点线面综合作图题投影变换法图学应用教程

换面法换面法•基本要求基本要求•换面法的基本概念换面法的基本概念•新投影面的选择原则新投影面的选择原则•点的投影变换点的投影变换•投影变换的投影变换的六个基本问题六个基本问题基本要求基本要求•掌握换面法的基本原理和投影变换规律掌握换面法的基本原理和投影变换规律；；•掌掌握握用用换换面面法法求求线线段段实实长长、、平平面面图图形形实实形形以以及它们对投影面的倾角的作图方法；及它们对投影面的倾角的作图方法；•掌掌握握用用换换面面法法解解决决一一般般空空间间几几何何元元素素间间的的定定位和度量问题位和度量问题当当直直线线或或平平面面相相对对于于投投影影面面处处于于一一般般位位置置时时，，它它们们的的投投影影不不反反映映真真实实形形状状，，也也不不具具有有积积聚聚性性，，但但当当它它们们相相对对于于投投影影面面处处于于特特殊殊位位置置（（平平行行或或垂垂直直））时时，，则则其其投投影影或或反反映映真真实实形形状（平行时）或具有积聚性（状（平行时）或具有积聚性（垂直时垂直时）aabbaabbccddbaabccddaabbccaabb 线段实长线段实长aabbcc平面实形平面实形aabbccdd 直线与平面的交点直线与平面的交点abcdabcd 两平面夹角两平面夹角启启示示：：当当图图解解一一般般位位置置的的直直线线、、平平面面及及其其相相互互间间的的定定位位和和度度量量问问题题时时，，若若能能将将它它们们变变成成特殊位置直线、平面，就有可能较容易地解决问题特殊位置直线、平面，就有可能较容易地解决问题。

换面法便源于此换面法便源于此保保持持空空间间几几何何元元素素的的位位置置不不动动，，建建立立新新的的直直角角投投影影体体系系，，使使几几何何元元素素在在新新投投影影面面体体系系中中处处于于有有利利解解题题的的位位置，然后用正投影法获得几何元素的新投影置，然后用正投影法获得几何元素的新投影换面法的基本概念换面法的基本概念VAHCBc bX aabc V1X1c1 b1a1VAHCBc bX aabc V1X1c1 b1a1新投影面的选择原则新投影面的选择原则•新新投投影影面面必必须须垂垂直直于于某某一一个个原原有有的的投投影影面面，，以以构构成成一一个相互垂直的两投影面新体系个相互垂直的两投影面新体系；；•新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置VH XHX1V1a1 a Aa点的投影变换：点的投影变换：一次换变一次换变a1aXVHaX1HV1•点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴；点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴；•点点的的新新投投影影到到新新投投影影轴轴的的距距离离等等于于被被变变换换旧旧投投影影到到旧旧投投影轴的距离。

影轴的距离VHXH1X1X1H1Va1XVHaaa1aAa点在点在V/H1体系中的投影体系中的投影VXHa2aaa1XVHX1HV1V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa点的投影变换：点的投影变换：二次换变二次换变•必须注意投影面要交替进行更换必须注意投影面要交替进行更换投影变换的投影变换的六个基本问题六个基本问题•将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线•将将投影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线•将将一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线•将一般位置平将一般位置平面面变为变为投影面垂直面投影面垂直面•将将投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面•将一般位置平将一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面VHXA aBb a bV1X1 a1 b1a1b1 X1V1H ba b aXVH将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面平行线：正平线投影面平行线：正平线新投影轴新投影轴X1必须平行于必须平行于ab,但和但和ab间距的距离可以任意选取间距的距离可以任意选取。

babaXHVX1H1Va1b1将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面平行线：水平线投影面平行线：水平线 VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa1bb将将投影面平行线变为投影面垂直线投影面平行线变为投影面垂直线 XHaAa b bBVV1X1H2a2 b2 a1 b1将将一般位置直线变为投影面垂直线一般位置直线变为投影面垂直线XH2V1a aXVHb ba2 b2XHV1a1 b1 将一般位置直线变为投影面垂直线将一般位置直线变为投影面垂直线 一般位置直线变为投影面垂直一般位置直线变为投影面垂直线，需更换两次投影第一次把一线，需更换两次投影第一次把一般位置直线变为投影面般位置直线变为投影面V1的平行线；的平行线；第二次再把投影面平行线变为投影第二次再把投影面平行线变为投影面面H2的垂直线的垂直线aaX b bccXH2V1aaXVHbba2 b2XHV1a1b1提示思考题思考题1 如何求点如何求点C到直线到直线AB的距离？的距离？aaXbb cdcdXH2V1aaXVHbba2 b2XHV1a1b1V提示思考题思考题2 如何求两直线如何求两直线AB与与CD间的距离？间的距离？X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222H2例题例题1 求两直线求两直线AB与与CD的公垂线。

