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1、研究的目的及意义数学要通过语言来传达知识和意义，数学语言不仅充当了这个传达知识和意义的工具，还是数学活动的一个重要内容。中学数学课程中的很多内容都是用了数学语言（函数、统计、计算机语言等），对于学生来说，学习数学的过程就是利用数学语言将数学思想和数学知识内化为认知结构的过程，数学语言储备的越丰富，驾驭的越自如，就越利于数学思想的形成和发展。学生对数学语言的使用情况，不仅在很大程度上影响着他们对数学知识的理解和掌握，还对他们思维的严谨性、语言的准确性等各方面素质的培养有着十分重要的作用。经验也告诉我们，越是能用多种数学语言表达同一道题目的学生，思路就越清晰、灵活，找到解决问题的能力也越强。维果斯
2、基在其专著思维语言中认为思维与语言之间有着密切联系，虽然思维语言有不同的发生原理的，二者经历了很多变化，语言不一定依赖与声音，重要的是信号的功能性用途，思维发展受限与语言。朱文芳在中学数学学习心理学中，从数学语言的角度提到：数学是一种交流形式，也是一种语言，是一种我们每个人都必须学习的语言。数学语言是一种中性的客观叙述，它的功能重在了“达意”，而几乎缺少了“传情”的成分。作者认为数学学习其实是数学语言的学习。最后还从学生学习数学语言的困难等方面剖析了学生学习数学语言的现状。数学语言是一门跨学科、跨国界、跨地域的表达科学思想的特殊语言，也是沟通各学科之间相互联系的必须语言，如果没有这种语言，我们
3、将无法了解世界内的和谐，就像伟大的物理学家伽利略曾说过的：“宇宙这本书是由数学语言写成的。除非你首先懂得了他的语言，这本书是无法读懂的。”新颁布的普通高中数学课程标准明确的提出了“提高学生数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流能力”的目标，并且还将“能否恰当的运用数学语言及自然语言进行表达与交流”纳入到对学生掌握数学知识的评价内容之中，这充分说明数学语言作为数学内容、思想和方法的载体，是学习数学的重要工具。一、文字语言符号化、图形化可以帮助我们更快的进入解题情境，找到解题思路。几乎所有的数学问题都少不了文字语言的描述，所以，正确理解文体的文字语言是解题的基本要求。但常常是文字语言明白
4、了，仍然无从下手。问题出在哪呢？问题就在于没有很好地进行文字语言像符号语言、图形语言的转换，实现了文字语言到符号语言、图形语言的转换，就更容易进入问题情境，找到解决问题的“钥匙”2、符号语言文字化、图形化可有效提高分析及解决问题的能力由于符号语言简洁精练，概括性强，所以数学知识的表述、推理、交流更多地使用符号语言，很多数学题目的描述也使用符号语言，但符号语言比较抽象，这给我们理解数学问题带来了一定的困难。如果我们能充分地利用符号语言与文字语言、图形语言之间的转化，就可以化抽象为具体，化抽象为形象，从而产生“柳暗花明”之感。事实上，把符号语言翻译成图形语言，借助图形解题是中学数学常用的方法，因其
5、直观、形象而深受学生的青睐；把符号语言翻译成文字语言有时也可起到“桥梁”的作用。三、图形语言符号化、文字化在解决某些几何问题时常可数学语言的界定化简为繁、化难为易一般来说，图形语言直观、形象，易于理解，所以，我们常常喜欢把文字语言、符号语言转换成图形语言来分析问题和解决问题，但有时在处理几何问题时，如果我们一味地使用图形语言，可能出现困难的局面，即使能奏效，常常计算冗长，过程繁琐，这时，如果能把图形语言转化成文字语言、符号语言，则可以起到化繁为简、化难为易的功效。三种语言相互转换的前提需要一定知识的积累，并能够正确运用数学原理分析三种语言间的内在逻辑关系，习惯于逐字、逐句、逐个符号、逐个图形去
6、分析，去翻译去变式转换。这当中从一点突破，可能带动全局，快速找出解题思路。（1）数学符号，按其性质可分为元素符号、关系符号、运算符号、约定和辅助符号。尽管这些符号的意义需要学习，毫无疑问符号的简洁性和严密性有助于理解，而用语言来表达将会使头脑负担过重。例如，与相应的文字语言表述相比，符号区间就要简洁得多。符号语言的又一特点是它的“可操作性”。法国数学家韦达最早明确提出了这样的思想：我们可以用字母（符号）表示已知量和未知量，并对此进行纯形式的操作。及我们可以摆脱问题的具体内容，而从一般角度总结出普遍的算法 . 学术界对“数学语言”一词尚未有明确的定义。常常有人在论文中提到数学语言，但目前对数学语
