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1、 高三数学第一轮复习讲义（66） 球与多面体 一复习目标： 1. 了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题； 2了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法 二主要知识： 1欧拉公式 ； 2球的表面积 ；球的体积公式 ； 3球的截面的性质： 三课前预习： 1一个凸多面体的顶点数为20，棱数为 30，则它的各面多边形的内角和为 ( ) ( )A2160o ( )B5400o ( )C6480o ()D7200o 2一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积
2、是 ( ) ( )A3 ( )B4 ( )C3 3 ()D6 3正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( ) ( )A21 ( )B31 ( )C41 ()D61 4地球表面上从A地(北纬45o，东经120o)到B地(北纬45o，东经30o)的最短距离为 （球的半径为R） （ ） ( )A4R ( )BR ( )C3R ()D2R 5 设, , ,P A B C是球O面上的四点,且,PA PB PC两两互相垂直,若PAPBPCa则球心O到截面ABC的距离是 . 四例题分析： 例1已知三棱锥PABC内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积. 例 2在北纬60o圈上有
3、甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2R (R为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。 例 3如图,球心到截面的距离为半径的一半，BC是截面圆的直径,D是圆周上一点，CA是球O的直径， (1) 求证：平面ABD 平面ADC； (2) 如果球半径是13，D分BC为两部分, 且:1:2BD DC ，求AC与BD所成的角； (3) 如果:3:2BC DC ，求二面角BACD的大小。 五课后作业： 班级 学号 姓名 1给出下列命题：正四棱柱是正多面体；正四棱柱是简单多面体；简单多面体是凸多面体；以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体；其中正确的命题个数为 （ ） ( )A1 个 ( )B2
4、个 ( )C3 个 ()D4 个 2 已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱， 则顶点数V与面数F满足的关系是 （ ） ( )A24FV ( )B24FV ( )C22FV ()D22FV 3 棱长为a的正方体中， 连接相邻两个面的中心， 以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） ( )A33a ( )B34a ( )C36a ()D312a 4有一棱长为 a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)， 则气球表面积的最大值为 （ ） ( )A2a ( )B22 a ( )C23 a ()D24 a 5以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表
5、面积之比为（ ） ( )A3:1 ( )B1:3 ( )C3:2 ()D3:2 6地球半径为 R，A、B 两地均在北纬 45圈上，两地的球面距离为3R，则,A B两地的经度之差的绝对值为 （ ） ( )A3 ( )B2 ( )C32 ()D4 7棱长为 1 的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 （ ） ( )A2 ( )B3 ( )C3 32 ()D12 8已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2，则球心 O 到平面 ABC 的距离为 （ ） ( )A 31 ( )B33 ( )C32 ()D36 9如图，, ,A B C是表面积为48的球面上三点，2,4,60ABBCABCo，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是 （ ） ( )A3arcsin6 ( )B3arccos6 ( )C3arcsin3 ()D3arccos3 10一个多面体共有 10 个顶点, 每个顶点处都有四条棱, 面的形状只有三角形和四边形, 求该多面体中三角形和四边形的个数分别是 . 11有 30 个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是_ _ 12球面上三点, ,A B C组成这个球的一个截面的内接三角形，18,24,30ABBCAC， 且球心到该截面的距离为球的半径的一半， (1) 求球的体积； (2) 求,A C两点的球面距离。
