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1、第十章第十章时间序列计量经济模型时间序列计量经济模型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：n n时间序列数据时间序列数据时间序列数据时间序列数据（time-series data)time-series data)；n n截面数据截面数据截面数据截面数据(cross-sectional data)(cross-sectional data)n n平行平行平行平行/ /面板数据面板数据面板数据面板数据（panel data/time-series panel
2、data/time-series cross-section data)cross-section data) 时间时间时间时间序列数据序列数据序列数据序列数据是最常见，也是最常用到的数据。是最常见，也是最常用到的数据。是最常见，也是最常用到的数据。是最常见，也是最常用到的数据。第一节第一节 时间序列基本概念时间序列基本概念一、伪回归问题一、伪回归问题常见的数据类型常见的数据类型 传统计量经济学模型的假定条件：传统计量经济学模型的假定条件：传统计量经济学模型的假定条件：传统计量经济学模型的假定条件：时间时间时间时间序序序序列数据是平稳的。列数据是平稳的。列数据是平稳的。列数据是平稳的。 所谓所
3、谓所谓所谓“伪回归伪回归伪回归伪回归”，是指变量间本来不存在相依，是指变量间本来不存在相依，是指变量间本来不存在相依，是指变量间本来不存在相依关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误结论。结论。结论。结论。20202020世纪世纪世纪世纪70707070年代，年代，年代，年代，GrangeGrange、NewboldNewbold研究发现，研究发现，研究发现，研究发现，造成造成造成造成“伪回归伪回归伪回归伪回归”的根本原因在于时序序列变量的根本原因在于时序序列变量的根本原因在
4、于时序序列变量的根本原因在于时序序列变量的非平稳性的非平稳性的非平稳性的非平稳性。2 2、伪回归问题、伪回归问题二、随机过程的概念二、随机过程的概念 有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这类随机现象已不能用一维或多维随机变量过程，这类随机现象已不能用一维或多维随机变量过程，这类随机现象已不能用一维或多维随机变量过程，这类随机现象已不能用一维或多维随机变量来表达。来表达。来表达。来表达。 例例例例1 1 在测量飞机的距离时存在随机误差，若以在测量飞机的距离时存在随机误
5、差，若以在测量飞机的距离时存在随机误差，若以在测量飞机的距离时存在随机误差，若以e e e e(t (t) ) 表示时刻表示时刻表示时刻表示时刻t t的测量误差，则它是一个随机变量，的测量误差，则它是一个随机变量，的测量误差，则它是一个随机变量，的测量误差，则它是一个随机变量，飞机随时间飞机随时间飞机随时间飞机随时间t t运动，测量误差也随时间运动，测量误差也随时间运动，测量误差也随时间运动，测量误差也随时间t t而变化，即而变化，即而变化，即而变化，即e e e e(t (t) ) 是依赖于时间是依赖于时间是依赖于时间是依赖于时间t t的一族随机变量。则的一族随机变量。则的一族随机变量。则的
6、一族随机变量。则 e e e e(t (t) )是一随是一随是一随是一随机过程机过程机过程机过程 例例例例2 2 某国某年的某国某年的某国某年的某国某年的GDPGDP总量，是一随机变量，但总量，是一随机变量，但总量，是一随机变量，但总量，是一随机变量，但若考查它随时间变化的情形，则若考查它随时间变化的情形，则若考查它随时间变化的情形，则若考查它随时间变化的情形，则 GDPGDPt t 是一随机过是一随机过是一随机过是一随机过程。程。程。程。随机过程随机过程随机过程随机过程（stochastic processstochastic process）的定义的定义的定义的定义 设设设设T T是无限实
7、数集，若对于每一是无限实数集，若对于每一是无限实数集，若对于每一是无限实数集，若对于每一t tT T ，Y Yt t 为一随为一随为一随为一随机变量，则称随机变量族机变量，则称随机变量族机变量，则称随机变量族机变量，则称随机变量族 Y Yt t 为一个为一个为一个为一个随机过程随机过程随机过程随机过程。 若若若若T T为一连续区间，则为一连续区间，则为一连续区间，则为一连续区间，则 Y Yt t 称为称为称为称为连续型随机过程连续型随机过程连续型随机过程连续型随机过程。 若若若若T T为一离散集合，如为一离散集合，如为一离散集合，如为一离散集合，如 T T=0, 1, 2, =0, 1, 2,
8、 或或或或 T T=, -2, -1, , -2, -1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 则则则则 Y Yt t 称为称为称为称为离散型随机过程离散型随机过程离散型随机过程离散型随机过程。 离散型时间指标集的随机过程通常称为离散型时间指标集的随机过程通常称为离散型时间指标集的随机过程通常称为离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时随机型时随机型时随机型时间序列间序列间序列间序列，简称，简称，简称，简称时间序列时间序列时间序列时间序列。 在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在在实际中，有相当多的随机过程，不
9、仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有很强的影响。其中有这样一类随机过程，即有很强的影响。其中有这样一类随机过程，即有很强的影响。其中有这样一类随机过程，即有很强的影响。其中有这样一类随机过程，即所谓所谓所谓所谓平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程，它的特点是：其统计特性不随时间，它的特点是：其统计特性不随时间，它的特点是：其统计特性不随时间，它的特点是：其统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果的推移而变化。严格地说，如果的推移而
10、变化。严格地说，如果的推移而变化。严格地说，如果对任意正整数对任意正整数对任意正整数对任意正整数n n，任意任意任意任意t t1 1, , t t2 2, , , , t tn nT T和任意实数和任意实数和任意实数和任意实数h h，n n维随机变量维随机变量维随机变量维随机变量具有相同的分布函数，则称具有相同的分布函数，则称具有相同的分布函数，则称具有相同的分布函数，则称 YtYt 为为为为平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程。与与与与三、时间序列的平稳性三、时间序列的平稳性 当当当当T T是离散型时间指标集时，也称时间序列具有是离散型时间指标集时，也称时间序列具有是离散型时间指
11、标集时，也称时间序列具有是离散型时间指标集时，也称时间序列具有平稳性平稳性平稳性平稳性（stationary)stationary) 直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围绕其均值上下波动的曲线。绕其均值上下波动的曲线。绕其均值上下波动的曲线。绕其均值上下波动的曲线。 在实际中，确定过程的分布函数，并用它来判在实际中，确定过程的分布函数，并用它来判在实际中，确定过程的分布函数，并用它来判在实际中，确定过程的分布函数，并用它来判定其平稳性，一般很难办到。定其平稳性，一般很难办
12、到。定其平稳性，一般很难办到。定其平稳性，一般很难办到。考察一下考察一下考察一下考察一下平稳过程平稳过程平稳过程平稳过程的数字特征的数字特征的数字特征的数字特征 （1 1）设平稳过程）设平稳过程）设平稳过程）设平稳过程 Y Yt t 的均值函数的均值函数的均值函数的均值函数E E( (Y Yt t) )存在存在存在存在, ,由平稳性定义，随机变量由平稳性定义，随机变量由平稳性定义，随机变量由平稳性定义，随机变量Y Yt t与与与与Y Yt+ht+h同分布，于是同分布，于是同分布，于是同分布，于是 E E( (Y Yt t)= )= E E( (Y Yt+ht+h) )令令令令h h= =- -
13、 - -t t，则有，则有，则有，则有E E( (Y Yt t)= )= E E( (Y Y0 0) )为常数，记为为常数，记为为常数，记为为常数，记为m m m m； （2 2）同理，平稳过程）同理，平稳过程）同理，平稳过程）同理，平稳过程 Y Yt t 的方差函数也为常的方差函数也为常的方差函数也为常的方差函数也为常数，记为数，记为数，记为数，记为 2 2 2 2； （3 3）由平稳性定义，二维随机变量）由平稳性定义，二维随机变量）由平稳性定义，二维随机变量）由平稳性定义，二维随机变量( (Y Yt t , , Y Ys s) )与与与与( (Y Yt+ht+h , , Y Ys+hs+h
