基于纳什均衡理论实现量子彩票

- 1 - 基于纳什均衡理论实现量子彩票基于纳什均衡理论实现量子彩票 张沛，王云龙* 作者简介：张沛（1982-），男，副教授，主要研究方向：量子信息. E-mail: zhang.pei@ （西安交通大学理学院应用物理系，西安 710049） 5 摘要摘要：量子赌博是一种涉及游戏双方的安全远程协议本文我们基于其原理，引入纳什均衡理论，透过适当的规则设定，实现了量子彩票的新型应用，并对其能保证游戏公平性和安全性做了讨论另外，我们通过光学系统设计了一套量子彩票系统的实验装置，以期在不久的将来成为现实 关键词关键词：量子彩票；量子赌博；纳什均衡点；量子博弈论 10 Realization of Quantum Lottery Based on the Nash-equilibruim Theory ZHANG Pei, WANG Yunlong (Applied Physics, School of Science, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049) 15 Abstract: By inducing Nash-equilibrium theory and choosing proper regulations, we realize a new application named quantum lottery which is based on the theory of quantum gambling that is a secure remote protocol involved two-party. Afterwares, we have a discuss about the fairness and security. Moreover, we make an experimental demonstration using optical system in order to become a reality in the near future. 20 Key words: Quantum Lottery；Quantum Gambling；Nash-equilibrium；Quantum Game Theory 0 引言引言 量子博弈论，在经典博弈论基础之上引入量子策略[1] [2]，其优势在于能够使博弈者获得比经典博弈更好的收益和均衡策略。

举例而言，不同于经典囚徒困境罪犯都会认罪的预测，25 实际实验如同量子囚徒困境预测的，他们多半可能会联合[3] 量子赌博作为量子博弈论的一个重要分支， 以远程安全协议而闻名， 其理论首次出现于1999 年[4]，并于 2008 年通过光学系统实现[5]量子赌博涉及了赌场和赌徒之间一对一的竞猜游戏，Hwang 组曾采用多个正交态基矢对其中的远程协议做了修正[6] [7]然而，在这些协议中，因为竞猜奖励 R 值的有限性，赌徒的期望收益为负，因此很难实现一个公平的环境 30 本文依照量子赌博的原理， 引入纳什均衡理论设计了一种新型应用——量子彩票 我们透过理论分析可以证明，量子彩票在特定规则下可以有效实现公平、安全的游戏平台，并做了讨论 之后我们通过光学系统设计了量子彩票系统的实验装置， 有望在不久的将来成为现实 1 理论分析理论分析 35 1.1 量子彩票游戏过程量子彩票游戏过程 彩票发行商（以下简称发行商）用 A 和 B 两个盒子存放单个粒子，记为a（b），粒子在 A（B）盒他把其中一盒（假设为 B 盒）交给彩民测量在游戏开始前双方约定一个初始态： = 1cab （1） 40  - 2 - 其中，01。

若彩民在 B 盒中得到粒子，赢得 r（1r ）枚硬币；或者他探测到发行商没有制备双方约定的初始态，赢得 R（1R ）枚硬币；否则，彩民输 1 枚硬币 发行商根据自己的策略可制备任意态以期提高收益，而早有证明发行商制备除a和b以外的态不利于增长其收益[4]，所以他的制备策略如下： = 1ab （2） 45 其中，是由发行商选定的参数，01 对于彩民方，直接打开 B 盒收益甚微他可以将 B 盒分解为 B1盒和 B2盒，即 12= 1bbb （3） 其中1b和2b分别对应于 B1盒和 B2盒 B1盒用于直接测量而 B2盒用于核对初始态是由彩民决定的分解参数，01 50 游戏演变为：如果彩民在 B1盒中得到粒子，则他赢得 r 枚硬币（发行商检查 A 盒以防止彩民作弊）；如果 B1盒为空，彩民可以要求发行商拿回 A 盒与 B2盒合并做投影测量，他可能输 1 枚或者赢得 R 枚硬币取决于发行商是否制备了双方约定的初始态， 即=c或c。

我们定义 P1、P2、P3分别为彩民获得 r 枚硬币、R 枚硬币和失去 1 枚硬币的概率，遵照55 游戏过程得到 P1、P2、P3（推导过程类似引文[4]），继而可得彩民的期望收益为： 123bGrPRPP 1{(1)(1)1r 2[22(1)(1)] ( (1)(1)) }R  （4） 假定双方约定的初始态1/2以作简化，可得彩民的期望收益为： 60 21{ (1)(1) 1 2(1)(1 2(1))}1bGrR   （5） 1.2 引入纳什均衡理论及相关讨论引入纳什均衡理论及相关讨论 在博弈论中，纳什均衡理论作为游戏的解决方案，联系到两名或者更多玩家：假设每一名玩家都知道与其他玩家间的均衡策略， 而单方面改变自身策略都将无助于收益的增加 纳什均衡理论促使玩家在约定的规则下选择他们各自的最优策略即他们之间的均衡策略， 这个65 策略的选择和相应的收益就构成了纳什均衡点 由纳什均衡理论，我们找到彩民的最优策略，意指无论发行商如何选择，彩民都能保证的最小收益值，记为，max [min( ,r, , )]bG R （发行商最优策略同理可得），计算结果如下： 1(1)(1)2( 11)rRrRrRrR    （6） 70 相应最优参数为： 211rRRr  （7）  - 3 - 212rRrrR   （8） 所以当 R 和 r 给定，我们就能得到双方的期望收益和最优策略。

