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1、函数函数函数函数正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质 利用正弦线作出利用正弦线作出 的图象的图象.-11-1-作法作法: (1) 等分等分;(2) 作正弦线作正弦线;(3) 平移平移;(4) 连线连线. 一、正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数的图象(几何法几何法)1、用几何法作正弦函数的图像、用几何法作正弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 (1) 等分等分作法：作法：(2) 作余弦线作余弦线(3) 竖立、平移竖立、平移(4) 连线连线-1-11-11-1-2、用几何法作余弦函数的图像、用几何法作余弦函数的图像:正正 弦弦 曲曲 线线
2、-1-1 由终边相同的角三角函数值相同，所以由终边相同的角三角函数值相同，所以 ysin x 的图象在的图象在 ，-4-4 ，- -2 ， - -2 ，0 ， 0，2 ，2 ，4 ， 与与 ysin x，x 0，2 的图象相同的图象相同 ，于是平移得正弦曲线，于是平移得正弦曲线 . 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在的图象在， 与与y=cosx,x0,2的图象相同的图象相同余余 弦弦 曲曲 线线-1-1 返回单击：与与 x 轴的轴的交点交点:图象的图象的最高点最高点:图象的图象的最低点最低点: 观察观察 y sin x ，x 0，2
3、 图象的最高点、最图象的最高点、最低点和图象与低点和图象与 x 轴的交点？坐标分别是什么？轴的交点？坐标分别是什么？-11-五点五点作图法作图法正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象与与x轴的轴的交点交点图象的图象的最高点最高点图象的图象的最低点最低点与与x轴的轴的交点交点图象的图象的最高点最高点图象的图象的最低点最低点(五点作图法五点作图法)-11-1-11-1简图作法简图作法(1) 列表列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(3) 连线连线(用光滑的曲线顺次连结五个点用光滑的曲线顺次连结五个点)(2) 描点描点(定出五个关键点定出五个关键点)
4、1.试画出正弦函数在区间试画出正弦函数在区间 上的图像上的图像.五个关键点：五个关键点：利用五个关键点作简图的方法称为利用五个关键点作简图的方法称为“五点法五点法”课课 堂堂 练练 习习2.试画出余弦函数在区间试画出余弦函数在区间 上的图像上的图像.五个关键点：五个关键点：并注意曲线的并注意曲线的“凹凸凹凸”变化变化.课课 堂堂 练练 习习列表：列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标列出对图象形状起关键作用的五点坐标连线：连线：用光滑的曲线顺次连结五个点用光滑的曲线顺次连结五个点描点：描点：定出五个关键点定出五个关键点五五 点点 作作 图图 法法x6yo-12345-2-3-41 定义域定义
5、域(1) 值域值域x R 1, 1 二、二、正弦函数的性质正弦函数的性质时，取最小值时，取最小值1；时，取最大值时，取最大值1；观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：周周 期期 的的 概概 念念一般地，一般地，对于函数于函数 f (x)，如果存在一个非零，如果存在一个非零常数常数 T ，使得当，使得当 x 取定取定义域内的每一个域内的每一个值时，都，都有有 f ( xT ) f (x)，那么函数，那么函数 f (x) 就叫做就叫做周期函周期函数数，非零常数，非零常数 T 叫做叫做这个函数的个函数的周期周期对于一个周期函数，如果在它的所有周期中对于一个周期函数，如果
6、在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的它的最小正周期最小正周期 由公式由公式 sin (xk 2 )sin x (k Z) 可知：可知： 正弦函数是一个周期函数，正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ， ，2 ，4 ， ， 2k (k Z 且且 k0)都是正弦函数的周期都是正弦函数的周期 2 是其最小正周期是其最小正周期 . (2) 正弦函数的周期性正弦函数的周期性 (3) 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性由公式由公式 sin(x)sin x图象关于原点成中心对称图象关于原点成中心对称 .正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数xyo-12
7、34-2-31在闭区间在闭区间 上上, 是增函数；是增函数； (4) 正弦函数的单调性正弦函数的单调性xyo-1234-2-31 xsinx 0 -1 0 1 0 -1在闭区间在闭区间 上，是减函数上，是减函数.观察正弦函数图象观察正弦函数图象 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R) x cox - 0 -1 0 1 0 -1增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-31y=sinxy= cosx图图 象象RR 1,1 1,1时时ymax=1时
