2023年初中数学知识点中考总复习总结归纳人教版

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1、2 0 2 3年初中数学知识点中考总复习总结归纳第一章有理数考 点 一 、实数的概念及分类 （ 3分 ）1、实数的分类正有理数Y有理数匚零 负有理数有限小数和无限循环小数二无理数无理无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要 抓 住 “ 无限不循环”这一时之， 归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数， 如 将 ， 板等；（ 2 ）有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后具有兀的数， 如 三 + 8等;3（3 ）有特定结构的数， 如0.等 ；（ 4 ）某些三角函数，如s i n 6 0。 等第二章整式的加减考 点 一 、整式的有关概念 （3分）1、代数式用 运 算 符 号 把 数 或 表 达

2、数 的 字 母 连 接 而 成 的 式 子 叫 做 代 数 式 。单 独 的 一 个 数 或 一 个 字 母 也 是 代 数式 。2、单项式只具有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意: 单项式是由系数、字 母 、字母的指数构成的, 其中系数不能用带分数表达， 如-4，/ 这 种 表 达3就 是 错 误 的 ， 应 写 成 -上1 3 /人,。一 个 单 项 式 中 ，所 有 字 母 的 指 数 的 和 叫 做 这 个 单 项 式 的 次 数 。 如3 5 a % 2 c是6次单项式。考 点 二 、多项式 （ 1 1分 ）1 、多项式几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式和多项式统称整式。用数值代替代数式中的字母， 按照代数式指明的运算, 计算出结果，叫做代数式的值。注意：（1 ） 求代数式的值， 一般是先将代数式化简, 然后再将字母的取值代入。（ 2 ） 求代数式的值，有时求不出其字母的值, 需要运用技巧， “ 整体”代入。2、同类项所有字母相同， 并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3 、去括号法则（ 1 ）括号前是“ + ”， 把括号和它前面的“ + ”号一起去掉， 括号里各项都不变号。（ 2 ）括号前是“-”，把括号和它前面的“-”号一

4、起去掉，括号里各项都变号。4 、整式的运算法则整式的加减法：（ 1 ）去括号; （ 2 ） 合并同类项。第三章一元一次方程考点一、一元一次方程的概念 （ 6 分）1 、方程具有未知数的等式叫做方程。2 、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3 、等式的性质（1 ）等式的两边都加上（ 或减去） 同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（ 2 ） 等式的两边都乘以（ 或除以）同一个数（ 除数不能是零）， 所得结果仍是等式。4 、一元一次方程只具有一个未知数，并 且 未 知 数 的 最 高 次 数 是 1的整式方程叫做一 元 一 次方程， 其中方程Q C + O = O （ X为 未

5、知 数 ，a 7 0） 叫做一元一次方程的标准形式, a 是未知数X 的系数，b 是常数项。第四章 图形的初步结识考点一、直线、射线和线段 (3分)I、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，涉及立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形: 有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体( 1 ) 几何图形的组成点：线和线相交的地方是点， 它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线， 分为直线和曲线。面: 包围着体的是面， 分为平面和曲面。体：几何体也简称体。(2 )点动成线，线动成面， 面动成体。3、直线的概

6、念一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的, 并且是向两方无限延伸的。4、射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。5、线段的概念直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。6、点、直线、射线和线段的表达在几何里， 我们常用字母表达图形。一个点可以用一个大写字母表达。一条直线可以用一个小写字母表达。一条射线可以用端点和射线上另一点来表达。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表达。注意：(1)表达点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。( 2 ) 直线和射线无长度，线段有长度。( 3 ) 直线无端点，射线有一个端点， 线

7、段有两个端点。(4 ) 点和直线的位置关系有线面两种：点在直线上，或者说直线通过这个点。点在直线外， 或者说直线不通过这个点。7、直线的性质(1 ) 直线公理: 通过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简朴地说成：过两点有且只有一条直线。(2 ) 过- - 点的直线有无数条。( 3 ) 直线是是向两方面无限延伸的，无端点， 不可度量， 不能比较大小。(4 ) 直线上有无穷多个点。( 5 ) 两条不同的直线至多有一个公共点。8 、线段的性质(1 ) 线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简朴说成：两点之间线段最短。(2 ) 连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。(3 ) 线段的中点

8、到两端点的距离相等。( 4 ) 线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。9 、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理: 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。考点二、角(3 分)1、角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角， 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条直线上时， 组成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。假如两个角的和是一个直角， 那么这两

9、个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。假如两个角的和是一个平角， 那么这两个角叫做互为补角, 其中一个角叫做另一个角的补角。2 、角的表达角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表达， 具体的有一下四种表达方法：用数字表达单独的角， 如N 1 , Z 2 , N3等。用小写的希腊字母表达单独的一个角，如N a , 等。用一个大写英文字母表达一个独立(在一个顶点处只有一个角) 的角， 如N B , NC等。用三个大写英文字母表达任一个角， 如 / B A D , Z B A E , N C AE等。注意：用三个大写英文字母表达角时， 一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧

10、。3 、角的度量角的度量有如下规定: 把一个平角1 8 0 等分，每一份就是1 度的角，单位是度，用 “ 。”表达， 1 度记 作 “ 1 ”， n 度记作“ n ”。把 1 的角6 0 等分， 每一份叫做1 分的角，1 分记作 1 。把 的角6 0 等分，每一份叫做1 秒的角, 1 秒记作“ 1 ” ”。10 = 6 0 = 6 0 ”4 、角的性质(1 ) 角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。(2 ) 角的大小可以度量， 可以比较(3 ) 角可以参与运算。5、角的平分线及其性质一条射线把一个角提成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理

11、：(1 ) 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。( 2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。第五章相交线与平行线考点三、相交线(3 分)1 、相交线中的角两条直线相交， 可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。临补角互补，对顶角相等。直线AB , C D 与 EF相交（ 或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF 所截） ，构成八个角。其中N 1 与N 5 这两个角分别在A B,C D 的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角; /

12、 3 与/ 5 这两个角都在A B,C D 之间, 并且在E F 的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；N 3 与N 6在直线AB ,CD之间，并侧在E F 的同侧， 像这样位置的两个角叫做同旁内角。2、垂线两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足。直 线 AB ,CD互相垂直，记 作 “ AB _LCD（ 或 “ C D J_AB）,读 作 “ A B垂直于C D （ 或 “ C D 垂直于 A B ” ） 。垂线的性质：性 质 1 : 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2:直线外一点与直线上各点连接

13、的所有线段中, 垂线段最短。简称: 垂线段最短。考点四、平行线 （38分）1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“ ”表达，如 “ A BCD” ，读作“ AB平行于CD” 。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种: 相交或平行。注意：（1）平行线是无限延伸的，无论如何延伸也不相交。（ 2 ）当碰到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。2 、平行线公理及其推论平行公理：通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3、平行线的鉴定平行线的鉴定公理：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相

14、等，那么两直线平行。简称: 同位角相等，两直线平行。平行线的两条鉴定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等， 那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。(2 )两条直线被第三条直线所截， 假如同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的鉴定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。(2 )垂直于同一条直线的两直线平行。(3)平行线的定义。4、平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等。(2 )两直线平行, 内错角相等。(3)两直线平行， 同旁内角互补。考点五、命题、定理、证 明(3 8分)1、命题的概念判断一件事情的语句， 叫做命题。理解：命题的定

15、义涉及两层含义：(1)命题必须是个完整的句子；(2 )这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类( 按对的、错误与否分)真命题( 对的的命题)命题假命题( 错误的命题)所谓对的的命题就是: 假如题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：假如题设成立，不能证明结论总是成立的命题。3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题， 叫做公理。4、定理用推理的方法判断为对的的命题叫做定理。5、证明判断一个命题的对的性的推理过程叫做证明。6、证明的一般环节( 1 )根据题意，画出图形。( 2 )根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。( 3 )通过度析，找出由已知推出求证的途径

16、， 写出证明过程。考点六、投影与视图 ( 3分)1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子， 叫做物体的投影。平行投影：由平行光线( 如太阳光线)形成的投影称为平行投影。中心投影: 由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图当我们从某一角度观测一个实物时， 所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。主视图: 在正面内得到的由前向后观测物体的视图, 叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观测物体的视图， 叫做俯视图。左视图: 在侧面内得到的由左向右观测物体的视图， 叫做左视图， 有时也叫做侧视图。第六章实数考点二、实数的倒数、相反

17、数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（ 只有符号不同的两个数叫做互为相反数， 零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所相应的点关于原点对称，假如a与b互为相反数， 则有a + b = O , a = b ,反之亦成立。2、绝对值一个数的绝对值就是表达这个数的点与原点的距离，| a | X ）。零的绝对值时它自身，也可当作它的相反数，若| a I = a ,则a 0 ；若| a | = - a , 则a W O。正数大于零, 负数小于零，正数大于一切负数， 两个负数，绝对值大的反而小。3、倒数假如a与b互为倒数，则有a b = l,反之亦成立。倒数等于自身的数是1和一

