2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找这个规律，你发现的规律是( )A . Z J = Z 1 + Z 2 ； B . 2 N 4 = N 1 + N 2 ；C . 3 Z ^ = 2 Z 1 + Z 2 ； D.3Z A= 2 ( Z 1 + Z 2 ) .五. 点击中考( 1 5 ) . 天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价3 0 元， 主楼道宽2 m,其侧面图如图7 所示，则购买地毯至少需要—元.2.6 m5.4 tn图 7 19. 1 ( 2 )命题和证明知识梳理1 .能界定某个对象含义的句子叫做定义.2 .判断一件事情的句子叫做命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.3 .人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理.4 .从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.二. 例题精讲例1 .判断下列句子是否是命题，且请说明理由：( 1 )三角形N 8 C和三角形。
E E ；( 2 ) 一个三角形中不会有两个直角；( 3 ) 2、4、6这三个数全部是奇数.解析：命题是属于逻辑学范畴的名词，命题是判断一件事情的句子. 命题有以下特征：( 1 )命题是一个完整的语句，它必须具有“ 判断”的作用，判断是指对某一事物的肯定( 是什么) 或否定( 不是什么) ，也可对某一事态表达是对或是错的意向.( 2 )命题是一种表现思想的形式逻辑，是客观现实对象和客观现实现象的表达.解答：( 1 )不是命题，语句不完整；( 2 )是命题，且是一句完整的否定句；( 3 )是命题，且是一句完整的肯定句.说明：( 1 )判断是一种思维形式，它是对某种对象有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假之分.( 2 ) 一般来讲判断就是确定“ 是”或 “ 非”，但 有 时 “ 判断”也可用“ 只有”、 “ 最”等 词 语 . 如 “ 两点之间线段最短” 、“ 两直线相交，有且只有一个交点” .例2 .指出下列命题的条件和结论，并改写成“ 如果……那么……”的形式：( 1 )三条边对应相等的两个三角形全等；( 2 )在同一个三角形中，等角对等边；( 3 )对顶角相等；( 4 )角平分线上的点到角的两边距离相等.解析：找出命题的条件和结论是理解命题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时要注意把省略的词或句子添加上去.( 1 ) “ 三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“ 两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“ 两个三角形的三条边对应相等” ，结论是“ 这两个三角形全等” . 可 以 改 写 成 “ 如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等” .( 2 )同学们可能会说条件是“ 在同一个三角形中” ，结论是“ 等角对等边” . 其实 “ 等角对等边”的含义是指同一个三角形中有两个角相等所对的两条边相等，' 试问：一个三角形满足什么条件时，有两条边相等？这个命题的条件是什么？结论是什么？值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“ 在同一个三角形中” ，在改写时不能遗漏. 这个命题可以改写成“ 在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的 边 也 相 等( 3 )注意：对顶角指两个角的位置关系，相等指两个角的相等. 把“ 两个角”添补上去，写 成 “ 是对顶角的两个角相等” ，这样不难得出这个命题的条件是' ' 两 个角是对顶角” ，结论是“ 两个角相等” . 这个命题可以改写成“ 如果两个角是对顶角，那 么 这 两 个 角 相 等 ⑷ “ 如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等” .三. 达标训练1 . 填空题( 1 ) . “ 两直线平行，同位角互补”是 命 题 ( 填 “ 真”或 "假 ” ) .( 2 ) . 把命题“ 等角的补角相等”改写成“ 如果……那么……”的形式是：如果,那么.( 3 ) . 命 题 “ 直角都相等”的题设是 ，结 论 是 .( 4 ) . 写出下列假命题的反例：①有两个角是锐角的三角形是锐角三角形..②相等的角是对顶角. .2 . 选择题( 5 ) . 下列语句中，属于命题的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A . 直线A B和C D垂直吗？ ； B . 过线段A B的中点C画 的 垂 线 ；C . 同旁内角不互补，两直线不平行： D . 连结4 , 8两点.( 6 ) . 同一平面内，下列命题属于假命题的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )A . 若 a _ L c , b V c ,则 ； B . 若〃〃b , b//c ,则 a 〃c ；C . 若 bS-c ,则 a 〃方； D . 若 a _ L c , b//a,则 b _ L c .( 7 ) . 下列四个命题中，属于真命题的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A . 互补的两角必有一条公共边； B . 同旁内角互补；C . 同位角不相等，两直线不平行； D . 一个角的补角大于这个角.( 8 ) . 命 题 “ 垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是- - - - - - - - - - ( )A . 垂直 B . 两条直线C . 同一条直线 D . 两条直线垂直于同一条直线.3 . 解答题( 9 ) . 用 “ 如果……那么……”改写命题，并指出题设与结论.①同角的补角相等；②两个无理数的积仍是无理数；③全等三角形的对应边相等；④等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线.( 1 0 ) . 判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例. ①若两个角不是对顶角，则这两个角不相等;②若 a+h= O,则 ab= O；③若 ab= O,则 a+b= O.四. 拓展提演)( 1 1 ) . 有下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ④如果两条直线都垂直于第三条直线， 那么这两条直线平行,其中真命题有- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A . 1 个； B . 2 个； C . 3 个； 1 ) . 4 个 .( 1 2 ) . 已知：直线“ ，6被 c 所截，Z l , N2是同位角， 且求证：a不平行6 .证明：假设,则 ,( )这与 相矛盾，所以 不成立，所以a不平行从五. 点击中考( 1 3 ) . 下列语句不是命题的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A . 两点之间线段最短； B . 不平行的两条直线有一个交点；C . x与夕的和等于0吗？； D . 对顶角不相等.( 1 4 ) . 在 四 边 形 中 ，给出下列论断：①AB//DC：②4 ) = 8 C ；③4=NC.以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用 “ 如果…，那么…”的形式，写出一个你认为正确的命题 19. 2 （ 1）证明举例—.知识梳理 -. . . . . .-证明两条直线平行的方法有哪些？ c W- - - L二. 例题精讲例 1 .如图 1 ,已知：Z5C F=Z5+ZF,求证：AB//EF. 云 --------说明：添平行线后，可利用平行线性质、判定定理证明. 图1证明：过点C作C。
〃/8 , .-.ZS=Z1 （ 两直线平行，内错角相等）.■ : N B C F = N B + N F , ： . ZF=Z2 （ 等式性质）....CO〃EB （ 内错角相等，两直线平行）.,JAB//CD, CD//EFJ.AB//EF （ 平行于同一条直线的两条直线互相平行）.注意：本题有多种证明方法，可延长FC交4 8于 或连结8尸等等，可 谓 “ 条条道路通罗马” ，同学们不妨选一二种方法一试.例2 .求证: 等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边.已知：A 48C中，A B =A C , N D 4c是和NA4C相邻的外角，NE是 /D 4 c的平分线.求证：AE//BC.解析: 要证明A E // B C ,只要证明Zl = ZC （ 或ND A E = Z 8 ）就可以了.证明：•••/8 = NC （ 已知） ，，/ 台 = / （ 等边对等角）. ）•••ND4C = N8 + NC （ 三角形的外角定理） ， A /.•.NZMC = NC + NC = 2NC （ 等量代换）. ~E.•.NC = g /D 4 C （ 等式性质） . / \. B C又• • • Nl = - ^D A C （ 已知） ，Zl = ZC （ 等量代换） . 图 2/. A E H B C （ 内错角相等, 两直线平行） .三. 达标训练1 .填空题（ 1） .已知：如图3, AB//CD, E尸分别交于48、C D 于 E 、F, E G平分N 4EF, F H 平分 NEFD求证：EG //FH.证明：,/ AB//CD （ 已知）;, ，N A E F = N E F D () .,/ EG 平分/Z E尸 ，F H 平分N E F D （ ） ,AZ Z AEF, Z =工（ 角平分线定义）.A / B一 2一 2G H・•・ Z _____ = z_____.・•・ EG //FH ((2) , 如图4 ,推理填空:) .C F D图3 ® ' ： ZB= ( 已 知 )，： .DE//BC ( ).( 2),/ Z3 += 180°， , DE//BC ( ).③ •.•/4= ( 已知)， .•.48〃EC ( ) .@ ' ： AB// ( 已 知 )，= .⑤ ；// ( 已 知 )， ...N2 + NE=180° ( ) .⑥ • ；// ( 已 知 )， A Z 3 = Z6 ( ) .2 .选择题( 3 ).如果直线。
〃b , b 〃 c ,那么a 〃 c .这个推理的依据是- - - - - - - - - - - - - - -( )A.等量代换； B.平行于同一直线的两条直线平行：C.两直线平行，同位角相等:D.平行公理.( 4) .如图5 ,点E在BC的延长线上，下 列 条 件 中 不 能 判 定 的 是 一一( )A. Z 3= Z 4；B. Z 1= Z 2；C. N B = N D C E ；D. Z D+Z DAB= \ S0 °.3 .解答题( 5) .如图6直线4 8、8 被直线环所截，已知N l+/2=180 ,求证：AB//CD.图6( 6 ).已知： 如图7, Z ABC= Z ADC, BE、 尸分别是N /8C、N /O C的平分线， 且N1=N2.求证：FD//BE .D E- \ 2 VCAB图7 四. 拓展提导］( 7 ) . 已知：如图 8 , AB//CD,Z ABC= Z ADC, M： AD//BC .证明：:.AB" CD(Z1 =(5 L Z ABC= Z ADC(： .N 4BC-N l= N ADC-N 2 (即/ 3 = N 4 .： . A D / / (),).),).) .( 8 ) . 如图9 , 四边形力 88 中，C E 平分N B C D ,交 / 。
于点E , Z G AB= Z AG B, AG //CE交 的延长线于点F .求证：AB //CD.图 9五. 点击中考( 9 ) . 有下列两个语句：甲：平行于同一条直线的两条直线互相平行；乙： 垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 其中判断正确的是- - - - - - - - - - ( )A. 甲对乙错； B. 甲错乙对； C . 甲乙都对； D . 甲乙都错.( 1 0) . 如 图 1 0, 下列条件中，不能推断力3 〃 8的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. N 1 = N2； B. N 3 = N4； C . Z 5 = Z 5 ； D . N8 + N 8 C 1 8 0 ° .A DCB图 1 04,、5E 19. 2 （ 2）证明举例一.知识梳理证明线段相等、角相等的主要方法有：全等三角形的对应边相等，对应角相等；等边对等角；等角对等边；等腰三角形的三线合一；…….二. 例题精讲例 1 . 已知：如 图 1 , 是ZM8C边 上 一 点 ，D F 交 4 c于1 E, DE= FE, FC//AB.求证：AE= CE.解析：利用三角形全等的公理及定理，证明//O E g /C F 'E ,从而证得4E=CE.证明：因为FC〃 /8 （ 已知） ，所以N4=N4C/ （ 两直线平行，内错角相等） ./ / = / 月 。
尸（ 两直线平行，内错角相等） .在 4 4 D E 与2 C F E中,（ 已证）.尸（ 已证）D E = F E （,已知）所以 ^ A D E ^ ^ J C F E （ A.A.S）.所 以 /E=CE（ 全等三角形对应边相等） .图 1说明：证明过程应是严格的逻辑推理，也就是前因后果应是对应的，说理过程应符合逻辑顺序，同时使用规范性语言和证明格式，能说出证明过程每一步的依据.例 2. 已知：如图2, A 48E 和A4O C都是等边三角形. 求证： 8D = EC.证明： A4BE和A4O C都是等边三角形（ 已知） ， E.♦./E = Z6,NC = Z （ 等边三角形的定义） ，NE43 = ND4C = 60° （ 等边三角形的每一个角都等于60°） . / \ \N E A C = Z E A B + N B A C, / DN B A D = A D A C + N B AC （ 两角和的定义） ， /N E A C = / B A D （ 等量代换） . __ V在 A4CE 和 中 B CA E = A B （ 已证） ，A D = A C （ 已证） ，Z E A C = Z B A D （ 已证） ， 图 2： . MC E = MD B （ S,A,S） .B D = E C （ 全等三角形的对应边相等） .三. 达标训练1 . 填空题（ 1） . 如图 3, AB= DC, AD= BC, E 、F 是 B D 上两点,若 N/E3=100。