7、言一词的意义有着并不完全相同的理解。苏联数学教育学家A.A 斯托里亚尔在数学教育学中说：“数学语言是按照下列不同的方向改进的自然语言的结果：1）按简化的自然语言的方向；2）按客服自然语言中含糊不清的毛病的方向；3）按扩充它的表达范围的方向。另外一位苏联教数学育学家维林金在中小学数学的现代基础中说：“数学语言是人工语言，是作为日常语言在下列三方面改善的结果：（1）消除繁琐性；（2）清除同音异义词 (多值性）；（3）扩展表达的可能性。我国的数学教育学家及研究数学语言的学者们认为：“数学语言是表达数量、空间形式的性质和相互关系的符号体系。”数学语言是表达数学对象之间的关系和形式的符号系统。数学符号是
8、数学语言的主要成分。数学语言是指运用数学术语、符号和图像表达的语言。数学语言是数学化了的自然语言，是数学特有的形式化符号体系，具有简练、准确、清楚和形式多样的特点。数学语言是数学知识的载体，他是表达数学名词、术语、定义、定理、法则、公式及其推导等的语言。所谓数学语言是一切用以反映表达数量关系和空间形式的语言数学学科中按照一定的规则表达数学意义、交流数学思想的符号、图形和图像就是数学语言。数学语言是以数学符号为主要词汇、数学公理、定理、公式等为语法规则构成的一种科学语言，它和自然语言一样是人类思维长期发展的成果。徐忠印认为数学语言既是数学思维的载体，又是进行数学表达的工具。陈永明数学教学中的语言
9、问题一本书中提出一个新的概念“数学化语言”以区别“数学语言”。他认为前者是元语言，后者是对象语言。“数学化语言”是为了学习“数学语言”而用到的语言。本文将数学语言界定为：数学语言是由数学符号，数学术语，数学图形和经过改进的自然语言组成的科学化的专业语言，是进行数学思维，数学表达和数学交流的工具，是人类数学思维在长期发展过程中形成的特殊表达形式。特定的教学背景和特定的教学内容，都影响着数学教学中的语言的句法，语义及实效等特点。从数学语言的含义我们知道数学语言中含有文字语言，符号语言与图形语言。（2）数学语言的分类文字语言、符号语言、图表语言在数学中不是孤立地使用的，三种语言通常是优势互补和有机结
10、合。文字语言能够明确界定符号语言或图表语言所描述的数学对象的意义与内涵。符号语言从文字语言的字句中解放出来，避免了冗长繁琐的叙述，使思维得以准确清晰地进行，又弥补和超越了图形语言的局限性。图表语言为文字语言或符号语言提供直观模型，也为理解和掌握相关的文字语言与符号语言的意义和内涵奠定认知基础。能否自如地从一种语言转换为另一种语言进行数学描述，是理解数学的试金石。数学语言是数学表达和交流的工具，对于许多概念而言，让学生经历数学语言转换的过程也就能使他们经历概念的形成，从而理解概念的本质，又能提升学生的数学素养，我们应该在日常的概念的教学中。高考试卷中数学问题解决过程中，数学语言的转换有着不可忽视
11、的作用，同一个数学问题可以转换成不同表达形式的语言来解决，而不同的问题则有不同的选择，解决问题时，我们的思维如果仅仅停留在一个层面上，有时会感到青山缭绕疑无路反之，如果能积极地运用各种语言，多层地转换问题的表述，则常常会由忽见千帆隐映来的惊喜（3）数学语言间的转换关系克鲁捷兹基在研究学生的数学能力时指出，有数学能力的学生可能有这样的特征；“他们的心理过程有明显的灵活性，即从一种心里运算迅速的转到另一种心里运算以及陈规俗套的运算中解脱出来的行动”。这给研究数学语言中的转换提供了心理基础。有研究者指出学生的数学语言转换能力差的原因并且给出了教学中纠正这些错误的语言一些建议。南京师大的赵文静在数学学