18、 1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根（310分）1、平方根假如一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a的平方根（ 或二次方跟） 。一个数有两个平方根， 他们互为相反数; 零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“ 土 。2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根， 记 作 “ 。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。l a （ a 0 ） 4 a 卒病 = | a | = Y ；注意的双重非负性： Y-a （ a 03、立方根假如一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a的立方根（ 或a的三次方根） 。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立

19、方根; 零的立方根是零。注意： 二1 = -指 ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、科学记数法和近似数 (36分)1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位， 就说它精确到哪一位，这时, 从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字， 都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法把一个数写做4 X 1 0 的形式，其中l W a 0 b ,( 3 )求商比较法：设 a、b 是两正实数，b = a = b a 打0q x 0 , y 0点 P ( x , y )在第二象限o x 0点 P ( x , 丫 )在 第 三 象 限 =% 0 , 丁 0,丁 02 、坐标轴上的点的特性点

20、P ( x , y )在 x 轴上。 y = 0 , x 为任意实数点 P ( x , y )在 y 轴上 X = 0 , y 为任意实数点 P ( x , y )既在x 轴上，又在y 轴上= x , y同时为零， 即点P 坐标为( 0 , 0 )3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特性点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上O x 与 y 相等点P (x ,y )在第二、四象限夹角平分线上O x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特性位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特性点

21、P 与点p关于x 轴对称O 横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P与点P关于y 轴对称O 纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点p关于原点对称O 横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 P (x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点 P ( x , y ) 至 ijx 轴的距离等于M(2)点 P (x,y)到 y 轴的距离等于忖(3)点 P(x,y)到原点的距离等于J%? + 丫2第八章二元一次方程组考点七、二元 一 次 方 程 组(81 0 分)1、二元一次方程具有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两

22、边的值相等的一对未知数的值， 叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组两个( 或两个以上) 二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法(1 )代 入 法 ( 2 ) 加减法6、三元一次方程把具有三个未知数，并且具有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组由三个（ 或三个以上）一次方程组成，并且具有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。第九章不等式与不等式组考点一、不等式的概念 （3分）1、不等式用不等号表达不等关系的式子，叫做不等式。2、

23、不等式的解集对于一个具有未知数的不等式， 任何一个适合这个不等式的未知数的值， 都叫做这个不等式的解。对于一个具有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。求不等式的解集的过程， 叫做解不等式。3、用数轴表达不等式的方法考点二、不等式基本性质 （35分）1、不等式两边都加上（ 或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（ 或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（ 或除以） 同一个负数，不等号的方向改变。考试题型：考点三、一 元 一 次 不 等 式（68分）1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只具有一个未知数

24、，未知数的次数是1 ,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般环节：（1 ）去 分 母（2）去 括 号（3）移项（ 4 ）合并同类项（5 ）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组 （ 8分 ）1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分， 叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。当任何数x都不能使不等式同时成立， 我们就说这个不等式组无解或其解为空集。2、一元一次不等式组的解法（ 1）分别求出不等式组中各个不等式的解

25、集（ 2 ）运用数轴求出这些不等式的解集的公共部分， 即这个不等式组的解集。第十章数据的收集、整理与描述考点二、记录学中的几个基本概念 （4分 ）1、总体所有考察对象的全体叫做总体。2、个体总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量样本中个体的数目叫做样本容量。5、样本平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。6、总体平均数总体中所有个体的平均数叫做总体平均数， 在记录中， 通常用样本平均数估计总体平均数。考点三、众数、中位数 （ 3 5分 ）I、众数在一组数据中， 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2、中位数将一组数据按大小依次排列

26、，把处在最中间位置的一个数据( 或最中间两个数据的平均数) 叫做这组数据的中位数。考点四、方 差( 3分)1、方差的概念在一组数据项,马， ， 居 ， 中， 各数据与它们的平均数嚏的差的平方的平均数， 叫做这组数据的方差。通常 用“ S2 ”表达， 即I = (Xj -X)2 + ( 工2 - i f T - F( Xn -X )2n2、方差的计算(1)基本公式：I _ _ _ =(% ! -X)2 + ( 冗2 - -F( Xn X)2n( 2 )简 化计算公式(I ) ：s ( X； + x； + , , + X； ) nx n1 2也可写成 / = ( X： +%； + + ； ) 一

27、Xn此公式的记忆方法是: 方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。(3 )简 化计算公式( I I ) ：52 =匕3 ： +必+ .+ M ) ” 。 n当一组数据中的数据较大时， 可以依照简化平均数的计算方法， 将每个数据同时减去一个与它们的平均数 接 近 的 常 数a ,得 到 一 组 新 数 据x； =七一。 ，尤 ；=/ 一。 ， ， 总 =一。 ， 那 么 ，12-= ( X： +X； + + 无 ) X广n此公式的记忆方法是: 方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。( 4 )新数据法：原数据玉, ,招 ， 的方差与新数据x| = X| - a , x2 = x2-

28、 a , x“ = x” 一。的方差相等， 也就是说,根据方差的基本公式， 求得x； ,x 2， ， 的方差就等于原数据的方差。3、标准差方差的算数平方根叫做这组数据的标准差， 用 “ S” 表达， 即s = . (xt x) + (x2 x)- H -F (x x) JV n第十一章三角形考点一、三 角 形(38分)I 、三角形的概念由不在批准直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边; 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点; 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形中的重要线段( 1 ) 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,

29、 这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。( 2 )在三角形中， 连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。(3 ) 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线( 简称三角形的高) 。3 、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广， 需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表达三角形有下面三个特性：(1 )三角形有三条线段 (2 )三条线段不在同一直线上 J 三角形是封闭图形( 3 )首尾顺次相接三 角 形 用 符 号 表 达 ，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“

30、A A BC ”，读 作 “ 三角形AB C” 。5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：1等边三角形三角形 底到腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（ 有一个角为直角的三角形）Y三角形1 锐角三角形（ 三个角都是锐角的三角形）Y斜 三 角 形 I钝角三角形（ 有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（ 1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（ 2） 三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线

31、段能否组成三角形当已知两边时，可拟定第三边的范围。证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理: 三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注: 在同一个三角形中: 等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积三角形的面积= ， X 底 X 高2考点二、全等三角形 （ 3 8 分）1 、全等三角形的概念可以完全重合的两个图形叫做全等形可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做相应顶点，互相重合的边叫做相应边,

32、互相重合的角叫做相应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边, 夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2 、全等三角形的表达和性质全 等 用 符 号 “ 会”表达， 读 作 “ 全 等 于 。如ABCg读 作 “ 三 角 形 ABC全等于三角形D E F ”。注：记两个全等三角形时，通常把表达相应顶点的字母写在相应的位置上。3 、三角形全等的鉴定三角形全等的鉴定定理：（ 1 ） 边角边定理: 有两边和它们的夹角相应相等的两个三角形全等（ 可简写成“ 边角边”或 “ S A S ”）（ 2 ）角边角定理：有两角和它们的夹边相应相等的两个三角形全等（ 可 简 写 成 “ 角边角”或 “ ASA）（

33、 3 ） 边边边定理: 有三边相应相等的两个三角形全等（ 可简写成“ 边边边”或 “ S S S ” ） o直角三角形全等的鉴定：对于特殊的直角三角形，鉴定它们全等时， 尚有H L定 理 （ 斜边、直角边定理） ：有斜边和一条直角边相应相等的两个直角三角形全等（ 可简写成“ 斜边、直角边”或 “ H L ” ）4 、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换涉及一下三种：（ 1 ）平移变换: 把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（ 2 ） 对称变换：将图形沿某直线翻折1 8 0 , 这种变换叫做对称变换。（ 3 ）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到

34、另一个位置， 这种变换叫做旋转变换。考点三、等 腰 三 角 形（810分）1 、等腰三角形的性质（ 1 ） 等腰三角形的性质定理及推论:定理: 等腰三角形的两个底角相等（ 简称: 等边对等角）推 论 1 : 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2 ：等边三角形的各个角都相等， 并且每个角都等于6 0 。（ 2 ）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于4 5 等腰三角形的底角只能为锐角， 不能为钝角（ 或直角），但顶角可为钝角（ 或直角） 。等腰三角形的三边关系：设腰长为a , 底边长为b , 则2 a2等腰三

35、角形的三角关系：设顶角为顶角为/A,底角为/B、/ C , 则N A = 1 8 0 -2Z B , Z B = Z- 1 8 0 。 一 N AC = - - - - - - - - - -22、等腰三角形的鉴定等腰三角形的鉴定定理及推论：定理：假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（ 简称：等角对等边）。这个鉴定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推 论 1 : 三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 : 有一个角是6 0 的等腰三角形是等边三角形。推论3 : 在直角三角形中，假如一个锐角等于3 0 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与鉴定等腰三角形性质