，N/D8=30 ，则 N8CF= .（ 2） . 过ZZ7 A B C D的对角线交点0 的一条直线交4于E ,交8 c 于F ,则图中有 对全等三角形.2 . 选择题（ 3） . 下列各组所述几何图形中，一定全等的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（ ）A. 一个角是45 的两个等腰三角形； B.两个等边三角形； C . 腰长相等的两个等腰直角三角形；D . 各有一个角是4 0°, 腰长都为5 c m 的两个等腰三角形.( 4 ) . 根据下列已知条件， 能卷：画出△ N 8 C 的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. AB=3, BC=4, AC=8； B. AB=4, BC=3, Z J = 3 0°；C . 4=60 ，NB=450, 4 2 = 4 ； D . Z C = 9 0°, 4 8 = 6 .( 5 ) . 如图4,已知， 8=力 ，B E = C E ,延长/E交 8c于 则图中全等三角形共有( ).A. 1 对； B. 2 对； C . 3 对； D . 4 对 .3 . 解答题( 6 ) . 如图5 , AB=AE, A C = A D ,要使E C = 8 。
需添加一个什么条件？请说明理由.图 5( 7 ) . 如图6 , A D 是N B 4 C的角平分线，E 是 A B边上一点，AE=AC, EF//BC交 4C于 点F .求证：C E 平分NDEF.BD图 6 四. 拓展提息］( 8 ) . 如图 7 所示，为等边△月8 c 内一点，K BD= AD, BP = AB, Z 1 = Z 2 ,求NP的度数.图 7( 9 ) . 如图8 , 在 A / 8 C 中，8 4 c = 9 0°, 直角4打斗 ' 的顶点尸是8c的中点， 两边P E 、P 尸分别交力8 、4 c于点E 、F.①求证：AE= CF ( 提示：添辅助线)；②是否还有其他结论，不要求证明( 至少写2个 ).图 8五. 点击中考( 1 0) . 在△ 4 BC 和△£ > £ / 中，® AB= DE, ® BC= EF, ® A C = D F , ④NA =ND ,从这四个条件中选取三个条件能判定△ / 8 C 丝△£ > 环的方法共有 种. 19. 2⑶证明举例（ 全等三角形与平行）知识梳理1 .通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式;了解证明之前进行分析的基本思路；2 . 利用全等三角形的判定与性质来证明有关线段相等以及两条直线的平行的简单问题.二. 例题精讲例 L 已知：如图 1, A D 、8 c 相交于点 O, 0 4= 0 D, OB= OC,点 、 E 、尸在 4。
上，SL AE= DF, N A B E = N D C F . E\ /求证：BE HCF. \ /解析：要证明5 E /C F ,只要证明N1 = N2,而证N1 = N 2能用多 X °种方法. / \解1：要证明8 E /C F ,只要证明N l = / 2 ；已知/又由三角形的外角性质可知N1 = NZ + N /B E , Z2 = Z £ > + Z \D C F ,因 此 只 要 证 明 = ° 图1 0证明：（ 略）.解2：要证明BE H CF,只要证明Z1 = Z 2 ；只需要证明W BOEW CCOa由已知OB= OC,对顶角NBON=/CO可知只要证明OE=OR由已知条件04=0ZE=O尸即可得到OE= OF.证明：（ 略）.解3：要证明8 f 〃 凡 只 要 证 明N E 8 0 = N尸C由图可知NE80+N/18E,ND C O = N F C O + ND C F ,因为已知N D C F ,所以只要证明/Z 2 0 = NOCO；因 此 只 要 证 明 8名WDOC.证明：（ 略）.说明：由于上一节内容中主要运用了 “ 执因索果法”，利用多种方法解一道题，对提高学生思维的灵活性大有帮助. 所以，在本例题中也以同样的要求来对待.例2 . 已知：如图2, ZD〃8C,E是线段8 c的中点，AE= DE. “ „A D求证：AB= DC. R 八解析: 要证明月8=OC,只需要证明ZL48E丝Z\£>CE；由ZE=OC, / \ / \可知N3 = N 4 ,又 因 为 所 以 得 到N l = / 2 ；只要再 / \ \找出一条边或一个角的情况即可；结合E是线段5 c的中点， / \ / \可 知 成= E C ,可以证明ZU8E丝ZiOCE. / U \证明：（ 略）. B -E c说明： 例2中证明两个三角形全等需要通过多个因果关系来创 国造条件，再导出结论则不难.三 . 达 标 训 练1 .填空题 八 /E（ 1） .如图 3 ,已知：BC= DE, AC= EF, A D = F B ,求证：ACHEF.证明：•:AD= FB （ 已知），B D= BD （ 公共边）， 午： .AB= FD （ _______________） . / A /在 A A B C 和 A D E F 中 /" AC= EF （ 已知）BC= DE （ 已知） AB=FD ( 已证)A AABC^AFDE (S. S. S ) .；.NA=NF ().：.AC//EF ().2 .解答题(2 ).已知：如图4,求证：BE//CF.AD和CB相交于点O ,且 。
为8 c中点，AE=DF.图4四. 拓展提高(3) .如图 5 ,已知 RTAABC, N/CB=90° , CD LAB 于 D, AE 为/ / 的平分线， 交 CD于 E, E产交AB于F , / 尸=4C.求证：EF//BC.AD• •FEC *°B图5五. 点击中考(4) .已知：如图 6, AE=BE, DE=CE, 求证：DC//AB.图6 19. 2 （ 4）证 明 举 例 （ 全 等 与 垂 直 ）知识梳理1 .通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式;了解证明之前进行分析的基本思路；2 .用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质来证明两条直线垂直的问题.例题精讲例 1 .已知，如图 1, 且N1=N2. 求证解析：由N l= /2可知， 要证垂直，只要证ZVI8C是等腰三角形. 而证/8= N C ,只要证A A B D ^ A A C D .证明NN8D=N4CD=90° （ 垂直的定义） .在与△4CO 中， AZ A B D = 4 C O（ 已证） ，・N1=N2（已知） ， / \A D = （ 公共边） ， / \...△48。
丝△/CD（ A.A.S） ..•.Z8=ZC（ 全等三角形的对应边相等） .• ： A A B C是等腰三角形， 且/ 1=N2, 图18c（ 等腰三角形的三线合一） .说明： 本例利用全等三角形性质结合等腰三角形三线合一证明两直线垂直, 要引导学生在解题后反思， 小结证明两条直线垂直的基本方法.例2 .已知: 如图2 ,在 A 4 B D中〃C_L8£） ,垂足为点CMC=8C.点E 在 4 c上， 且CE=CD.联结B E并延长交A D于点F.求证:解析： 可以得△8C£0A/ICZ） （ S.4S） ,利用三角形内角和定理证N8FD = 90°来证明A两直线垂直/K证明: （ 已知） , . . .4 46 = 4 90°（垂直的定义） . / V .在 A5CE 与 A/4C中，C E = 8 （ 已知） ， ―< N8CE = 4 C O（ 已证） ， ，6 Z C（ 已知） ，A B C E 沿 M C D （ S.AS） .： . Zl = N2 （ 全等三角形的对应角相等） .在A4CQ中,/2 + / 180°（三角形的内角和等于180° ） ,在A5ED中，/1 + /。
/ 8叩=180°（三角形的内角和等于180° ） ,Z1 + Z P + N B F D = N2 + /£> + 4 GD （ 等量代换） ./. Z B F D = A A C D = 90° （ 等式性质）".B足L/Q（ 垂直的定义） . 说明： 在本题中利用了全等三角形性质与三角形内角和定理来证明两直线垂直， 证法有一定的典型性， 要引导学生在解题后反思， 小结证明两条直线垂直的基本方法.三. 达标训练⑴ . 如图3 , 为B C边上一点， 4 1 8 丝那么A D与B C的 位 置 关 系 是 .( 2 ) . 如图 4,已知Z U 8 C 中，BD= AD= CD, ^ \ Z BCA=度 .8 c 于 D 求证：A D L BC.四. 拓展提导)( 5 ) . 如图 6 所示，ABL BD, ED±BD, C 为 8 上一点，AB= CD, BC= DE.①求证. •力CLC E. ②若将C D沿C B方向平移得到图7 、图 8其余条件不变. 结论AC±CE 还成立吗？请说明理由.五. 点击中考( 6 ) . 如图 9 , 已知： 在 A4 8 c 中， / 8 =/ C , 点 。
E 、 F 分别在边 上， 8 £ =C D,8 O = C F , 点 M 是 E 尸的中点. 求证：DM V EF.图 9 19. 2 （ 5）证明举例（ 根据基本图形补型添线）知识梳理1 .通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路；2 . 能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题；3 . 了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；4 . 了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态.二. 例题精讲例 1 .如图 1,在A /B C与中,Z 8 = /8 ： 8 C = 8 C ',C /= C '/'.求证：△48C丝△N '8 'C '.解析：要 就 要 设 法 找 到 一 组 角 对 应 相 等 . 而 分 散 的 三 角 形 要 通 过 图 形的运动，把条件集中在一个图形中.AB=A'B,,AC=A 'C'（ 已知） ,.\Z 1= Z 2 , N3=N4（等边对等角） .N l+ N 3 = N 2 + /4 （等式性质） . 即N 8 '/ 'C'=NB4C.在△4 8 C与△/ ' 夕 U中，"/8 =工 '8 ’（ 已知）J （ 已证）J C = /'C （ 已知） ，AABC乡 AA 'B 'C'（ S.A.S） .说明：本例是补证“ 边边边”定理，证明的思路是通过图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中，然后利用已有的“ 边角边”定理，证明两个三角形全等. 这种利用图形的运动的方法，学生以前从未遇到，在后面的例题中还会用到，要注意分析和引导.例题2 .如图2,四边形/8 C D中,/8=DC, N8=NC.求证：ZA=ZD.解析：要证/A = N D ,设法证/ A、N D所在的两三角形全等，故联结AC、BD,设法证△ 4B D /A D C A .图2图3入D图4 证明: 分别联结4C、如图3） .在LA B C 与A D C B中，'/8=£） C（ 己知）/Z8C=NOC8（ 已证）J 8C=C8（ 已知） ，A 4 B C 经 A D C B （ S.A.S）得 ZC=O8（ 全等三角形的对应边相等） .在 A 4 B D 与/XDCA 中，C 0 8 = /C（ 已知）[ 力 B=DC（ 已知）L ZO=D4（ 公共边） ，，A A B D ^ A f ） CA（ S.S.S），N B 4） =NC£M（ 全等三角形的对应角相等）说明： 本例是证明两个角相等，比较自然地会想到利用三角形全等. 但通过分析，发现需要证两次三角形全等， 有一定难度. 对本例还介绍了通过构造等腰三角形来进行证明的第二种方法（ 如图4）. 两种方法都需要添加辅助线构造三角形，第一种方法的证明过程相对复杂些，但较第二种方法容易想到. 怎样添置辅助线要在以后的学习中不断实践、探索、领悟，要重视图形的运动对添线的启示，而构造基本图形以及补全图形是常用的添线方法.三. 达标训练（ 1） .如图5 , 已知AB=AD, ZABC =ZAD C ,要证CB=CD,需添辅助线。
DA-・C*B图 5（ 2） .如图 6 , 点 E 在 8c 上，AB= AC, 4D=N£求证：BD= CE.« • • •D E C图 6( 3) . 在 ZL4BC 中，A B = A C ,是 NU8C 内一点，且 OB=OC.说明：A O LB C . ( 4) .如图 7 ,已知 8Z)=CD, Z 5 = Z C ,求证：AB=AC.A/ D \B图7 C四. 拓展提高( 5) .如图 8 ,已知 ZU8C 中，NACB=90 AC=BC, AE=CF,是 48 中点，联结E、D F .求证：DEX. DF. A•D *ET > ° ♦ 9B p C图8( 6) .如图 9, AC平分 ABAD, BC=CD, AD>AB.求证：ZS+Z£>=180°.A* *D图9五. 点击中考( 7) .如图 10, AD=BC, NA=NB.求证：ZC=ZZ).图10CD 19.2 （ 6）证明举例知识梳理1 . 通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路；2 . 能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题；3 . 了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线； A4 . 了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态. A例题精讲 / \例 1.已知I : 如 图 1 , 点 。