14、) )同分布，从而同分布，从而同分布，从而同分布，从而 CovCov( (Y Yt t , , Y Ys s)= )= CovCov( (Y Yt+ht+h , , Y Ys+hs+h) )令令令令h h= =-s-s-s-s，有，有，有，有 CovCov( (Y Yt t , , Y Ys s)= )= CovCov( (Y Yt-st-s , , Y Y0 0) )记记记记 r r( (t t, , s s)= )= CovCov( (Y Yt t , , Y Ys s) )于是于是于是于是 r r( (t t, , s s)= )= r r( (t t- -s s, , 0)=0)=r
15、rt-st-s 当随机过程当随机过程当随机过程当随机过程 Y Yt t 的均值、方差和协方差不随时的均值、方差和协方差不随时的均值、方差和协方差不随时的均值、方差和协方差不随时间的推移而变化时，即满足：间的推移而变化时，即满足：间的推移而变化时，即满足：间的推移而变化时，即满足：则称则称则称则称 Y Yt t 为为为为弱平稳过程弱平稳过程弱平稳过程弱平稳过程。 在以后的讨论中，平稳性通常是指在以后的讨论中，平稳性通常是指在以后的讨论中，平稳性通常是指在以后的讨论中，平稳性通常是指弱平稳弱平稳弱平稳弱平稳，而，而，而，而前面用分布函数定义的平稳称为前面用分布函数定义的平稳称为前面用分布函数定义的
16、平稳称为前面用分布函数定义的平稳称为严格平稳严格平稳严格平稳严格平稳，显然，显然，显然，显然，严格平稳一定是弱平稳的，但反之一般是不成立的，严格平稳一定是弱平稳的，但反之一般是不成立的，严格平稳一定是弱平稳的，但反之一般是不成立的，严格平稳一定是弱平稳的，但反之一般是不成立的，但正态过程是一个例外。但正态过程是一个例外。但正态过程是一个例外。但正态过程是一个例外。 与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过程处于过渡阶段总是非平稳的。例如，飞机控制在程处于过渡阶段总是非平稳的。
17、例如，飞机控制在程处于过渡阶段总是非平稳的。例如，飞机控制在程处于过渡阶段总是非平稳的。例如，飞机控制在高度为高度为高度为高度为 h h 的水平向上飞行，由于受到大气湍流的影的水平向上飞行，由于受到大气湍流的影的水平向上飞行，由于受到大气湍流的影的水平向上飞行，由于受到大气湍流的影响，实际飞行高度响，实际飞行高度响，实际飞行高度响，实际飞行高度HH( (t t) )应在应在应在应在 h h 水平面上下随机波动，水平面上下随机波动，水平面上下随机波动，水平面上下随机波动，HH( (t t) ) 看作是平稳过程，但在升降阶段由于飞行的主看作是平稳过程，但在升降阶段由于飞行的主看作是平稳过程，但在升
18、降阶段由于飞行的主看作是平稳过程，但在升降阶段由于飞行的主要条件随时间发生变化，因而要条件随时间发生变化，因而要条件随时间发生变化，因而要条件随时间发生变化，因而HH( (t t) ) 的主要特征也随的主要特征也随的主要特征也随的主要特征也随时间而变化，这时时间而变化，这时时间而变化，这时时间而变化，这时HH( (t t) ) 是非平稳的。是非平稳的。是非平稳的。是非平稳的。 所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化，即时间序列的计规律随着时间的
19、位移而发生变化，即时间序列的计规律随着时间的位移而发生变化，即时间序列的计规律随着时间的位移而发生变化，即时间序列的数字特征随时间而变化。只要弱平稳的三个条件不数字特征随时间而变化。只要弱平稳的三个条件不数字特征随时间而变化。只要弱平稳的三个条件不数字特征随时间而变化。只要弱平稳的三个条件不完全满足，则该时间序列是非平稳的，如果采用了完全满足，则该时间序列是非平稳的，如果采用了完全满足，则该时间序列是非平稳的，如果采用了完全满足，则该时间序列是非平稳的，如果采用了非平稳序列数据进行回归，可能导致所谓的非平稳序列数据进行回归，可能导致所谓的非平稳序列数据进行回归，可能导致所谓的非平稳序列数据进行
20、回归，可能导致所谓的“ “伪回伪回伪回伪回归归归归” ”. . 例例例例1 1一个最简单的随机时间序列是一具有零一个最简单的随机时间序列是一具有零一个最简单的随机时间序列是一具有零一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：均值同方差的独立分布序列：均值同方差的独立分布序列：均值同方差的独立分布序列： Y Yt t = = e e e et t ， e e e et t N N(0,(0, 2 2) )该序列常被称为是一个该序列常被称为是一个该序列常被称为是一个该序列常被称为是一个白噪声白噪声白噪声白噪声（white noisewhite noise）。）。）。）。 由于由于由
21、于由于X Xt t具有相同的均值与方差，且协方差为零具有相同的均值与方差，且协方差为零具有相同的均值与方差，且协方差为零具有相同的均值与方差，且协方差为零, , , ,由定义由定义由定义由定义, , , ,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。 例例例例2 2几种常用的非平稳时间序列模型。几种常用的非平稳时间序列模型。几种常用的非平稳时间序列模型。几种常用的非平稳时间序列模型。（1 1）随机游走序列随机游走序列随机游走序列随机游走序列（random walkrandom walk），），），），该序列该序列该序列该序列由如下随机过程生成：由如
22、下随机过程生成：由如下随机过程生成：由如下随机过程生成： Y Yt t = = Y Yt t-1 -1 + + e e e et t这里，这里，这里，这里， e e e et t 是一个白噪声。是一个白噪声。是一个白噪声。是一个白噪声。 由于由于由于由于 E E( (Y Yt t)=)=E E( (Y Yt t-1-1) + ) + E E( (e e e et t ) = ) = E E( (Y Yt t-1-1) )所以该序列有相同的均值。所以该序列有相同的均值。所以该序列有相同的均值。所以该序列有相同的均值。 为了检验该序列是否具有相同的方差，设为了检验该序列是否具有相同的方差，设为了检
23、验该序列是否具有相同的方差，设为了检验该序列是否具有相同的方差，设Y Yt t的初值为的初值为的初值为的初值为Y Y0 0，则易知则易知则易知则易知 Y Y1 1 = = Y Y0 0 + + e e e e1 1 Y Y2 2 = = Y Y1 1 + + e e e e2 2 = = Y Y0 0 + + e e e e1 1 + + e e e e2 2 Y Yt t = = Y Y0 0 + + e e e e1 1 + + e e e e2 2 + + + + e e e et t 由于由于由于由于Y Y0 0为常数，为常数，为常数，为常数，e e e et t t t 是一个白噪声
24、，因此是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此 VarVar( (Y Yt t) = ) = t t 2 2 即即即即Y Yt t的方差与时间的方差与时间的方差与时间的方差与时间t t t t有关，它是一非平稳序列。有关，它是一非平稳序列。有关，它是一非平稳序列。有关，它是一非平稳序列。（2 2）带漂移项的随机游走序列带漂移项的随机游走序列带漂移项的随机游走序列带漂移项的随机游走序列（random walk random walk with driftwith drift） Y Yt t = = a a a a + + Y Yt t-1 -1 + + e e e et t这里，这
25、里，这里，这里， a a a a 是一非零常数，称为是一非零常数，称为是一非零常数，称为是一非零常数，称为漂移项漂移项漂移项漂移项。 如果对如果对如果对如果对Y Yt t 取一阶差分取一阶差分取一阶差分取一阶差分（first differencefirst difference）: : Y Yt t = = Y Yt t - - - -Y Yt t-1-1 = = e e e et t由于由于由于由于e e e et t 是一个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列 Y Yt t 成为平稳序列。成为平稳序列。成为平稳序列。成为平稳序列。将上式写成一阶差分形式
26、将上式写成一阶差分形式将上式写成一阶差分形式将上式写成一阶差分形式 Y Yt t = = Y Yt t - - - -Y Yt t-1-1 = = a a a a + + e e e et tY Yt t向上或向下漂移，取决于向上或向下漂移，取决于向上或向下漂移，取决于向上或向下漂移，取决于a a a a的符号是正还是负。的符号是正还是负。的符号是正还是负。的符号是正还是负。通过直接迭代通过直接迭代通过直接迭代通过直接迭代 都是时间都是时间都是时间都是时间 t t 的函数，且随时间发散到无穷大，它是的函数，且随时间发散到无穷大，它是的函数，且随时间发散到无穷大，它是的函数，且随时间发散到无穷大
27、，它是非平稳时间序列。非平稳时间序列。非平稳时间序列。非平稳时间序列。于是于是于是于是 （3 3）带漂移和时间趋势的随机游走序列带漂移和时间趋势的随机游走序列带漂移和时间趋势的随机游走序列带漂移和时间趋势的随机游走序列 Y Yt t = = a a a a + + b b b b t t + +Y Yt t-1 -1 + + e e e et t容易证明它也是非平稳时间序列。容易证明它也是非平稳时间序列。容易证明它也是非平稳时间序列。容易证明它也是非平稳时间序列。 以上三种情况，其数据生成过程都可以写成以上三种情况，其数据生成过程都可以写成以上三种情况，其数据生成过程都可以写成以上三种情况，其
