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1、 一元二次方程知识点及其应用 Last revision on 21 December 2020 一、相关知识点 1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1,未知数的最高次数为 2,整式方程,可化为一般形式; 2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 (1)明确只有当二次项系数0a时,整式方程02cbxax才是一元二次方程。 (2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). (3)熟练整理方程的过程 3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4列出实际问题的一元二次方程 二解法 1明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次
2、方程转化为一元一次方程求解; 2根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程; 3体会不同解法的相互的联系; 4值得注意的几个问题: (1)开平方法:对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解 . 形如nx 2的方程的解法: 当0n时,nx; 当0n时,021 xx; 当0n时,方程无实数根。 (2)配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程,再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤: 移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常
3、数项移到方程的右边; “系数化 1”:根据等式的性质把二次项的系数化为 1; 配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为nmx2)(的形式; 求解:若0n时,方程的解为nmx,若0n时,方程无实数解。 (3)公式法:一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242 当042 acb时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等; 当042 acb时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为abxx221; 当042 acb时,方程无实数根. 公式法的一般步骤:把一元二次方程化为一般式;确定cba,的值;代入acb42中计算其值,判断方程是否有实数根;若042 acb代入求
4、根公式求值,否则,原方程无实数根。 (因为这样可以减少计算量。另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程。) (4)因式分解法: 因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于 0,那么这两个因式至少有一个为 0,即:若0ab,则00ba或; 因式分解法的一般步骤: 若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;把方程的左边分解因式;令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 (5)选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次根式的
5、化简问题。 方程若含有未知数的因式,选用因式分解较简便,若整理为一般式再解就较为麻烦。 (6)解含有字母系数的方程 (1)含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型; (2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 三、根的判别式 1了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 (1)=acb42 (2)根的判别式定理及其逆定理:对于一元二次方程02cbxax(0a) 当时00a方程有实数根; (当时00a方程有两个不相等的实数根;当
6、时00a方程有两个相等的实数根;) 当时00a方程无实数根; 从左到右为根的判别式定理;从右到左为根的判别式逆定理。 2常见的问题类型 (1)利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情况 (2)已知方程中根的情况,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 (3)应用判别式,证明一元二次方程根的情况 先计算出判别式(关键步骤); 用配方法将判别式恒等变形; 判断判别式的符号; 总结出结论. (4)分类讨论思想的应用:如果方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为 0,方程有可能是一元一次方程;如果二次项系数不为 0,一元二次方程可能会
7、有两个实数根或无实数根。 (5)一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题,解答时要在全面分析的前提下,注意合理运用代数式的变形技巧 (6)一元二次方程根的判别式与整数解的综合 (7)判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 四、一元二次方程的应用 1.数字问题:解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式。 2.几何问题:这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系,构建方程,对结果要结合几何知识检验。 3.增长率问题(下降率):在此类问题中,一般有变化前的基数(a),增长率(x),变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之
8、间的关系可以用公式bxan )1 (表示。 4.其它实际问题(都要注意检验解的实际意义,若不符合实际意义,则舍去)。 五实际应用 (1)有 100米长的篱笆材料,想围成一矩形仓库,要求面积不小于 600 平方米,在场地的北面有一堵 50米的旧墙,有人用这个篱笆围成一个长 40米、宽 10米的仓库,但面积只有400 平方米,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢 (2)读诗词解题(列出方程,并估算出周瑜去世时的年龄): 大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,英年早逝两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得准,多少年华属周瑜(36 岁) (3)已知:cba,分别是A
9、BC的三边长,当0m时,关于x的一元二次方程02)()(22axmmxbmxc有两个相等的实数根,求证:ABC是直角三角形。 (4)已知:cba,分别是ABC的三边长,求证:方程0)(222222cxacbxb没有实数根。 (5)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程0442 xmx与0544422mmmxx的根都是整数(1m) (6)已知关于x的方程02212222mxxmxx,其中m为实数,(1)当m为何值时,方程没有实数根(2)当m为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根求出这三个实数根。 答案:(1)2m(2)21, 1x. (二)一元二次方程的解法 1开平方法解下列方程: (1)012
10、552x (5, 521xx) (2)289)3(1692x (1322,135621xx) (3)03612y(原方程无实根) (4)0)31 (2m (021 mm) 2配方法解方程: (1)0522 xx (61x) (2)0152yy (2215x) 3公式法解下列方程: (1)2632xx (333x) (2)pp3232 (321 pp) 4因式分解法解下列方程: (1)09412x(6x) (2)04542yy(5, 921yy) (3)031082xx(23,4121xx) (4)02172xx (3, 021xx) 5解法的灵活运用(用适当方法解下列方程): (1)128)7
11、2(22x (227x) (2)222)2(212mmmm(262m) 6解含有字母系数的方程( 解关于 x 的方程): (1)02222nmmxx (nmxnmx21,) (2)124322aaxax (1, 1321axax) (三)一元二次方程的根的判别式 1不解方程判别方程根的情况: (1)4xxx732(有两个不等的实数根) (2)xx4)2(32 (无实数根) 2k为何值时,关于 x 的二次方程0962 xkx (1)有两个不等的实数根 (01kk且) (2)有两个相等的实数根 (1k) (3)无实数根 (1k) 3已知关于的方程mxmx1)2(42有两个相等的实数根求的值和这个方
12、程的根 (21, 221xxm或23,1021xxm) 4若方程054) 1(222aaxax有实数根,求:正整数 a. (3, 2, 1aaa) 5对任意实数 m,求证:关于 x 的方程042) 1(222mmxxm无实数根 . 6k为何值时,方程0)3()32() 1(2kxkxk有实数根 . 7设m为整数,且404 m时,方程08144)32(222mmxmx有两个相异整数根,求m的值及方程的根。(当m=12时,方程的根为26,1621xx;当m=24时,方程的根为52,3821xx) 3某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20 件,每件盈利 40 元,为了扩大销售增加盈利,尽快减
13、少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价 1元,商场每天可多售 出 2 件,若商场平均每天要盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元 (20元) 4已知甲乙两人分别从正方形广场 ABCD的顶点 B、C 同时出发,甲由 C 向 D运动,乙由B向 C 运动,甲的速度为每分钟 1千米,乙的速度每分钟 2 千米,若正方形广场周长为 40千米,问几分钟后,两人相距102千米 (2 分钟后) 7某科技公司研制一种新产品,决定向银行贷款 200 万元资金,用于生产这种产品,签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的 8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除
14、还清贷款的本金和利息外,还盈余 72 万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. (20%) 8如图,东西和南北向两条街道交于 O点,甲沿东西道由西向东走, 速度是每秒 4米,乙沿南北道由南向北走,速度是每秒 3 米,当乙通 过 O点又继续前进 50米时,甲刚好通过 O点,求这两人在相距 85 米 时,每个人的位置。(甲离 O84米,乙离 O13 米) 9已知关于 x 的方程01) 1(2mxxn有两个相等的实数根 . (1)求证:关于 y的方程03222222nmmyym必有两个相等的实数根。 (2)若方程的一根的相反数恰好是方程的一个根,求代数式nnm122的值。(14) 东北BABAO