在边8c上, 8 0 = 8 , N 1 = N 2 . / \求证：AB= AC. /」\证明： 延 长 到 点 瓦 使DE= AD,联结CE. " j fC在△ Z 8 D 与丛E C D中， j /「 &> 8 （ 已知） ; /图 ］-（ 对顶角相等） /、/ / > £ ■£ > （ 所作） 百△ 4 8 0 丝 A E S S . A . S ） .： .EC= AB, （ 全等三角形的对应边相等、对应角相等） .：/1 = / 2 （ 已知） ， ,N E = / 2 （ 等量代换） . . . E C N C （ 等角对等边） .. X 8 = / C （ 等量代换） .说明：本例是证明两条线段相等，图形看似简单，但无法直接运用全等三角形的判定和性质来进行证明. 考虑到已知条件中其实有△ 4 8 的中线A D ,这为图形的旋转提供了条 件 . 通 过 倍 长 中 线 可 作 出 关 于 点 对称的图形. 这种添辅助线的方法，在证明直角三角形斜边上的中线的定理时也要用到，本例是一个铺垫.例 2.如图 2 , 在 Rt & 4 8 C 中，N B 4c = 90 °.点 D 在 BC 上,4D= 4B.求证：N BAD= 2 N C. A证明： 过点A作AHA.BC,垂足为点H已知） ， . •. / 8 / 。
= 2 / 切 ”（ 等腰三角形的三线合一） . / ： V K在△ N B C 中， / !•. •/ 8 / C + N 8 + N C = 1 8 0 （ 三角形的内角和等于 1 8 0 ° ） , / 1 \、又：/ 8 / C = 9 0 °（ 已知） ， . . . N 8 + N C = 9 0 . ° BHD同理/ 5 / 4 + / 8 = 9 0 , ，/8 / ” =/ 同角的余角相等） . 图 2二/AW=2NC（ 等量代换） .说明： 本例要证明两角之间的倍半关系， 利用了等腰三角形的三线合一这个基本图形，转化为证两角相等，而证两角相等利用了 “ 同角 A ____ D的余角相等” . 以前证明两个角相等， 主要考虑利用全等三角形的性 /\质，本例有助于学生拓宽思路. / \三. 达标训练 / 1E（ 1 ） . 已知：如图3 , 点 E是 的中点，4 E 平分N BAD. /求证：B E 平分N 4BC. / /B图 3 (2) .已知：如图4 ,在△ Z8C中，C D是△ /B C的角平分线，BC= AC+AD.求证：N A= 2 N B.五. 点击中考(3) .如图 5, Z1=Z2, DA= DB, . 求证：DC^ AC.2图5(4) .如图 6 ,在 A48c 中，/W_L8 c于点。
N 8= 2/C.求证：AB+BD= DC.图6(5) .如图7, 8 与 相 交 于 点O ,且NC=NZ+N的中点. 求证：AO= OB+BD.B 1 9 . 2 （ 7 ）证明举例知识梳理1 . 通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路；2 . 能利用全等三角形的判定与性质来证明有关线段相等、三角形全等的简单问题；3 . 了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态，会证明简单的文字语言形态表述的几何命题.例题精讲例 1 . 求证：三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等已知：如 图 1 , A D是△ N B C 的 中 线 ,垂 足 为E, B F L A D ,垂足为F.求证： C E = 8 尸 .证明：是△ / 8 C 的中线（ 已知） ， . •. 8 Z A C D （ 中线的定义） .V CEYAD, B F L A D （ 已知） ， ，NCED=N B F D = 9 0 垂直的定义） .在△8 尸与△（ 7 £ ） £ ■ 中 ，已证）J N 8 D F = N C D E （ 对顶角相等）] 8 £ > = 8 （ 已证）A B D F m A C D E （ A A S ） .C E = 2 F （ 全等三角形的对应边相等） .说明：本例是文字语言叙述的几何命题的证明，包括了证明几何命题的完整过程，是一个难点. 教师要从分析题设、结论，到画图、写已知、求证，直至完成证明，耐心地对学生进行引导. 本题不仅可从全等三角形性质的角度证明线段相等，还可引导学生从面积角度入手来证明线段相等，开阔学生的思维.例 2 .求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.已知：如图，在△ A 8 C 与△/ ' 8 ' C ' 中，AD, / ' £ > ' 分别是B C 、8' U上的中线，AB=A'B',BC=B'C', AD=A'D'.求证：4 A B C 迫AA'B'C'.证明4 7 r 分别是8 C 、8 ' 。
上的 中 线 （ 已<： .BD=-BC, 8 ' 0 = ! 8 匕’ （ 三角形中线的定义）2 2又；8 c= 8 ' C ' （ 已知） ， ； .BD=B 'D ' （ 等式性质） .在△4 8 与中（ 已知）[（ 已证）―（ 已知）/\ABD^ /\A 'B D ' （ S. S. S）./ 8 = / 夕（ 全等三角形的对应角相等） .在△ Z 8 C 与△/ ' B ' C ' 中厂 / 8 = / ' 8 ’ （ 已知）N 8 = N B ， （ 已证）又一 8 c = 8 ' （ 已知）. . . △4 8 C 丝△/ ' 8 ' C ' （ S . A . S ）. 说明： 本例是文字语言叙述的几何命题的证明，包括了证明几何命题的完整过程，是一个难点. 教师要从分析题设、结论，到画图、写已知、求证，直至完成证明，耐心地对学生进行引导.三. 达标训练(1) . 求证：有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.(2) . 求证：等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等.五. 点击中考(3) . 如图3 , 已知：4是/ / 8 C 的中线，AB= BD, E 为 8。
的中点.求证：AC= 2 AE.图 3(4) . 已知：如图4 , 在 / / 8 C 中，A B = A C ,点 在 8 c 上，经过点的直线分别交Z8于点E, NC的延长线于点R 8E=C E求证：DE= DF.图 5F 19. 3逆命题和逆定理知识梳理1 .知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理等概念；2 . 会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假；3 .知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理.二. 例题精讲例1.回答下列问题：( 1 )已知命题“ 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等. ”请问这个命题的题设和结论分别是什么？( 2 )已知命题“ 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角/ ' 请问这个命题的题设和结论分别是什么？( 3 )上面两个命题有什么不同，请你说说看.第一个命题的题设和结论与第二个命题的题设和结论是相反的.你们讲的很好，把你们讲的归纳一下，就是本节课我们要学习的重要概念:命题题设结论如果两个角是同一个角的余角， 那么这两个角相等.两个角是同一个角的余角两个角相等如果两个角相等， 那么这两个角是同一个角的余角.两个角相等两个角是同一个角的余角在两个命题中， 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论是第二个命题的题设， 那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题.就 例1来说，如果说“ 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等①”为原命题， 则' ' 如果两个角相等， 那么这两个角是同一个角的余角②”为逆命题. 我们说①②两个命题叫做互逆命题.说明：对于例题1的处理没有直接采用课本的原题，而是增加了几问，使问题的难度由浅入深，学生比较容易接受，然后通过自己的观察和理解总结出概念，这样比老师讲概念要深亥！I一些 .嗡2 .写出命题“ 全等三角形的面积相等”的逆命题，再判断逆命题的真假.解答：命 题 “ 全等三角形的面积相等”可写成“ 如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等”. 它的逆命题是“ 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形”. 这个逆命题是假命题.例如，如 图1 , AA'HBC, Z U 8C与A / T 5 C的面积相等，但A 4 8 c与不全等.说明：通过例题的讲解要让学生注意以下几个问题:( 1 )注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.( 2 )通过举反例证明一个命题是假命题.( 3 )原命题正确，而它的逆命题不一定正确.图1 三. 达标训练(1) . 说出下列命题的题设和结论，再说出它们的逆命题:① 两直线平行，同位角相等；②对顶角相等；③ 两直线平行，内错角相等.(2) . 写出下列命题的逆命题，再判断逆命题的真假:①等边三角形的三个内角都等于60° ；②关于某一条直线对称的两个三角形全等.(3) . 下列定理有没有逆定理？为什么？①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等.五. 点击中考写出下列命题的逆命题：(1) . 等腰三角形的两个底角相等；(2) . 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半;(3) . 一个三角形中最长的边所对的角是钝角；(4) . 矩形的两条对角线相等. 19. 4 线段的垂直平分线知识梳理1 . 线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线；2 . 定理：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；3 .逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，段的垂直平分线上.二. 例题精讲例 L如 图 1 , C ,力是直线1 上两点；A, 8 是直线加上两点.①已知：CA= CB, D A = D B ,则直线/ 是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. I解答：/ 是线段N8 的中垂线. 大②己知：机是线段8的中垂线，贝 U 8Z A _ _ _ _ _ _ _ _. / \解答：BC. A/ \B说明：由线段垂直平分线定理的逆定理知， 由 C / =C 8, 得 C在 Xv 1/线 段 的 中 垂 线 上 ，同理。
在 线 段 的 中 垂 线 上 ，根据两点确定一条直线，可得直线/ 是线段的中垂线. I，例 2 . 判定定理“ 等腰三角形是轴对称图形”是否有逆定理？ 图I解答： 原命题的逆命题为“ 轴对称图形是等腰三角形”是假命题，所以原命题没有逆定理.说明： 原命题都有逆命题，但由于原命题，逆命题的真假性无必然的依存关系，因此只有当定理的逆命题为真命题时，原命题才有逆定理，否则原命题没有逆定理.例 3. 求证：三角形三边的垂直平分线交于一点.解析：因为两直线相交有且只有一个交点，因此只要证明三角形两边垂直平分线的交点到第三边的两端点距离相等，即可由垂直平分线定理的逆定理知交点在第三边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点.己知：如图2,已知△ 4 8C 的边力 3 c的垂直平分线交于点 .求证： 在//边的垂直平分线上.证明：联结40, CO, BO, 八',/ E 0为A的垂直平分线， / \： .AO= CO ( 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等) .同 理 可 得B 0= C 0 . \.X <9 =8O ( 等 量 代 换 ) . 点 在 ” 的垂直平分线上.flZ__1 ----、...△4 B C 三边的垂直平分线交于一点. 4三. 达标测试 图21 .填空题( 1 ) .线段垂直平分线的性质定理的题设是;结论是.( 2 ) .已知直线MN是线段A B的垂直平分线， 垂足为D,点P是 MN上一点， 若AB= 1 0 c m,则 8£ > =c m ；若 /i4= 1 6 c m 贝 U 尸 8=c m.( 3 ) .如图3 , 工 。
是 8 c的垂直平分线，如果/ C =4 5° , 那么. ( 4), 如图4 ,在△4 8 C中AB= AC ZC=65° M N是4 B的中垂线 则Nl=,N2=.( 5) .如图5 ,等腰△N 8C中，N8=ZC=8a〃 ，N 8的中垂线交另一腰于点，△8CZ)的周长为 \ 4c r n, 则 BC=.( 6) .如图6 ,在RtZ\48C中，ZC=90° N8=15° , O E是4 8的中垂线，垂足为交BC 于 E, BE= 5 ,则 / 斡 Z AEC= .( 7) .如图 7, 在△NBC 中 ZC=90° , £>E 是 48 的中垂线，Z 1 :Z 2 = 2 :3 ,则/C 4 8=NB=.2 . 选择题( 8) .如图 8, AC= AD, BC= BD 则- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )A. CD垂 直 平 分； 8 / 8垂直平分CD；C. CQ平分N S C 3 ： 以上结论都不对.( 9) .如图9, △Z 8 C中，48的垂直平分线交4 C于 。
如果ZC=5cm 8c= 4cm ,那么△3 . 解答题( 10) .如图1 0 ,公路/ 旁要建一个公共亭，要求亭到附近两厂Z, 8路程相等,如何确定亭的位置.1图10 ( 1 1 ) .如 图 1 1 , .已知△ A 8C 中，AB= AC, 是 8 c边上的中线，的垂直平分线交4 0于点O.求证：OA= OB= OC.图11( 1 2 ) .如图 1 2 , 已知四边形N 8C Z ) 中 AB= AD, N / 8 C = / 4 D C . 求证：ACL BD.图12四. 拓展提导)( 1 3 ) .如图1 3 , 已知N是直线/ 同侧的两点，在直线上求作一点P,使 P M + P N 的值最小.N图13 ( 1 4 ) .如 图 1 4 , 中，Z / 4 C 5=9 0 ° , 是 ZC边上的点，的中垂线E F交于 E ,垂 足 为 凡 E的延长线与8 c的延长线交于点G.求证：点 £在 G C的垂直平分线上.图14五. 点击中考( 1 5) . ( 2 0 0 8 年重庆) △ Z 8C 中，AB= AC, Z BAC= \ 0 0 ° ,两腰/ 8 、/ C 的垂直平分线交于点P , 则- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A .点 P在△ / 8C 内 ； 8 . 点 P在△ Z 8C 底边上；C. 点 P在△ N B C 外； 。