28、数据生成过程都可以写成如下形式：如下形式：如下形式：如下形式： Y Yt t = = m m m m + + g g g g Y Yt t-1 -1 + + e e e et t当当当当 m m m m = 0, = 0, g g g g =1 =1 =1 =1 时，为随机游走过程；时，为随机游走过程；时，为随机游走过程；时，为随机游走过程；当当当当 m m m m = = a a a a, , g g g g =1 =1 =1 =1 时，为带漂移项随机游走过程；时，为带漂移项随机游走过程；时，为带漂移项随机游走过程；时，为带漂移项随机游走过程；当当当当 m m m m = = a a a a
29、+ + + +b b b b t t, , g g g g =1 =1 =1 =1 时，为带漂移项和时间趋势的时，为带漂移项和时间趋势的时，为带漂移项和时间趋势的时，为带漂移项和时间趋势的 随机游走过程；随机游走过程；随机游走过程；随机游走过程； 第二节 时间序列平稳性的单位根检验 时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和现代方法，传统方法中主要有散点图法、自相关函现代方法，传统方法中主要有散点图法、自相关函现代方法，传统方法中主要有散点图法、自相关函现代方法，传统方法中主要
30、有散点图法、自相关函数检验法。数检验法。数检验法。数检验法。 散点图法散点图法散点图法散点图法是最简单的一种平稳检验方法，通过是最简单的一种平稳检验方法，通过是最简单的一种平稳检验方法，通过是最简单的一种平稳检验方法，通过画出时间序列的散点图，可以直观判断散点图是否画出时间序列的散点图，可以直观判断散点图是否画出时间序列的散点图，可以直观判断散点图是否画出时间序列的散点图，可以直观判断散点图是否围绕其平均值上下波动，如果是，则该时间序列是围绕其平均值上下波动，如果是，则该时间序列是围绕其平均值上下波动，如果是，则该时间序列是围绕其平均值上下波动，如果是，则该时间序列是平稳的，否则就是非平稳的，
31、这种方法简单直观，平稳的，否则就是非平稳的，这种方法简单直观，平稳的，否则就是非平稳的，这种方法简单直观，平稳的，否则就是非平稳的，这种方法简单直观，但精确度不高。但精确度不高。但精确度不高。但精确度不高。 我们把我们把我们把我们把 r rt t- -s s= = CovCov( (Y Yt t , , Y Ys s) )称为时间序列称为时间序列称为时间序列称为时间序列 YtYt 的自相关函数。的自相关函数。的自相关函数。的自相关函数。 自相关函数法自相关函数法自相关函数法自相关函数法就是看自相关函数是否为不随就是看自相关函数是否为不随就是看自相关函数是否为不随就是看自相关函数是否为不随时间变
32、化的常数，若是则为平稳的。否则是非平时间变化的常数，若是则为平稳的。否则是非平时间变化的常数，若是则为平稳的。否则是非平时间变化的常数，若是则为平稳的。否则是非平稳的。稳的。稳的。稳的。在在在在Y Yt t = = m m m m + + g g g g Y Yt t-1 -1 + + e e e et t 中，若中，若中，若中，若m m m m = 0 = 0，则有，则有，则有，则有 Y Yt t = = g g g g Y Yt t-1 -1 + + e e e et t称称称称时时时时间间间间序序序序列列列列为为为为1 1 1 1阶阶阶阶自自自自回回回回归归归归过过过过程程程程，记记记记
33、为为为为AR(1)AR(1)。可可可可以以以以证证证证明当明当明当明当g g g g 1 1时，是平稳的，其他情况是非平稳的。时，是平稳的，其他情况是非平稳的。时，是平稳的，其他情况是非平稳的。时，是平稳的，其他情况是非平稳的。 1 1阶自回归过程可写成阶自回归过程可写成阶自回归过程可写成阶自回归过程可写成 Y Yt t - - - - g g g g Y Yt t-1 -1 = = e e e et t 或或或或 （1 1 - - - - g g g g L L) )Y Yt t = = e e e et t 其中，其中，其中，其中，L L是是是是滞后运算符滞后运算符滞后运算符滞后运算符或或
34、或或滞后算子滞后算子滞后算子滞后算子，即，即，即，即 LYLYt t = = = = Y Yt t-1 -1 一、单位根检验一、单位根检验 称方程称方程称方程称方程1-1-g g g g z z=0=0 为时间序列为时间序列为时间序列为时间序列 Y Yt t 的的的的特征方程特征方程特征方程特征方程，该，该，该，该方程的根为方程的根为方程的根为方程的根为z z=1/=1/g ,g ,g ,g , 由于当由于当由于当由于当g g g g 1 1 1，而如果，而如果，而如果，而如果g g g g =1=1，序列的生，序列的生，序列的生，序列的生成过程变为随机游走过程，它是非平稳的，此时成过程变为随
35、机游走过程，它是非平稳的，此时成过程变为随机游走过程，它是非平稳的，此时成过程变为随机游走过程，它是非平稳的，此时z z=1=1通常称序列含有通常称序列含有通常称序列含有通常称序列含有单位根单位根单位根单位根，或者说序列的生成过程为，或者说序列的生成过程为，或者说序列的生成过程为，或者说序列的生成过程为单位根过程单位根过程单位根过程单位根过程。由此可见检验序列的非平稳性就变为。由此可见检验序列的非平稳性就变为。由此可见检验序列的非平稳性就变为。由此可见检验序列的非平稳性就变为检验特征方程是否有单位根。检验特征方程是否有单位根。检验特征方程是否有单位根。检验特征方程是否有单位根。 事实上，特征根
36、事实上，特征根事实上，特征根事实上，特征根 z z 也可能落在单位圆内，这种过也可能落在单位圆内，这种过也可能落在单位圆内，这种过也可能落在单位圆内，这种过程称为强非平稳过程，这种过程即便作差分处理，仍程称为强非平稳过程，这种过程即便作差分处理，仍程称为强非平稳过程，这种过程即便作差分处理，仍程称为强非平稳过程，这种过程即便作差分处理，仍然是非平稳的，换言之，当特征根落在单位圆内时，然是非平稳的，换言之，当特征根落在单位圆内时，然是非平稳的，换言之，当特征根落在单位圆内时，然是非平稳的，换言之，当特征根落在单位圆内时，简单的数学变换是不能将这种序列作平稳化处理的，简单的数学变换是不能将这种序列
37、作平稳化处理的，简单的数学变换是不能将这种序列作平稳化处理的，简单的数学变换是不能将这种序列作平稳化处理的，所幸的是，在非季节性的经济时间序列中，这种情况所幸的是，在非季节性的经济时间序列中，这种情况所幸的是，在非季节性的经济时间序列中，这种情况所幸的是，在非季节性的经济时间序列中，这种情况极为少见，在此不作讨论。极为少见，在此不作讨论。极为少见，在此不作讨论。极为少见，在此不作讨论。 含一个单位根的过程含一个单位根的过程含一个单位根的过程含一个单位根的过程 Y Yt t ，其一阶差分，其一阶差分，其一阶差分，其一阶差分 Y Yt t = = Y Yt t - -Y Yt t-1-1 = =
38、e e e et t是一个平稳序列，象这种经过一阶差分后变为平稳的是一个平稳序列，象这种经过一阶差分后变为平稳的是一个平稳序列，象这种经过一阶差分后变为平稳的是一个平稳序列，象这种经过一阶差分后变为平稳的序列称为序列称为序列称为序列称为一阶单整序列一阶单整序列一阶单整序列一阶单整序列，记为，记为，记为，记为 Y Yt t I I(1)(1)。 1 1阶自回归阶自回归阶自回归阶自回归ARAR(1)(1)可推广到可推广到可推广到可推广到 k k 阶自回归阶自回归阶自回归阶自回归ARAR( (k k) )： Y Yt t= = 1 1Y Yt t-1 -1 + + 2 2Y Yt t-2 -2 +
39、+ + + k kY Yt-kt-k + +e e e et t可用滞后算子写为：可用滞后算子写为：可用滞后算子写为：可用滞后算子写为： （1 1- - - - 1 1L L - - - - 2 2L L2 2 - - - - - - - - k kL Lk k) )Y Yt t = = e e e et t其特征方程为其特征方程为其特征方程为其特征方程为 1 1- - - - 1 1z z - - - - 2 2z z2 2 - - - - - - - - k kz zk k = = 0 0 若时间序列若时间序列若时间序列若时间序列 Y Yt t 含有含有含有含有 d d 个单位根，经过个单
40、位根，经过个单位根，经过个单位根，经过 d d 阶差阶差阶差阶差分后变为平稳，而分后变为平稳，而分后变为平稳，而分后变为平稳，而d d-1 -1 阶差分不平稳，则称为阶差分不平稳，则称为阶差分不平稳，则称为阶差分不平稳，则称为 d d 阶阶阶阶单整序列单整序列单整序列单整序列，记为，记为，记为，记为 Y Yt t I I( (d d) )。特别地，若。特别地，若。特别地，若。特别地，若 Y Yt t 本身本身本身本身是平稳的，则称它是平稳的，则称它是平稳的，则称它是平稳的，则称它零阶单整序列零阶单整序列零阶单整序列零阶单整序列，记为，记为，记为，记为 Y Yt t I I( (d d) )。二