36、 等腰三角形鉴定1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形;中线角平分线高线角边1 、等腰三角形底边上的中线垂直底边， 平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等, 并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2 、等腰三角形两底角平分线相等， 并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1 、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2 、等腰三角形两腰上的高相等， 并且它们的交点和底边两端点距离相等。等边对等角底的一半 腰长周长的一半2 、假如一个三角形的一边中线垂直这条边（ 平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形1 、假如三角形的顶角平分线垂直于这个角的对 边 （

37、 平分对边）， 那么这个三角形是等腰三角形；2 、三角形中两个角的平分线相等， 那么这个三角形是等腰三角形。1 、假如一个三角形一边上的高平分这条边（ 平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2 、有两条高相等的三角形是等腰三角形。等角对等边两边相等的三角形是等腰三角形4 、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（ 1）三角形共有三条中位线， 并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边, 并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系

38、。常用结论：任一个三角形都有三条中位线， 由此有：结 论1 ：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4 : 三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5 : 三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。第十二章 全等三角形考点二、全等三角形 （38分）1、全等三角形的概念可以完全重合的两个图形叫做全等形。可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时， 互相重合的顶点叫做相应顶点，互相重合的边叫做相应边, 互相重合的角叫做相应角。夹边

39、就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2、全等三角形的表达和性质全等用符号“ 且”表达，读 作 “ 全 等 于 。如aA BC丝aD EF,读 作 “ 三角形A BC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表达相应顶点的字母写在相应的位置上。3、三角形全等的鉴定三角形全等的鉴定定理:（ 1 ） 边角边定理：有两边和它们的夹角相应相等的两个三角形全等（ 可简写成“ 边角边”或 “ SAS ”）（ 2） 角边角定理: 有两角和它们的夹边相应相等的两个三角形全等（ 可简写成“ 角边角”或 “ ASA” ）（3）边边边定理：有三边相应相等的两个三角形全等（

40、 可简写成“ 边边边”或 “ SSS ” ）。直角三角形全等的鉴定：对于特殊的直角三角形，鉴定它们全等时， 尚有H L 定 理 （ 斜边、直角边定理） ：有斜边和一条直角边相应相等的两个直角三角形全等（ 可简写成“ 斜边、直角边”或 “ H L” ）4、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换涉及一下三种：（ 1） 平移变换: 把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（ 2）对称变换：将图形沿某直线翻折180 ,这种变换叫做对称变换。（ 3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形 （ 810分）1 、等

41、腰三角形的性质（ 1） 等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（ 简称: 等边对等角）推 论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2:等边三角形的各个角都相等， 并且每个角都等于6 0。（ 2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角， 不能为钝角（ 或直角），但顶角可为钝角（ 或直角）。等腰三角形的三边关系: 设腰长为a,底边长为b,则- 0)aid 0)( 2) J=M= YI - a(a 0, / ; 0) 聆 关 ” i5、二次根式混合运算二次根式的

42、混合运算与实数中的运算顺序同样， 先乘方，再乘除， 最后加减，有括号的先算括号里的( 或先去括号)。第十七章 勾股定理考点一、直角三角形的性质 ( 3 5分)1、直角三角形的两个锐角互余可表达如下：N C=9 0 = NA + N B=9 02、在直角三角形中，3 0 角所对的直角边等于斜边的一半。ZA=30q可表达如下： J =BC= ABZC=9O3 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ZACB=90可表达如下：D为 AB的中点4、勾股定理=CD=-AB=BD=AD2直角三角形两直角边a, b 的平方和等于斜边c 的平方, 即c r + b2 = cz5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的

43、高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项, 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项ZACB= 9 6| CD2 = ADBDA YJ = AC2 = ADABCDAB SC2 = BDAB6、常用关系式由三角形面积公式可得:AB CD=AC BC考点二、直角三角形的鉴定 （ 35分）1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2 、假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a ,b ,c 有关系/+反=。 2 , 那么这个三角形是直角三角形。考点三、锐角三角函数的概念 （ 38分）1、如图， 在4 A BC 中， NC=9 0。锐

44、角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记为sin A ,即sin A =乙4的对边 a斜边c锐角A的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦，记为co sA ,即cos ANA的邻边 b斜边c锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记为t a nA,即tan A = 里哄 = -NA的令R边 b锐角A的邻边与对边的比叫做/ A 的余切, 记为co t A,即coL4NA的 邻 边 _ b乙4 的 对 边 一12、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做N A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数0sina0cosa1ta n a0c o t a不存在3 045 6 0901一27

45、3一2V3-3V3VJ21-2V 3五一2后一21o存不o34 、各锐角三角函数之间的关系(1 ) 互余关系s i n A=cos (90A) , co s A=sin(90A)t anA=cot( 9 0A) ,cotA=tan ( 9 0A)(2)平方关系sin2 A + cos2 A = 1( 3 ) 倒数关系t a n A-tan(90A )=l( 4 ) 弦切关系sin At a nA = -cosA5 、锐角三角函数的增减性当角度在0 9 0。 之间变化时，（ 1 ）正弦值随着角度的增大（ 或减小） 而增大（ 或减小）（ 2 ）余弦值随着角度的增大（ 或减小）而 减 小 （ 或增大

46、）（ 3） 正切值随着角度的增大（ 或减小）而 增 大 （ 或减小）（ 4 ）余切值随着角度的增大（ 或减小） 而减小（ 或增大）考点四、解直角三角形 （ 35 ）1 、解直角三角形的概念在直角三角形中， 除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2 、解直角三角形的理论依据在 Rt Z A B C 中, N C = 9 0 , Z A. Z B, NC 所对的边分别为 a , b , c（ 1 ）三边之间的关系：a2+b2 =c2 （ 勾股定理）（ 2） 锐角之间的关系：/ A+ / B= 9 0（ 3） 边角之间的

47、关系：si.n A. = a ,cosA人 = b ,tanAA = a ,cotAA = b ;si. nBn = b ,cosBn = a ,tanBn = b ,cotBn = acchaccah第十八章 四边形考点一、四边形的相关概念 （ 3 分）1 、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长, 假如其他个边都在延长所得直线的同一旁， 这样的四边形叫做凸四边形。3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。4、四边形的不稳定性三角形的三边假如拟定后， 它的形状、大小就拟定了， 这是三角形的稳定

48、性。但是四边形的四边拟定后，它的形状不能拟定， 这就是四边形所具有的不稳定性， 它在生产、生活方面有着广泛的应用。5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。四边形的外角和定理: 四边形的外角和等于3 6 0 。推论: 多边形的内角和定理：n边形的内角和等于( - 2 )1 80 ；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于3 6 0 。6 、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n , 则 多 边 形 的 对 角 线 条 数 为 。2考点二、平行四边形 (310分)1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号O ABC

49、 D ” 表达, 如平行四边形ABCD记 作 “ OAB CD”，读 作 “ 平行四边形AB CD” 。2 、平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补， 对角相等。( 2 )平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。(3)平行四边形的对角线互相平分。(4 ) 若一直线过平行四边形两对角线的交点, 则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点， 并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。3、平行四边形的鉴定(1)定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形( 2 ) 定 理 1 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3 ) 定理2:两组对边分别相等的四边形是平行

50、四边形(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形( 5 ) 定理4： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4 、两条平行线的距离两条平行线中， 一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5、平行四边形的面积s 平 行 四 边 形 二 底边长乂高= 211考点三、矩形 (310分)1 、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质(1 ) 具有平行四边形的一切性质(2 )矩形的四个角都是直角( 3 ) 矩形的对角线相等(4 )矩形是轴对称图形3 、矩形的鉴定(1 )定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)定 理 1:有三个

51、角是直角的四边形是矩形( 3 ) 定理2:对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S短 彩 = 长义宽= 2 b考点四、菱 形(310分)1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质(2 )菱形的四条边相等(3)菱形的对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角(4 ) 菱形是轴对称图形3、菱形的鉴定(1)定义: 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(2 )定 理 1:四边都相等的四边形是菱形(3)定理2 :对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱 彩 = 底边长X高= 两条对角线乘积的一半考点五、正方形 (310分)1 、正方形的概念

52、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质(1 ) 具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质(2 )正方形的四个角都是直角，四条边都相等(3 ) 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角(4)正方形是轴对称图形， 有 4 条对称轴(5 ) 正方形的一条对角线把正方形提成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形提成四个全等的小等腰直角三角形( 6 ) 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的鉴定(1)鉴定一个四边形是正方形的重要依据是定义, 途径有两种：先证它是矩形， 再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证

53、有一个角是直角。( 2) 鉴定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形( 或矩形) ；最后证明它是矩形( 或菱形)4、正方形的面积设正方形边长为a ， 对角线长为b2 b2S正 方 形= a = 2考点六、梯形 ( 3 1 0分)1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底, 较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地， 梯形的分类如下:一般梯形梯 形L直角梯形特殊梯朕等腰梯形2、梯形的鉴