8、时ymin= 1时时ymax=1时时ymin= 1xyo-1234-21定义域定义域值值 域域最最 值值y= 0xyo-1234-21y=sinxy= cosx图图 象象周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性 22奇函数奇函数偶函数偶函数单调增区间单调增区间:单调减区间单调减区间:单调增区间单调增区间:单调减区间单调减区间:xyo-1234-21xyo-1234-21 例例1.1. 用用“五点法五点法”画出下列函数在区间画出下列函数在区间00，2 2 的图的图像。像。 （1)y=2+sin x; (2)y=sin x-11)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x
9、.(3)y=3sin x.y=sin x -1 x 0,2 y=sin 3x x 0,2 y=2+sin x x 0,2 xy021-1x23例例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量时的自变量 的值的值.(1)(2)解解:(1)当当 时，时，当当 时，时，(2)视为视为当当 ，即，即 时，时，当当 ，即，即 时，时， 例例3. 3. 当当x0x0，22时，求不等式时，求不等式 的解集的解集. .xy yO221-1-1变式问题变式问题:如果如果x R呢呢?例例4.下列函数的定义域：下列函数的定义域： 1 y= 2 y= n例例5. 求下列函
10、数的最值：求下列函数的最值： 1 y=sin(3x+ )-1 2 y=sin2x-4sinx+5 例例6. 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解：解： y=2sin(-x ) = -2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k , +2k ,k Z函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k , +2k ,k Z (2) y=3sin(2x- ) 单调增区间为单调增区间为所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为例例 7. 不通过求值，比较下列各对函数值的大小：不通过求值，比较下列各对函数值的大小： (1) sin( ) 和sin( )； (2
11、) sin 和 sin 解解 (1) 因为因为且且 y sin x 在在 上是增函数上是增函数 (2) 因为因为所以所以 sin sin 且且 y sin x 在在 上是减函数，上是减函数，所以所以例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性解函数的定义域解函数的定义域R关于原点对称关于原点对称所以函数所以函数y=xsin( +x)为偶函为偶函数数函数的奇偶性定义域关于原点对称偶函数奇函数1 选择题选择题函数函数y=4sinx,x -y=4sinx,x - , 的单调性（的单调性（ ） A 在在- ，0上是增函数，上是增函数，0， 是减函数；是减函数；B 在在- /2， /2上是增函数，在上是增
12、函数，在- ， /2上是减函数；上是减函数；C 在在0， 上是增函数，在上是增函数，在- ，0上是减函数；上是减函数；D 在在 /2， 及及- ，- /2上是增函数，在上是增函数，在- /2， /2上上 是减函数。是减函数。 函数函数y=cos(x+y=cos(x+ /2),x R ( ) A 是奇函数；是奇函数； B 是偶函数；是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。有无奇偶性不能确定。BA2不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： 3 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： （答案：（答案：偶函数偶函数 既不是奇函数也不是
13、偶函数）既不是奇函数也不是偶函数） y=sinxy= cosx图图 象象RR 1,1 1,1时时ymax=1时时ymin= 1时时ymax=1时时ymin= 1xyo-1234-21定义域定义域值值 域域最最 值值y= 0xyo-1234-21y=sinxy= cosx图图 象象周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性 22奇函数奇函数偶函数偶函数单调增区间单调增区间:单调减区间单调减区间:单调增区间单调增区间:单调减区间单调减区间:xyo-1234-21xyo-1234-21求三角函数的单调区间：求三角函数的单调区间：1. 直接利用相关性质直接利用相关性质2. 复合函数的单调性复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间利用图象寻找单调区间