41、、二、二、二、Dickey-FullerDickey-Fuller检验（迪克检验（迪克检验（迪克检验（迪克福勒检验）福勒检验）福勒检验）福勒检验） 大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征，当大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征，当大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征，当大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征，当这种趋势一旦受到冲击时，一般会出现两种情形，这种趋势一旦受到冲击时，一般会出现两种情形，这种趋势一旦受到冲击时，一般会出现两种情形，这种趋势一旦受到冲击时，一般会出现两种情形，一是经济变量逐渐又回到长期趋势轨迹；二是没有一是经济变量逐渐又回到长期趋势轨迹；二是没有一是经济变量逐渐又回到长期趋
42、势轨迹；二是没有一是经济变量逐渐又回到长期趋势轨迹；二是没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态，它是非回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态，它是非回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态，它是非回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态，它是非平稳的，这时如采用最小二乘法可能导致伪回归，平稳的，这时如采用最小二乘法可能导致伪回归，平稳的，这时如采用最小二乘法可能导致伪回归，平稳的，这时如采用最小二乘法可能导致伪回归，所以有必要检验时间序列的平稳性，也就是作单位所以有必要检验时间序列的平稳性，也就是作单位所以有必要检验时间序列的平稳性，也就是作单位所以有必要检验时间序列的平稳性，也就是作单位根检验。根检
43、验。根检验。根检验。 假设时间序列是由下列自回归模型生成的：假设时间序列是由下列自回归模型生成的：假设时间序列是由下列自回归模型生成的：假设时间序列是由下列自回归模型生成的： Y Yt t = = g g g g Y Yt t-1 -1 + + e e e et t 要检验该序列是否含有单位根，其原假设为要检验该序列是否含有单位根，其原假设为要检验该序列是否含有单位根，其原假设为要检验该序列是否含有单位根，其原假设为 HH0 0: : g g g g = 1 = 1 检验所用的统计量为检验所用的统计量为检验所用的统计量为检验所用的统计量为其中，其中，其中，其中，e e e et t 独立同分布
44、，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为 2 2其中其中其中其中 为为为为 g g g g 的的的的OLSOLS估计量，估计量，估计量，估计量，g g g g = 1= 1 但但但但DickeyDickey，Fuller Fuller 通过研究发现，该统计是并通过研究发现，该统计是并通过研究发现，该统计是并通过研究发现，该统计是并不服从不服从不服从不服从 t t 分布，而是服从一个非标准的，甚至是非分布，而是服从一个非标准的，甚至是非分布，而是服从一个非标准的，甚至是非分布，而是服从一个非标准的，甚至是非对称的分布，从而传统的对称的
45、分布，从而传统的对称的分布，从而传统的对称的分布，从而传统的 t t 检验失效。但其极限分检验失效。但其极限分检验失效。但其极限分检验失效。但其极限分布存在，一般称为布存在，一般称为布存在，一般称为布存在，一般称为Dickey-FullerDickey-Fuller分布（分布（分布（分布（DFDF分布）分布）分布）分布）。 根据这一分布所作的检验称为根据这一分布所作的检验称为根据这一分布所作的检验称为根据这一分布所作的检验称为DFDF检验检验检验检验。 步骤如下：步骤如下：步骤如下：步骤如下： （1 1）用）用）用）用OLSOLS估计一阶自回归模型估计一阶自回归模型估计一阶自回归模型估计一阶自
46、回归模型 Y Yt t = = g g g g Y Yt t-1 -1 + + e e e et t得到得到得到得到 g g g g 的估计量的估计量的估计量的估计量（2 2）提出假设）提出假设）提出假设）提出假设 HH0 0: : g g g g = 1= 1，计算常规，计算常规，计算常规，计算常规 t t 统计量：统计量：统计量：统计量：（3 3）查）查）查）查DFDF检验临界值表得临界值，检验：若检验临界值表得临界值，检验：若检验临界值表得临界值，检验：若检验临界值表得临界值，检验：若t t统计统计统计统计量值大于或等于量值大于或等于量值大于或等于量值大于或等于DFDF检验临界值，则拒绝
47、原假设检验临界值，则拒绝原假设检验临界值，则拒绝原假设检验临界值，则拒绝原假设 ，说明序列不存在单位根，否则，接受原假设说明序列不存在单位根，否则，接受原假设说明序列不存在单位根，否则，接受原假设说明序列不存在单位根，否则，接受原假设 ，说明，说明，说明，说明存在单位根。存在单位根。存在单位根。存在单位根。 DickeyDickey，FullerFuller研究发现，研究发现，研究发现，研究发现，DFDF检验的临界值同检验的临界值同检验的临界值同检验的临界值同序列的数据生成过程以及模型的类型有关，因此他序列的数据生成过程以及模型的类型有关，因此他序列的数据生成过程以及模型的类型有关，因此他序列
48、的数据生成过程以及模型的类型有关，因此他们针对以下三种模型编制了临界值表，后来麦金农们针对以下三种模型编制了临界值表，后来麦金农们针对以下三种模型编制了临界值表，后来麦金农们针对以下三种模型编制了临界值表，后来麦金农（MackinnonMackinnon）把临界值表加以扩充，形成了目前）把临界值表加以扩充，形成了目前）把临界值表加以扩充，形成了目前）把临界值表加以扩充，形成了目前使用广泛的临界值表，在使用广泛的临界值表，在使用广泛的临界值表，在使用广泛的临界值表，在EviewsEviews软件中使用的就是软件中使用的就是软件中使用的就是软件中使用的就是MackinnonMackinnon临界值
49、表。临界值表。临界值表。临界值表。 Y Yt t = = a a a a + + b b b b t t + +g g g gY Yt t-1 -1 + + e e e et t Y Yt t = = a a a a + +g g g gY Yt t-1 -1 + + e e e et t Y Yt t = = g g g gY Yt t-1 -1 + + e e e et t 三种模型为：三种模型为：三种模型为：三种模型为：三、三、三、三、Augmented Augmented DickegDickeg-Fuller-Fuller检验检验检验检验 DFDF检验有一个前提条件检验有一个前提条件
50、检验有一个前提条件检验有一个前提条件: : 在检验所设定的模型在检验所设定的模型在检验所设定的模型在检验所设定的模型中，随机扰动项不存在自相关。但大多数经济数据中，随机扰动项不存在自相关。但大多数经济数据中，随机扰动项不存在自相关。但大多数经济数据中，随机扰动项不存在自相关。但大多数经济数据序列不能满足这一假设，当随机扰动项存在自相关序列不能满足这一假设，当随机扰动项存在自相关序列不能满足这一假设，当随机扰动项存在自相关序列不能满足这一假设，当随机扰动项存在自相关时，直接使用时，直接使用时，直接使用时，直接使用DFDF检验会出现偏误。为了保证单位根检验会出现偏误。为了保证单位根检验会出现偏误。
51、为了保证单位根检验会出现偏误。为了保证单位根的检验有效性，人们对的检验有效性，人们对的检验有效性，人们对的检验有效性，人们对DFDF检验进行拓展，从而形成检验进行拓展，从而形成检验进行拓展，从而形成检验进行拓展，从而形成了了了了扩展的扩展的扩展的扩展的DFDF检验检验检验检验，简称为，简称为，简称为，简称为ADFADF检验检验检验检验。 考虑模型：考虑模型：考虑模型：考虑模型： Y Yt t = = g g g g Y Yt t-1 -1 + + e e e et t （1 1）设设设设 e e e et t 存在自相关，且具有存在自相关，且具有存在自相关，且具有存在自相关，且具有 p p 阶
52、自回归形式：阶自回归形式：阶自回归形式：阶自回归形式：e e e et t = = a a a a1 1e e e et t-1-1 + + a a a a2 2e e e et t-2-2 + + + + a a a ak ke e e et-pt-p + +u ut t其中，其中，其中，其中，u ut t 独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为 2 2，且，且，且，且满足古典假定。满足古典假定。满足古典假定。满足古典假定。 由模型（由模型（由模型（由模型（1 1）得：）得：）得：）得： Y Yt-1 t-1 = =