54、定( 1 )定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。( 2 )一组对边平行且不相等的四边形是梯形。3、等腰梯形的性质( I )等腰梯形的两腰相等， 两底平行。( 3)等腰梯形的对角线相等。( 4 )等腰梯形是轴对称图形， 它只有一条对称轴， 即两底的垂直平分线。4、等腰梯形的鉴定( 1 ) 定义:两腰相等的梯形是等腰梯形( 2 )定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形( 3 )对角线相等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面积EAB如图,S梯 形ASCD =耳(CD + AB) D E( 2 )梯形中有关图形的面积： S M BD = BAC ； S o o = S&Boc ； S

55、wc = SABCD6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。第十九章一次函数考点一、平面直角坐标系 ( 3分)1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴, 就组成了平面直角坐标系。其中， 水平的数轴叫做x轴或横轴， 取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴， 取向上为正方向；两轴的交点0( 即公共的原点) 叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置， 把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:x轴和y轴上的点， 不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用

56、( a , b )表达，其顺序是横坐标在前， 纵坐标在后，中间有“ ，”分开， 横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当aHb时，( a , b )和( b , a )是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特性 ( 3分)1、各象限内点的坐标的特性点P ( x , y)在第一象限O X 0, y 0点P ( x , y)在第二象限= x 0点P ( x , 丫) 在第三象限=10 /0 ,丁 02 、坐标轴上的点的特性点 P ( x , y ) 在 x 轴上O y = 0, x 为任意实数点P ( x , y) 在 y 轴上。 x = 0, y 为任意实数点 P (

57、x , y) 既在x 轴上，又在y 轴上O x , y 同时为零， 即点P坐标为( 0, 0 )3 、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特性点P ( x , y) 在第一、三象限夹角平分线上ox与 y 相等点 P ( x , y) 在第二、四象限夹角平分线上Ox与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特性位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5 、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特性点 P与点P 关于x 轴对称O 横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P与点P 关于y 轴对称 纵坐标相等， 横坐标互为相反数点 P与点P 关于原点对称

58、O 横、纵坐标均互为相反数6 、点到坐标轴及原点的距离点 P ( x , y) 到坐标轴及原点的距离：(1 ) 点 P ( x , y) 到 x轴的距离等于M( 2 ) 点 P ( x , y) 到 y 轴的距离等于| 尤 |( 3 ) 点 P ( x , y) 到 原 点 的 距 离 等 于 + 丁 2考点三、函数及其相关概念 ( 3 8 分)1 、变量与常量在某一变化过程中， 可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与 y, 假如对于x的每一个值， y 都有唯一拟定的值与它相应， 那么就说x 是自变量, y 是 x 的函数。2、函数解析式用

59、来表达函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数故意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表达法及其优缺陷( 1 ) 解析法两个变量间的函数关系， 有时可以用一个具有这两个变量及数字运算符号的等式表达， 这种表达法叫做解析法。(2)列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的相应值列成一个表来表达函数关系， 这种表达法叫做列表法。( 3 ) 图像法用图像表达函数关系的方法叫做图像法。4 、由函数解析式画其图像的一般环节(1)列表：列表给出自变量与函数的一些相应值( 2 ) 描点: 以表中每对相应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点( 3) 连线: 按照自变量由小到大的

60、顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。考点四、正比例函数和一次函数 (310分)1 、正比例函数和一次函数的概念一般地，假如y = Z x+ h ( k , b 是常数，k H 0 )， 那么y 叫做x 的一次函数。特别地， 当一次函数y = 中的b 为 。 时，y = kx ( k 为常数，kHO)。这时，y 叫做x 的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的重要特性：一次函数丁 =心 ： +。的图像是通过点( 0 , b ) 的直线；正比例函数y = k x的图像是通过原点( 0 , 0)的直图像特性图像通过一、二、三象限，y 随 x的增大

61、而增大。图像通过一、的增大而增大。图像通过一、的增大而减小图像通过二、的增大而减小。三 、四象限,二 、四象限,三 、四象限,正比例函数是一次函数的特例。y随xy随xy随x( 1 )当k 0时， 图像通过第一、三 象限，y随x的增大而增大；( 2 )当1 0时,y随x的增大而增大 当k 0时,y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的拟定拟 定 一个正比例函 数 ，就 是 要 拟 定 正 比 例 函 数 定 义 式y = 0 )中 的 常 数ko拟定一个一次函数 ，需 要 拟 定 一 次 函 数 定 义 式y = ( k H O )中 的 常 数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法

62、 。第二十一章一元二次方程一元二次方程的解法 （ 10分）1、直接开平方法运用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法合用于解 形 如（ x + a ） 2 =人 的 一 元 二 次 方 程 。根 据 平 方 根 的 定 义 可 知 ，x + a是b的 平 方 根 ， 当人2 0时,x + a = 4 b , x = - 。土血 , 当b 0时， 方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用， 并且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式/2 a + = （ 。+ 与2 ,把公式中的a看做未知

63、数x,并用x代替，则有4 2 - +。2 = （ X土份2。3 公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2 + hx + c = 0（ a 0 ）的求根公式：A W（ . -）4、因式分解法因式分解法就是运用因式分解的手段， 求出方程的解的方法，这种方法简朴易行, 是解一元二次方程最常用的方法。考点四、一元二次方程根的判别式 （ 3 分）根的判别式一元二次方程a r ? + Z u+ c = 0 （ a / 0 ）中，b2 - 4 a c叫做一元二次方程a x? + 6无+ c = 0 （ a / 0 ）的根的判别式, 通常用“ ”来表达

64、， 即= 从 4 c考点五、一元二次方程根与系数的关系 （ 3 分）h c假 如 方 程 好 + 公 + 。= 0 （。工0 ）的 两 个 实 数 根 是 知x2,那么= ， x / 2 =一 。也就是a a说，对于任何一个有实数根的一元二次方程， 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。考点六、分式方程 (8分)1、分式方程分母里具有未知数的方程叫做分式方程。2 、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“ 分式方程”转化为“ 整式方程”。它的一般解法是：( 1 ) 去分母， 方程两边都乘以最简公分母( 2 ) 解所得的整式方程(

65、3 ) 验根：将所得的根代入最简公分母， 若等于零，就是增根， 应当舍去；若不等于零, 就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式， 一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。考点七、二元一次方程组 (810分)1、二元一次方程具有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程， 它的一般形式是(2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组两个( 或两个以上) 二元一次方程合在一起， 就组成了一个二元一次方程组。4 二元一次方程

66、组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法(1)代入法(2 ) 加减法6、三元一次方程把具有三个未知数，并且具有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组由三个（ 或三个以上） 一次方程组成，并且具有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。第二十二章 二次函数考点一、二次函数的概念和图像（ 3 8分）1、二次函数的概念一般地，假如丁 =。 /+8尤+ c （ q , b , c是常数， 。7 0 ） ,那么丫叫做* 的二次函数。y = ax2 + b x + c （ a , ） , c是常数， 。工0 ）叫做

67、二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 = 对称的曲线, 这条曲线叫抛物线。2a抛物线的重要特性：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（ 1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴（ 2）求抛物线y = 方2+ Z u + c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时， 描出这两个交点A, B及抛物线与y轴的交点C ,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸， 就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时， 描出抛物线与y轴的交点C及对称点D.由C、M、D三点

68、可粗略地画出二次函数的草图。假如需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B ,然后顺次连接五点， 画出二次函数的图像。考点二、二次函数的解析式 （ 10 16分）二次函数的解析式有三种形式：一般式:y = o x ?+ 公 +。 （ 。 , , ? 是常数，a 7 0 ）（ 2）顶点式：y = a （ x - / i） 2+ 4 （凡/ ? 是常数， 。/0 ）（ 3 ）当抛物线y = a r ? + b x + c与x轴有交点时，即相应二次好方程a r2+ Z ? x + c = 0有实根为和它存在时， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式+ bx + c = a（ x- x

69、 , ） （ x - x2） ,二次函数丫= 。 / + / z r + c可转化为两根式y = a ( x $ ) ( x X 2)。假如没有交点，则不能这样表达。考点三、二次函数的最值 (10分)假如自变量的取值范围是全体实数， 那么函数在顶点处取得最大值( 或最小值)，即当x = -2时,2a_ 4ac-b2y最 值 =b假如自变量的取值范围是王 工工工， 那么，一方面要看是否在自变量取值范围玉 x 最 小= a x： +如+ c ；假如在此范围内,y随x的增大而减小， 则当= 七 时 ，y最大+ 如+c ,当x = X 2 时，y最 小 =ax； +bx2 +c ,考点四、二次函数的性

70、质（6 14 分）1、二次函数的性质函数二次函数y = a x?+加 + 0 ( “ ,6 ,( ?是常数，a 工 0 )性质图像4 a2a 4 ab( 3 )在对称轴的左侧，即当x 时,y随x2a的 增 大 而 减 小 ；在 对 称 轴 的 右 侧 ，即当b( 3 )在对称轴的左侧， 即 当 * 时,y随X的增大而增大， 简记左减右 x 时，y随X的增大而减小， 简记左2a2a增； 增右减；（ 4）抛物线有最低点，当x = -2b 时,y有最小 （ 4）抛物线有最高点，当x= - b三 时,y有最2a 2a. . . Aac-b2 , Aac-b2值，y最小值=4- 大值，y最大值=2 二次

