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1、1/32第二节第二节 常数项级数收敛的判别法常数项级数收敛的判别法一、正项级数及其收敛性判别法一、正项级数及其收敛性判别法二、交错级数及其收敛性判别法二、交错级数及其收敛性判别法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛四、小结、思考题、作业四、小结、思考题、作业2/32一、正项级数及其收敛性判别法一、正项级数及其收敛性判别法1.1.定义定义: :这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :基本定理（正项级数收敛判别法则）基本定理（正项级数收敛判别法则）部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .推广：推广：同号级数同号
2、级数3/32 例例 1. 判定判定 的敛散性的敛散性.解解由基本定理知由基本定理知, ,故级数的部分和故级数的部分和该正项该正项级数收级数收敛敛.由于由于4/32证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界3.比较判别法比较判别法5/32不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较判别法的不便比较判别法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 6/32解解由图可知由图可知7/32重要参考级数重要参考级数: : 几何几何( (等比等比) )级数级数, , p p- -级数级数, , 调和级数调和级数. .8/32证明证明9/324.4.比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式: :设设 = =1nnu
3、与与 = =1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 = =1nnv发散发散, , 则则 = =1nnu发散发散; ;10/32证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.11/3212/32解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.13/32证明证明14/32收敛收敛发散发散15/32达朗贝尔判别法的优点达朗贝尔判别法的优点:不必找参考级数不必找参考级数. . 2. 若用达朗
4、贝尔判别法判定级数发散若用达朗贝尔判别法判定级数发散级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零. 后面将用到这一点后面将用到这一点.1. 适用范围：适用范围：的若干连乘积的若干连乘积(或商或商)的形式的形式.注注16/32因为：因为：17/32解解18/32比值判别法失效比值判别法失效, 改用比较判别法改用比较判别法19/32例例. 利用级数收敛性利用级数收敛性,证明证明证证 考查级数考查级数由于由于故级数故级数 收敛收敛. 由由级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件知知,20/32级数收敛级数收敛.21/32二、交错级数及其收敛性判别法二、交错级数及其收敛性判别法定义定义: : 正、负项相间的级
5、数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. .22/32证明证明23/32满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.24/3225/32解解原级数收敛原级数收敛.一个基本例子：一个基本例子：26/32三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .证明证明27/32上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数28/32解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.29/32 判别级数判别级数 是否收敛是否收敛?如果如果收敛收敛,是绝对收敛还是条件收敛是绝对
6、收敛还是条件收敛?早期研究生考试题早期研究生考试题早期研究生考试题早期研究生考试题解解 因为因为为为交错级数交错级数.正正30/32根据根据比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式:知知发散发散. 即原级数即原级数不是绝对收敛不是绝对收敛.(1)31/32因为因为为为交错级数交错级数.由于由于(2)所以级数所以级数 收敛收敛, 且为且为条件收敛条件收敛.故级数满足莱布尼茨定理的两条件故级数满足莱布尼茨定理的两条件,32/32通常先考查它通常先考查它若使用比值法或若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项这时级数的通项不趋于零不趋于零),对交错级数对交错级数,
7、利用无穷级数的性质利用无穷级数的性质1、2 将级数将级数如不是绝如不是绝对收敛的对收敛的,再看它是否条件收敛再看它是否条件收敛.便可断言级数发散便可断言级数发散.可用可用莱布尼茨定理莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段然后讨论敛散性也是常用手段.拆开为两个级数拆开为两个级数,(用正项级数的审敛法用正项级数的审敛法),讨论讨论任意项级数任意项级数的收敛性时的收敛性时,是否绝对收敛是否绝对收敛33/32四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼
8、茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;34/32 正项级数正项级数审敛法的思维程序审敛法的思维程序1.2.若若 比值、根值法比值、根值法; 若失效若失效3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式4.5.充要条件充要条件6.按基本性质按基本性质7.?比较审敛法比较审敛法发散发散;35/32任意项级数任意项级数审敛法的思维程序审敛法的思维程序3. 交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)1.?发散发散2. 绝对收敛绝对收敛4. 按基本性质按基本性质5.36/32思考题思考题37/32思考题解答思考题解答由比较判别法知由比较判别法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.38/32作业作业