53、g g g g Y Yt t-2 -2 + + e e e et-1t-1 Y Yt t-P-P= = g g g g Y Yt t- -p p-1 -1 + + e e e et-pt-p 从而从而从而从而Y Yt t - - a a a a1 1Y Yt t-1-1 - -a a a a2 2Y Yt t-2-2 - - - -a a a ak kY Yt-pt-p = =即即即即Y Yt t = = g g g g Y Yt-1 t-1 + +a a a a1 1 ( ( Y Yt t-1-1 - - g g g g Y Yt t-2-2 ) + ) + a a a a2 2 ( ( Y
54、 Yt t-2-2 - - g g g g Y Yt t-3-3 ) ) + +a a a aP P ( (Y Yt t- -p p- -g g g g Y Yt t- -p-p-1 1 ) + ) + u ut t + +e e e et t - - a a a a1 1 e e e et t-1-1 - - a a a a2 2e e e et t-3-3 - -a a a aP P e e e et t- -p p g g g g Y Yt t-1-1 - - a a a a1 1g g g g Y Yt t-2-2 - - a a a a2 2g g g g Y Yt t-3-3 -
55、-a a a aP P g g g g Y Yt t- -p-p-1 1 所以为了使单位根检验有更广的实用性，还应所以为了使单位根检验有更广的实用性，还应所以为了使单位根检验有更广的实用性，还应所以为了使单位根检验有更广的实用性，还应考虑在放宽条件下的单位根检验的统计量的分布，考虑在放宽条件下的单位根检验的统计量的分布，考虑在放宽条件下的单位根检验的统计量的分布，考虑在放宽条件下的单位根检验的统计量的分布，将将将将DFDF检验右边扩展为包含检验右边扩展为包含检验右边扩展为包含检验右边扩展为包含Y Yt t 滞后变化量的项。滞后变化量的项。滞后变化量的项。滞后变化量的项。 滞后阶数滞后阶数滞后阶
56、数滞后阶数 p p 如何取才算适宜，要考虑两个方面如何取才算适宜，要考虑两个方面如何取才算适宜，要考虑两个方面如何取才算适宜，要考虑两个方面的因素的因素的因素的因素, , 一是有效校正自相关，二是自由度的损失，一是有效校正自相关，二是自由度的损失，一是有效校正自相关，二是自由度的损失，一是有效校正自相关，二是自由度的损失，一般地一般地一般地一般地 p p=1,2,3=1,2,3或由实验来确定。或由实验来确定。或由实验来确定。或由实验来确定。为了借用为了借用为了借用为了借用DFDF检验的方法，将模型变为如下式：检验的方法，将模型变为如下式：检验的方法，将模型变为如下式：检验的方法，将模型变为如下
57、式：模型模型模型模型I I：模型模型模型模型：模型模型模型模型： 可以证明可以证明可以证明可以证明, , 上述模型中检验原假设的上述模型中检验原假设的上述模型中检验原假设的上述模型中检验原假设的 t t 统计量的统计量的统计量的统计量的极限分布，与极限分布，与极限分布，与极限分布，与DFDF检验的极限分布相同，从而可以使检验的极限分布相同，从而可以使检验的极限分布相同，从而可以使检验的极限分布相同，从而可以使用相同的临界值表，该检验称为用相同的临界值表，该检验称为用相同的临界值表，该检验称为用相同的临界值表，该检验称为ADFADF检验检验检验检验。 协整概念是恩格尔协整概念是恩格尔协整概念是恩
58、格尔协整概念是恩格尔(Engle)(Engle)和葛兰杰和葛兰杰和葛兰杰和葛兰杰(Granger)(Granger)于于于于2020世纪世纪世纪世纪8080年代末提出来的，他们共同获得年代末提出来的，他们共同获得年代末提出来的，他们共同获得年代末提出来的，他们共同获得20032003年年年年诺贝尔经济学奖。协整的基本思想认为，尽管两个诺贝尔经济学奖。协整的基本思想认为，尽管两个诺贝尔经济学奖。协整的基本思想认为，尽管两个诺贝尔经济学奖。协整的基本思想认为，尽管两个或两个以上变量中的每一个变量都是非平稳的，但或两个以上变量中的每一个变量都是非平稳的，但或两个以上变量中的每一个变量都是非平稳的，但
59、或两个以上变量中的每一个变量都是非平稳的，但是它们的线性组合可能是平稳的，这样就使得我们是它们的线性组合可能是平稳的，这样就使得我们是它们的线性组合可能是平稳的，这样就使得我们是它们的线性组合可能是平稳的，这样就使得我们能够在诸如收入与消费、工资与价格，政府支出与能够在诸如收入与消费、工资与价格，政府支出与能够在诸如收入与消费、工资与价格，政府支出与能够在诸如收入与消费、工资与价格，政府支出与税收等非平稳的时间序列中找出它们之间存在的长税收等非平稳的时间序列中找出它们之间存在的长税收等非平稳的时间序列中找出它们之间存在的长税收等非平稳的时间序列中找出它们之间存在的长期均衡关系。期均衡关系。期均
60、衡关系。期均衡关系。 这一理论在国际上得到日益广泛的应用，目前，这一理论在国际上得到日益广泛的应用，目前，这一理论在国际上得到日益广泛的应用，目前，这一理论在国际上得到日益广泛的应用，目前，在利用时间序列资料建立模型时，对协整关系的检在利用时间序列资料建立模型时，对协整关系的检在利用时间序列资料建立模型时，对协整关系的检在利用时间序列资料建立模型时，对协整关系的检验已经成为必不可少一步。验已经成为必不可少一步。验已经成为必不可少一步。验已经成为必不可少一步。 第三节第三节 协整协整一、协整的概念一、协整的概念 通俗地说，协整意味着变量之间存在长期的均衡通俗地说，协整意味着变量之间存在长期的均衡
61、通俗地说，协整意味着变量之间存在长期的均衡通俗地说，协整意味着变量之间存在长期的均衡关系。例如从长期来看，消费与收入之间存在一个关系。例如从长期来看，消费与收入之间存在一个关系。例如从长期来看，消费与收入之间存在一个关系。例如从长期来看，消费与收入之间存在一个均衡比例关系，虽然它们常常偏离这个比例，但这均衡比例关系，虽然它们常常偏离这个比例，但这均衡比例关系，虽然它们常常偏离这个比例，但这均衡比例关系，虽然它们常常偏离这个比例，但这种偏离只是随机的、暂时的，则消费与收入的这种关种偏离只是随机的、暂时的，则消费与收入的这种关种偏离只是随机的、暂时的，则消费与收入的这种关种偏离只是随机的、暂时的，
62、则消费与收入的这种关系就是协整关系。不难知道系就是协整关系。不难知道系就是协整关系。不难知道系就是协整关系。不难知道: : 消费消费消费消费 X Xt t I I(1) (1) ，收入，收入，收入，收入 Y Yt t I I(1) (1) ，则协整关系的实质是它们的线性组合则协整关系的实质是它们的线性组合则协整关系的实质是它们的线性组合则协整关系的实质是它们的线性组合 a a a a1 1 X Xt t + + a a a a2 2Y Yt t I I(0)(0)。一般地，只要若干个服从一般地，只要若干个服从一般地，只要若干个服从一般地，只要若干个服从I I（d d）的序列的线性组合能）的序列
63、的线性组合能）的序列的线性组合能）的序列的线性组合能使单整阶数使单整阶数使单整阶数使单整阶数d d减少，则称这些序列是协整的。减少，则称这些序列是协整的。减少，则称这些序列是协整的。减少，则称这些序列是协整的。定义定义定义定义 设有设有设有设有 k k 个序列个序列个序列个序列 Y Y1t1t, , Y Y2t2t, , , ,Y Yktkt ，用，用，用，用 Y Yt t=(=(Y Y1t1t, , Y Y2t2t, , , ,Y Yktkt) )表示这表示这表示这表示这 k k 个序列构成的个序列构成的个序列构成的个序列构成的 k k 维向量序列。如果：维向量序列。如果：维向量序列。如果：
64、维向量序列。如果： 1 1）每个序列）每个序列）每个序列）每个序列 Y Yit it, ,i i=1,2, =1,2, , ,k k都是都是都是都是 d d 阶单整序列，阶单整序列，阶单整序列，阶单整序列，即即即即Y Yit itI I( (d d) ) 2 2）存在非零向量）存在非零向量）存在非零向量）存在非零向量a a a a = (= (= (= (a a a a1 1 1 1, , , , a a a a2 2 2 2, , , , , , , , a a a ak k ) ) ，使得，使得，使得，使得 a a a a Y Yt t = = = = a a a a1 1 1 1 Y Y
65、1t1t+ + + +a a a a2 2 2 2 Y Y2t2t+ + + + + + a a a ak k Y YktktI I ( (d d- -b b) )其中其中其中其中00b b d d，则称，则称，则称，则称 Y Y1t1t, , Y Y2t2t, , , ,Y Yktkt 是是是是( (d d, , b b) )阶协整阶协整阶协整阶协整的的的的，记为，记为，记为，记为Y Yt t CI CI ( (d d, , b b），而向量），而向量），而向量），而向量a a a a 称为称为称为称为协整向量协整向量协整向量协整向量。 特别地，若特别地，若特别地，若特别地，若d d= =b
66、 b=1=1，则有，则有，则有，则有Y Yit itI I(1)(1) 都是非平稳的都是非平稳的都是非平稳的都是非平稳的一阶单整序列，而一阶单整序列，而一阶单整序列，而一阶单整序列，而 Y Yt t CI CI ( (d d, , b b），表明它们的某种，表明它们的某种，表明它们的某种，表明它们的某种线性组合线性组合线性组合线性组合a a a a Y Yt t I I(0)(0) , , 即它们的线性组合是平稳的。即它们的线性组合是平稳的。即它们的线性组合是平稳的。即它们的线性组合是平稳的。这种这种这种这种(1, 1)(1, 1)阶协整关系在经济计量分析中较为常见。阶协整关系在经济计量分析中