12、习中语言转换的研究一文中分析了学生数学语言转换出现困难的原因，并且指出数学语言转换能力与学生数学成绩之间存在正相关，也就是说，学生数学语言转换能力强，数学成绩相应也会越高。蒋金勇认为培养学生建立不同数学语言的对应关系，是进行数学语言转换的充要条件。在教学中既要引导学生对相同数学内容善于用不同数学语言进行表示，又要引导学生对相同数学对数学的文字语言、图表语言、符号语言之间的相互转化，以及帮助学生理解不同语言内在的逻辑联系和语言自身的数学意义。（4）有关几何中的数学语言由于几何语言除具有数学语言本身的特点之外，又具有学科语言的特殊之处。使许多的教育专家和教育工作对几何中的数学语言研究也做了大量的阐
13、述。荷兰的 Alan Hoffer指出在中学及和教学中，数学语言是几何学习5 个基本技巧领域（直观技巧、语言技巧、作图技巧、逻辑技巧、运用技巧领域）之一，几何课程可能比数学其他课程更强调语言的作用。强调了数学语言对几何学习的重要性。常州教育局教研室的杨裕前老师长期在做有关平面几何的语言入门教学研究。它根据实际教学情况的调查，指出，语言教学是学生（主要研究对象是初中生）平面几何入门阶段的一大障碍。学生学习几何语言的困难，首先来自教学内容从“数”到“形”的突变。并据此，提出相应的教学方法。而专门对立体几何中的数学语言问题的研究目前不是很多，教学第一线的老师较多的是从立体几何的教学角度上所做的研究。
14、如：山东省教研室的王文清就对目前学生对立体几何中存在的问题，指出原因之一是在立体几何的教学中的数学语言的掌握不好有密切的关系。叙述语言是介绍数学概念的最基本的表达形式，其中每一个关键的字和词都有确切的意义，须仔细推敲，明确关键词句之间的依存和制约关系。例如平行线的概念“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”中的关键句有：“在同一平面内”，“不相交”，“两条直线”。教学时要着重说明平行线是反映符号语言是叙述语言的符号化，在引进一个新的数学符号时，首先要向学生介绍各种有代表性的具体模型，形成一定的感性认识；然后再根据定义，离开具体的模型对符号的实质进行理性的分析，使学生在抽象的水平上真正掌握概念
15、（内涵和外延）最后又重新回到具体模型，这里具体的模型在数学符号的教学中具有双重意义：一是作为一般化的起点，为引进抽象符号做准备，二是作为特殊化的途径，便于符号的应用。数学符号语言，由于高度的集约性、抽象性、内涵的丰富性、往往难以读懂。这就要求学生对符号语言具有相当的理解能力，善于将简约的符号语言译成一般的数学语言，从而有利于问题的转化和处理。离开数学语言，数学知识就成了“空中楼阁”，数学知识是数学语言的内涵，学生对数学知识的理解、掌握是知识对数学语言的理解、掌握。一个对数学语言不能理解的人绝对谈不上对数学知识的掌握。因此从某种意义上而言，掌握数学语言是学习数学知识的基础也是数学教学的关键。图形
16、语言是一种视觉语言，通过图形给出某些条件，其特点是直观，便于观察与联想，观察题设图形的形状、位置、范围，联想相关的数量或方程，这是“破译”图形与语言的数形关系的基本思想。例如长方体表面积的教学，学生初次接触空间图形的平面直观图这种特殊的图形语言，学生难于理解，教学时可采用如下步骤：（ 1）从模型到图形，即根据具体的模型画出直观图；（2）从图形到直观图，即根据所化直观图，用具体的模型表现出来，这样的设计重在建立图形与模型之间的视觉联系，为学生充分提供感性认识，并使他们熟悉直观图的画法和结构特点（3）从图形到符号，即根据符号所示的条件与符号语言之间的对应关系，利用图形语言来辅助思维，利用符号语言来
17、表达思想。总之，在数学教学中，教师应知道学生严谨准确地使用数学语言，善于发现并灵活掌握各种数学语言所猫叔的条件。理论研究李士琦从数学教育心理学的角度对数学语言的心理机制进行了研究，论述了数学符号、数学词句不同于自然语言的特点。理论实践结合的研究数学语言的界数学语言的抽象性克鲁捷兹基在研究学生的数学能力时提出，有数学能力的学生可能有这样的特征：“他们的心理过程有明显的灵活性，及从一种心里运算迅速转换到另一种心里运算以及从陈规俗套的运算中截解脱出来的行动。”我们可以把这个心里运算理解为一种思维运算，而这种转变就可以看做是数学语言的转换。由此，数学语言的转换能力也就属于数学能力的范畴。这种转换是一种
