第4章插值与基函数(上)（借鉴教学）

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1、第四章 插值与基函数重新回忆虚功方程它是解释有限元法的思想基础。注意到未知位移是通过插值函数用结点位移表示实 虚 N 是关键。故可以说采用插值函数位移模式是有限元法的一个重要特点。这样提高插值精度是提高有限元法精度的重要手段。换言之,用什么单元的问题是关键问题，它决定了工作量和精度。 1技术教育插值函数类是有限维的，与空间向量存在着一组基一样，也存在一组基函数，所有同一类的插值函数都可通过这组基函数表现出来。例如三角形单元中有三个基函数（一组基）。 对于基函数，一般研究下述问题：1连续性（光滑性）2逼近阶（误差大小） 2技术教育3总体自由度（关系到离散单元的数量、工作量）为说明每类插值函数的逼

2、近度，需要引进函数的度量，命 其中n=1,2,3分别对应一维，二维和三维情况。 都是非负整数。 3技术教育逼近定理 设f(x)是给定在上的函数，它使得 有意义， 是f(x) 的插值函数，它在位移光滑的区域 上有L-1阶连续微商，而L阶微商在 上分块连续,如果它对于K次多项式 是准确的，即 ，则有估计式(4.2) 其中 是所有插值单元的最大直径，M是与h,f无关的常数。 4技术教育（注） 是插值运算因子， ，即把f(x)变为（一）一维插值1线性插值（Lagrange型）与长度坐标Lagrange型：只要求插值多项式本身在插值点上取已知值(=f(x)Hermite型：除本身外，还要求多项式的微商（

3、 ，法向微商）在插值点上取已知值。 插值函数的定义 设区间a,b被分成若干单元，节点为5技术教育已知函数 在各节点的值，插值函数 使得10 20 在第一单元 上 是一次式。 (4.3) 6技术教育线性插值函数的性质10 在a,b上连续,有分段连续微商。20 若f(x)取作一次多项式，则 就是它本身，即 ，从而由逼近定理有估计：其中 7技术教育30 总体自由度为N（即N个节点）为了表达更简洁，下面研究长度坐标，回忆上一章线性插值基函数的线性变换式（2-32）到式（2-35）将e变成 平面上的标准三角形OAB。 另外又把N变换成三角形弧长的一次式式（2-35）0 1 AB121ePi (t=0)P

4、j（t=l)Pm8技术教育这里，研究一个小区间： 令 (4.4) 则(4.5) 称为单元 上线性插值基函数，很有用（这样，无论对于哪一个单元都可以用同一形式表示）恰好又为长度比： (4.6) 1211xiXi+19技术教育性质：10 记 点的坐标为 ，则有(4.7)这说明坐标X与满足关系式 的（ ）之间有一一对应关系，（ ）可作为坐标，称为长度坐标（只有一个变量独立）。 20 单元顶点 和形心的长度坐标分别是（1，0），（0，1）和（ ）。 10技术教育30 任一k次多项式 是 的齐k次多项式，反之亦然（由于 ，任何数乘以1还是原数，只须对 的任一项 乘以 使可得到 的齐k次式）另：把k次多项

5、式 化成 的k次多项式虽可有多种不同的形式，但齐k次多项式却是唯一的。 只要证明对任何 有 ，即有 11技术教育这是因为在开区间（0,1）中任取k+1个不同点 ， 由于当 时(4.8) 其系数行列式为12技术教育如 时 ，有 ，故式（4.8）的解 40 若取 为独立变量（ ），则L为 为顶点的单元的长度。 x1X2Q1Q213技术教育为方便起见，把对x的积分换成对长度坐标的积分，特别是当被积函数本身已由长度坐标表出的时候。(4.9) 任意区间标准区间0,1 注意Euler 积分公式(4.10) 利用式（3.9）直接得到14技术教育(4.11) 这个公式在计算线单元“刚度系数”和“荷载向量”常用

6、2高次Lagrange 型插值(1) 的定义： 已知函数 在各单元顶点和中点的函数值 和 要求： 10 15技术教育20 在每个单元 上 是二次 式。给中点值的原因是三点能使二 次式唯一确定。有两种 方法可以证明 10与上次课一样，列出 然后证明系数行列式 但此法在处理高维插值时比较复杂16技术教育20思路是 或 要证 的唯一性，只须指出若 ，则在 上二次插值函数 是一个多项式且由假设有 17技术教育故其必然同时含有因子 即因 为二次式，故必有 ，则 方法简单易推广。 基函数 (4.12) 称为单元 上二次插值的基函数，很容易从长度坐标得到。 18技术教育从图形看用长度坐标表示时：考虑到 ，则

