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1、 1. 缓和曲线的作用与性质缓和曲线的作用与性质 2. 缓和曲线的布设缓和曲线的布设 （平曲线里程桩号计算）（平曲线里程桩号计算）3.4 3.4 缓和曲线缓和曲线 教学内容：教学内容：（第（第6 6讲）讲）重点解决的问题：重点解决的问题： 为什么要在直线与圆曲线中间插入缓和曲线？为什么要在直线与圆曲线中间插入缓和曲线？ 为什么缓和曲线采用回旋线作为其线形？为什么缓和曲线采用回旋线作为其线形？3.4.1 3.4.1 缓和曲线的作用与性质缓和曲线的作用与性质n定定义：缓和和曲曲线是是从从半半径径为为无无穷穷大大的的直直线线到到半半径径为为定定值值的的圆圆曲曲线线之之间间的的曲曲率逐渐变化的过渡曲线
2、。率逐渐变化的过渡曲线。 1. 1. 缓和曲和曲线的作用的作用n （1 1）曲率曲率连续变化，便于化，便于驾驶操作驾驶操作n （2）离心加速度逐渐变化，消除离心力突变离心加速度逐渐变化，消除离心力突变n （3）为设置超高和加宽提供过渡段）为设置超高和加宽提供过渡段n （4）与圆曲线配合得当，美化线形）与圆曲线配合得当，美化线形 3.4 3.4 缓和曲线缓和曲线 不设缓和曲线的情况设缓和曲线的情况O （1）缓和曲线的线形的要求）缓和曲线的线形的要求 汽汽车的行的行驶状态假定：状态假定： 1）汽车作等速行驶，速度为汽车作等速行驶，速度为v（m/s）；）； 2）方向盘转动是匀速的，转动角速度为方向盘
3、转动是匀速的，转动角速度为 （rad/s）；）； 当方向当方向盘转动角度角度为 时，前，前轮相相应转动角度角度为 ， = = k k 2. 2. 缓和曲和曲线的的形式形式 是在是在t t时间后方向后方向盘转动的角度，的角度， = = t t 汽汽车前前轮的的转向角向角为 = = ktkt ( (radrad) )汽车行驶轨迹的曲率半径：汽车行驶轨迹的曲率半径：n汽车的行驶轨迹曲线半径为：汽车的行驶轨迹曲线半径为：n汽车以汽车以v等速行驶，经时间等速行驶，经时间t以后，其行驶距离（弧长）为以后，其行驶距离（弧长）为l ：n结论：结论：汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的汽车匀速从直线进
4、入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的 弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数。弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数。与数学上的回旋线的性质相符与数学上的回旋线的性质相符（2）标准标准规定：规定：以回旋线作为缓和曲线。以回旋线作为缓和曲线。 l = vt (m)（3）其它形式的缓和曲线）其它形式的缓和曲线三次抛物线三次抛物线 方程式：方程式：双纽线双纽线 方程式：方程式： 回旋线、三次抛物线和双纽线在极角较小时的区别非常小。但随着极角回旋线、三次抛物线和双纽线在极角较小时的区别非常小。但随着极角的增大，回旋线的曲率半径减小得最快，而三次抛物线的曲率半径减小的增大，回旋线的曲率半径减小得最快，而三次抛物线的曲
5、率半径减小得最慢。得最慢。 缓和曲线起点：回旋线的起点缓和曲线起点：回旋线的起点 l=0，=；缓和曲线终点：回旋线某一点缓和曲线终点：回旋线某一点 lLs，R。则则 RLs=A2YXO3.4.2 3.4.2 缓和曲线的布设缓和曲线的布设 Ls1回旋线的数学表达式回旋线的数学表达式我国现行我国现行标准标准规定缓和曲线采用回旋线。规定缓和曲线采用回旋线。回旋线的基本公式表示为：回旋线的基本公式表示为：l = C = A2 式中：式中：A回旋线的参数回旋线的参数 RCM回旋线的参数值为：回旋线的参数值为：n由由微微分分方方程程推推导导回回旋旋线线的的直直角角坐标方程：坐标方程：n以以l = A2代入
6、得：代入得：n回旋线微分方程为：回旋线微分方程为：1. 回旋线的数学表达式：回旋线的数学表达式：对对 积分得：积分得：非常重要非常重要非常重要非常重要相当于圆心角的相当于圆心角的相当于圆心角的相当于圆心角的1/21/2对 积分得：分得：n式中：式中： 回旋回旋线上任一点的半径方向与上任一点的半径方向与Y Y轴（切（切线）的）的夹角。角。把把cos 、sin 用泰勒级数展开：用泰勒级数展开：n回旋线微分方程：回旋线微分方程：n式中：式中： 回旋回旋线上任一点的半径方向与上任一点的半径方向与Y Y轴（切（切线）的）的夹角。角。对对 积分得：积分得：对对dx进行积分：进行积分： 对对dy进行积分：进