67、较为常见。阶协整关系在经济计量分析中较为常见。阶协整关系在经济计量分析中较为常见。协整的重要意义所在：协整的重要意义所在：协整的重要意义所在：协整的重要意义所在： (1) (1) 如果多个非平稳变量具有协整性，则这些如果多个非平稳变量具有协整性，则这些如果多个非平稳变量具有协整性，则这些如果多个非平稳变量具有协整性，则这些变量可以合成一个平稳序列。这个平稳序列正好说变量可以合成一个平稳序列。这个平稳序列正好说变量可以合成一个平稳序列。这个平稳序列正好说变量可以合成一个平稳序列。这个平稳序列正好说明了原变量之间的均衡关系。明了原变量之间的均衡关系。明了原变量之间的均衡关系。明了原变量之间的均衡关
68、系。 (2) (2) 如果一组非平稳时间序列不存在协整关系，如果一组非平稳时间序列不存在协整关系，如果一组非平稳时间序列不存在协整关系，如果一组非平稳时间序列不存在协整关系，则构造的回归就是伪回归，所以协整性检验是区别则构造的回归就是伪回归，所以协整性检验是区别则构造的回归就是伪回归，所以协整性检验是区别则构造的回归就是伪回归，所以协整性检验是区别真伪回归的有效方法。真伪回归的有效方法。真伪回归的有效方法。真伪回归的有效方法。 (3) (3) 具有协整关系的非平稳变量可以用来建立具有协整关系的非平稳变量可以用来建立具有协整关系的非平稳变量可以用来建立具有协整关系的非平稳变量可以用来建立误差修正
69、模型。误差修正模型。误差修正模型。误差修正模型。 二、协整检验二、协整检验协整检验方法协整检验方法协整检验方法协整检验方法 基于回归残差的协整概念基于回归残差的协整概念基于回归残差的协整概念基于回归残差的协整概念（单一方程检验）（单一方程检验）（单一方程检验）（单一方程检验） 基于回归系数的完全信息协整检验基于回归系数的完全信息协整检验基于回归系数的完全信息协整检验基于回归系数的完全信息协整检验两变量两变量两变量两变量多变量多变量多变量多变量 这里仅介绍单一方程情形中的两变量协整关系的这里仅介绍单一方程情形中的两变量协整关系的这里仅介绍单一方程情形中的两变量协整关系的这里仅介绍单一方程情形中的
70、两变量协整关系的EGEG两步法检验两步法检验两步法检验两步法检验（恩格尔（恩格尔（恩格尔（恩格尔- -格兰杰），它简便常用。格兰杰），它简便常用。格兰杰），它简便常用。格兰杰），它简便常用。EGEG两步法两步法两步法两步法步骤如下：步骤如下：步骤如下：步骤如下： （1 1）若）若）若）若 X Xt t 和和和和 Y Yt t 是一阶单整的，用是一阶单整的，用是一阶单整的，用是一阶单整的，用OLSOLS法对回归法对回归法对回归法对回归方程（也称方程（也称方程（也称方程（也称协整回归方程协整回归方程协整回归方程协整回归方程）: : Y Yt t = = a a a a + + b b b b X
71、Xt t + + u ut t进行估计，得到残差序列进行估计，得到残差序列进行估计，得到残差序列进行估计，得到残差序列 （2 2）检验）检验）检验）检验 e et t 的平稳性。若的平稳性。若的平稳性。若的平稳性。若 e et t 是平稳的，则是平稳的，则是平稳的，则是平稳的，则 X Xt t 与与与与Y Yt t 是协整的，反之，则不是协整的。是协整的，反之，则不是协整的。是协整的，反之，则不是协整的。是协整的，反之，则不是协整的。用协整回归所得的残差构造用协整回归所得的残差构造用协整回归所得的残差构造用协整回归所得的残差构造DWDW统计量统计量统计量统计量 检验检验检验检验 e et t
72、的平稳性，可用两种方法的平稳性，可用两种方法的平稳性，可用两种方法的平稳性，可用两种方法: : （1 1）用）用）用）用DFDF检验或检验或检验或检验或ADFADF检验，注意其使用的临检验，注意其使用的临检验，注意其使用的临检验，注意其使用的临界值应该用界值应该用界值应该用界值应该用Engle-GrangerEngle-Granger编制的专用临界值表。编制的专用临界值表。编制的专用临界值表。编制的专用临界值表。 （2 2）用）用）用）用DWDW检验，步骤是：检验，步骤是：检验，步骤是：检验，步骤是： 若若若若 e et t 的是随机游走，则的是随机游走，则的是随机游走，则的是随机游走，则e
73、et t e et- t-1 1的数学期望为的数学期望为的数学期望为的数学期望为0 0，故故故故DWDW值也应接近于值也应接近于值也应接近于值也应接近于0 0，因此，只需检验，因此，只需检验，因此，只需检验，因此，只需检验HH0 0：DW=0DW=0是否成立。若是否成立。若是否成立。若是否成立。若HH0 0为真，则为真，则为真，则为真，则 e et t 非平稳。非平稳。非平稳。非平稳。检验检验检验检验DW=0DW=0的临界值的临界值的临界值的临界值 显著性水平显著性水平显著性水平显著性水平%DWDW临界值临界值临界值临界值1 10.5110.5115 50.3860.38610100.3220
74、.322SarganSargan和和和和Bhargava(1983Bhargava(1983年年年年) )最早编制了用于检验最早编制了用于检验最早编制了用于检验最早编制了用于检验协整的协整的协整的协整的DWDW临界值表。例如下表是样本容量为临界值表。例如下表是样本容量为临界值表。例如下表是样本容量为临界值表。例如下表是样本容量为100100时的临界值。时的临界值。时的临界值。时的临界值。三、误差修正模型三、误差修正模型 若变量间存在协整关系时，即表明这些变量间若变量间存在协整关系时，即表明这些变量间若变量间存在协整关系时，即表明这些变量间若变量间存在协整关系时，即表明这些变量间存在着长期稳定的
75、关系，在经济学中，称为存在着长期稳定的关系，在经济学中，称为存在着长期稳定的关系，在经济学中，称为存在着长期稳定的关系，在经济学中，称为均衡关均衡关均衡关均衡关系系系系，但并不表明它们在短期内不偏离这种均衡关系。，但并不表明它们在短期内不偏离这种均衡关系。，但并不表明它们在短期内不偏离这种均衡关系。，但并不表明它们在短期内不偏离这种均衡关系。但它们如何在长期过程中不会偏离太远，而保持这但它们如何在长期过程中不会偏离太远，而保持这但它们如何在长期过程中不会偏离太远，而保持这但它们如何在长期过程中不会偏离太远，而保持这种稳定关系的呢？显然这种稳定关系只有在短期动种稳定关系的呢？显然这种稳定关系只有
76、在短期动种稳定关系的呢？显然这种稳定关系只有在短期动种稳定关系的呢？显然这种稳定关系只有在短期动态过程中不断调整才能得以维持，这说明这些变量态过程中不断调整才能得以维持，这说明这些变量态过程中不断调整才能得以维持，这说明这些变量态过程中不断调整才能得以维持，这说明这些变量之间内部有一种调节机制之间内部有一种调节机制之间内部有一种调节机制之间内部有一种调节机制误差修正机制在起作用，误差修正机制在起作用，误差修正机制在起作用，误差修正机制在起作用，以防止长期均衡关系出现较长偏差。以防止长期均衡关系出现较长偏差。以防止长期均衡关系出现较长偏差。以防止长期均衡关系出现较长偏差。 误差修正模型误差修正模
77、型误差修正模型误差修正模型(Error Correction Model, ECM)(Error Correction Model, ECM)正是用来揭示长期均衡关系中的短期波动的规律，正是用来揭示长期均衡关系中的短期波动的规律，正是用来揭示长期均衡关系中的短期波动的规律，正是用来揭示长期均衡关系中的短期波动的规律，它是协整关系模型的一个补充。它是协整关系模型的一个补充。它是协整关系模型的一个补充。它是协整关系模型的一个补充。 由于我们所讨论的经济时间序列大都是由于我们所讨论的经济时间序列大都是由于我们所讨论的经济时间序列大都是由于我们所讨论的经济时间序列大都是 I I (1) (1)，即一阶
78、差分是平稳的，当这些时间序列具有协整关即一阶差分是平稳的，当这些时间序列具有协整关即一阶差分是平稳的，当这些时间序列具有协整关即一阶差分是平稳的，当这些时间序列具有协整关系时，可将误差修正模型设为：系时，可将误差修正模型设为：系时，可将误差修正模型设为：系时，可将误差修正模型设为： Y Yt t = = a a a a + + b b b b X Xt t + + g g g g e et- t-1 1 + + e e e et t这里这里这里这里 e et- t-1 1为协整回归模型长期均衡关系模型中的残差为协整回归模型长期均衡关系模型中的残差为协整回归模型长期均衡关系模型中的残差为协整回归
79、模型长期均衡关系模型中的残差的滞后一期值，表示上一期的偏离，在本期得到修正。的滞后一期值，表示上一期的偏离，在本期得到修正。的滞后一期值，表示上一期的偏离，在本期得到修正。的滞后一期值，表示上一期的偏离，在本期得到修正。 具协整关系变量的计量经济模型一般采用两具协整关系变量的计量经济模型一般采用两具协整关系变量的计量经济模型一般采用两具协整关系变量的计量经济模型一般采用两步，分别建立区分数据长期特征和短期待征的计步，分别建立区分数据长期特征和短期待征的计步，分别建立区分数据长期特征和短期待征的计步，分别建立区分数据长期特征和短期待征的计量经济学模型。量经济学模型。量经济学模型。量经济学模型。第