71、函数y = a x? +Z ? x + c （ a ,d c是常数，a w O ）中,a、b、c的含义：。表达开口方向：a 0时， 抛物线开口向上a 0时,图像与x轴有两个交点；当= （）时，图像与x轴有一个交点；当直 径 & 分 弦 知推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性 （3分）1、圆的轴对称性圆是轴对称图形, 通过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 （3分）1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆

72、或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中，假如两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所相应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论（38分）1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推 论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2:半 圆 （ 或直径）所对的圆周角是直角;9 0 的圆周角所对的弦是直径。推论3 ：假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。考点七、点和圆

73、的位置关系 （ 3分）设。0 的半径是r , 点 P 到圆心0 的距离为d , 则有：d r O 点 P 在。O外。考点八、过三点的圆 （ 3 分）I 、过三点的圆不在同一直线上的三个点拟定一个圆。2 、三角形的外接圆通过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3 、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4 、圆内接四边形性质（ 四点共圆的鉴定条件）圆内接四边形对角互补。考点九、反证法 （ 3 分）先假设命题中的结论不成立， 然后由此通过推理， 引出矛盾， 鉴定所做的假设不对的，从而得到原命题成立, 这种证明方法叫做反证法。考点十、直线与圆的

74、位置关系 （ 3 5 分）直线和圆有三种位置关系，具体如下：（ 1 ）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（ 2 ） 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（ 3 ） 相离: 直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。假如。0 的半径为r,圆心0 到直线1 的距离为d , 那么：直 线 1 与。 相交O d r ；考点十一、切 线 的 鉴 定 和 性 质（ 38分）1、切线的鉴定定理通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理圆的切线垂直于通过切点的半径。考点十二、切线长定理 （ 3分 ）

75、1、切线长在通过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。考点十三、三角 形 的 内 切 圆（ 38分 ）1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。考点十四、圆和圆的位置关系 （ 3分）1、圆和圆的位置关系假如两个圆没有公共点， 那么就说这两个圆相离， 相离分为外离和内含两种.假如两个圆只有一个公共点， 那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。假如两个圆有两

76、个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与鉴定设两圆的半径分别为R和r， 圆心距为d,那么两圆外离 d R + r两圆外切O d = R + r两圆相交。R-rdR+r (R e r)两圆内切 d=Rr(Rr)两圆内含O d V R - r (Rr)4、两圆相切、相交的重要性质假如两圆相切， 那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形， 对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。考点十五、正多边形和圆 (3分)1、正多边形的定义各边相等， 各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系只要把一个圆提成相等的一

77、些弧， 就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。考点十六、与正多边形有关的概念 (3分)1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。考点十七、正多边形的对称性 (3分)1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴, 每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形, 它

78、的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆， 再做正多边形。考点十八、弧长和扇形面积 （ 3 8 分）1 、弧长公式riTTYn 的圆心角所对的弧长1 的计算公式为/ = 2 父1802、扇形面积公式S（ 1 =LR360 2其中n 是扇形的圆心角度数, R是扇形的半径，1 是扇形的弧长。3 、圆锥的侧面积S - I 2 = 7vrl2其中1 是圆锥的母线长, r 是圆锥的地面半径。补充：（ 此处为大纲规定外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助）1 、相交弦定理OO中， 弦 A B与弦CD相交与点E , 则 A E B E = C E D E2 、

79、弦切角定理弦切角:圆的切线与通过切点的弦所夹的角, 叫做弦切角。弦切角定理:弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：ZBAC-ZADC3 、切割线定理PA为。0 切线, P BC为。O 割线,A则 P A 2 = P B PC 随机数。 7第二十五章概率初步 一考点一、平均数 ( 3 分)1、平均数的概念-1( 1 ) 平均数:一般地，假 如 有 n 个数项, , , x， 那么，兀 = 一 ( $ + + + % ) 叫 做 这 n 个数的n平 均 数 读 作 “ x 拔”。( 2 ) 加 权 平 均 数 ： 假 如 n 个 数 中 ， / 出 现 力 次 ， / 出 现 力 次 ， ，

80、4出 现 九 次 ( 这 里/ , +人 + 人 =)， 那 么 ， 根 据 平 均 数 的 定 义 ， 这 n 个 数 的 平 均 数 可 以 表 达 为 = A+ f 2+- - X jk 这样求得的平均数嚏叫做加权平均数，其中工, 人, ， 人叫做权。n2、平均数的计算方法( 1 ) 定义法-1当 所 给 数 据 ,X”， 比较分散时，一般选用定义公式：x = - ( x ,+ x2+ + %)n(2)加权平均数法：当 所 给 数 据 反 复 出 现 时 ， 一 般 选 用 加 权 平 均 数 公 式 ： .=、 + 七/2 + , 其中nft + f2 + 人= 。(3)新数据法：当所

81、给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：x = x + a.其 中 ， 常 数 a 通 常 取 接 近 这 组 数 据 平 均 数 的 较 “整 ”的 数 ， 以 = ， 心 =/一 。， ，-1- a。 = 一 ( 凡 + 必 + +总 ) 是 新 数 据 的 平 均 数 ( 通 常 把 马 ， 2,， x“， 叫 做 原 数 据 ，nX； ,X2 ,， 总 ， 叫做新数据) 。考点二、记录学中的几个基本概念 ( 4 分)1、总体所有考察对象的全体叫做总体。2 , 个体总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量样本中个体的数

82、目叫做样本容量。5、样本平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。6、总体平均数总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在记录中， 通常用样本平均数估计总体平均数。考点三、众数、中位数 （35分）1 、众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2 , 中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（ 或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。考点四、方差 （3 分）1、方差的概念在一组数据用, 3 , ,天， 中， 各数据与它们的平均数I 的差的平方的平均数， 叫做这组数据的方差。通常 用 “ S2，表达， 即S （X 1 _ X） + （ % 2 + , ,

83、+（X/Z X）2 n2、方差的计算（ 1） 基本公式：S2 = 一 一% ） ? + （ -X）2 4-F（Xn X）2(2)简化计算公式(I ):52 = -(X ,2 +X： + + 片)n1一 2也可写成 S2 = 一( 司2 + x； +. + x；)-X n此公式的记忆方法是:方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。(3)简化计算公式(II )：$2 =、 ( / + 武 + + ) 一n当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平 均 数 接 近 的 常 数a,得 到 一 组 新 数 据 居 = 否a , x2 = x2-a ,，x

84、n = x,-a ,那12么,52 = Kx：+ x + .+ x ) 一 n此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。(4 )新数据法：原数据王, 工2, ,X”，的方差与新数据xi = M -。， * 2 = *2 -， ，= 一。的方差相等， 也就是说,根据方差的基本公式，求得x； ,x 2， ,x “，的方差就等于原数据的方差。3、标准差方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“ s”表达， 即s J (X, x) + (x2 x) + + x) JV n考点五、频率分布 (6分)1、频率分布的意义在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据

85、在各个小范围所占的比例的大小, 这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。2、研究频率分布的一般环节及有关概念(1)研究样本的频率分布的一般环节是：计算极差( 最大值与最小值的差)决定组距与组数决定分点列频率分布表画频率分布直方图(2 )频率分布的有关概念极差: 最大值与最小值的差频数：落在各个小组内的数据的个数频率: 每一小组的频数与数据总数( 样本容量n ) 的比值叫做这一小组的频率。考点六、拟定事件和随机事件 (3 分)1、拟定事件必然发生的事件：在一定的条件下反复进行实验时，在每次实验中必然会发生的事件。不也许发生的事件: 有的事件在每次实验中都不会发生，这样的事件叫做

86、不也许的事件。2、随机事件：在一定条件下，也许发生也也许不放声的事件，称为随机事件。考点七、随机事件发生的也许性(3 分)一般地， 随机事件发生的也许性是有大小的， 不同的随机事件发生的也许性的大小有也许不同。对随机事件发生的也许性的大小，我们运用反复实验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的也许性是否同样。所谓判断事件也许性是否相同，就是要看各事件发生的也许性的大小是否同样, 用数据来说明问题。考点八、概率的意义与表达方法 (56分)1、概率的意义一般地， 在大量反复实验中， 假如事件A 发生的频率已会稳定在某个常数p 附近，

87、那么这个常数p 就m叫做事件A 的概率。2 、事件和概率的表达方法一般地， 事件用英文大写字母A, B , C , ， 表达事件A 的概率p , 可记为P (A)=P考点九、拟定事件和随机事件的概率之间的关系 (3 分)1、拟定事件概率(1 )当 A 是必然发生的事件时，P(A)=1( 2 ) 当A 是不也许发生的事件时, P(A) =02、拟定事件和随机事件的概率之间的关系事件发生的也许性越来越小 0y j图像。1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - X 的取值范围XHO,性质 y 的取值范围是J U 。 ；当k 0 时，