彩民的平均收益 Gb关于参数和的三维及投影图，如图 1(a)(b)所示可得纳什均衡点即为bG，，75 说明彩民选择参数，他的期望收益将不少于b，而同时发行商使用参数，他的期望收益不少于而当彩民单方面改变策略，即，时，他的最小收益都会比小，这促使他继续使用最优策略同理对发行商亦然 令0保证游戏的无偏向性即游戏的公平性，可得 R 和 r 需要满足特定关系： 223232 2()1 2RRRRrRR （9） 80 如图 1(c)所示， 黑色曲线为满足公式(9)即公平游戏的所有 R 和 r 关系点的集合 由图我们可以明显看出随着 R 和 r 不同取值，决定了彩民的期望收益可能落在的不同区域因此，我们得到了量子彩票不同游戏规则下的所有可能情况 (a) (b) (c) 85 图 1 (a) 在 R=5 和 r=4.67 的彩民期望收益；（b）在 R=5 和 r=4.67 的彩民期望收益投影图，纳什均衡点为0.41和0.15；（c）随 R 和 r 不同取值的彩民最优收益区域。

黑色曲线表示 R 和 r 在满足特定关系下，实现公平游戏的区域 Fig. 1 (a) Player’s average gain under R=5 and r=4.67. (b) Contour line of player’s average gain under R=5 and 90 r=4.67.The Nash-equilibrium is the point of 0.41 and 0.15. (c) Different zones of Player’s optimal gain with different values of R and r. The black curve show the relationship between R and r, where the fair game can be achieved. 游戏安全性的讨论： 对于作弊， 前文提到发行商本可依照策略制备任意态以提高他的收95 益，然而制备除a和b以外的态均不利于收益的增长所以，对于发行商一方，作弊没有意义对于彩民，可以有两种作弊方式一是谎称在 B1盒中发现粒子，当然发行商可以透过查看 A 盒做检验。

二是彩民谎称初始态检测结果说明发行商没有制备他们约定的初始态，这一点发行商可以通过制备初始态c轻易识破然而，每一次都制备c将不利于发行商的收益，因此我们可以引入严刑峻法（如罚款等）来避免此事因而发行商可以间歇性100 地通过制备c监督彩民是否作弊而对于误差，装置的不完美会造成一定的误差容忍度双方可以透过测算对于约定的 R 和 r 游戏中的误差率来决定误差容忍度 如果游戏过程中误差率高过预期，则存在欺骗的可能，应停止游戏 综上，我们透过纳什均衡理论实现了满足特定规则下的公平游戏平台然而，无关公平 - 4 - 性， 彩民亦可以按照自己的喜好来选择娱乐方式， 而其收益风险特性亦可以在图中找到对应105 另，以上分析适用于一名发行商对一个彩民的游戏方式而彩票本身面向大众，对于多个彩民而言，方法为一对一的模块集成，操作类似，因此可做横向扩展，如图 2 所示 图 2 量子彩票游戏关系图 Fig. 2 Quantum lottery game relationship diagram 110 2 实验方案实验方案 图 3 所示为量子彩票实验装置图， 我们利用光学系统来实现量子彩票游戏 激光光源产生任意线偏光，ATT 为衰减器，将光源衰减到单光子量级，通过偏振器 P 得到线偏光子。

HWP 和 PBS 分别为半波片和偏振分束器，透过二者的组合可以将光子按照偏振信息分束开发商利用 HWP1调节参数，之后 PBS1分解为垂直偏振a和水平偏振b，完成制备工115 作a透过 HWP2回复到水平偏振， 与b一起分别通过保偏光纤 PMF 传输到彩民方 彩民利用 HWP3调节参数，之后 PBS2将b继续分解得到1b和2b，1b在光电探测器D1中直接测量， 而2b与透过 PMF2传输而来的a在 PBS3处汇合， 继续通过 HWP4和 PBS4中在 D2和 D3中做投影测量 量子彩票游戏结果可做如下判定： 彩民投入一枚硬币启动游戏， 发行商和彩民分别透过120 选择参数（HWP1）、（HWP3）、（HWP4）完成策略选择最终光子将由光电探测器接收，D1（D3）响应，则彩民赢得 r（R）枚硬币，D2响应，彩民则失去 1 枚硬币 图 3 量子彩票实验装置图 Fig. 3 Experimental demonstration of quantum lottery 125 3 结论结论 本文基于量子赌博的原理，实现了量子彩票的新型应用透过纳什均衡理论的引入，对实现游戏公平性和安全性操作做了相关讨论，并利用光学系统实现了这个系统。

 - 5 - [参考文献参考文献] (References) [1] D. Meyer, Phys. Rev. Lett. 82, 1052 (1999). 130 [2] J. Eisert, M. Wilkens, and M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett.83, 3077 (1999). [3] K.-Y. Chen and T. Hogg. Quant. Inf. Process. 5, 43-67(2006). [4] L. Goldenberg, L. Vaidman, and S.Wiesner, Phys. Rev. Lett.82, 3356 (1999). [5] P. Zhang, Y.-S. Zhang, Y.-F. Huang, L. Peng, C.-F. Li and G.-C. Guo, Europhys. Lett. 82, 30002 (2008). [6] W. Y. Hwang, D. Ahn, and S. W. Hwang, Phys. Rev. A 64,064302 (2001). 135 [7] W. Y. Hwang and K. Matsumoto, Phys. Rev. A 66, 052311(2002). 。