80、一步第一步第一步第一步 建立长期关系模型建立长期关系模型建立长期关系模型建立长期关系模型。即通过水平变量和。即通过水平变量和。即通过水平变量和。即通过水平变量和OLSOLS法估计出时间序列变量间的关系。若估计结法估计出时间序列变量间的关系。若估计结法估计出时间序列变量间的关系。若估计结法估计出时间序列变量间的关系。若估计结果形成平稳的残差序列时，那么这些变量间就存果形成平稳的残差序列时，那么这些变量间就存果形成平稳的残差序列时，那么这些变量间就存果形成平稳的残差序列时，那么这些变量间就存在相互协整的关系长期关系模型的变量选择是在相互协整的关系长期关系模型的变量选择是在相互协整的关系长期关系模型
81、的变量选择是在相互协整的关系长期关系模型的变量选择是合理的，回归系数具有经济意义。合理的，回归系数具有经济意义。合理的，回归系数具有经济意义。合理的，回归系数具有经济意义。 第二步第二步第二步第二步 建立误差修正模型建立误差修正模型建立误差修正模型建立误差修正模型。将长期关系模型各将长期关系模型各将长期关系模型各将长期关系模型各个变量以一阶差分形式重新构造，并将第一步中个变量以一阶差分形式重新构造，并将第一步中个变量以一阶差分形式重新构造，并将第一步中个变量以一阶差分形式重新构造，并将第一步中的残差引入。在一个从一般到特殊的检验过程中，的残差引入。在一个从一般到特殊的检验过程中，的残差引入。在
82、一个从一般到特殊的检验过程中，的残差引入。在一个从一般到特殊的检验过程中，对短期动态关系进行逐项检验，剔除不显著项，对短期动态关系进行逐项检验，剔除不显著项，对短期动态关系进行逐项检验，剔除不显著项，对短期动态关系进行逐项检验，剔除不显著项，直到得到最适当的模型形式。直到得到最适当的模型形式。直到得到最适当的模型形式。直到得到最适当的模型形式。例例例例1 1 1 1 利用表一资料，检验利用表一资料，检验利用表一资料，检验利用表一资料，检验GDPGDP序列是否平稳。序列是否平稳。序列是否平稳。序列是否平稳。表一表一表一表一 1978-20031978-20031978-20031978-2003
83、年年年年中国中国中国中国GDPGDP资料资料资料资料( (单位单位单位单位: :亿亿亿亿元元元元) )年度GDP年度GDP年度GDP19783624.1198711962.5199667884.619794038.2198814928.3199774462.619804517.8198916909.2199879395.719814862.4199018547.9199982067.519825294.7199121617.8200089468.119835934.5199226638.1200197314.819847171199334634.42002105172.319858964.41
84、99446759.42003116898.4198610202.2199558478.1一、一、一、一、D Dickey-Fullerickey-Fuller检验检验检验检验或双击或双击或双击或双击GDPGDP序列，在其左上角点击：序列，在其左上角点击：序列，在其左上角点击：序列，在其左上角点击：View/Unit Root TestView/Unit Root TestView/Unit Root TestView/Unit Root Test1 1 1 1、点击：、点击：、点击：、点击：Quick/Series Statistics/Unit Root TestQuick/Series S
85、tatistics/Unit Root TestQuick/Series Statistics/Unit Root TestQuick/Series Statistics/Unit Root Test出现对话框填入出现对话框填入出现对话框填入出现对话框填入GDPGDP序列名序列名序列名序列名2 2 2 2、出现菜单界、出现菜单界、出现菜单界、出现菜单界 面进行选择面进行选择面进行选择面进行选择3 3 3 3、点击、点击、点击、点击“OK”OK”OK”OK”4 4 4 4、检验：、检验：、检验：、检验：接受接受接受接受H H H H0 0 0 0二、二、二、二、Augmented DAugmen
86、ted Dickey-Fullerickey-Fuller检验检验检验检验1 1 1 1、点击：、点击：、点击：、点击：Quick/Series Statistics/Unit Root TestQuick/Series Statistics/Unit Root TestQuick/Series Statistics/Unit Root TestQuick/Series Statistics/Unit Root Test出现对话框填入出现对话框填入出现对话框填入出现对话框填入GDPGDPGDPGDP序列名序列名序列名序列名或双击或双击或双击或双击GDPGDP序列，在其左上角点击：序列，在其左上
87、角点击：序列，在其左上角点击：序列，在其左上角点击：View/Unit Root TestView/Unit Root TestView/Unit Root TestView/Unit Root Test2 2 2 2、出现菜单界、出现菜单界、出现菜单界、出现菜单界 面进行选择面进行选择面进行选择面进行选择3 3 3 3、点击、点击、点击、点击“OK”OK”OK”OK”4 4 4 4、检验：、检验：、检验：、检验：接受接受接受接受H H H H0 0 0 0例例例例2 2 2 2 为了深入分析研究中国城镇居民的生活费支出与为了深入分析研究中国城镇居民的生活费支出与为了深入分析研究中国城镇居民的
88、生活费支出与为了深入分析研究中国城镇居民的生活费支出与 可支配收入的具体数量关系，收集了中国城镇居可支配收入的具体数量关系，收集了中国城镇居可支配收入的具体数量关系，收集了中国城镇居可支配收入的具体数量关系，收集了中国城镇居 民月人均可支配收入（民月人均可支配收入（民月人均可支配收入（民月人均可支配收入（SRSRSRSR）和生活费支出（）和生活费支出（）和生活费支出（）和生活费支出（ZCZCZCZC） 1992-1998 1992-1998 1992-1998 1992-1998 年各月度数据序列（年各月度数据序列（年各月度数据序列（年各月度数据序列（P278P278P278P278）。）。）
89、。）。 由于所用数据为时间序列数据，需要检验其由于所用数据为时间序列数据，需要检验其由于所用数据为时间序列数据，需要检验其由于所用数据为时间序列数据，需要检验其平稳性及它们之间是否存在协整关系。平稳性及它们之间是否存在协整关系。平稳性及它们之间是否存在协整关系。平稳性及它们之间是否存在协整关系。一、用一、用一、用一、用Augmented DAugmented Dickey-Fullerickey-Fuller检验平稳性检验平稳性检验平稳性检验平稳性1 1 1 1、点击：、点击：、点击：、点击：Quick/Series Statistics/Unit Root TestQuick/Series
90、Statistics/Unit Root TestQuick/Series Statistics/Unit Root TestQuick/Series Statistics/Unit Root Test出现对话框分别填入出现对话框分别填入出现对话框分别填入出现对话框分别填入SRSRSRSR、ZCZCZCZC序列名序列名序列名序列名或分别双击或分别双击或分别双击或分别双击SRSRSRSR、ZCZCZCZC序列，在其左上角点击：序列，在其左上角点击：序列，在其左上角点击：序列，在其左上角点击：View/Unit Root TestView/Unit Root TestView/Unit Root
91、TestView/Unit Root Test2、出现菜单界面进行选择3 3 3 3、点击、点击、点击、点击“OK”OK”OK”OK”，分别得到检验结果：，分别得到检验结果：，分别得到检验结果：，分别得到检验结果：说明SR和ZC都存在单位根，是非平稳序列。4 4 4 4、为了判断序列、为了判断序列、为了判断序列、为了判断序列SRSRSRSR和和和和ZCZCZCZC的单整阶数，再对其差分作单位根检验的单整阶数，再对其差分作单位根检验的单整阶数，再对其差分作单位根检验的单整阶数，再对其差分作单位根检验在菜单界面进行如下选择：在菜单界面进行如下选择：在菜单界面进行如下选择：在菜单界面进行如下选择：5
92、、点击“OK”，分别得到检验结果：结果表明结果表明结果表明结果表明SRSRSRSR和和和和ZCZCZCZC的差分序列不存在单位根，是平稳序列。所以的差分序列不存在单位根，是平稳序列。所以的差分序列不存在单位根，是平稳序列。所以的差分序列不存在单位根，是平稳序列。所以SRSRSRSR和和和和ZCZCZCZC都是一阶单整的。都是一阶单整的。都是一阶单整的。都是一阶单整的。二、用二、用二、用二、用EGEG两步法两步法两步法两步法检验协整性检验协整性检验协整性检验协整性1 1 1 1、在命令窗口键入：、在命令窗口键入：、在命令窗口键入：、在命令窗口键入： LS ZC C SRLS ZC C SRLS