88、函数图像的两个分支分别= （k w 0）Xk ,y 的取值范围是y:-0;当kVO时， 函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x的增大而减小。在第二、四象限。在每个象限内，y随 x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的拟定k拟定及谀是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y = - 中， 只有一个待定系数， 因此只需要一对X相应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而拟定其解析式。5 、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数y = K （ AHO） 图像上任一点P 作 x 轴、y 轴的垂线PM, P N , 则所得的矩形XPMON的面积S=PM PN

89、=H 国 =|孙| 。v y = -9. xy = k,S = k。x第二十七章 图形的相似考点一、比例线段 （ 3 分）1、比例线段的相关概念a = m 假如选用同一长度单位量得两条线段a ,b 的长度分别为m, n,那么就说这两条线段的比b n是，或写成a： b=m: n在两条线段的比a:b中 , a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。在四条线段中，假如其中两条线段的比等于此外两条线段的比， 那么这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段 = 若四条a, b,c , d 满足或a： b= c:d,那么a, b, c, d 叫做组成比例的项， 线 段 a, d 叫做比b d例外项，线段b, c

90、叫做比例内项， 线段的d 叫做a, b, c 的第四比例项。假如作为比例内项的是两条相同的线段，即0 = 2 或 a： b = b ： c,那么线段b 叫做线段a , c 的比例b c中项。2 、比例的性质（1 ）基本性质a:b= c ： d O a d =bca： b=b:c h2 ac（ 2）更比性质（ 互换比例的内项或外项）a b 7 = （互换内项）c cl-= -= J4 ，（ 互换外项）b d b a6二2 （ 同时互换内项和外项）c a（ 3）反比性质（ 互换比的前项、后项）：a c b d S -b d a c（ 4）合比性质：a _ c ab _ c dbd b d（ 5）等

91、比性质：ace m . 八 、 Q + c + e + + zn a= = = （b + d + f H p wO） =-= b d f n b + d + / + + b3、黄金分割把线段AB提成两条线段AC, BC （ A O B C ）,并且使AC是AB和BC的比例中项， 叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中A C=X1二IAB a。 .618AB2考点二、平行线分线段成比例定理 （ 35分）三条平行线截两条直线，所得的相应线段成比例。推论：（ 1）平行于三角形一边的直线截其他两边（ 或两边的延长线）， 所得的相应线段成比例。逆定理: 假如一条直线截三角形的两边（

92、或两边的延长线） 所得的相应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（ 2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边相应成比例。考点三、相 似 三 角 形（ 38分）1、相似三角形的概念相应角相等, 相应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“ S”来表达，读 作 “ 相似于”。相似三角形相应边的比叫做相似比（ 或相似系数）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边( 或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：；DEBC, / . ADEAABC相似三角形的等价关系：( 1 ) 反身性: 对于任一ZSAB

93、C,都有ABCsaABC;(2)对称性: 若 4AB C SXN Z C 则 C A A B C(3)传递性：若A B C sA ， B， C,并且A， B ,C sA“B” C ”,则A B C sABC。3 、三角形相似的鉴定(1 ) 三角形相似的鉴定方法定义法: 相应角相等， 相应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边( 或两边的延长线) 相交, 所构成的三角形与原三角形相似鉴定定理1 : 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相应相等， 那么这两个三角形相似， 可简述为两角相应相等，两三角形相似。鉴定定理2:假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相

94、应相等, 并且夹角相等， 那么这两个三角形相似，可简述为两边相应成比例且夹角相等，两三角形相似。鉴定定理3 : 假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边相应成比例，那么这两个三角形相似, 可简述为三边相应成比例，两三角形相似(2)直角三角形相似的鉴定方法以上各种鉴定方法均合用定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边相应成比例，那么这两个直角三角形相似垂直法: 直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形与原三角形相似。4 、相似三角形的性质( 1 )相似三角形的相应角相等, 相应边成比例( 2 ) 相似三角形相应高的比、相应中线的比与相应角平分线的比都等

95、于相似比( 3 ) 相似三角形周长的比等于相似比( 4 ) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。5 、相似多边形( 1 ) 假如两个边数相同的多边形的相应角相等， 相应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形相应边的比叫做相似比( 或相似系数)( 2) 相似多边形的性质相似多边形的相应角相等， 相应边成比例相似多边形周长的比、相应对角线的比都等于相似比相似多边形中的相应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方6 、位似图形假如两个图形不仅是相似图形，并且每组相应点所在直线都通过同一个点， 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相

96、似比叫做位似比。性质: 每一组相应点和位似中心在同一直线上， 它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。运用位似变换可以把一个图形放大或缩小。初中数学总复习知识点I .数的分类及概念：整数和分数统称有理数( 有限小数和无限循环小数) ， 像4 3 ,m0.101001叫无理数; 有理数和无理数统称实数。实数按正负也可分为：正整数、正分数、0、负整数、负分数， 正无理数、负无理数。2 . 自然数(0和正整数) ； 奇数2m l、偶数2n、质数、合数。科学记数法：。* 1 ” (1 Wa+ b翡(a b )2(a O , b20);曲茅(a 0,b 0)1

97、 6. 乘法公式：(a +b ) (a -L )_ =a2-b2； ( b )2= a 2 a b +b2：_ _ _ a2b _ J =( a +|a | (y/a)2 =a(a0) 4ab = 4a-4b17 .算术根的性质： = ； ；18. 记录初步：通常用样本的特性去估计总体所具有的特性。（ 1） .总体，个体, 样本，样本容量（ 样本中个体的数目）。（ 2 ）众数：一组数据中， 出现次数最多的数据。 平均数：平均数是刻划数据的集中趋势（ 集中位置）的特性数。中位数：将一组数据按大小依次排列， 处在最中间位置的一个数（ 或最中间位置的两个数据的平均数） % = ，（ +/+ 茗） .

98、 = + （ 力 +/ + + 九=4 n若 xa , % = 颈 0 x = x +a极差：样本中最大值与最小值的差。它是刻划样本中数声波动范围的大小。_ 1 s （ X X） + （ x2 % ） + + （ 七 ? x）2 方差: 方差是刻颦g的波动大小的限度。 n标准差：（ 4）调查：普查: 具有破坏性、特大工作量的往往不适合普查；抽曩谡查: 抽样时要重要样本的代表性和广泛性。频 率 = - - - - -样本容量（ 5）频数、频率、频数分布表及频数分布直方图:1 9. 概率: 用来预测事件发生的也许性大小的数学量（ 1） P （ 必然事件） =1； P（ 不也许事件）=0;0P（,雅

99、 津 好 史 。（ 2）树形图或列表分析求等也许性事件的概率： ；（ 3）游戏公平性是指双方获胜的概率的大小是否相等（ “ 牌，球”游戏中放回与不放回的概率是不同的） 。2 0 .（ 1）两点之间，线段最短（ 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离）；（2）点到直线之间， 垂线段最短（ 点到直线的垂线段的长度叫做点到直线之间的距离） ；（ 3）两平行线之间的垂线段处处相等（ 这条垂线段的长度叫做两平行线之间的距离）；（4）同平行于一条直线的两条直线平行（ 传递性）；（5 ）同垂直于一条直线的两条直线平行。21 . 性质：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；鉴定: 到线段两端点距离相等

100、的点在这线段的垂直平分线上。22 . 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等; 鉴定定理: 到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。23 . 同角或等角的余角（ 或补角）相等。24 . 性质：两直线平行, 同位角（ 内错角） 相等，同旁内角互补；鉴定：同位角（ 内错角） 相等（ 同旁内角互补），两直线平行。2 5. 三角形分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形或等腰三角形、不等边三角形。三角形三个内角的和等于1 8 0度；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; 第三边大于两边之和， 小于两边之差;重心: 三条中线的交点；垂心: 三条高线的交点；外心: 三边中垂线的交点； 内心: 三角

101、平分线线的交点.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 一边上的中线等于该边一半的三角形是直角三角形。勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 逆定理也成立。30。 角所对的边等于斜边的一半；Rt中，等于斜边的一半的边所对的角是30%2 6 .全等三角形：全等三角形的相应边， 角相等。条件:SSS、AAS、ASA、S A S、H L。2 7 . 等腰三角形：在一个三角形中等边对等角：等角对等边; 三线合一； 有一个6 0 0角的三角形是等边三角形。2 8 . 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；梯形的中位线平行于两底并且簿于两底和的一半（ n-2） 18029.n边形

102、的内角和为（ n-2） T8 0。 ，外角和为36 0正n边形的每个内角等于 n3 0 . 平行四边形的性质: 两组对边分别平行且相等；两组对角分别相等；两条对角线互相平分。鉴定：两组对边分别平行; 两组对边分别相等;一组邻谢目等有一个内角是直角对角线互相垂直对角线相等矩 形 或 菱 形 + （ 一个特殊条件）= 正方形平 行 四 边 形 + 正方形一组对边平行且相等; 两组对角分别相等;两条对角线互相平分。3 1特殊的平行四边形: 矩形、菱形与正方形。3 2 .梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。3 4 .平面图形的密铺（ 镶嵌）：同一顶点的角之和为3 6 0。 。 如部 转180