点尸的位置与△ N 8C 的边长有关.( 1 6) . ( 2 0 0 9 年 衡 阳 ) 如 图 1 5所示，/、B 、C分别表示三个村庄，测得△ 4 8C 为直角三角形，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这 三 个 村 庄 到 活 动 中 心 的 距 离 相 等 ， 则 活 动 中 心 尸 的 位 置 应 在- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )A. Z8 中点； B. 8 c中点；C . /C中点； D. ZC的平分线与AB的交点.B图15 19.5 （ 1）角的平分线知识梳理1 . 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线;2 . 定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；3 . 逆定理：在一个角的内部（ 包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.例题精讲例 1.如图 1 , 四边形/ B C D 中，N 4 = N C = 9 Q ： AD= CD, DE〃 BC 交 AB 于 E .求证：BE= DE. -解析： 由角平分线性质定理的逆定理，可得。
在N/8 C的平分线上，联结8得角等，不需证三角形全等.证明：联结8 7V Z A= Z C= 90 ° , DA= DC. /. ..点D 在N4 B C的平分线上（ 在一个角的内部且到这个角 B1 ----------- °C的两边距离相等的点在这个角的平分线上） .= . 图1' ： DE//BC , A Z 2 = Z 3 （ 两直线平行，内错角相等） .." .Z 1 =Z 3 , .•.B EnOE （ 等角对等边） .例 2 .如图2 ,P A,尸 C分别是△ / B C 外角平分线， 尸P N L B C ,垂足分别为M , N .求证：P B 平分N 4BC. M/解析：只要证明点P到N Z 8 C 两边的距离相等，即可由角平分线定理的逆定理知点尸在N/8 C的平分线上， 即 /V 力 ，P B 平分/ABC. / \ / I证明：作 P E _ L 4 C 垂足为E, / \/^d —• ； 以 平分NM4 c （ 已知） ， 且 , P E_ L / C . B： .P M = P E （ 角平分线上的点到角的两边距离相等） . 图2同理可得P N = P E :.P M = P N （ 等量代换.）. •.点P在N/8 C的平分线上（ 到角的两边距离相等的点在角的平分线上） .说明：角平分线性质定理的作用是通过角的相等推得线段相等，而逆定理的作用是由线段相等而推得角相等，利用角平分线的定理，添加辅助线，可使问题得证.三. 达标训练1 . 填空题（ 1） . 在角的平分线上的—到这个角的两边 相等. 如图3, 尸是角平分线O C上任意一点，且于。
P E _ L O 8 于 E 那么= .（ 2） . 到角的两边 相等的点在这个角的_ _ _ _ _ _ _ _ _ 上. 如图3, 尸 04 于D, P EJL OB 于 E , 且 P D= P E 那么.( 3) . 如图 4,Z BAC= 6 0 ° , AP 平分N 8 / C , P D L A B ,P E±AC 若 4口 = 也, 则 P E=（ 4） . 如 图 5, 点 P为△ / 8 C 三条角平分线交点，P D± AB,P Er BC, PF 1A C则 (5) . 如图 6,648C 中 ZC=90° 是N 8/C 的平分线，己知 8c=8cm8D=4.5cm 则点D到A B的距离是.(6) . 如图 中 ZC=90° D E L A B Z1=Z2 且 4C=6cm 则 AE+DE= .(7) . 如图8 ,已知： 在△Z 8C 中 ZC=90° Z5=30° 4E1平分N 8 /C ,£ 0 垂直平分N 8 那(8) . 如图9,O E是△/B C 中 8 c 边的垂直平分线， 则下列结论正确的是- - - - - -( )A. E D = - E C ； B.AE= -BE； C. N A E C = 2 N B ； D.Z B= 30 ° .2 2(9) . 如 图 1 0 ,已知在△/8 C 中，ZC=90° , Z 5=30° , 。
£ ■ 垂 直 平 分 交 8 c 于 £ ) ,连接AD,那么以下结论错误的是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )1A. CD= DE= — B E ；2C . Z A D C = Z A D E ；B.CD= ED；D.AD= BD.3 .解答题(10) . 如图中，/Z 8 C 的平分线与/N C 8 的平分线交于点/ .求证：点 / 在 N B /C 的角平分线上. ( 11) . 如 图 12, 已知△ AB C 中，A D 是N8/C的平分线，D E UB 于 E, D F UC 于 F.如果/ 8 = / C , 求证：BE= CF.( 12) . 如图 13, 已知 8 E _ L / C 于 E , C F L 4 B 于 F, BE,C 77相交于点 . 若 80= 8,求证：4 D 平分N B4c .图13( 13) . 如图 14公 48 中， 4 0平 分 / 13, £ * _ £ / 于£ ： , 已知48 =4CM, 4C =6，W, Q E =2C M.个 °AABC ,四. 拓展提演)( 14) . 如图 15, 已知 OA= OB,OD= OC , A D 与 8c交于 E .求证：0E平分NCOD( 15) , 如 图 16, 已知△ A8 C 中，B D 平分乙ABC, M , N分别是24, 8c上的点,且N M £ W + / A/ 8 i V =18 0 ° . 求证：DM = DN .图16五. 点击中考( 16) . ( 20 0 4年四川) 如图17 , 已知点C是NZ05 平分线上一点，点P、P' 分别在边O A 、O B上. 如果要得到P O= O P,,需要添加以下条件中的某一个即可，请你写 出所有 可能结 果的序®ZO C P=ZO C P'；② ZO C P=ZO P, C ；图17 ®PC=PC, ； ®pp'ioc.19.5 ( 2 ) 角的平分线知识梳理1 . 角是一个轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线;2 . 能熟练运用线段中垂线定理，角平分线定理进行推理论证;3 . 掌握题中有线段中垂线，角平分线时，常用的辅助线添法.例题精讲例 1 . 如 图 1,已知乙MON和线段4 B ,求作一点P , 使以=尸8,并使点P到O M和O N的距离相等.解析：到 两 边 距 离 相 等 的 点 在 NM ON的平分线上；到线段A B两端点距离相等的点段A B的中垂线上. 而点P是这两条直线的交点，所以满足所求作的条件.作法：1. 作/A /O N 的平分线。
C； 2. 作 线 段 的 中 垂 线 E尸交0 c 于点P. . . . 点P 就是所求的点.例 2 . 如图 2 , 在△/2 C 中，A D 上BC, DE± AB T E, D F ± A C ^ r F ,且 E=Z)E 求证:△ BED 之 2 CFD.解析：由已知条件要证得△BED丝△CFD条件不充足，而利用角平分线性质定理的逆定理可得间接条件，再证得证明：: D E L 4 B , DFL AC, DE= DF,. . . 点在N 8 /C 的平分线上( 角平分线性质定理的逆定理) .： . Z B A D = Z C A D . ' ： AD± BC , ： . A A D B = A A D C = 9 .' ： A D = A D , A/\ ABD^ /\ ACD CASA} . ： . Z B= Z C.又, ： / B E D = / C F D = 90 ° , DE= DF, :. △ B E D m A C F D ( AAS) .图2三. 达标训练1.填空题(1) . 如图3 , 在△/8 C 中，如果/8=4C , 是 8 c 上边上的中线，点 P 是 上 任 意一点，过点P作 P E L 4 B 于 E, P /tL /C 于尸，那么尸£ 和 P尸 相 等 ( 填 “ 一定”或 “ 不一定” ).(2) . 如图4 , 在△NBC中，如果48=/C , 4 。
平分/A 4 C ,点尸是工 £ ＞ 上任意一点，联结尸8, PC ,那么尸8 和尸C 相等( 填''一定”或 “ 不一定” ).(3) . 如图 5 , 已知△/BC 中，ZC=90° ,4 8=30° , 点 在 8C 上，D E L A B 于 E ,D E = D C ,那么 = Z tAC= = .(4) . 如图 6,已知：在△4SC 中，Z A= 90 ° , ZC=45° , 点 在 / C 上，D E L B C E,若 A D = C E ,那么= 度，Z ADB= Z= 度.图3图4图5图6 ⑸ . 如 图 7 , 长方形纸片A B C D的 长 8 c =4厘米， 宽AB= 3厘米, 如果将纸片沿着E 尸对折，使点4 和点C重合，那么△ C DE 的周长是_ _ _ _ _ _ _ 厘米.( 6) . 如 图 8 , 在△ / 8 C 中，Z J =120 ° , Z ABC= Z C, 8 是N4 8C的平分线，如果将△ N 2C 沿着8 翻折过来， 点工与8c边上的点E重合， 那么△ C DE 是 三角形( 填 “ 锐角”或 “ 直角”或 “ 钝角” ).( 7 ) . 如图 9 , 在△ N 8 C 中，乙4=36° , Z ABC= 2 Z A, 8 E 是N48 c 的平分线，E D V A B2. 选择题( 8 ) . 如图 10 , 已知：△ N B C 中，AB= AC, Z ABC= 40 ° ,。
是N N 8 C 和N / C 8 的平分线交点，连结/ £ ) , 以下结论错误的是 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )A. / 平分N 8 4 C ； B . Z ADB= \ 2 0 ° ； C.AD± BC ； D. BD= CD.( 9) . 如 图 11, P是N/OB平分线上一点，P A1 .OA, 下列式子中成立的是( )@ A P = P B ® O A = O B ③O P _ L N 8 ④ 有 3 对全等三角形A .①②； B . ①②③;C.①②③④:D . ②③④.3. 解答题( 10 ) . 如 图 12, 在△ A8 C 中，是/A 4 c 的平分线,图11力 L 8 C 于 于 E,DFA,AC^ F.求证： 8 E =C K图12 ( 11) . 如 图 13, 力 是N84 C的平分线，D E LA B 于 E, D F L4 C 于 F ,并且8 E = C E求证：点 在 8c的垂直平分线上.图13四. 点击中考( 12) . ( 20 0 9年咸宁) 如图14, 在△ N B C 中，N/BC和//C8的平分线相交于点O,过点。
作 EF//BC交 4 B 于 E , 交 4 c于 F ,过点 尸 _ L / C 于 下列四个结论：①/ 8 O C =90 - AA-,2②O到B C边的距离等于线段O P的长；③设 OP = m, AE+AF= n,则 SAXEF=M J〃 ；④£产不能成为△ / 8 C 的边N 3, 4 C的中点其中正确的结论是.( 把你认为正确的结论的序号都填上)B图M 19. 6 轨迹知识梳理1 . 了 解 “ 点的轨迹”的概念.我们把符合某些条件的所有的点的集合叫做“ 点的轨迹”.2 .熟记三个最基本的点的轨迹.（ 1）和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.（ 2）在一个角的内部（ 包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.（ 3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.3 . 了 解 “ 交轨法”作图的意义，并能用交轨法作图作出一些比较简单的符合某些条件的图形. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _u例题精讲： 一 ” . «例 题1.作图并说明符合下列条件的点的轨迹.一,（ 1 ）到直线〃z距离等于。
的点的轨迹. "a -（ 2 ）以线段4 ?为腰，点占为底角顶点的等腰三角形另一顶点的轨迹. L2解析：是求点的轨迹，参照学过的几种轨迹，分析思考. （ 图1 ）解答：（ 1 ）如 图1 ,在直线加的两侧，与加的距离为的两条平行线/r/2./1,乙即为所求的轨迹.说明：与直线等距离的点的集合应考虑直线的两侧，而不能只考虑一侧 .（ 2 ）如图2 ,以，为圆心，长 为 半 径 的 圆 .直 线 与 /的交点除外（ 两个） ，就是所求点的轨迹.说明：这是以4 8为腰，点8为底角顶点，则/ 为顶角顶点，求另一顶点的轨迹，这里N 8与4的两个交点除外的说明是不可不加的，因为这两点不是轨迹中的点.例题2 ：已知线段和点/、B 、C ,求作：点P ,使 力 = / 犯P C= a.（ 图2 ）解析：采用交轨法作图，分析题意得出两条轨迹为中垂线和一条弧. a解答：作 法（ 1 ）联结作N 8的中垂线M N ：（ 2 ）以点C为圆心，a的长为半径画弧，交 . MN于P 、 、巴 ，点 片 、巴 就是所求的点. （ 如图3 ）说明：交轨法作图，要将题中的要求转化为某个轨迹问题,求作点P使2 1 =尸8 ,因此点P 一定段A B的中垂线上，而点P还必须符合条件PC =a ,即点P是到点C的距离等于已知线段a, 点 尸还一定是在以C为圆心，以a为半径的圆上，这两个轨迹的交点，就是所求产点.三. 达标训练: 1 .填空题( 1 ) .的所有点的集合叫做这个点的轨迹.( 2 ) .的轨迹是这个角的平分线，( 3 ) .的轨迹是这条线段的垂直平分线.( 4 ) .的轨迹是圆，其中 是圆心，是半径.( 5 ) .与点/ 的距离等于5厘米的点的轨迹是.( 6 ) .在等腰三角形的内部， 到两腰的距离相等的点的轨迹是.( 7 ) .以8 c为底边的等腰三角形的顶点1的轨迹是.( 8 ) .在8 c的同侧，和△/ 8 C面积相等的△ Q 8 C的顶点。
