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1、定积分的概念定积分的概念一、引入定积分概念的实例一、引入定积分概念的实例二、定积分二、定积分的概念的概念三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四四、定积分的性质定积分的性质一、引入定积分概念的实例引例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称为底边.问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.求曲边梯形的面积A的具体做法：(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲边梯形
2、分割成n个小曲边梯形.记每一个小区间 的长度为 把区间a,b分成n个小区间 我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变力作功的问题.引例2 变力做功计算步骤(1)分割 以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.二、定积分的概念定义定积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间. 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的
3、定积分，即 质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即 如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积. 关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有(2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定：定积分的几何意义： 如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积. 如果在a,b上 ，此时由曲线y=
4、f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数. 如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.三、定积分的几何意义四、定积分的性质性质1证明设下面函数f(x)， fi (x)， g(x)在a,b上可积. 推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即性质2证明 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b，则性质3 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分. 当c在区间a,b 之外
5、时，上面表达式也成立.利用定积分的几何意义，可分别求出例1解性质4性质5推论1性质6 (估值定理)证明 曲边梯形的面积小于由y=M，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积，而大于由y=m，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积.性质6的几何意义：例2解性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使下式成立证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有 即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.性质7的几何意义： 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值. 如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t), t为时间，则 表示该地、该日的平均气温. 如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流 在该截面处的平均水深为 .