103、3 5. 轴 对 称 : 翻 转1 8 0 0能重合;只是轴对称既是轴对称， 又是中心对称中心对称（ 图形） : 旋转1 8 0度能重合。3 6. 命题（ 题设和结论）、定义、公理、定理;原命题， 逆命题；真命题， 假命题; 反证法。3 7 . 轴对称变换：相应点所连的线段被对称轴垂直平分; 相应线段，相应角相等。图形的平移：相应线段, 相应点所连线段平行（ 或在同一直线上）且相等；相应角相等; 平移方向和距离是它的两要素。图形的旋转: 每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对相应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角， 相应点到旋转中心的距离相等。旋转的方向、角度、旋转中心是它

104、的三要素。位似图形: 它们具有相似图形的性质外尚有图形的位置关系（ 每组相应点所在的直线都通过同一个点一位似中心）； 相应点到位似中心的距离比就是位似比，相应线段的比等于位似比， 位似比也有顺序; 已知图形的位似图形有两个， 在位似中心的两侧各有一个。位似中心， 位似比是它的两要素。3 8. 相似图形：形状相同， 大 小 不 一 定 相 同 （ 放大或缩小） 。（ 1）鉴定平行；两角相等; 两边相应成比例，夹角相等；三边相应成比例。（ 2 ）相应线段比等于相似比; 相应高之比等于相似比; 相应周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。a c（ 3 ）比例的基本性质：若 卫 =% 则a d =

105、b c ； （ d称为第四比例项）a b比例中项: 若 卫= 三则 ” ? & 韵 矽a、c的比例中项;c称为第三比例项）（ 4 ）黄金分割：线 段AB被 点C黄 金 分 割（ A C Jb2-4ac ,a f + 陵 + c = 0 ( # 0 ) 为 2 = : (b-4ac 0 )2a( 4 ) 一元二次方程一般形式： 的求根公式常用方法因式分解法； 公式法； 开平方法； 配方法。根的判别式：；肖 ( ) 时， 方程有两个不相等的实数根; 当= ( ) 时，方程有两个相等的实数根；3A、V 、 、b、a x a xeb、a x W b、a x W b ( a W O)。( 3 )不等式的

106、性质：a b a + c b + c a b a c b c ( c 0 ) ( 3 ) a b -* a c b c ( c b ,b c -* a c ( 5) a b ,c df a + c b + d.( 用文字怎么叙述?)( 5) 一元一次不等式的解、解一元一次不等式。 ( 乘除负数要变方向， 但要注意乘除正数不要要变方向)( 6) 一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组( 在数轴上表达解集)42.平面直角坐标系:在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系；( 1 ) 坐标平面内的点与一个有序实数对之间是一一相应的。 , -EF=( 2) 两点间的距离： A B =

107、| Xa-X | ; C D=| Y ,;-Yd | ; 0( 3 ) X轴上Y =0 ； Y轴上X=0 ； 一、三象限角平分线，Y =X；二、四象限角平分线,Y = - X 。( 4) P ( a , b ) 关于X 轴对称P， ( a , -b ) ； 关于Y轴对称P” ( a , -b ) ； 关于原点对称P ， ( 一a , - b ) .43 .函数定义：44 .表达法:解析法;列表法；图象法。 描点法：列表;描点;连线。4 5 .自变量取值范围：分母X 0 ；被开方数2 0 ;几何图形成立;实际故意义46 .正比例函数丫=1 ( k K O)图象：直线( 过原点) / 卜f 彳、

108、f性质:k 0 , k 0 ,k 0时，图象位于, y随 x ; k v O时,图象位于，y随 x ； 两支曲线无限接近永远不能到达坐标轴。49 .二次函数解析式： 特殊型： = ax2(a 0 ) , y = ax2 + k(a 0 ) 9 一般式： = # + 以 + ) 2+上( a W O ) ,顶 点 (皿 左 )，对博触嬉续企并平分法，交点式:V = a ( x -Xi ) ( x -X2) ( a * 0 ) ,与x 轴的交点是(孙，0 ) , ( & , 0 )顶点(号 受 ，V ), 对称轴：直 线 x =二甘受(2)图象:抛物线( “ 五点一线”要记住)(3 )性质：a 0

109、时， 在对称轴左侧， 右侧；当乂= 有 值， 是a0时， 在对称轴左侧，右侧；当 * = ,丫 有 值， 是(4)平移原则:把解析式化为顶点式， “ 左+ 右-；上+ 下一”。(5 )a开口方向,大小；仁对称轴与a左同右异; )2 2 /)2= ( a + b 4 ab2 . 幕的运算性质 &g&= + ； + a= a 叱 (a) n=am n；( a)= a 外( 巴) = 幺 ；b bniK 小 =/ , 特 别 ：( ” = (/ ；a=l(a#)。3. 二次根式 ( 而) ? = a ( a N 0 ) ;后=I a I ； / a b = y/a/b； =- ( a 0 , Z 0

110、 )。4. 三角不等式|a|- I b| | ab| a | + |b I ( 定理) ；加强条件：| a |-|b| I I aib| I a|+|b|也成立， 这个不等式也可称为向量的三角不等式( 其中a,b 分别为向量a 和向量b )I a +b I I a|+ I b|; | a - b I |a|+|b|; | a |bb a |a|-| b I； -|a|a（ ） 时，方程有两个不相等的实数根；当=（ ） 时，方程有两个相等的实数根；当 （ ） 时， 方程没有实数根. 注意: 当X）时，方程有实数根。若方程有两个实数根4和*2,则二次三项式ax2+ b尤+c可分解为a （ x- x

111、i） （ x x2） 0以a和Z ?为根的一元二次方程是x2 （ a+ h） x+ ab= Q07. 一次函数一次函数） =履 + 优 原0）的图象是一条直线S是直线与y轴的交点的纵坐标, 称为截距） 。 当k0时,y随x的增大而增大（ 直线从左向右上升） ；当ZV0时，y随x的增大而减小（ 直线从左向右下降） ；特别地: 当。 =0时，y= kx （ 厚0）又叫做正比例函数（ y与x成正比例） ， 图象必过原点。8. 反比例函数反比例函数产： （ 厚0）的图象叫做双曲线。 当k0时，双曲线在一、三象限（ 在每一象限内，从左向右降）；当 0时， 开口向上; 当a 0时，开口向下；同相等，抛物线

112、的开口大小、形状相同。平行于y轴 （ 或重合） 的直线记作x = A .特别地, ） ， 轴记作直线x = 0。（ 3） .几种特殊的二次函数的图像特性如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y - ax1当a0时% = 0(y 轴)(0,0)y = ax2 + k开口向上当a = a x 2 +/ 7x + c = a （ x + - L 十如土，顶 点 是 （ 一2,北 上） ， 对 称 轴 是V 2 a） 4。 2 a 4 a直 线 = 2。2 a 配 方 法 ：运 用 配 方 的 方 法 , 将 抛 物 线 的 解 析 式 化 为y = a（ x - /J）2 + Z的 形 式 ， 得

113、到 顶 点 为（ ， 攵）， 对 称 轴 是 直 线x = 。 运 用 抛 物 线 的 对 称 性 ： 由 于 抛 物 线 是 以 对 称 轴 为 轴 的 轴 对 称 图 形 ，对称轴与抛物线的交点是顶点。若 已 知 抛 物 线 上 两 点 （ 不 .、 （ / ） （ 及y值 相 同 ） ， 则 对 称 轴 方 程 可 以 表 达 为 ：（ 5 ） . 抛物线） = / + b x + c中产上C的作用 决 定 开 口 方 向 及 开 口 大 小 ，这与 = 依2中 的a完 全 同 样 。人和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y = a ? + b x + c的 对 称 轴 是 直

114、线 。A Ax =- - - - ， 故 ：5 = 0时， 对 称 轴 为y轴 ； 一0 （ 即a、 / ? 同号） 时 ，对 称 轴 在y轴左2 a a侧 ；2 0 ,与y轴 交 于 正 半 轴 ；c ( ) ) = 抛物线与x 轴相交；b 有一个交点( 顶点在x 轴上) ( = 0)o 抛物线与x 轴相切；c 没有交点 ( 0 ) 。 抛物线与x 轴相离。平行于X 轴的直线与抛物线的交点同同样也许有0个交点、1 个交点、2个交点. 当有2个交点时, 两交点的纵坐标相等， 设纵坐标为Z,则横坐标是以2 + 法 + 。 = 上的两个实数根。一次函数y = kx+ n(k * 0 ) 的图像/