的轨迹是.2 .作图题：( 9 ) .已知：如图4 , A A B C ,求作：一点尸，使 P B = P C ,且点P到乙4两边的距离相等.( 要求正确画出图形，保留作图痕迹)四. 拓展提信)：( 1 0 )如 图5 , 1 0 7国道 /和3 1 2国道0 8在某市相交于点0,在/ Z O 8的内部有2个 点C和D ,要在N / O 8的内部修一个货站p,使P到OA, O B的距离相等，且使P C = P D .用尺规作出货站尸的位置( 不写作法，保留作图痕迹)D.O（ 图5 ）B （ 1 1 ）如 图6,已知N/O 2和 C 、 两点，求作一点尸，使 P C = P D ,且尸到N N O 8的两边的距离相等. （ 耍求在原图上尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作图过程和理由.）（ 图 6 ）五. 点击中考（1 2 ） （ 2 0 0 8 四 川 ） 经 过 已 知 线 段A B的 两 个 端 点 的 圆 的 圆 心 的 轨 迹是.（ 1 3 ） （ 2 0 0 9 西安）已知：N点4及线段 （ 如图7 ） ,求作：点 P,使点尸到NO 的两边的距离相等，且为. （ 要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）O（ 图 7 ） 19. 7直角三角形全等的判定知识梳理：证明两个直角三角形全等，除了可以用以前学过的‘7 S / " 'Z 4 T “S4S” “SSS” 四种方法外，还可以增加一种直角三角形全等判定的特殊方法“ HL” .定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全 等 （ 简记为“HL” ）.例题精讲：例 题 1.如图1 , 已知：8口垂足分别为是尸和C, AB//DE, BC= EF.求证：（ 1） BC//EF-, .（ 2） AB= DE. 第解析：在直角三角形中，利 用 “ 斜边、直角边”可证得两个三角形全等. /「F证明：（ 1） ；BFL 4D, E C L A D D:.N BFC= N ECF= 90 ° //在 RtA5FC 和 Rt/XECF 中，rB\BC = EF（ 图 ] ）[CF = FC△ B C F 9 X E F C （ HL） A Z 1=Z 2 （ 全等三角形对应角相等）...8C〃勿•（ 内错角相等，两直线平行）（ 2） ' ： t\ BCF^ l\ EFC （ 已证）:.EC= BF （ 全等三角形对应边相等）又‘： A B " DE： .£ D = A A （ 两直线平行，内错角相等）在△DEC和△/B 厂中ZD = NN< NDCE = ZAFB = 90"EC = BF:. △ DECQ XABF （ AAS）：.AB=DE说明：利用HL证明两个直角三角形全等时，先证明这两个三角形是直角三角形，才能用 HL证明，当不能用HL证明时，可采用“ SAS” “ ASA” “ AAS” “ SSS”来证明.三. 达标训练：1 .填 空 题 ：（ 1） .直角三角形中两个锐角的差为20。
，则两个锐角的度数分别为 ( 2 ) .如图 2 ,在△/ B C 中，N C =NABC=2N4,B D是A C边上的高，则NDBC=.2 .选择题：（ 图2 ）( 3 ) .下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 ( )A .两个锐角对应相等 B . 一条边和一个锐角对应相等C .两条直角边对应相等 D . 一条直角边和一条斜边对应相等( 4 ) .Z U 8 C 中，/ N : N 8 : / C = 4 : 5 : 9 ,则△/ 8 C 是 ( )A.直角三角形，且N Z = 9 0 ° B .直角三角形，且N 8 = 9 0 °C.直角三角形，且N C = 9 0 ° D.锐角三角形3 .解答题:（ 5 ）.如图 3 , Z A B D = Z A C D = 9 0a ,Z 1 = Z 2 ,则 / 平分N A 4 C ,请说明理由 图3 ）( 6 ) .如图4 ,已知Z C平分N 8 /C E L A B E, C凡L 4 )于凡 且8 C = C D求证：4 B C E这4 D C FEAB（ 图4 ） 四. 拓展提高：( 7 )己知，如图 5 , AD//BC, Z J = 9 0 ° , AD= BE, Z E D C = Z E C D ,请你说明下列结论成立的理由：（ 1 ） △ AED/4BCE, （ 2） AB= AD+BC.（ 图5 ）( 8 )如图6所示，两根旗杆间相距1 2m ,某人从8点沿8/ 走 向4 一定时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和 。
两次视线的夹角为9 0 ° ,且已知旗杆ZC的高为3 m ,该人的运动速度为1 m / s ,求这个人运动了多长时间？五. 点击中考:( 9 ) ( 20 0 8云南) 己知：如图7 , AB= AC, ME垂直平分4 8 , M尸垂直平分4 C,求证：N A/平分N 8 / C.（ 图7 ） 1 9 . 8 （ 1 ）直角三角形的性质知识梳理：1 .定 理 1 ：直角三角形的两个锐角互余.2 .定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.二. 例题精讲：例 题 1 . 已知，如 图 1 , 在△ / 8 C中，Z C=9 0 ° , AD//BC, B D 交 4 c于点、 E ,且/ 力2 N D 8 C . 求证：DE= 2 AB.解析：要证明一条线段是另一条线段的两倍，可把较长的线段分为相等的两段，证明其中的一段与另一条较短线段相等；也可以把较短的线段延长至原来的两倍，然后证明它与原较长线段相等本题采用第一种方法，添辅助线AM , 先利用直角三角形性质“ 斜边上的中线等于斜边的一半" ， 得到2再证明AM = AB.证明：取 E的 中 点 联 结•:A D / / B C ,且 N C=9 0 ° ,A Z DAE= 90 ° （ 两直线平行，内错角相等）.是斜边OE上的中线，： . A M = - D E = D M （ 直角三角形斜边上的中线等2于斜边的一半）.:. N D = / M A D = L N A M E （ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.2,JAD//BC,二 / £） = /。
8 =工（ 两直线平行，内错角相等）.2Z AB D =Z ^A/ E , ： .AB= AM = - DE （ 等角对等边）. 即 DE= 2 AB.2说明：三角形中线段的倍分法通常是难点，而应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可使问题简便很多.三. 达标训练：1 .填空题：( 1 ) . 在 R t Z \ A8 C 中，Z C=9 0 ° , Z ^=3 Z S + 1 0 ° ,则N 8 的度数是（ 2） . △/ 8 C 中，乙4 c 8 =9 0 ° , C D 1A B ,垂足是E 是 的 中 点 ，如果/ 8 =1 0 ,8 c = 5,那么 C E = _ N C = , NB=, N DCE= ,（ 3 ） .如 图 2 所示，在 R t A ^ 5 C 中，C D是斜边上的中线，C E是高，Z A= 5 5 ° ,则Z BDC=度.（ 4 ） . E 、尸分另4 是 R t Z X Z B C的 斜 边 上 的 两 点 ，AF= AC, B E= BC,则/ E CF = . E D2 . 选择题：( 5 ) . 如图3 ,在 R t Z i / B C中，C D是斜边"8上的中线，则图中与C D相等的线段有- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. 4 D 与 B D ； B . B D 与 B C ； C. A D 与 B C ； D . A D 、BD 与 BC.( 6 ) . Z \ 4 B C 中， / C=9 0 ° 的中垂线 D E 1 交 N 8 于 E ,交 B C 于 D ,若 4 8 =1 0 , N C=6 ,则 从 8 的周长为- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. 1 6 ： B . 1 4 ； C. 1 0 ； D . 1 8 .3 . 解答题：( 7 ) . 如图4 , 在四边形Z 8 C。
中，N D4B = N D C B = 90°,对角线ZC 与 8 相交于点O ,AM 是 8 的中点，M N L A C .求证：A N=NC； 个、图 4( 8 ) .已知，如图5 , 在 四 边 形 中 ，B D L D C , ACLAB, £ 为 BC 的中点,Z£, £> / 4 =6 0 ° .求证：AD=ED.B图 5EC 四. 拓展提高：（ 9 ）如图 6 , / / 8 C=9 0 ° , M 为 Z C 的中点，CD//M B, A D LC D ,点 N 在 上,D N = M B ,试说明B D与MN的位置关系.图 6A五. 点击中考（ 1 0 ） （ 2 0 0 7 广西）已知I：如图7 , 在等边△ Z 8 C中，ADV BC, C E是 上 的 中 线 ,BE= CD, D F LE C ,垂足为 F.求证：（ 1 ）尸是 E C 的中点；（ 2） Z B= 2 Z BCE.图 7 19. 8⑵直角三角形的性质知识梳理1 . 在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半；2 . 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° .二. 例题精讲例 1 . 等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么顶角的度数是.解析： 当//是锐角时（ 如 图 1） , 腰上的高8。
在△/B C 形内，此时， 4BDL AC,BD= ^ AB, ： . Z A= 30 ° ；当N 4 是钝角时（ 如图2） , 腰上的高 \8在△Z8C 形外，此时，BDYAC, BD= -AB, 2 ' " 'c； .N DAB= 30 ° ,Z BAC= l5 0 ° .解答：3 0 °或 150° . s 图 2 c说明：关键是准确画出图形，等腰三角形腰上的高可能在形内，也可能在形外.例 2 . 已知：如 图 是 等 边 三 角 形 , CZ>ZE,/和 8E相交于G, B F L4 D于F.求证：F G = -BG .2解析：8G 和 FG分别是直角三角形8FG的斜边和直角边，只需设法证得NF8G=30° ,那么根据直角三角形性质定理2 的推论1,就可证得FG=，8G.2解答：是等边三角形，.•./8=C4 （ 等边三角形定义）N B4E= N C= 6 0 ° （ 等边三角形性质） .在△48E 和△C /中 CAB= CA （ 已证）-J Z B A E = Z C （ 已证）、AE= CD （ 已知）【△ABE注A C A D （ S4S） ..-.Z1=Z2 （ 全等三角形对应角相等） .Z4=Z1+Z3=Z2+Z3=6O° （ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） .在必△BFG 中，Z FBG = 30 ° （ 直角三角形两个锐角互余） ，. ♦ . 网> ]_ 8G （ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30° , 那么它所对的直角边等于斜2边的一半） .说明：在直角三角形中要证线段的一半或2 倍关系，可设法找特殊角3 0 °或 60° ♦三. 达标训练1 . 填空题（ 1） . 在拉△ZBC 中，N ACB= 90 ° , /Z=30° , B C = 3 ,则/ 8=.（ 2） . 直角三角形中，如果一个锐角为30° ,斜边与较小直角边的和为6 , 则较小直角 边的长为.( 3 ) .有一个顶角为3 0 。
的等腰三角形，若腰长为2 ,则 腰 上 的 高 是 ,三角形面积是.( 4 ) .等腰三角形顶角为1 20 底边上的高为2. 5 厘米，则腰长为.( 5 ) .在中，Z ACB= 90 ° ,乙4 = 3 0° ,是N48 C 的平分线与/ C 的交点，且 / C = l , 贝 .( 6 ) .已知：如图4,在出△ 4 8C中，N 4CB= 90 ° , C D是斜边上的中线，若 CD= BC,则//=° .( 7) . 已知： 如图5 , 在△ N 2C中, N 8= /C, 4 D _ L N 8, 80= 7, 4 0= 3 . 5 , 则4840° ；CD=.2 . 选择题( 8) .已知：如图 6 , 在△ N 8C 中，Z C= 9 0° , 3 平 分 //8C, BC= -AB, B D = 4 ,则2点D到A B的距离为- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. 2 ； B. 3 ； C. 4 ； D .无法确定.( 9 ) .已知：如图 7 , 在△ /BC 中，48 。
= 9 0° ,乙4 = 3 0° , C£> _ L /8 于 D , 则 / ： 8的值为- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. 3 ； B , 3 . 5 ； C. 4 ； D, 8 .3.解答题( 10) .如图8 ,八州是等边三角形，AD= -AB, 4 - - - - -D2A D ^C D ,垂足为D.求证：AD//BC. / \B图8C （ 11） .已知：如图 9 , 在 中，Z 5 C/4 = 9 0° ,乙4 = 15 °， 是 / C 边上一点,B C = - B D .求证：点 在 的 垂 直 平 分 线 上 .2D图9四. 拓展提高( 12) .已知：如图 10, NE平分/84 C, N BAC= 2 /B, AB= 2 AC.求证：( 1) Z C= 9 0° ； ( 2 ) AE= 2 CE.( 13 ) .已知：如 图 11, △ /8C是等边三角形，BD= CE,Z ) G _ L /E 于 G , EH//DG 交 C D 千 H ,求证：DH= 2 G E.五. 点击中考（ 14 ） . （ 2008武汉）如 图 12, 小 雅 家 （ 图中点。