93、ZC C SRLS ZC C SR生成残差序列生成残差序列生成残差序列生成残差序列： GENR E=RESIDGENR E=RESIDGENR E=RESIDGENR E=RESID 因为因为因为因为n n8484，k k1 1，取显著性水平，取显著性水平，取显著性水平，取显著性水平a a a a0.050.05时，查表得时，查表得时，查表得时，查表得d dL L1.6241.624， d dU U1.6711.671，而而而而01.60906201.609062DWDWd dL L，所以，所以，所以，所以对残差作自相关对残差作自相关对残差作自相关对残差作自相关DWDWDWDW检验检验检验检验
94、存在（正）自相关。用广义差分法对自相关作修正：用广义差分法对自相关作修正：用广义差分法对自相关作修正：用广义差分法对自相关作修正：LS ZCLS ZCLS ZCLS ZC C SR AR(1) C SR AR(1) C SR AR(1) C SR AR(1) 下图表明，估计过程经过下图表明，估计过程经过下图表明，估计过程经过下图表明，估计过程经过5 5 5 5次迭代后收敛次迭代后收敛次迭代后收敛次迭代后收敛. . . .调整后的模型调整后的模型调整后的模型调整后的模型 DWDW1.9755581.975558， n n8383，k k1 1，取显著性水平取显著性水平取显著性水平取显著性水平a
95、a a a0.050.05，查表得，查表得，查表得，查表得 d dL L1.6241.624，d dU U1.6711.671，而而而而 d dU U1.9755581.975558DW4DW4d dU U，已不存在自相关性。，已不存在自相关性。，已不存在自相关性。，已不存在自相关性。说明残差序列存在一阶自相关，即说明残差序列存在一阶自相关，即说明残差序列存在一阶自相关，即说明残差序列存在一阶自相关，即e et t= =r r r re et t-1 -1+ +e e e et t。2 2 2 2、对残差序列作单位根检验、对残差序列作单位根检验、对残差序列作单位根检验、对残差序列作单位根检验：
96、残差序列存在一阶自相关，即残差序列存在一阶自相关，即残差序列存在一阶自相关，即残差序列存在一阶自相关，即e et t= =r r r re et t-1 -1+ +e e e et t。结果表明残差序列不存结果表明残差序列不存结果表明残差序列不存结果表明残差序列不存在单位根，是平稳序列。在单位根，是平稳序列。在单位根，是平稳序列。在单位根，是平稳序列。所以所以所以所以SRSRSRSR和和和和ZCZCZCZC之间存在协之间存在协之间存在协之间存在协整关系。整关系。整关系。整关系。三、建立误差修正模型三、建立误差修正模型三、建立误差修正模型三、建立误差修正模型1 1 1 1、生成、生成、生成、生成
97、ZCZCZCZC和和和和SRSRSRSR的差分序列的差分序列的差分序列的差分序列：GENR DZC=ZC-ZCGENR DZC=ZC-ZCGENR DZC=ZC-ZCGENR DZC=ZC-ZC（-1-1-1-1）GENR DSR=SR-SRGENR DSR=SR-SRGENR DSR=SR-SRGENR DSR=SR-SR（-1-1-1-1）2 2 2 2、在命令窗口键入：、在命令窗口键入：、在命令窗口键入：、在命令窗口键入： LS DZC C DSR ELS DZC C DSR ELS DZC C DSR ELS DZC C DSR E（-1-1-1-1）得到误差修正模型为得到误差修正模型
98、为得到误差修正模型为得到误差修正模型为 上述结果表明，城镇居民月人均生活费支出的变化不仅取上述结果表明，城镇居民月人均生活费支出的变化不仅取上述结果表明，城镇居民月人均生活费支出的变化不仅取上述结果表明，城镇居民月人均生活费支出的变化不仅取决于可支配收入的变化，还取决于上一期生活费支出对均衡水决于可支配收入的变化，还取决于上一期生活费支出对均衡水决于可支配收入的变化，还取决于上一期生活费支出对均衡水决于可支配收入的变化，还取决于上一期生活费支出对均衡水平的偏离，误差项的系数平的偏离，误差项的系数平的偏离，误差项的系数平的偏离，误差项的系数-0.660509 -0.660509 -0.66050
99、9 -0.660509 体现了对偏离的修正，上体现了对偏离的修正，上体现了对偏离的修正，上体现了对偏离的修正，上一期偏离越远，本期修正的量越大，即系统存在误差修正机制一期偏离越远，本期修正的量越大，即系统存在误差修正机制一期偏离越远，本期修正的量越大，即系统存在误差修正机制一期偏离越远，本期修正的量越大，即系统存在误差修正机制。第十章第十章 小结小结 1.1.1.1.大多数经济时间序列是非平稳的。如果直接大多数经济时间序列是非平稳的。如果直接大多数经济时间序列是非平稳的。如果直接大多数经济时间序列是非平稳的。如果直接将时间序列作回归分析，则可能造成将时间序列作回归分析，则可能造成将时间序列作回
100、归分析，则可能造成将时间序列作回归分析，则可能造成“伪回伪回伪回伪回归归归归” ，造成，造成，造成，造成“伪回归伪回归伪回归伪回归”的根本原因在于时间的根本原因在于时间的根本原因在于时间的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。序列变量的非平稳性。序列变量的非平稳性。序列变量的非平稳性。 2.2.2.2.时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。严格平律不会随着时间的推移而发生变化。严格平律不会随着时间的推移而发生变化。严格平律不会随着时间的推移而发生变化。
101、严格平稳是指随机过程的联合分布函数与时间的位稳是指随机过程的联合分布函数与时间的位稳是指随机过程的联合分布函数与时间的位稳是指随机过程的联合分布函数与时间的位移无关。弱平稳是指随机过程的一阶矩和二移无关。弱平稳是指随机过程的一阶矩和二移无关。弱平稳是指随机过程的一阶矩和二移无关。弱平稳是指随机过程的一阶矩和二阶矩不随时间推移而变化。阶矩不随时间推移而变化。阶矩不随时间推移而变化。阶矩不随时间推移而变化。3.3.3.3.单位根过程是最常见的非平稳过程。如果非单位根过程是最常见的非平稳过程。如果非单位根过程是最常见的非平稳过程。如果非单位根过程是最常见的非平稳过程。如果非 平稳序列经过平稳序列经过
102、平稳序列经过平稳序列经过 d d 次差分后平稳，而次差分后平稳，而次差分后平稳，而次差分后平稳，而d d -1-1次差次差次差次差 分却不平稳，那么称为分却不平稳，那么称为分却不平稳，那么称为分却不平稳，那么称为 d d 阶单整序列，称阶单整序列，称阶单整序列，称阶单整序列，称d d 为整形阶数。为整形阶数。为整形阶数。为整形阶数。4.4.4.4.时间序列平稳性的检验方法主要有两类：自时间序列平稳性的检验方法主要有两类：自时间序列平稳性的检验方法主要有两类：自时间序列平稳性的检验方法主要有两类：自 相关函数检验法和单位根检验法。本书只介相关函数检验法和单位根检验法。本书只介相关函数检验法和单位
103、根检验法。本书只介相关函数检验法和单位根检验法。本书只介 绍最常用的单位根检验法绍最常用的单位根检验法绍最常用的单位根检验法绍最常用的单位根检验法DFDF检验法和检验法和检验法和检验法和ADFADF 检验法。检验法。检验法。检验法。5.5.5.5.协整是指多个非平稳经济变量的某种线性组合协整是指多个非平稳经济变量的某种线性组合协整是指多个非平稳经济变量的某种线性组合协整是指多个非平稳经济变量的某种线性组合 是平稳的。协整分析对于检验变量之间的长期是平稳的。协整分析对于检验变量之间的长期是平稳的。协整分析对于检验变量之间的长期是平稳的。协整分析对于检验变量之间的长期 均衡关系非常重要，而且也是区
104、别真实回归与均衡关系非常重要，而且也是区别真实回归与均衡关系非常重要，而且也是区别真实回归与均衡关系非常重要，而且也是区别真实回归与 伪回归的有效方法。伪回归的有效方法。伪回归的有效方法。伪回归的有效方法。6.6.6.6.任何一组相互协整的时间序列变量都存在误差任何一组相互协整的时间序列变量都存在误差任何一组相互协整的时间序列变量都存在误差任何一组相互协整的时间序列变量都存在误差 修正机制。误差修正模型把长期关系和短期动修正机制。误差修正模型把长期关系和短期动修正机制。误差修正模型把长期关系和短期动修正机制。误差修正模型把长期关系和短期动 态特征结合在一个模型中，既可以克服传统计态特征结合在一
105、个模型中，既可以克服传统计态特征结合在一个模型中，既可以克服传统计态特征结合在一个模型中，既可以克服传统计 量经济模型忽视伪回归的问题，又可以克服建量经济模型忽视伪回归的问题，又可以克服建量经济模型忽视伪回归的问题，又可以克服建量经济模型忽视伪回归的问题，又可以克服建 立差分模型忽视水平变量信息的弱点立差分模型忽视水平变量信息的弱点立差分模型忽视水平变量信息的弱点立差分模型忽视水平变量信息的弱点作 业1 1、设、设、设、设其中其中其中其中x x x x, , , , h h h h是相互独立的、服从正态分布是相互独立的、服从正态分布是相互独立的、服从正态分布是相互独立的、服从正态分布N(0, N(0, s s s s2 2 2 2) )的随机变量，的随机变量，的随机变量，的随机变量，q q q q 是实数。证明是实数。证明是实数。证明是实数。证明 Y Yt t 是平稳过程。是平稳过程。是平稳过程。是平稳过程。 2 2、有如下、有如下、有如下、有如下ARAR（2 2）过程：过程：过程：过程： Y Yt t= 0.1= 0.1Y Yt-1 t-1 + 0.06+ 0.06Y Yt -2t -2+ + e et t该过程该过程该过程该过程是否为是否为是否为是否为平稳过程？平稳过程？平稳过程？平稳过程？
