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1、四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六六章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线与直线与直线及及 x 轴所围曲轴所围曲则则边梯形面积为边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为右下图所示图形面积为 例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围在第一象限所围所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 由由得交点得交点P274-1例例2. 计算抛物线计算抛物线
2、与直线与直线的面积的面积 . 解解: 由由得交点得交点所围图形所围图形为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有P275-2例例3. 求椭圆求椭圆解解: 利用对称性利用对称性 , 所围图形的面积所围图形的面积 . 有有利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得应用定积分换元法得当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式P276-3一般地一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时给出时, 按按顺时针方向顺时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积则曲边梯形面积例例4. 求由摆线求由摆线的一拱与的一拱与
3、 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .解解:2. 极坐标情形极坐标情形求由曲线求由曲线及及围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .在区间在区间上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为对应对应 从从 0 变变例例5. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到到 2 所围图形面积所围图形面积 . P277-4例例6. 计算心形线计算心形线所围图形的所围图形的面积面积 . 解解:(利用对称性利用对称性)P277-5例例7. 计算心
4、形线计算心形线与圆与圆所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 , 所求面积所求面积例例8. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,则所求面积为则所求面积为思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积所围公共部分的面积 .答案答案:二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,当折线段的最大当折线段的最大边长边长 0 时时, 折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧此极限为曲线弧 AB 的弧长的弧长 ,
5、即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.( (证明略证明略) )则称则称(1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :因此所求弧长因此所求弧长(P170)(2) 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :因此所求弧长因此所求弧长(3) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长因此所求弧长则得则得弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :(自己验证自己验证)例例9. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量
6、由于其本身的重量,成悬链线成悬链线 .求这一段弧长求这一段弧长 . 解解:下垂下垂悬链线悬链线方程为方程为例例10. 求连续曲线段求连续曲线段解解:的弧长的弧长.例例11. 计算摆线计算摆线一拱一拱的弧长的弧长 .解解:P283-13例例12. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于相应于 0 2 一段的弧长一段的弧长 . 解解:(P349 公式公式39)P284-13三、已知平行截面面积函数的立体体积三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间则对应于小区间的体积元素为的体积元素为因此所求立体体积为因此所求立体体积为
7、上连续上连续,特别特别 , 当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段轴轴旋转旋转一周围成的一周围成的立体体积立体体积时时, 有有当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有例例13. 计算由椭圆计算由椭圆所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转而轴旋转而转而成的椭球体的体积转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程利用直角坐标方程则则(利用对称性利用对称性)P279-7方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程则则特别当特别当b = a 时时, 就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积例例14. 计算摆线计算摆线的一拱与的一拱
8、与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴 , y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性P280-8绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限 !计算过程计算过程柱壳体积柱壳体积说明说明: 柱面面积柱面面积偶函数奇奇函数例例15. 一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 ,并并与底面交成与底面交成 角角,解解: 如图所示取坐标系如图所示取坐标系, 则圆的方程为则圆的方程为垂直于垂直于x 轴轴 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面积为其面积为利用对称性利用对称性计算该平
9、面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .P281-9思考思考: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积 ?提示提示:xx例例16. 求曲线求曲线与与 x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积.解解: 利用对称性利用对称性 ,故旋转体体积为故旋转体体积为在第一象限在第一象限 四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 (补充补充)设平面光滑曲线设平面光滑曲线求求积分后得旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的
10、旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取取侧面积元素侧面积元素:侧面积元素侧面积元素的线性主部的线性主部 .若光滑曲线由参数方程若光滑曲线由参数方程给出给出, 则它绕则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积不是薄片侧面积S 的的 注意注意:侧面积为侧面积为例例19. 计算圆计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧对曲线弧应用公式得应用公式得当球台高当球台高 h2R 时时, 得球的表面积公式得球的表面积公式例例20. 求由星形线求由星形线一周所得的旋转体的表面积一周所得的旋转体的表面积 S .解解:
11、利用对称性利用对称性绕绕 x 轴旋转轴旋转 内容小结1. 平面图形的面积平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小3. 已知平行截面面面积函数的立体体积已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)绕 y 轴 :思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量 ,
12、则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆绕 x 轴上上半圆为下下求体积 :提示提示:解解: 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .求侧面积求侧面积 :利用对称性上式也可写成上上半圆为下下它也反映了环面微元的另一种取法. 作业作业 P279 2 , (3) ; 4; 5 (3) ; 8 (2) ; 10; 22; 27面积及弧长部分面积及弧长部分： 体积及表面积部分：体积及表面积部分：P279 13; 15 , (4); 17; 18备用题备用题解：解：1. 求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.又故在区域分析曲线特点2. 解解:与 x 轴所围面积由图形的对称性 ,也合于所求. 为何值才能使与 x 轴围成的面积等故3. 求曲线图形的公共部分的面积 .解解：与所围成得所围区域的面积为设平面图形设平面图形 A 由由与与所确定所确定 , 求求图形图形 A 绕直线绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 . 提示提示： 选选 x 为积分变量为积分变量.旋转体的体积为旋转体的体积为4.若选若选 y 为积分变量为积分变量, 则则