处）门前有一条东西走向的公路， 经测得有一水塔（ 图中点工处） 在她家北偏东6 0° 5 00m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离 4 B是.（ 15 ） . （ 2008 孝感）如图 13 , AB= AC,Z BAC= l2 0 ° , AB的垂直平分线交B C于点D ,那么. 19 . 8⑶直角三角形的性质知识梳理1 .几何问题中，常常要注意3 0°、6 0°、120°、15 0°等特殊角.2 .关于直角三角形的证明问题，审清条件后，适当添加辅助线，使直角三角形的性质发挥作用，常用的辅助线有：（ 1）作斜边的中线.（ 2）作斜边的高.（ 3 ）等腰三角形的底边上的高等，从而构造直角三角形解决问题.例题精讲例 1 . 如 图 1, △ /BC中，AB= AC, Z J = 120° , 的垂直平分线MY分别交8 C 、AB于点A/、点 M 求证：CM = 2 BM .解析：注 意 题 设 中 及 N 8/C= 120° 这两个条件，可得N 8= N C= 3 0° 这一特殊角度. 再结合线段垂直平分线性质，知/ C 4 M = 9 0° .于是考虑用含3 0°角的直角三角形性质去解决本题.证明：联结垂直平分4 8 （ 已知） ，线段垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离相等） .:. N B = N M A B （ 等边对等角） .* / Z BAC= 1 2 O°： .Z B= Z C= 30 °： .Z CAM = 1 2 O°在川4 c 中，, AB= AC （ 已知） ，（ 三角形内角和性质及等式性质） .- 3 0° = 9 0° （ 等式性质） .V Z M AC= 90 ° , Z C= 3 0° （ 已证）： .CM = 2 AM （ 在直角三角形中，3 0°角所对的直角边等于斜边的一半） .（ 已证） ，. •. G W= 28M （ 等量代换） .例 2 .如图2 , 在 力岛周围13 海里水域内有暗礁. 一轮船由西向东航行到。
处时，发现/岛在北偏东6 0°的方向， 且与轮船相距3 0海里， 如图所示， 若该船保持航向不变,有触礁的危险吗？解析：根据题意画出示意图，将问题转化为直角三角形的问题只要计算轮船航行过程中离”岛最近的点与/岛的距离，比较它与危险半径的大小，就可判断有没有触礁危险.解答：过 / 作 垂 直 于 8 ,垂足为D ,由题意得/ / 0 = 3 0° 且//00= 9 0° ,： . A D = - O A = - X3 0= 15 海里> 13 海里八 北2 2答：没有触礁危险.说明：根据实际问题建立数学模型，把实际问题转化为数学问题：即比较d （ 小岛与航线的最近距离）与 r （ 危险半径）的 大 小 .若 d > r , 则没有危险；若 d W r , 则有危险.三. 达标训练1 . 填空题 (1) . 已知三角形三个角度数之比为1 ： 2 ： 3,它的最大边长等于1 0 , 则最小边长是.(2) . 如图3 , 在△ A 8 C 中，Z C = 9 0 ° , Z J= 15 ° 48的垂直平分线交/C于 垂足为 E ,如果 A D= 3c m,那么 BC=c m.(3 ) . 如图4,已知在出△ 4 8 C 中，Z C = 9 0 ° , DE垂直平分N 8交 / C于 E,如果CE : AC= \ : 3,那么乙仁° , AD=(4 ) . 如图 5 , /\ ABC 中，AB= AC,Z A : Z B : Z C = 4 ： 1 ： 1, BD= DC,DEL AB 于 瓦则AE ： EB=.图3图4图5(5 ) .已知△ 4 8 C 中， NC = 9 0 ° ， / C = 8 C , 点 。
在 8 c上， 且 4 ) = 2 8 , 则ND 4 8 = ° .2 . 选择题(6 ) . 下列命题是真命题的是---------------------------------------- ( )A .直角三角形中一边上的中线等于这条边的一半：B .直角三角形中，直角边等于斜边的一半；C. 含 6 0 °的直角三角形中，长的直角边是短的直角边的2 倍；D .含 4 5 °的直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半.(7 ) . 如图6 , △ / 8 C 中， Z 8 = / C , NC = 3 0 ° , DE垂直平分/ C , 交 8c于 E是垂足.若DE= 3c m,那么下面推理结论中错误的是-------------------------------- ( )A. AD= CD= 6 c m； B. N B4D= 90 ° ； C. BC= \ 5 c m； D. Z BAC= Z ADC= 1 2 O0 .(8 ) . 如 图 7 , 在放△ 4 8 C 中，Z ACB= 90 ° , CD是斜边48上的中线，C E 是/ 4 C B的平分线, b是 48上的高.那么图中相等的锐角共有几对------------------( )4 3 ； B. 4 ； C . 5 ； D. 7 .3 . 解答题(9 ) . 底角为15 °的等腰三角形腰长为10 C 7 7 7 , 求该三角形的面积. (10 ) . 如图8 , 在放△ NBC 中，Z XC S = 9 0 ° ， A / 是月2 的中点，。
是 8c延长线上一点，且 C Z > 8 " . 求证：N B= 2 N D.四. 拓展提高(11) . 如图9 , 某 岛 C周围4海里内有暗礁，一轮船沿正东方向航行，在 4处测得该岛位于北偏东7 5 °处，继续航行10 海里到达8处，又测得该岛位于北偏东6 0 ° ,若该船不改变航向，有无触礁危险?图9(12) . 如图 10 , △ A BC 中，Z BAC= 90 ° , 4B= 4C,过点 4 作 4D〃BC,并使 BD= BC,BD与 N C相交于点£ ①求N O 8c的度数；②求证：△C Z ) E 是等腰三角形.五. 点击中考(13 ) . (20 0 8 湖 北 ) 如 图 11, 某种雨伞的伞面可以看成由12块完全相同的等腰三角形布料缝合而成，量得其中一个三角形O A B的边OA= OB= 5 6 c m.(1) 求/ Z O 8 的度数； B(的2)面求积△) 0 4 8 的面积.(不计缝合时重叠部分 / \ / \nB—\A图11 19. 9⑴勾股定理知识梳理1 . 在直角三角形中，斜边大于直角边；2 . 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；3 . 特殊直角三角形（ 3 0 °、6 0 °、9 0 °和 4 5 °、4 5 °、9 0 ° ）三边之间的关系.二. 例题精讲例 1 . 在中, / C = 9 0 ° .（ 1） 已知 a= 6 , 6 = 8 , 求 c ； （ 2） 已知 a= 24 , c = 25 ,求 b.解析： 利用勾股定理，在已知直角三角形任意两边的条件下，可以求出未知的第三边.解答： ⑴ 在 必 △ N8 C 中, / C = 9 0 ° A c2 = a2+b2 = 62 + 82 = 10 0 .； .c = l（ ） （ 边长取正值，负值舍去，下同）.（ 2）在此△ 4 8 C 中, / C = 9 0 ° ： ,a2+b2 = c2.A b2 = c2-a2 = 252 -242 = （ 25 + 24 ） （ 25 -24 ） = 4 9 , :.b= 7 .说明： （ 1） 勾股定理揭示了直角三角形中两条直角边与斜边之间的数量关系， 在任意直角三角形中，只要已知任意两边，就能求出第三边，但必须分清是直角边还是斜边；（ 2）在计算两边的平方差时，可利用平方差公式使计算简便.例 2. （ 1）在应Z V IB C 中,N C =9 0° , Z B =60° ， A B = 4 ,求 Z C ,8 C ；（ 2）在放△ A S C 中,N C =9 0° , Z A= 45 ° , A B = 6 ,求 / C ,8 c .解析： 在直角三角形中，如果有一个锐角为30°或 45°等特殊角，可以先根据定理建立边与边之间的关系，再利用勾股定理来计算.解答：（ 1 ）在 RtAABC 中,N C =9 0° , Z S =60° ,A Z J =30° （ 直角三角形两个锐角互余） .• ：2 （ 在直角三角形中，如果有一个锐角等于3。
那么它所对的直角边等于斜边的一半) .在向△ N 8 C 中,N C =9 0° ,.,.AC2 = AB2-BC2= 42-22= n , ： .AC= 2 y/3 .(2) 在 R / Z X N B C 中,N C =9 0° , Z A= 45 ° ,.•./ 8 =/ / =45° （ 直角三角形两个锐角互余） . .•.Z C =8 C （ 等角对等边） .设 AC= BC= x 由勾股定理/ 不 +Bd = AB? ，X2+X2=62/= 18 ,： .行3底（ 边长取正值） 即AC= BC= ? > 42 .说明： （ 1） 在含30°、 45°特殊直角三角形中只要已知任意一边就可求出其余两边； （ 2）用代数方法设未知数建立方程来解决几何问题是常用的方法.三. 达标训练1 . 填空题 (1) . 在 H rz X / B C 中，Z C =9 0° .①如果a =3, b=4,那么c=；③如果a =5, 6=12,那么c=；⑤如果a =24, c = 2 5 ,那么b=(2) . 在中，Z C =9 0° .如果N / =30° , B C = T , 那么 4B=如果N / =30°, AB= 2-73 , 那么 Z8=^ 4C=②如果。
=6, c =10,那么Z > =；④如果6=8 , c =17,那么a=；⑥如果b=40, c =41, 那么a =〃C =；如果 N 4=45° , A C = l ,那么 NB=,BC=；如果 N Z =45° , A B = 2 ,那么 BC= ,4C=；如果/ Z =45° , 4 8 = 1 , 那么 8C=AC=.(3) . 在直角三角形中，己知一条直角边的长为12,斜边上的中线长为6.5,则另一条直角边的长为.(4) . 直角三角形的两直角边分别为5c m, 12c m,则 斜 边 上 的 高 为 .(5) . 等边三角形的边长为3 , 则它一边上的高为, 面积为.2 . 选择题(6) . 在直角三角形中，若有一个角等于30° , 那么三边的比为---------- ( )A. 1 ： 2 ： 3； B. 1 ： V 3 ： 2； C. 1 ： 2 ： V 5 ； D 3 ：五：5(7) . 在直角三角形中，若有一个角等于45° , 那么三边的比为----------- ( )A. 1 ： 1 ： 2； B. 1 ： V 3 ： 2； C. 1 ： 1 ：拒 ； D. 1 ： 2 ： V ? .(8 ) . 如图 1 , 在放△ / B C 中，Z C =9 0° , Z A= 30Q , BD 是 §边/ C 上的中线,8 C =2,以下推理结论中错误的是----- ( ) / j ZA. AB= 4； B. A C =26 C. CZ>5 D. BD= 2 M . /A D C3 . 解答题图1(9 ) . 如图 2 , 四边形 Z 8 C O 中，N A= N BDC= 90 ° , AD= 3,(10) .如图 3 , 在△ N B C 中，AB= AC= 3, 8 c =2.求△ X B C 的面积.图3BC 四.拓展提高(11) . 如图 4 , 在△ 48 C 中 ,Z B =9 0° ) 5=6行 ,N B 4 C 的平分线40=12,求NC的度数.（ 12） . 如图5 , 在 R f a / B C 中，Z C =9 0° , D 、E分别是直角边8 C 、/C上任意两点,连结/ £ ） 、B E 、D E .求证：A D r + B E ^ A B ^ D E1五. 点击中考（ 13） . （ 2009 湖州）如图6 , 在此△ Z 8 C 中，4 c5=9 0° 4 8 = 4 , 分别以/ C ,8 c 为直径作半圆，面积分别记为S，S1 ，则 & +S 2的值等于.（ 14） . （ 2006江苏）已知矩形纸片/ 8 C 。
AB= 2 , A D = \ ,将纸片折叠，使顶点4 与边7C D上的点E重合.如果折痕F G分别与A D 、A B交于点F 、G （ 如 图 7） , 44一， 则3DE=.图7 19. 9⑵勾股定理知识梳理1 . 用代数方法设未知数，根据勾股定理建立方程，求其它两边.二. 例题精讲例 1 . 在直角三角形中，两条边长分别为3 和 4 , 求第三条边的长.解析： 没有指明哪条是斜边，需要分情况讨论.解答： 若两条直角边分别为3,4,则由勾股定理得，斜边= 7 F彳= 5 , 第三条边长为 5.若 4 是斜边， 3 是直角边， 那么另一条直角边=442 -3? = 夕第三条边长为6 .答：第三条边的长为5 或 近 .说明：在用勾股定理求解时，要注意分清哪条是直角边，哪条是斜边，若没有指明，就要分情况讨论.例 2 . 如 图 是 长 方 形 ， 48 =8 , BC= 6 ,若将△ N B C 沿 4 c对折过来，则 8点落到E处 ,4 E交C D于F ,求重叠部分的面积.解析： 翻折前后的图形必定全等，通过全等三角形对应边相等，将有关线段移至同一个直角三角形中，再根据勾股定理列方程，求解，进一步完成全部解题内容.解答：由题意△ N EC丝△ N BC A Z £ = Z 5 = 90 ° CE= CB.在尸和△ C E F中 夕、、“ N D = N E = 9 0。
/< N D F A = N E F C ( 对顶角相等) 0 \ /^ 4D= BC= EC ( Bi j E):. △ 4 D F M C E F ( 4AS) . 1 ^ — --------- 14B： .AF= CF ( 全等三角形对应边相等) . 图1设 AF= CF= x ,则 尸 = 8-x ,25在 R f Z U 尸中，尸= / 尸 ， g p 62 +( 8-x )2 = x2 , 解得 x = — .41 1 25 75 75= - C F A D = -- - -6 = — . 答：重叠部分的面积为皿 2 2 4 4 4说明：用代数方法设未知数建立方程来解决几何问题是常用的方法.三. 达标训练1 . 填空题( 1 ) .已知直角三角形的两边长为3 和 5 , 则第三边的长是.( 2 ) .如果梯子底端离建筑物9 〃 ? , 那 么 1 5 皿 长 的 梯 子 可 达 到 建 筑 物 的 高 度 是 .( 3) .如图2, 在高为3 米的， 一锐角为30 °的楼梯表面铺地毯， 地毯的长度至少需 米. ( 结果保留根号)( 4 ) .已知等腰三角形的腰长为1 3,底边长为1 0 ,则它一腰上的高是. ( 5 ) .已知平行四边形的一组邻边长为3 和 4, 这组邻边的夹角为60 ° , 则它的面积是•( 6) .直角三角形两条直角边的比为5 ： 1 2 ,斜边长为2 6 , 则这个直角三角形的面积为.( 7) .将一根长1 2 分米的铁丝，弯成一个直角三角形，且斜边的长为5分米，则两直角边的长分别为.图2图3 1842.选择题( 8) .已知等腰三角形Z 8 C 的顶角N Z = 30 ° , △ / BC的面积为2 5 , 则点8 到 /C 的距离为( )A . 2 . 5 ； B . 5 ； C . 5 -\ [5 ； D. 1 0 .( 9) .如图3 , 在四边形4 8 c A 中，N B= N D= 90 ° ,对角线/ C = 2 , 如果/ 8 。