18、思维的跳跃，是一种创新精神的体现。“Solo”是英文“ structure of the observed learning outcome” 首字母的缩写，意思是“观察到的学习结果的结构”。“Solo”分类评价里路是由澳大利亚约翰比格斯教授（ Johe Biggs )创建的，在澳大利亚，从二十世纪80 年代开始，认知发展理论研究对象已不局限于逻辑运算范围，而是更加关注理论与教学实践之间的联系。 Biggs 认为描述学生的学习发展和知识结构，最恰当的不是根据学生年龄的分类描述学生的发展，而是根据学生的学习行动观察到的学习结果来讨论评价，由此创立了不同于皮亚杰理论的新的评价模式，也即“solo
19、”分类评价理论。旨在为学校教师提供一种描述及评价学习者学习结果的系统的方法。根据学习者在解决问题时表现的不同，solo 分类评价理论认为学生有五个基本的思维作用方式，分别为感觉运动方式、表象方式、具体符号方式、形式方式和超形式方式。同时，针对于五种思维方式把学习结果划分为solo 的五个复杂性水平：（1）前结构水平（ prestructural level）：学生几乎没有解决问题的简单知识与方法，或者被情境中无关的方面所迷惑、误导、不能以问题中所涉及的表征方式处理任务，或者被以前所学过的无关知识困扰，关注问题中偶然的不相关的信息，理解不清楚题意，回答问题逻辑混罗或同义反复，对问题的解决毫无帮助
20、。（2）单一结构水平（ Uni-structural level）：学生能够获得要解决问题的一个或多个部分特征，能够找到一个相应的解决办法，但不能联系涉及到多个知识点只能看到单个知识点，单一事件，并急于追求答案，忽视题目中多种相关资料的区别和联系，往往是找到一个线索就急于得出结论。（3）多元结构水平（ Multi-structural level）：学生不仅能够解决问题的一个特征，并且能够找到越来越多的正确的相关特征或线索之间的联系，对问题内部的本质更是毫无触及，只是单一的列出知识点，不能对线索特征进行整合联系，常常给出一些支离破碎的毫无关联的信息。（4）关联结构水平（ Relational
21、level）：学生能使用所有可获得的线索或资料，能够体察到各部分的联系，并将任务的各部分内容整合成一个有机整体，能够联想多个事件，并将多个事件联系起来回答或解决较为复杂的具体问题，能够检查错误或矛盾，能够适当反思。（5）拓展抽象结构水平：学生超越问题进入一种新的推理方式，能将关联的结构整体概括到一个更高的抽象水平，并且使这种概括化拓展到一个更高的抽象水平，能看清问题的本质、会归纳问题，在归纳中概括考虑到新的或抽象的特征；结构具有开放性，能拓展问题本身的意义。这一层次的学生表现出更强的钻研精神和创造精神。此时，抽象的概念和问题已成为思维的基本对象，学生对知识能够进行理论建构。从上述分类中我们可以
22、首先看到，bigges 提出的思维分类结构是一个由简单到复杂的层次类型。具体来说就是从点、线、面、立体系统的发展过程，思维结构越复杂，思维能力的层次就越高。其次solo 分类评价理论关注的焦点集中在与学生回答问题的质而不是回答问题的量。虽然没有量的支撑，质是无从体现的。但针对质得评价与针对量的评价的确有很大的区别。Solo 分类理论不在乎学生回答对了多少个与正确答案相关的字眼，更不在乎学生写了多少字，力求从学生回答的中分析他能够达到哪一思维层次。Solo 分类评价理论的优越性人的认识不仅在整体上呈阶段性的特点，对具体问题的认识也呈现出阶段性的特点。学生学习能力的提高是一个从质变到量变的过程，不
23、仅从总体上看是这样，从某个具体的知识点学习也是这样。从solo 的五个分类层次中我们就可以看到，前三个层次是基础知识的积累，而后两个层次是理论思维的飞跃。而要实现思维能力的突破，又离不开基础知识的积累。由此可见， solo 分类评价法与传统评价法有很大的区别，它力求能够准确评价学生的思维能力所达到的广度和深度。Solo 分类理论的优越性是显而易见的：（1）它具有较强的操作性，不管是文科问题还是理科问题，实践证明都可以用该方法进行思维层次的划分。（2）有利于教师制定教学目标，教师可以根据教学计划预先确定学生学习某一知识点要达到的思维层次，并按照循序渐进的方法逐步提高学生的思维水平（3）它为检测学