的公垂线 a cXVHbb ac VH Xcba bCA cBa ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1将一般位置平将一般位置平面变为投影面垂直面面变为投影面垂直面 一般位置直线变为投影面垂直线，需更换两次投一般位置直线变为投影面垂直线，需更换两次投影把投影面平行线变为投影面垂直线只需更换一次把投影面平行线变为投影面垂直线只需更换一次投影面投影面因此，任取一条投影面平行线因此，任取一条投影面平行线(正平线正平线)为辅助为辅助线，取与它垂直的线，取与它垂直的H1面为新投影面，三角形也就和新面为新投影面，三角形也就和新投影面垂直投影面垂直k1X1H1Vb1a1c1 d1s1acb ba c ddss'例题例题2 求点求点S到平面到平面ABC的距离a c b bac enken ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1例例例例题题题题3 3 已已已已知知知知点点点点E E到到到到平平平平面面面面ABCABC的的的的距距距距离离离离为为为为n n，，，，求求求求点点点点E E的的的的正正正正面面面面投投投投影影影影e e   及及及及其其其其在在在在平面平面平面平面ABCABC上的垂足上的垂足上的垂足上的垂足。

HXVCAcbaBX1V1c1b1a1V1c1b1a1X1将将投影面垂直面变为投影面平行面投影面垂直面变为投影面平行面a1c1b1X1bca b acXVH a cbXX1V1c1 b1a1b caa cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1将一般位置平将一般位置平面变为投影面平行面面变为投影面平行面 若取新投影面平行若取新投影面平行于一般平面，可以反映于一般平面，可以反映实形，但是新投影面也实形，但是新投影面也为一般平面为一般平面 第一次把一般平面变为投影面第一次把一般平面变为投影面垂直面第二次再把投影面垂直面垂直面第二次再把投影面垂直面变为投影平行面变为投影平行面a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2例题例题例题例题4 4 已知已知已知已知点点点点E E在平面在平面在平面在平面ABCABC上，距离上，距离上，距离上，距离A A、、、、B B为为为为1515，求，求，求，求E E点的投影。

点的投影点的投影点的投影XOZY两点的相对位置两点中两点中X 值大值大的点：在左的点：在左两点中两点中Y 值大值大的点：在前的点：在前两点中两点中Z 值大值大的点：在上的点：在上a a ab b bXZYWYHOaa ab bb BA例例题题2 已已知知A点点在在B点点之之前前5毫毫米米，，之之上上9毫毫米米，，之之右右8毫米，求毫米，求A点的投影点的投影a a aXZYWYHOb bb 985ABbbaaCXO2、求线段的实长及对正立投影面的倾角、求线段的实长及对正立投影面的倾角  |YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB| 用哪个投影面的投影作为一直角边，另一直角边为线段两端点离该投影面的距离差直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性： 1. 从从属属性性：：若若点点在在直直线线上上，，则则点点的的各各个个投投影影必必在在直直线线的的各各同同面面投投影影上上利利用用这这一一特特性性可可以以在在直直线线上上找找点点，，或或判判断断已已知知点点是是否否在在直线上。

直线上 2. 定比性：定比性：从属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比从属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比即即：：A C: C B = a c : c b= a c  : c b  = a c  : c  b 利利用用这这一一特特性性，，在在不不作作侧侧面面投投影影的的情情况况下下，，可可以以在在侧侧平平线线上上找找点点或或判判断已知点是否在侧平线上断已知点是否在侧平线上直线上的点的投影特性直线上的点的投影特性ABbbaaXOccCc例题例题3 已知点已知点C的水平投影且其段的水平投影且其段AB上，求上，求点点C的正面投影的正面投影bXabacccbacXOABbbaacCcHV四、交叉两直线上重影点的可见性四、交叉两直线上重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12判判断断重重影影点点的的可可见见性性时时，，需需要要看看重重影影点点在在另另一一投投影影面面上上的的投投影影，，坐坐标标值值大大的的点点投投影影可可见见，，反反之之不不可可见见，，不不可可见见点点的的投投影影加加括括号号表示。

表示例题例题6 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1例题例题7 7 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)一、两直线平行一、两直线平行1、、两两平平行行直直线线在在同同面面投投影影上上的的投投影影仍仍平平行行反反之之，，若若两两一一般般直直线线在在两两个个同同面面投投影影上上的的投投影影相相互互平平行行，，则则该该两两直直线线平平行行；；当当两两直直线线为为投影面平行线时，判断两直线是否平行要观察第三个同面投影投影面平行线时，判断两直线是否平行要观察第三个同面投影2、平行两线段之比等于其投影之比、平行两线段之比等于其投影之比(两直线共面为前提两直线共面为前提)XbaadbbccXbaabdcdcABCD错误更正：错误更正：《图学应用教程》《图学应用教程》P44图图2-50(b)更正如下更正如下。