= 60 ° ,NC 3 4 5那么以下推理结论中错误的是-----------------------------( )A. BC= \ ； B. A B =6 ; C. AD= 41 ; D. CD= 2五.( 1 0 ) .如图 4, 在△ / 8C 中，AB= AC, / 8/ C= 1 2 0 ° , C E 垂直平分 ZC , 如果 E= 2 ,那么以下推理结论中错误的是------------------------------------------ ( )A. 8c = 1 2 ； B. AB= 2 > /3 ； C. BD= 8 ； D. AE= 2也.3 .解答题( 1 1 ) .如图5 , A B、C D表示两建筑物的高度. 8 = 4 , AB= 1 6 ,两建筑物相距BC= 1 6,一只小鸟从一建筑物顶部工处飞到另一建筑物顶部处，至少飞了多少米？AE\ --------------B图5C ( 1 2 ) .如图6 , 在长方形/ 8 C D 中，AD= \ O, AB= 8,将长方形48 8 沿 ZE 折叠，点 恰好落在8 c边上的点尸，求 E尸及ZE 的长.图6四. 拓展提高( 1 3) .如图7, 一架2 . 5 加 长 的 梯 子 斜 靠 在 一 竖 直 的 墙 4c上，这时梯足8 到墙底端 C 的距离为0 . 7加，如果梯子的顶端沿墙下滑0 . 4 ,那么梯足将外移多少米？图7( 1 4 ) .如图 8 , 在四边形 A B CD 中，Z B= Z Z >90 ° , 乙4 = 60 ° , CD= \ , A B =6 求B C 、的长.五. 点击中考( 1 5 ) . ( 2 0 0 6包头) . 《 中华人民共和国道路交通管理条例》规定： “ 小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70 千米/ 时” .一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶( 如图9所示) ，在距离路边2 5 米处有“ 车速检测仪O” ，测得该车从北偏西60 °的A点行驶到北偏西30 °的 5点，所用时间为1 . 5 秒.( 1 ) 试求该车从4点到8 的平均速度；( 2 ) 试说明该车是否超过限速.| 北ABL C图9O 19. 9 ⑶勾股定理知识梳理勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.二. 例题精讲例 1 . 在△/8 C 中，N 4、/ B、N C 的对边分别是° 、氏 c,根据下列条件，判断△Z8C是不是直角三角形？如果是，那么哪个角是直角？3 4( 1) 〃 =7力 =24,c=25； (2) a=\,h= — ,c=—.5 5解析： 已知三角形三边长，判断是否是直角三角形，首先要判断哪条边最长，再计算另两条边长的平方和是否与最长的边的平方相等.解答：( 1) c=25最长/+*=49+576=625, J=252=625, ：.a2+b2=c2. .♦.△N8C 是直角三角形，且NC=90° .( 1) a= \最长b2+c2= — + — = 1 a2= 1, Z >2+c2=a. Zs/BC是直角三角形，且//= 9 0 ° .25 25例 2.如图 1 ,在四边形4 8co 中， ZB=90Q , AB=BC=4, AD=2, DC=6,求四边形48co的面积.解析：不规则四边形的面积要转化为三角形来求，本题联结N C ,在中通过勾股定理求出4 c 后，在中，运用勾股定理逆定理，判断它是直角三角形，从而通过三角形面积公式进行计算. „解答：联结 4C,在 RtZXZBC 中，/8=90° ,,: AB、B d= A d, ：.AC=yl42 +42 =472 / \在 AZOC 中 '：AD 2+^C2=22+(45/2/=4+32=36, CD 2=62=36, g：.AD ^ A ^ C D2 , A ZDAC=90Q .* * * S 四边彩— AB, BCH — AD, AC =—x4x4d— x2x4\/2^ = 8 + 4>[2 .2 2 2 2例 3. P 是等边△/8 C 内一点，PA=\Q,尸 8=8, P C = 6,求NBPC解析：通过图形旋转，将符合勾股数的3 条不在一直线上的线段移到同一个三角形中,再用勾股定理的逆定理进行判断，计算.解答：段8尸下方作/P 8 P ' =60° , 并使BP' =BP,^PP' ,C P '.■ : AABC 是等边三角形,8 c=60° .■ :乙PBP' =60° , BP' =BP,：./\B P P '是等边三角形( 有一个6 0 ° 的等腰三角形是等边三角形) .=BP=8.■ : /ABC=NPBP' =60° , :.NABP=NCBP' , :* △ABPQ^CBP' (SAS).：.P' C=AP=\0. ' ： P P ' ^ ( ^ = 82+ 62= 1 0 0 , P ' 民 1 0 0 ,： ./\ P P ' C是直角三角形，且NP P C= 90 ° .■:4BP P ' = 6 0 " , ： .N BP C= 6 0 ° + 9 0 ° = 1 5 0 ° .三. 达标训练1 . 填空题( 1 ) . △ N 8 C 中，a = 力= 后, c = l , 则N= 9 0 ° .15 17( 2 ) . 中，a= 4,h= — , c = — ， 则N = 9 0 " .2 2图2( 3 ) . △/ 8 C 中，a = 4 + 1 , 6 = 石 -1 , c = 2 及 ， 则N= 9 0 ° .( 4 ) .三角形三边长为2 、3 、JF,此 三 角 形 的 面 积 是 .( 5 ) . 中，a = 2 拉 力 = 而 £ = 拉 ， 则 BC边上的中线是2 . 选择题( 6 ) .下列各组数为三边长的三角形中， 不能组成直角三角形的是--------- ( )A. 0 . 3 、 0 . 4 、 0 . 5 ； B . —、—、— ； C . 2 -^ 3 -、 3 、； D . 1 、2 " 、n~ + 1 .3 4 5( 7 ) .若三角形的三条边 a 、b、+b3 +ab2 +a2b-ac2 -be2 =0,则△ N B C的形状为-------------------------------------------------------------( )A .等腰三角形；B .等边三角形；C .等腰直角三角形；D .直角三角形.3 . 解答题( 8 ) .在△ A 8 C 中，” = 后 , 6 = 2 后, c = 3 , 求//、NB 、NC 的度数.( 9 ) .在四边形/ 8 C Q 中，AB= 1 2 ,BC= 1 3,CD= 4, AD= 3, ADL BC.求 S KiU KABCD- ( 1 0 ) .已知正方形A 8 C Z ) 中，尸 是 CD的中点，E是 8c上一点，3 E = 3 E C , 联 结 / 尸 、A E、E F ,求/ / 斤£ ■的度数.四. 拓展提导)( 1 1 ) .己知△ / B C 的三边满足a 2 c 2 + / c 2 = / -/ / , 试判断△ / B C 的形状.( 1 2 ) .如图，等边△ N 8 C 内一点尸，Z AP B= l\ 0Q ,且/ 尸MBA+PC2.求/ 8 P C , N Z P C 的度数.B图5C 19. 10两点间的距离公式知识梳理1 .两点间的距离公式：若Z ( X | f J V | ) B( X2 ,竺) ，则4B = J ( X [ —七 ) 一 + ( 必一) 一 -二. 例题精讲例1 .己知△ Z 8 C的三个顶点分别是4 ( 0 , 6 ) , B ( 0 , -2 ) , C ( 4 , 2 ) ,试判断△力8C的形状.解析： 通过三个顶点的坐标，用两点间的距离公式求出三角形三边的长，再用勾股定理的逆定理来判断.解答：* ； 4B = J ( O -O )2 + ( 6 + 2 )2 = 8,BC = y/( 0 -4)2 + ( -2 -2 )2 = 4 7 2 ,N C = J ( 0 - 4/+ ( 6 -2 f = 4 V 2 , BC= AC.B C2 + A C2 = ( 4 V 2 )2 + ( 4 V 2 )2 = 3 2 + 3 2 , AB2 = 82 = 6 4 , B C2 + A C2 = AB2.. . . △4 8 C是等腰直角三角形.例2 .已知点/ ( 2 , -6 ) , B ( -7 , -9 ) , ( 1 )求 / 、8两点之间的距离；( 2 )在x轴上求一点P ，使P点 到 小8两点间的距离相等.解析：所求尸点在x轴上，可 设 为( x , 0 ) ,再用两点的距离公式列方程.解答：( 1 )由两点间的距离公式得：Z 8 = J ( 2 +7产+ ( -6 + 9 > = 次1 + 9 = 3而 .( 2 ) • . •点 P 在x轴上.. . . 设 P ( x , 0 )' ： P A= P B , ： .P A2= P B2. ( x —2 > + ( 0 + 6尸= (X + 7)2+ ( 0 + 9 ) 2 . 解得：尸5的坐标是( -5 , 0 ) .例 3 .已知/ ( 2 , -3 ) , B ( -1 , -4 ) ,在 y 轴上找一点 C,使/ / 8 C = 9 0 ° .解析：因为/ / 8 C = 9 0 ° ,所以△/ B C是直角三角形，通过勾股定理可求出C点坐标.解答：设 C ( 0 , y ) , V Z ABC= 90 ° ： . AB2 + B C2 A C2. , . ( 2 + 1 ) 2 + ( -3 + 4 ) 2 + ( 0 + 1 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = ( 0 -2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 , 解得：尸7 .•••C点坐标是( 0 , -7 ) .三. 达标训练1 .填空题( 1 ) .点 / ( 3 , -2 )和 8 ( -2 , -1 )的距离48=.( 2 ) .点/ ( 8 , 4 )和点8 ( 5 , a )之间的距离是5 ,那么。
=.( 3 ) .以/ ( 6 , 0 ) , B ( -2 , 0 ) , C ( 2 , 4 )为顶点的△ / 8 C是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _三角形.( 4 ) .在x轴上，且与力( 3 , 4 )的距离是5的点的坐标为. ( 5 ) . 在直角坐标系内，已知点N ( 4 , -2 ) , 点 5 ( -2 , 6 ) , 点尸在y轴上，且为= 尸8 ,则P点坐标是.2 . 选择题( 6 ) . 已知4 ( 2 , -4 ) , 8 ( -4 , 2 ) , 下列各点段PQ垂直平分线上的点有---- ( )( -1 , -1 ) 、( 1 , -1 ) 、( -2 , 2 ) 、( 0 , 0 )1 个 ； 8 . 2 个； C . 3 个 ； O . 4 个.( 7 ) . △ Z B C 的三个顶点的坐标是Z ( 1 , -1 ) 点 8 ( -1 , -3 ) , C ( V 3 ) -2 -V 3 ) , 那么这个三角形的形状为----------------------------------------------------( )A .等边三角形；B .等腰三角形；C.直角三角形；D .等腰直角三角形.3,解答题( 8 ) . 在直角坐标平面内， 已知点4 ( 2 , -6 ) 点 8 ( -4 , 2 ) , 在y轴上有一点尸，且 *P B,求P点坐标.( 9 ) .已知-1 ) , N ( 3 , 0 ) , P ( -1 , 3 ) 三点为顶点，能构成什么形状的三角形？请说明理由.( 1 0 ) .已知/ ( -2 , 3)点 8 ( 1 , 4 ) , 在y轴上找一点C,使△ / B C 为等腰三角形.四. 拓展提高( 1 1 ) . 已知正比例函数丫 = 履的图像过/ ( 3 , 6 ) , x轴上有一点8 ( 4 , 0 ) , 若直线y = f c v上有一点P,满足品“8 ： SA"B=1 ： 2 ,求 P点坐标. 几何证明章节测试选择题（ 本大题共6小题，每小题2分，满分1 2分）1 . 下列条件不能推出两个直角三角形全等的是------------------------- （ ）A .两条直角边对应相等； B. 一个锐角和一条直角边对应相等；C. 一条直角边和斜边对应相等； D .两个锐角对应相等.2 .下列命题中，逆命题正确的是--------------------------------------（ ）A .对顶角相等； B .直角三角形两锐角互余；C .全等三角形面积相等； D .全等三角形对应角相等.3 .如图， / /8C是等腰直角三角形， 点 。
在 边ZC上， 且则是---------------------------------------------------------------------（ ）A. 5 ° ； B. 1 0 " ； C . 1 5 ° ； D. 4 5 ° .4 .在直角三角形中，若有一个角等于4 5 °,那么三角形三边的比为-----（ ）A. 1 : > / 3 : 2 ； B. 1 : 2 : V 5 ； C . 3 : \ [2 : V 3 ； D. 1 :1 :6 .5 .下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是------------------- （ ）4 6、8、1 0 ； B. I、I、桓 ; C . 2、6、场 ；D 7、2 4、2 5 .6 .如图，是的中线，Z A D C = 4 5 °,将 』ZQC沿 直 线 翻 折 ，点C落在点' 的位置上，如果8 C = 1 0 ,求8 C ’的长为------------------------（ ）二. 填空题：（ 本大题共1 2小题，每小题3分，满分3 6分）7 .命 题 ” 等腰三角形两腰相等”的逆命题是8 .到定点A的距离为9 c加的点的轨迹是.9 .如图， 已知= 8 C = 1 4 c m , O E是N3的中垂线， 则4 E + EC是 c m. 10 .如图，已知点尸是N /8C的角平分线3。