24、生的高级思维能力提供了一个切实可行的思路。例 如图用火柴摆成框形图案，四根摆一个框，七根摆两个，等等。Solo 分类评价理论认为各结构层次的学生能回答的问题如下：（1）单一结构问题：多少根火柴能摆三个框？（2）多元结构问题：摆五个框比摆三个框多用多少根火柴？（3）关联结构问题： 31 根火柴能摆多少个框？（4）抽象拓展结构问题：如果摆成了n 个框那用了多少根火柴？前结构层次的学生不能正面回答问题，或答案模糊不清故题目中未给出。从上述例题中可以看出，单一结构水平只需要学生按照图中数一数就可以了，学生只注意到一个特征，运用了一个策略，就可以解决问题。多元结构水平的学生必须在上一题的基础上在数出摆五
25、个框的火柴数量，在运用减法计算二者之差，这实际上运用了两个策略，注意到两个或更多的特征。学生不必理解问题的整体结构。关联结构水平的学生对问题已经有了比较整体的关注，要看清摆第一个框需要四根，摆第二个框只需要三根，可以利用第一个框的一根，后面每增加一个框多用三根火柴即可。这样，解决问题学生可以一个框一个框的数，也可以用31-4，再用得到结果除以 3 就得到有 10 个框，此时学生有部分反思推理能力。抽象拓展结构水平的学生已经能站在一定高度，体察到题目中蕴含的本质，他们不再局限于具体火柴，能避开具体数字，对现象进行归纳概括得出结果。由冯翠典高凌飚的现状与反思：SOLO 分类法国内应用研究十年中的一
26、表可深入浅出地解释SOLO 的五个层次：表 1 SOLO分类理论框架下学生理解事物的发展阶段描述：理解事物的阶段：前结构水平：我不理解它单点结构：我知道了一个方面。多点结构：我知道了重要部分的大多数。关联结构：现在，我看到他们是怎样结合在一起的！抽象拓展结构：我明白可以在多种情况下应用。不同形式的语言转换，很重要的一点是他们提供或提现了对数学对象的不同的理解方式，因此数学语言的转换实质上体现了理解方式的转换。这也是研究数学学习中数学语言转换的重要原因。通过原有认知的语言转（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于、的二元一次方程来表示吗？（2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线
27、吗？师：请同学们结合对上述问题的回答从中可以获得哪些主要信息? 1（从上述片断中可以提炼出这样一些观点：解析几何主要是通过方程来研究几何问题；我们可以建立起二元方程和直线间的一一对应关系；片断3 也提供了怎样来建立方程和曲线联系的途径；更一般地，可以通过建立曲线的方程来研究曲线的几何性质）【感悟】直线的方程是学生在必修2 中已学过的，教师设计的两个问题正是针对一条直线与一个关于、的二元一次方程的整体一对一转换的，通过转换激活学生认知中的解几思想片断2在平面直角坐标系中，经过点A，且方向向量为a=（m ，n）的直线是惟一确定的，你能求出这条直线的方程吗？生：形- 数的转换，几何图形直线上的点，对
28、应的坐标，坐标满足方程；数- 形的转换，方程的解作为点的坐标所对应的点都在直线上师：对，直线上的点形成一个集合，方程的解形成集合，它们之间相互对应【感悟】通过文字语言向符号语言转化复习了向量方法下的直线方程，在此基础上，教师引导学生通过用不同的语言转换从直线与方程的对应过渡到直线上点与方程的解之间的数形转换，为后面更一般的曲线（点的集合）与方程（解的集合）的对应作好铺垫2通过等价的语言转换，帮助学生理解曲线与方程的对应由例题数学的符号语言对数学思维模式有一定的暗示和诱导作用，正如日本学者池上嘉彦所说“符号能够规定思考方式”。图形语言能处理其他语言无法表达的思维过程，在解题时充分运用图形语言有利于我们搜集有用的信息，激活解题思路。数学语言提供了一种非常恰当的科学语言，要解决生活中、各学科领域中产生的与数学有关问题，首先把这些问题翻译成数学语言，建立数学模型去解决原问题。把文字语言符号化，也就是把文字转换成数学式子，这就是数学解题的一种基本策略。把文字语言、符号语言图形化，借助直观图形的观察分析，寻找解题的突破口，这也体现了数形结合的思想。把图形语言符号化，借助符号语言进行推理运算，从而是问题获解。