7、 则 必含 因子,再要满足 （即 时 ），则可写出19技术教育(4.13) （2） 的性质（i） 在 上连续,且有分段连续微商同理20技术教育（ii）当 是二次多项式时， 就是 本身， 即 从而由逼近定理估计一般说来，总还可以构造更高次的Lagrange 型插值函数， 如当中加两个点等等。这样插值函数逼近的 精度会有所提高，但充滑性并不增加，不合 算。如作位移模式，仅位移连续，而转角等 不连续。因此，如需在单元顶点上增加微商条件的话，拟采用Hermite型插值。 （iii） 的总体自由度：2N-121技术教育3三次Hermite 型插值（1） 的定义函数 在每单元端点的函数值 和微商值，使 满

8、足10 20 在每一单元 上 是三次式 22技术教育 根据条件（即 ),多项式 中必含 及 项，从而 ,否则至少4次. 为构造 ，要在每个单元 上构造四个基函数，即 这些基函数应满足： (4.14) 23技术教育24技术教育用长度坐标表示，注意到 ，则 由 可知这样 必含 项，故导数要为0， 25技术教育根据长度坐标的性质（3）， 的多项式为齐3次多项式， 这样可将 表为 为待求系数利用 26技术教育 之条件 ， 有 得到 同理得 式（3.14）也可写成(4.14a) （4.15）27技术教育（2） 的性质： （i） 在 上有一阶连续微商和分变连续的二阶微商。 （ii）如 为三次多项式，则 就

9、是本身，即 则有估计式28技术教育（iii）总体自由度：2N归纳一下：一维插值讲了三种插值多项式，分别为线性Lagarange 型 高次Lagrange型 Hemnite 型 并分别叙述了它们的充滑性， 29技术教育逼近度和总体自由度，这也是谈插值必谈的三点，根据这三点，权衡精度和工作量这对矛盾的统一体来选择或构造各种不同的插值多项式。 在讲一维插值中多次利用长度坐标 这为我们方便地写出插值基函数提供了条件，需熟练掌握，在二维插值中，这种思想将发展成面积坐标。在这里再次强调 的定义30技术教育（二）二维插值1二维插值的特点： 一维的推广，但情况复杂一些，如 10 两个相邻单元结点的连续可微不等

10、于边的连续可微性，因此对每个插值函数在整个区域上的连续可微必须认真考虑。 20 插值点既可以是单元顶点，又可以是单元边界点，甚至内点插值，因此对总体自由度方面要有新认识。 31技术教育引理三角形剖分 NP：NE：NS1：2：3四边形剖分 NP：NE：NS1：1：2证：（三角形） 内总内角和，每一单元和，故=NE 从顶点看，每点周角2，故 其中为边界节点的外角， 为边界节点总数。 32技术教育对于一般结构来说，外角总数总是远远小于结点数的。现在上式中NP，则分母远远大于分子，因此在结点足够多时，可认为 则 即对于边，一个单元三条边，每条属于内部的边又与两个单元相联，有 33技术教育其中 为边界上

11、的边数，显然 是一个小数，当边足够多时，可认为 近似为0 证毕。四边形单元的情况类同，证明从略，从式子中可以见到, 多边形单元加内点并不合算，加一个点的工作量等于加一个单元的工作量。2线性插值与面积坐标（1）线性插值型（即Lagrange型）插值：一次式 表示空间平面，根据插34技术教育 值函数的定义它通过三个定点 只要此三点不在一条直线上，这样的平面显然是唯一确定的。因此插值函数写成 （一次式） (4.16)亦即单元 e上有 (4.17)单元e的基函数 ，均为一次式且满足(4.18) Q2Q3 Q1 35技术教育我们在平面问题中已谈过三角形单元,基函数可取 (i.,j=1,2,3)若在e上定

12、义则 (4.19)其中在第三章一开头我们谈过主要研究一个插值函数的连续性,逼近度和整体自由度，下面讨论一下这三个问题。36技术教育连续性：三角形上的线性插值在一条边上的值等于此边两端节点所作的线性插值，由一维插值的唯一性即知在任何两个三角形单元的公共边界上 连续，从而在整个 上亦连续。逼近度 由插值的唯一性有 从而由逼近定理有估计(4.20)37技术教育 看图，在一面问题中我们已讨论过基函数 的性质，特别是（3.23）式,我们已给出过 这里我们再详细讨论一下。 回顾式（3.23）总体自由度 NP（2）面积坐标 线性插值基函数很有用,深入讨论38技术教育同理： (4.21) 令 由基函数性质（注