7、行积分： n式中：式中： 回旋回旋线上任一点的半径方向与上任一点的半径方向与Y Y轴（切（切线）的）的夹角。角。对对 积分得：积分得：在回旋线终点处，在回旋线终点处，l = Ls， = R，A2 = RLs 回旋线终点坐标计算公式：回旋线终点坐标计算公式：回旋线上任意点坐标计算公式回旋线上任意点坐标计算公式回旋回旋线终点的半径方向与点的半径方向与Y Y轴（切（切线）的）的夹角角 0 0计算：算：n（1）切线角）切线角n定定义义：回回旋旋线线上上任任意意点点处处的的切切线线与与回回旋旋线线起起点点或或点点的的切切线线（x轴轴）的的交交角。角。 2. 2. 回旋回旋线的几何要素的几何要素 2. 2
8、. 回旋回旋线的几何要素的几何要素在回旋线在回旋线起点起点ZH或或HZ点处，点处，l = LS，切线角表示为，切线角表示为0 n（2）内移值）内移值p ：n（3）切线增值）切线增值 q：0n（1）切线角）切线角定义：回定义：回旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（x轴）的交角。轴）的交角。 pq平面平面线形基本形基本组成成：直：直线- -回旋回旋线- -圆曲曲线- -回旋回旋线- -直直线。3 3有有缓和曲和曲线的道路平曲的道路平曲线几何元素几何元素00LsLsRO曲线长：曲线长：外距：外距：校正值：校正值：平面平面线形基本形基本组成成：直：直
9、线- -回旋回旋线- -圆曲曲线- -回旋回旋线- -直直线。(1)(1)曲线要曲线要素的素的计算公式：算公式：3 3有有缓和曲和曲线的道路平曲的道路平曲线几何元素几何元素切线长：切线长：Jh = 2Th - Lh直线直线直线直线缓和曲线缓和曲线圆曲线圆曲线缓和曲线缓和曲线n(2)(2)主点里程桩号计算方法主点里程桩号计算方法：ZH = JD ThHY = ZH + LsQZ = ZH + Lh/2YH = HZ LsHZ = ZH + LhJD = QZ +Jh/2直线直线直线直线缓和曲线缓和曲线圆曲线圆曲线缓和曲线缓和曲线以交点里程桩号以交点里程桩号JD为起算点：为起算点：例题：例题：已知
10、平原区某二级公路有一弯道，已知平原区某二级公路有一弯道， JD=K2+536.48，偏角偏角右右=152830，半径，半径R=250m，缓和曲线长度缓和曲线长度Ls=70m要求：（要求：（1）计算曲线主点里程桩号；）计算曲线主点里程桩号； （2）计算曲线上每隔）计算曲线上每隔25m整桩号切线支距值。整桩号切线支距值。J=2T-L=2116.565-232.054=1.077解：（解：（1 1）曲线要素计算：）曲线要素计算：（2 2）主点里程桩号计算）主点里程桩号计算：以交点里程桩号为起算点：以交点里程桩号为起算点：JD = K2+536.48 ZH = JD T =K2+536.48 - 11
11、6.565 = K2+419.915 HY = ZH + Ls = K2+419.915 +70 = K2+489.915 QZ = ZH + L/2= K2+419.915+232.054/2 =K2+535.942 HZ = ZH + L = K2+419.915 +232.054 =K2+651.969 YH = HZ Ls = K2+651.97 70=K2+581.969 结结 论论n 1. 在直线与圆曲线中间插入缓和曲线的作用：在直线与圆曲线中间插入缓和曲线的作用：l （1）曲率连续变化，便于驾驶操作）曲率连续变化，便于驾驶操作l （2）离心加速度逐渐变化，消除离心力突变）离心加速
12、度逐渐变化，消除离心力突变l （3）为设置超高和加宽提供过渡段）为设置超高和加宽提供过渡段l （4）与圆曲线配合得当，美化线形）与圆曲线配合得当，美化线形 n 2. 缓和曲线采用回旋线作为其线形的原因：缓和曲线采用回旋线作为其线形的原因：l 汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）、驾驶员以等角速度匀速汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）、驾驶员以等角速度匀速转动方向盘其行驶轨迹线的弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数，转动方向盘其行驶轨迹线的弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数，即行驶轨迹线与回旋线的性质相符，故我国即行驶轨迹线与回旋线的性质相符，故我国标准标准规定以回旋线规定以回旋线作为缓和曲线。作为缓和曲线。