上的点，P，_L 8/,如果P，= 5cm ,那么点P到B C的距离是 cm .11 .若直角三角形的两个锐角的比是2: 7 ,则这个直角三角形的较大的锐角是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 度.12 .若Rt / A B C的两条直角边分别为1和2 ,则斜边为.13 .在 必 /48中，Z.A - 90 , ZC = 30°, A B = 2cm ,则 8C =cm .14 .已知点P(-3 ,4 ) ,3,- 4 ),则线段P的长为.15 .如果一个三角形的三条边长分别为5CM,12c机,13cm ,那么这个三角形的面积为_____________ c m2.16 .如图，以直角三角形三边向外作正方形，三个正方形的面积分别是B、S2> S3,且 H =15,白2=136,则83 =第16题图17.如图，NC = /D = 90 , 请你再添加一个条件:第19题图,使 AABC = M A D .分,19.等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那 么 它 的 顶 角 等 于 .解 答 题 ：( 本 大 题 共4小 题 ，第19, 2 0题 每 题5分 ，第21, 2 2题 每 题6满 分22分)如图，求作一点P ,使尸C = P。
，并且到NNO8两边的距离相等.20.如图，已知 8 CD, N8 = N C .求证：A B = A C .BC第20题图 2 1 .已知直角坐标平面的两点分别为4 ( 3 ,3 ),8 ( 6 /)，设点尸在》轴上，且=求点P的坐标.2 2 .已知/ 的三个顶点分别是工 ( 一2 ,0)、6 ( 2 ,4 )、C ( 6 ,0),试判断/ / 8 C的形状.四 .解 答 题 ：( 本 大 题 共4小 题 ，第2 3、2 4题 每 题7分 ，第2 5、2 6题 每 题8分 ，满 分3 0分)2 3 .如图，在△ Z 6 C中，已知N C = 1 2 0°,边ZC的垂直平分线QE与/ C、A B 分别交于点和点E .( 1 )作出边〃的垂直平分线E；( 2 )当Z E = 8C时，求4的度数.2 4 .已知：如图，在/ / 8C中，是3C边的中点，DEA.AB, 尸，N C ,垂足分别是E、F ,且8 E = C求证：平分N A 4 c .第2 4题图 2 5.在中，N 8 = 6 0' ，A D LB C ,垂足为 ，若 Z O = 3CTH,A C = 5 c m ,求/ 45 C的面积.第2 5题图2 6 .已知：如图，在/ Z 8 C 中，Z C = 9 0° , Z B= 30 ° , A C = 6,点。
、E 、F %别在边BC、A C . A B 上( 点、 E 、E与 /Z8C顶点不重合)，平分N C /8 ,E F LA D ,垂足为( 1 )求证：A E - A F ；( 2 )设C E = x , B F = y ,求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；( 3 )当 / E尸是直角三角形时，求出8R的长.备用图 初二第一学期期中测试卷选择题( 本大题共6 题，每题2 分，满分1 2 分)1 .下列根式一定有意义的是-----------------------------------------( )A. J -x ； B. J a + 1 ； C. ； D. y]x ~ +1 .2 . 若 日 与J沃是同类二次根式， 则加的最小正整数值是---------------( )A. 1 8 ； B. 8 ； C. 4 ； D. 2 .3 .下列一元二次方程中， 没有实数解的方程是---------------------------( )A. x2 — 2 x -2 = 0 ； B. — 2 ,x + 2 = 0 ；C. — 2 x + 1 = 0 ； D. — x — 2 = 0 .4 .若关于x的方程2/ +以 + 。
0的两根为2、-1 ,则多项式2/+ 区 + 可因式分解为----------------------------------------------------------------- ( )A. 2 x2 + + c = ( x - 2 ) ( x4 -1 ) ； B. 2 x2 4- + c = 2 ( x + 2 )( x - 1 )；C . 2 x2 + b x + c = ( x + 2 )( x -1 )；D. 2 x2 + b x + c = 2 ( x - 2 )( x + 1 ).5 .若函数y = ( 4 〃 z -l )x + m- 4是正比例函数，则加的取值范围是----- ( )A. m = 4〃 ； B. m 1 , ) 1丰 一； C . m < 4 ； D. m =—.4 46 .如果两点小2 ,必)和Q ( 3 ,% )都在反比例函数歹= 々 左> 0)的图像上，那么,和外x的大小关系是------------------------------------------------------- ( )A. > y2 ； B. yx 0) =.9 .如果J ( 2 - 3 -)2 = 3加一2 ,则加的取值范围是.1 0 .写 出 后 -2的一个有理化因式：.1 1 .不等式百的解集是. 1 2 .配方：x2 + 3 x += ( x + / .1 3 .若方程2 x ? +M JX + 3 = 0的一个根是3 ,则用=.1 4 .两个连续自然数的平方和是8 5 ,则 这 两 个 自 然 数 分 别 为 .1 5 .函数f ( x ) = 土 ' 的 定 义 域 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .2 -x1 6 .如果/( x ) = 2/ - 5 ,那么/(J5)=.1 7 .如果正比例函数y = ( 3左-2 )x的图象在第二、四象限内，那 么k的取值范围是.1 8 .平面直角坐标系中，点力坐标为( 2道,2 ),将点4沿x轴向左平移加个单位后恰好落在反比例函数y = - — —的图像上，则用的值为.X三. 简答题( 本大题共4题，第19、20题每题5分，第21、2 2题每题6分 ,满分2 2分)1 9 .计算：■ —同一历行+ ®.2 0.计算：8 4 H . 2箍 义. ( « > 0) .2 1 .选择适当方法解下列方程:1,(1)^(X + 3)2- 2 = 0.(2) y~ — 2y[iy -1 = 0. 2 2 . 下面的图像反映的过程是: 张强从家跑步去体育场, 在那里锻炼了一阵后又原路返回,顺路到文具店去买笔， 然后散步回家. 其中x表示时间, y表示张强离家的距离. 根据图像回( 1 ) 体育场离张强家 千米，张强从家到体育场用了 分钟；( 2 ) 体育场离文具店 千米；( 3 ) 张强在文具店逗留了 分钟.四、解答题( 本大题共4题，第23、24题每题7分，第25、26题每题8分,满分30分)2 3 . 已知关于x的方程( 左一；) / 一 ( 左+ l ) x - 1 = 0 .⑴若方程只有一个根，求左的值并求出此时方程的根；⑵若方程有两个相等的实数根，求〃的值.2 4 . 一种笔记本电脑，原来的售价是1 5 0 0 0 元，经过连续两年的降价，今年每台售价为1 2 1 5 0 元，每年降价的百分率相同. ⑴求每年降价的百分率是多少？⑵若小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 25 .已知正比例函数歹=Ax经过点/,点 Z 在第四象限，过点4 作 N 4 _ L x 轴，垂足为点H, 点力的横坐标为3 , 且的面积为3.⑴求正比例函数的解析式；⑵在x 轴上能否找到一点尸，使4 4 0 尸的面积为5 . 若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.26 .如图， 已知正方形N8C。
的边长是3 厘米， 动点尸从点8 出发， 沿 3 C 、C D 、 D A方向运动至点4 停止. 设点尸运动的路程为x 厘米，/ N 8 P 的面积为y 平方厘米.⑴当动点P在 B C上运动时，求y 关于x 的解析式及其定义域；⑵当动点P在 D C上运动时，求y 关于x 的解析式及其定义域；⑶当x 取何值时，Z N8尸的面积为1.5平方厘米.DCDCDC■ p• P• PABABAB第 23题图 初二第一学期期末测试卷选择题( 每小题2分，共12分)1 .下列二次根式中，最简二次根式是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )A . ； B . V4 ； C. -yfC ； D. V8 .2 . 方 程 /=4x的解是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( )A. x — 4; B. x — 2 ; C. x — 4, x = 0 ; D. x = 0 .3 .下列命题中真命题是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A .同旁内角相等，两直线平行；B .两锐角之和为钝角；C.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；D .直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4 . 如图，在A A B C 中，ZC = 9 0 ° , / C 4 2 的平分线 A D 交 2 C 于点。
8 c = 8 , BD= 5 ,那么点到 的 距 离 是 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. 3 ; B. 4 ; C. 5 ; D. 6.5 .如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下， 倒下部分与地面成3 0 °角，这棵树在折断前的高度为- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( )A. 6 米； B. 9 米； C. 1 2 米； D. 1 5 米 .6 .在 R t Z \ / 5 C 中，ZC = 9 0 ° , N B = 1 5 , A C = 2 ,如果将这个三角形折叠，使得点 8与 点 / 重 合 ，折痕交力 8于点交8c于点M 那么8N等于- - - - - - - - ( )7 .计算：-J\ 2 - V 3 =8 .方程( x — l ) 2 - 4 = 0 的解为：.9 .正比例函数y =值 的 图 像 是 经 过 点 和 的.1 0 .已知命题“ 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等” ， 用 “ 如果… ， 那么…”的形式写出它的逆命题，并判断其真假.逆命题::这 个 逆 命 题 是 命 题 ( 填 “ 真”或 “ 假” ).1 1 .如图，点 。
E 在 2 C 上，AB= AC, B D = E C ,要证/ 1 = N 2 , 可以先由 得N B=；再证丝， 得N l = / 2 .1 2 .已知△ / 8 C中，是N 8 / C的平分线，D E L A B ,垂足是E , D F V A C ,垂足是凡且△/ 5 C 的面积为 2 8 , AC= 4, 4 8 = 1 0 ,贝 !I OE=.1 3 .平面内到点的距离等于3厘米的点的轨迹是.1 4 .在 R t a / B C 中，ZC = 9 0 ° , A B =26，B C =6，那么48=度.1 5 .如图，在等腰直角△N 8 C■ 中 ，N C = 8 C ,点 在N 8上. 如果N D= / C , D E LA B 与8 c 相交于点 E ,那么 8CE ( 填1 6 .在△ / B C 中，AB= AC, Z A= 1 2 0Q ,是 3 c 的中点，D E LA B ,垂足是 E ,则 AE . BE=.1 7 . 点C在x轴上，点C到点N ( - 1 , 4 )与点8 ( 2 , - 5 )的距离相等，则点C的坐标为.1 8 .已知在△ 4 B C中, /8 = 2 1 5 , /。
=2 , 3边上的高为百， 那么8 ( 7的长是.三.解 答 题( 1 9、2 0题 ，每 题5分 ；2 1、2 2每 题6分 ，共2 2分)1 9 .计算：！3- x 0 . 6 x42 0 .解方程：x2 + 5 x - 1 4 = 0 .2 1 .已知：如图，Z M 8 C和Z U D E都是等边三角形.求证：BD= CE.第21题图2 2 .已知: 如图，R t A A B C ^ RtAADC,Z ABC= Z ADC= 90 ° ,点 E 是/ C 的中点.求证：Z EBD= Z EDB.B第22题图 四 . 解 答 题( 2 3、2 4题，每 题7分 ；2 5、2 6题 ，每 题8分，共3 0分)2 3 .已知反比例函数歹=8的图像经过点4 ( - 1 , 2 ) .X( 1 )如果正比例函数丁 = 左环的图像与上述函数y = "的图像没有公共点，那么占的X取值范围是什么？( 2 )如果函数丁 = 《图像上三点的坐标分别是( 为，力) 、( x2, % )、5 , % )，且X有否＜》2 ＜0 ＜》3 ，试判断必、心、力的大小.2 4 .己知：如图，在/ / 8 C中，N C = 9 0 ° , Z5 = 3 0 ° , 的 垂 直 平 分 线 交 于E ,交8 c于点D ( 1 )求证：DE= DC.( 2 )若 D E = 2 ,求/ Z 8 C三边的长.第2 4题图 2 5 . 如图， 点力的坐标为（ 3 , 0 ） , 点 C的坐标为（ 0 , 4 ） , 0 4 8 C 为矩形， 反比例函数y = KX的图像过43的中点。
且和3C相交于点E,厂为第一象限的点，4 尸 1 2 , 8 1 3 .（ 1 ）求反比例函数歹=«和直线OE的函数解析式；x（ 2 ）求四边形 / 尸C的面积.2 6 .己知：如图，在ZI / 8 C 中，ZC = 9 0 ° ， N B= 3Q ° , A C = 6 ,点 在边 8 C 上，A D平分N C 4 8 , E为 /C上的一个 动 点 （ 不 与 X、C重合） ，E F L A B ,垂足为F .（ 1 ）求 证 :AD= DB-,（ 2 ）设 C E = x , B F = y ,求y关于x的函数解析式;（ 3 ）当N DEF= 90 °时，求 8 尸的长.第2 6 题图 。