13、意式2.31），有 显见 与x,y是1-1对应的， 依频于 通常称 为面积坐标（或重心坐标齐次坐标）前已 (4.22)(4.23)(4.24)39技术教育谈过，把x,y平面上的各单元e都变为 平面上的标准三角形OAB。(3) 面积坐标的性质: 10 三角形三顶点 和形心的面积坐标分别为（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）和0 1 AB112xy40技术教育0 BA2120 三角形条边 的方程分别为30 下图,过任一点Q作平行于 的直线分别交 两边于 两点,则在线段 上恒有Q2Q3 B3 Q B2 Q1 41技术教育有类似结果40 任一x,y的k次多项式是 的齐k次多项式，反之 亦 然

14、 （ 只 须 对 每 个 次 单 项 式 乘 以 ，再展开便得 的齐k次多项式，反之亦然在一维L a g r a n g e 插 值 中 证 过 类 似 情 况 ）50 取 为独立变量，则利用式（4.24）（4.23）得42技术教育(4.25) ，故有解联列方程组。 同理(4.26) 43技术教育(4.27) 插值函数用面积坐标表示在积分计算中有很大方便利用（3.10）式Euler 积分44技术教育得到一个十分有用的公式 若令 45技术教育3高次Lagrange 插值1）二次插值以六结点二次三角形为例，知 在各单元顶点和各边中点上的值，求函数 在任意e上有（中点）i=1,2,3 46技术教育这

15、种b结点元具有12个自由度，单元中的应力是线性的，不再是常数。 唯一可解性：（思路与一维高次Lagrange 的证法是一样的，对于边 即为 一样） 设 ，在边 上，因 ，故 是 二次式，以二次式在 和 三点为0。故由一维二次插值的唯一性知 在 上必恒为0，这样它必含 。同理它亦必含 故 但根据假设，在 点47技术教育 即 故c=0即 这样就满足了唯一性。由于在每一边上唯一，因此两个相领单元公共边的 必连续共属基函数有两类： (4.29) 其中（i） 48技术教育（ii）单元 上 是二次式。试求 要求 直线 方程 则 必含 则 再求 要求49技术教育直线 方程 方程 则 必含 则 利用对称性，即

16、写出其他基函数 (4.30) 50技术教育逼近度 因 , 故有估计 总体自由度 比较一次插值，总体自由度为NP，现在提高一次，变为4NP，工作量增加很多，但是光滑度仍然是不基函数的图形51技术教育够的，所以用高次插值要权衡一下利弊。除二次线性插值外，还有三次插值，受阻制的三次插值等三角形单元。由于实际中用得不多在此只作粗略介绍。 2）三次插值形心C，共10点，10个基函数 基函数52技术教育(4.31) 53技术教育连续性 逼近度 总体自由度 3）受限制的三次插值 总体自由度增高多占不少内存，想要减少一点,但对L型插值来说，边上4个自由度是不可少的，要 54技术教育保证三次和相邻元连续，因此只

17、能在形心上想法，表面上看， 去掉三次式的某项作不完全的三次插 值是可行的，如去掉 项，这样的不完 全三次插值是唯一的，但又是无用的，因它对 一次式都不准确。如55技术教育一次式中就包含 , 去掉后不准了，所以要选择的三次插值函数的原则为：逼近度尽可能高，三次不准则退守二次准确。 一般二次多项式的形式为(4.32) 化为齐次式有56技术教育对于插值函数（三次） 欲使 ，必须满足条件（E）（E） (4.33) 问题归结为求 ，使 10 57技术教育20在单元 上 是 的齐三次式（即 的三次多项式）且系数满足条件（E），故亦称为受限制的三次插值。基函数 原来的基函数除（E）外，其他基函数的条件显然满

18、足,三条边上 故只要改变原基函数中 项系数，使其满足（E）即可。 58技术教育原来 可令 据条件（E）定出 故有 59技术教育三条边上 这项为0，改变系数不影响在节点 之函数值。故 必定是基函数。 类似有： 60技术教育61技术教育连续性 逼近度 总体自由度 重新回顾三角形剖分 ，每边加一个自由度等于顶点加三个自由度,内部加4Hermite插值 62技术教育一个自由度等于顶点加两个自由度，因此增加边上自由度很不合算。另外用Lagrange型插值次数再多也只能保证插值函数在 上连续，而不可能有导数连续，因此研究Hermite 型插值是有意义的。（1）三次插值，插值函数 使在每个单63技术教育元

