§9.7 抛物线第九章 平面解析几何 基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引 基础知识 自主学习 知识梳理1.抛物线的概念抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .2.抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质相等焦点准线标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标 离心率e＝1准线方程x＝x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下 1.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|＝x0＋也称为抛物线的焦半径.2.y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为 ，准线方程为x＝－ .3.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2.【知识拓展】 (3)以弦AB为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 题组一 思考辨析题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ，准线方程是x＝－ .( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )基础自测×123456×× (4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝ ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )√×123456√ 题组二 教材改编题组二 教材改编12456答案解析32.[P72T4]过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于A.9 B.8 C.7 D.6√√解解析析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 12456答案解析3.[P72T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为__________________.3解析解析 设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 4.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是A.4 B.6 C.8 D.12解析124563答案√√解析解析 如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.题组题组三三 易错自纠易错自纠 5.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是解析12456答案3√√ 6.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________.解析12456答案3[－1 ，1]解解析析 Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.几何画板展示 题型分类 深度剖析 解解析析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.典典例例 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为___.题型一 抛物线的定义及应用师生共研师生共研答案解析4几何画板展示 解解 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 即|PB|＋|PF|的最小值为2 .1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.引申探究引申探究解答几何画板展示 2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解答解解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，几何画板展示 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.思维升华思维升华 跟跟踪踪训训练练 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为____.答案解析解析解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，几何画板展示 命题点命题点1 求抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程解析答案题型二 抛物线的标准方程和几何性质多维探究多维探究典典例例 (2017·深圳模拟)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为√√ 命题点命题点2 抛物线的几何性质 抛物线的几何性质典例典例 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：证明 证明 证明(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证证明明 设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.思维升华思维升华 跟跟踪踪训训练练 (1)(2017·广西三市调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0， )到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于答案解析√√∵p>0，∴p＝2.故选D. (2)(2017·郑州二模)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝ |AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为解析答案√√解析解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E.∵|PA|＝ |AB|， 命题点命题点1 直线与抛物线的交点问题 直线与抛物线的交点问题典典例例 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若 ＝0，则k＝______.解析题型三 直线与抛物线的综合问题多维探究多维探究答案2 命题点命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题 与抛物线弦的中点有关的问题典典例例 (2016·全国Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；证明几何画板展示 (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.解答几何画板展示 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.思维升华思维升华 跟跟踪踪训训练练 (2018届武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；解答解解 可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p. ①则有p＝2. (2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.解答 典典例例 (12分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.直线与圆锥曲线问题的求解策略答题模板答题模板规范解答答题模板思维点拨 课时作业 1.点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是基础保分练12345678910111213141516解析答案√√ 2.(2018届云南昆明一中摸底)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若 ，则 等于A.3 B.4 C.6 D.7答案12345678910111213141516解析√√ 3.(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4 ，则抛物线C的方程为A.x2＝8y B.x2＝4yC.x2＝2y D.x2＝y答案12345678910111213141516√√解析即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，故抛物线C的方程为x2＝2y. 4.(2017·赣州二模)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且△OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为A.1 B.2 C.3 D.4解析答案12345678910111213141516√√解析解析 不妨设A(x0，y0)在第一象限， 5.(2017·汕头一模)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线的斜率为1，则|AF|等于A.1 B.2 C.3 D.4解析答案12345678910111213141516√√故|AF|＝|BF|＝1. 6.(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若 ＝－12，则抛物线C的方程为A.x2＝8y B.x2＝4yC.y2＝8x D.y2＝4x解析答案12345678910111213141516√√ 解析答案123456789101112131415167.(2017·河北六校模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________.解析解析解析 设满足题意的圆的圆心为M(xM，yM).根据题意可知圆心M在抛物线上.又∵圆的面积为36π，y2＝16x∴抛物线方程为y2＝16x. 答案123456789101112131415168.(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k＝ ，则线段PF的长为_____.6解析 解析12345678910111213141516答案9.(2017·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________. 10.(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析123456789101112131415166答案 11.(2018·郑州模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上一点(5，m)到焦点的距离为6，P，Q分别为抛物线C与圆M：(x－6)2＋y2＝1上的动点，当|PQ|取得最小值时，向量在 x轴正方向上的投影为答案√√ 解析12345678910111213141516答案2 15.(2018·安阳月考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则 的最大值为拓展冲刺练12345678910111213141516解析答案√√ 16.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_______.12345678910111213141516(2,4)解析答案 。