115、与二次函数y = ax1 + bx + ca H 0 ) 的图像G 的交 y = kx+ n用 由 方 程 组 , 的解的数目来拟定：_y = ax + bx+ ca方程组有两组不同的解时o /与G 有两个交点；b 方程组只有一组解时o /与G 只有一个交点；C方程组无解时o /与G 没有交点。 抛 物 线 与 x轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线y = ax2 + Z zr + c 与 x轴 两 交 点 为A ( X 1 , 0 ) 川龙2 , 0 ) , 则 45=归一百10. 记录初步（ 1）概念：所要考察的对象的全体叫做总体， 其中每一个考察对象叫做个体. 从总体中

116、抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量. 在一组数据中，出现次数最多的数（ 有时不止一个） , 叫做这组数据的众数. 将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（ 或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数.（ 2 ）公式: 设有个 数X I , X 2 , ，Xn,那么：平均数为：.=/+%+居；n极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差， 即: 极差= 最大值- 最小值；方差: 数据X 、X , . . . . , X .的方差为S 2 ,则 1 = 5 德 7 ） + （ 工2 -嚏） + . + （ 工 -

117、1） 2标准差：方差的算术平方根。数据X 、x2. . . . , X 的标准差S ,一组数据的方差越大，这组数据的波动越大， 越不稳定。11. 频率与概率（ 1）频率频率= 理，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1 ,频率分布直方图中总数各个小长方形的面积为各组频率。（2 ）概率假如用P表达一个事件A发生的概率， 则0 P （ A） 1 ;P （ 必然事件） =1 ; P（ 不也许事件） = 0 ;在具体情境中了解概率的意义，运 用 列 举 法 （ 涉及列表、画树状图） 计算简朴事件发生的概率。大量的反复实验时频率可视为事件发生概率的估计值;1 2 .锐角三角形设NA是A A B

118、 C 的任一锐南，则NA的正弦： siiL4= 照 边 ,N/ 的余弦：co s A=乙亶丁边,N Z 的正切：tan/ 二 乙 黑 , ) .并且siiA+cos2A=1。利也 一邸) 邻以0 sin A 1 , 0 c o s /l0. NA越大,N 力的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。余角公式： s in(9 0- A ) =cosA,co s (90 A )=s i n A o特殊角的三角函数值：si n 30= c o s 60= i, s in45= c o s45=J, s i n60= c os 3N20。 咚tan3CT=里 ，tan45=l, tan60o=l/To公z讣

119、A A讣 旄 铅 垂 高 度 h、 作4么 人 . h斜坡的坡度：F 丁=7 设坡角为% 则 = tan a= y 。 ,水 平 宽 度1 13 .正 ( 余 ) 弦 定 理 /(1)正弦定理 a/sin A=b/sinB =c/sinC =2R ;注: 其中R 表达三角形的外接圆半径。正弦定理的变形公式：( 1) a = 2 R s inA, b=2Rs i nB, c=2RsinC； (2) s i nA :s in B : si n C = a ： b : c( 2 ) 余弦定理 b2=a2+c2-2 a ccosB;a2= b 2+c2- 2 b cco s A ; c 2=a2 +

120、b22abc o sC;注: N C 所对的边为c,N B 所对的边为b, N A 所对的边为a14 .三角函数公式( 1 )两角和公式si n (A+B)=s i nA c osB+cosAsinB sin ( A -B)=sinAcosB- s inBcosAcos( A +B)=cos A co sB-sinA s i nB cos(A-B)=c o sAcosB+sinAs i n Btan(A+B)=(ta n A+tanB)/(1 tanAtanB) t a n (A B ) =( t an A -tan B )/ (1+tanAtanB)c t g(A+B)=(ctgActgB-

121、 1 )/(ctgB+ctg A ) c t g(A-B)=(ctg A ctgB+ 1 )/( c tgB-ct g A)( 2 )倍角公式tan2A=2 t anA/( 1 t a n2A) ctg2A=( c t g2A - 1) / 2ctgac os2a=cos2a-sin2 a =2cos2a-1 = 1 -2sin2a( 3 )半角公式s in( A / 2 )=A/ ( 1 - C OSA)/2) si n (A / 2)=A/(1- C OSA)/2)cos(A/2尸4(1+c o s A ) /2) c os(A/2)=4 ( (1+c o s A)/2 )ta n (A/

122、2)=/( 1 -co sA)/( (1+c o s A) tan(A/2) = - ( 1 -cos A ) /( ( 1+c o sA )ctg(A/2)=(l+cosA)/( (1- c osA) ctg( A/2) =-Y (1+ c o s A)/(lcosA)( 4 )和差化积s inA+sinB=2 s in(A+B)/2) c os(A-B)/2 c osA+c o sB=2c o s(A+B) /2) si n (A-B)/ 2 )tan A +t a nB=sin( A +B) / c o sA c os B t a n AtanB=sin(AB) / c o sAco s

123、 BctgA+c t gBsi n (A+B)/s i n A sinB -ctgA+ ctgBsin(A+ B )/s i nA s inB( 5 )积化和差2 s i n Aco s B = s in(A+ B )+s i n(A-B) 2co s Asin B =sin(A+ B )-s i n( A B)2 c o sA c o sB=cos(A+B)-s i n (A-B) -2 s i n A sinB=c o s(A+B)-cos ( A B)15 .平面直角坐标系中的有关知识(1)对称性：若直角坐标系内一点P (a,匕) ，则P关 于x轴对称的点为Pi(a,d) , P关 于y

124、轴对称的点为P式 -a, /? ) , 关于原点对称的点为P3 (.-a, b) o(2)坐标平移: 若直角坐标系内一点P ( a,b)向 左 平 移 个 单 位 ， 坐标变为P (ah, b),向右平 移0个单位，坐标变为P(a+/z/ )；向上平移力个单位，坐标变为P (a, b+ h),向下平移/7个单位， 坐标变为P (a, b h ). 如 ：点A (2 , - 1 )向上平移2个单位， 再向右平移5个单位， 则坐标变为A(7,1)。16 .多边形内角和公式多边形内角和公式：边形的内角和等于( -2) 1 80 ( N 3, 是正整数) ， 外南和等于36017 .平行线段成比例定理

125、(1 )平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线， 所得的相应线段成比例。如图：a 匕c,直 线/i与/2分别与直线a、b、c相交与点A、B、。和 。、E、F,，”七 AB DE AB DE BC EFBC EF AC DF AC DF(2)推论：平行于三角形一边的直线裁其他两边( 或两边的延长线) ， 所得的相应线段成比例。如图 ： A8 C中 ， 。 B C 与4 8、A C相 交 与 点D、瓦 则 有 ：AD _ AE AD _AE _ DE DB _ ECDBECABACBCABAC18 .直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理：如图: 为ABC中，Z/ICB=90, CD

126、LAE于则有：(1 ) CD1 = AD BD (2) AC2 = AD-AB (3 ) BC2 = BD AB A19 .圆的有关性质(1 )垂径定理：假如一条直线具有以下五个性质中的任意两个性质：通过圆心；垂直弦; 平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有此外三 个 性 质 . 注 ：具有，时，弦不能是直径。( 2 )两条平行弦所夹的弧相等。(3 )圆心角的度数等于它所对的弧的度数。(4) 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。( 5 )圆周角等于它所对的弧的度数的一半。( 6 )同弧或等弧所对的圆周角相等。(7)在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧相等。(8

127、) 90。 的圆周角所对的弦是直径, 反之，直径所对的圆周角是90。 ，直径是最长的弦。、( 9 )圆内接四边形的对角互补。2 0 .三角形的内心与外心(1)三前形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形的内心就是三内角角平分线的交点。( 2 )三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 三角形的外心就是三边中垂线的交点.常见结论: RtaA BC的三条边分别为：a、b、为 斜 边 ) ，则它的内切圆的半f a-vb-c2AABC的周长为， ，面积为S,其内切圆的半径为r ,则 221 .弦切角定理及其推论（ 1）弦切角： 顶点在圆上， 并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：NPA

128、 C为弦切角。（2）弦切角定理: 弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。假如AC是。的弦,P 4是。的切线，A 为切点、 ,则NPAC = AC = LNAOC2 2推论: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角（ 作用证明角相等）假如力。是。 。的弦，P 4是。 。的切线，A 为切点、 ,则NPAC = NABC22 .相交弦定理、割线定理和切割线定理（ 1）相交弦定理：圆内的两条弦相交， 被交点提成的两条线段长的积相等。如图， 即：P A P B = PC PD（ 2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线, 这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图，即：P AP B = PC PD（ 3）切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图，-.P C2 =PA P B。 。 23 .面积公式5M =孚 边 长 ）2.S平 行 四 边 册 =底x曲. 5装号= 底*高=： x（对角线的积），S梯形= g （上底+下底） 乂高= 中位线x高&=兀Z?2./圄周长=2兀R. 弧 长 力 = 鬻nnr 1 ,- lr360 2Sai柱 例 =底面周长x高=2兀 h ,S全 由 根=5创+5底=2兀+2兀3Sm雄第=皋底面周长x母 线 =兀 b ,S金 百 斯=S( +S底 =兀法+兀