19、上满足： 10 20 是 的齐三次式（亦即 的三次式） 唯一可解性： 设 在 边 为一个自变量 的三次式（在点A1A3A2C64技术教育 点也类似情况）。由于已设 点在x,y向微商为0，故对任意方向，特别是 向微商亦为0，从而边 上有四个条件 由一维Hermite 三次插值的唯一可向性可知 从而必含因子 ，同理还含有因子 ，故但因 ，则k=0，故65技术教育基函数：构造10个对面积坐标 的基函数 和 要求：（i） 角点位移 内点位移角点导数角点导数（ii） 在e上都是三次式 66技术教育表达式 (4.35) 求具体值： 六个系数，利用六个条件求，即 有 67技术教育得到 故 亦含有因子 ，故与

20、 应有相同的一般表达式，代入相应插值条件易得： 68技术教育适当输转角标有 类似地 由 知k=27，故 (4.36) 要注意这样的基函数得出的插值函数的表达式，乘在 69技术教育前面的系数应是 和 若所给微商是 和 故(4.37) 亦即相当于在x-y平面上把基函数 改成 (4.38) 这样就得到在单元e上的插值基函数。70技术教育连续性证明与前类似。 逼近度 因 ，有估计式 总体自由度 （2）受限制三次插值去掉形心自由度，加入条件（E），总体自由度为3NP。可作非协调板元。（3）五次插值二维Hermite 三次插值在节点上增加了微商条件，由于无法保证在三角形周边上法向微商连续，故插值函数仍不能

21、71技术教育属于 ,故以往的元都只能作为膜元应用于平面弹性，温度场或膜的平衡等二阶偏微分方程的定解问题。要对三角形剖分构造协调板元（亦即插值函数属于 且二阶微商分块连续）在每个单元中的插值多项式至少是五次的。这要求在每个三角形单元中给出21个Hermile型插值条件。这21个条件大致有两种给法（1）21个自由度格式：在每个顶点给出 ，在三条边的中点给出： 面外法向72技术教育（2）18个自由度格式：去掉边上三个自由度，改成 在三条边上均为三次式这样三个约束条件。 （每个圈六个条件）（21自由度） （18自由度）73技术教育讨论18自由度格式设 是给定在单元e上的18个基函数，它们使插值函数 有

22、表达式(4.40) 这18个基函数在各顶点应满足的条件是清楚的，基函数均为的齐5次式，在三条边上法向微商均为 三次多项式具体的基函数可根据条件写出，比较复杂，要解联立方程才74技术教育可求得多项式的系数。 对于x-y平面的单元e上的插值，据式（4.25）和 的关系，得到(4.41) 75技术教育且 (4.42) 特别要强调：在用有限元法时，作为未知量的节点参数总是按整体坐标给出的,即 等等，这样才能保证整体连续性，但是为了便于应用面积坐标之性质，在求基函数76技术教育时给出 等，在得到基函数后再变换回来，这样可以得到整体坐标系中的表达式。但是，对于18自由度的H型插值，法向导数 是 的三次式却

23、不能改成 是 的三次式，否则会导致错误的基函数.因对相邻的两单元，在公共边上 一般并不代表同一方向的微商，因此不能保证插值函数属于 连续性 ，即在足够光滑区域 内有一阶微商77技术教育逼近度 总体自由度 6NP5几种单元的分折比较78技术教育从精度看，尽管（B）单元很多，但挠度误差14%，应力呈折线，虽然误差很大，而图（C）只有2单元已得到很高精度，挠度误差0.6%，正应力误差2.3%，这种单元还有一个优点，由于把18个参数集中在三个结点上，结点少，图示悬臂梁的计算结果图（A）为悬臂梁的理论解图（B）为常应变单元之解，在梁高方面布置了5排节点，共128个单元,170个方程。图（C）为3节点18

24、自由度单元.两个单元,24个方程。79技术教育带宽小。但刚度阵复杂，形成单刚时间长。下图为几种不同单元在不同自由度下的悬臂梁自由端挠度的计算值比较：80技术教育由此见到矩形单元的精度远刚高于三角形元，特别是杂交元，在自由度小60时，梁高方向只取了一层单元,精度仍很好。当自由度超过150时，已趋近于理论的因此引出了进一步的问题矩形剖分，在讲矩形剖分前顺便向释一下杂交单元。前述矩阵位移法中对位移函数要求十分严格,不但要连续,在单元边界上要求相邻单元间位移及某些导数协调。但在落板落壳及裂缝尖端应力计算中，构造协调的位移函数困难.于是在单元内部采用一个位移函数在单元边界上采用另一个独立的应力或位移函数

25、，用最小势能81技术教育原理论位移杂交元或在单元内部假定一个应力场，在单元边界上另外采用一个协调的位移场，用最小余能原理求解应力杂交元，后者用度更广泛一些，详细将以后介绍。 （三）矩形剖分在区域上分成若干矩形单元e的组合，对这些单元同样可作Lagrange型和Hermite型插值。与三角形单元相比，矩形单元除基函数差别大一些外，其余如唯一可解性，整体连续性，逼近度及总体自由度的研究均十分类同，因此在下面的研究中只给出基函数构造，其他同学可自己证明82技术教育一下，结果我们在最后的小结中还将提到。 1Largrange型插值（1）双线性插值：面积坐标在构造三角形单元的基函数时起到突出作用，其实质

26、是作一个坐标变换，把x-y平面上的任意三角形变换成为 平面的一标准三角形OAB，这个方法能否借用到矩形剖分中来呢？试一试。 既对称又简单的标准矩形为正方形D：对任一 （见图）从e到标准83技术教育 矩形D的坐标变换是(4.43) 式中， 为形心C的坐标： 为矩形长、宽之半，亦即(XC,YC)A1(X1,Y1)A2(X2,Y1)A3(X2,Y2)A4(X1,Y2)0(1, 1)(1,-1)(-1,1)(-1,-1)1184技术教育,称为局部坐标，用以构造基函数，利用,可知四边 之方程分别为： 下面将构造双线性插值函数，所谓双线性L型是指单元4个顶点给定函数值后， 在x,y向均为线性变化，在单元内

27、 为x,y的线性函数。利用局部坐标，根据基函数性质，很快就可写出双线性插值函数的基函数为 85技术教育写成统一表达式： (4.43) 为顶点 的局部坐标。局部坐标与长度坐标之间的关系： x方向： 86技术教育 y方向： 一维线性插值基函数 。这样二维双线性插值的基函数实际上为一维线性插值函数之乘积即 (4.45) （2）双二次插值：双k次插值是指一个变量固定时是另一个变量的k次多项式，双k次式共有k1个自由度（在一维插值中，二次插值有3个自由度，加一个中点），故双二次有9个系数。需在87技术教育4个顶点、4个中点和形心处取已知值 即及C点。注意方程：这样，设 和 分别为对应点和C的基函数，则

28、88技术教育同理(4.45)如果将（4.45）式与一维插值中的二次插值比较，可见到双二次亦可作为一维二次插值的基函数的乘积而得到。 （3）不完全双二次插值：能否去掉形心C点的插值条件？可以，这样将得到不完89技术教育全的双二次插值。由于8个自由度不能决定9个系数，考虑去掉双二次中最高阶项 虽然这样做比三角形剖分时用完全多项式再加限制条件（E）简单，又由于双二次多项式也仅对二次多项式准确，因此这种去掉的不完全多项式并未损失逼近阶，却减少了总体自由度。换言之精度不降，工作量却小了，很合算。唯一可解性容易证明：一个双二次式要在8个节点（ ）都为0，必含有因子 这样,为 时共都为0，由于L不允许含 ，

29、亦即不许含 ，实际现在90技术教育这样只有 。则 。构造基函数有两种方法方法1： 直接针对基函数应满足的条件来构造。在e内不含 项的双二次式。注意直线及 之方程为 要求91技术教育故 利用对称性 (4.46) 92技术教育 这种方法特点是比较直观，对复杂问题则较难推广， 不通用。方法2：注意到无论是完全还是不完全双二次插值对二次多项式都是准确的，于是就想用到“不完全”比“完全”少了一个形心条件，能否在给定的矩形元e上，用它四顶93技术教育点，四边中点值表示矩形中心之值呢？用式子表示即(4.47) 其中 为待求的基函数用Taylor 级数展开，因 为二次多项式，三阶以上的微商为零，从而有（想法找出 和 ）之间关系94技术教育得到 两式加 同理 即得 剩下的问题是将上式中 与 用已知值代替。 95技术教育在4边上再用Taylor 公式，用 表示相邻的 ，仿上述途径得到： （4.49A） 96技术教育如 ， ，无论代 ， 都一样 （4.49B） 因 是二次式，它的所有二阶微商均为常数，即97技术教育将（3.49A）中4式相加，并将 代入，即得代入式（3.48）便有： （4.50） 98技术教育在上式中 已由 和 表示，从而插值函数为， （ ） （4.51） 两种方法的结果一样，这种方法比较通用，但对简单问题反倒显得复杂。 99技术教育