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1、 平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学平面图形的几何性质A.1 A.1 A.1 A.1 静矩和形心静矩和形心静矩和形心静矩和形心A A.2 .2 .2 .2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径A A.4 .4 .4 .4 平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式A A.3 .3 .3 .3 惯性积惯性积惯性积惯性积目目 录录材料力学平面图形的几何性质A A.1 .1 静矩和形心静矩和形心一、静矩一、静矩分别为图形对分别为图形对 z z 轴和轴和 y y 轴的静矩。轴的静矩。说明：说明：1 1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的、静矩不
2、仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。2 2、静矩的数值可正可负，也可以为零、静矩的数值可正可负，也可以为零。3 3、静矩的单位：、静矩的单位：mm3 3 或或 m3 3yzOdAyz定义定义: : 面积对轴的一次矩。面积对轴的一次矩。材料力学平面图形的几何性质 对均质薄板来说，形心与重心坐对均质薄板来说，形心与重心坐标相同。标相同。二、形心二、形心即即: :从而：从而：推论推论1 1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。则该
3、坐标轴必通过图形的形心。2 2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，即：轴过形心即：轴过形心 S S该轴该轴=0 =0 yzOdAyzzCyCC通过形心的轴称为形心轴。通过形心的轴称为形心轴。材料力学平面图形的几何性质求所示图形对求所示图形对y 轴的静矩。轴的静矩。zyzORz+dz解法解法1 1：例题例题例题例题1 1 1 1材料力学平面图形的几何性质解法解法2 2：yzO rdrdr+dr试想想还有没有其它方法？试想想还有没有其它方法？yzO材料力学平面图形的几何性质三、组合图形的静矩和形心三、组合图形的静矩和形心1 1、组合图形对某一
4、轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一轴静矩的代数和，即：轴静矩的代数和，即：其中：其中：Ai i， yi i， zi i 分别代表第分别代表第i个图形的面积和形心坐标，个图形的面积和形心坐标， n n为分割成的简单图形的个数。为分割成的简单图形的个数。2 2、组合图形的形心坐标、组合图形的形心坐标其中：其中：yc c 、 zc c为组合图形的形心坐标，为组合图形的形心坐标， S Sz、S Sy为组合图形分别对为组合图形分别对z z轴和轴和y y轴的静矩轴的静矩, , A为组合图形的总面积为组合图形的总面积, ,材料力学平面图形的几何性质100
5、2014020求所示图形的形心位置。求所示图形的形心位置。例例例例2 2 2 2由于由于z轴是对称轴轴是对称轴解：解：材料力学平面图形的几何性质A.2 A.2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径（3 3）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关, ,而且还与平面图而且还与平面图形面积相对于坐标轴的分布情况有关形面积相对于坐标轴的分布情况有关. .平面图形的面积相对坐平面图形的面积相对坐标轴越远标轴越远, ,其惯性矩越大其惯性矩越大; ;反之反之, ,其惯性矩越小其惯性矩越小. .一、惯性矩一、惯性矩定义：定义： 图形面积对某轴的二次矩：图形面积对某轴的二次矩：特点：
6、特点：（1 1）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用m4 4 、 cm4 4 、 mm4 4. .（2 2）惯性矩恒为正值）惯性矩恒为正值yzOdAyz材料力学平面图形的几何性质其中其中i iy y、i iz z分别为平面图形对分别为平面图形对z z轴和轴和y y轴的轴的惯性半径惯性半径。（4 4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和惯性矩之和: :（5 5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积方的乘积, , 即即或或材料力
7、学平面图形的几何性质材料力学平面图形的几何性质材料力学平面图形的几何性质（2 2）由于）由于2=y2+z2, , 所以有所以有Ip=Iy+Iz, , 即平面图形对通即平面图形对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等, , 并并且等于平面图形坐标原点的极惯性矩。且等于平面图形坐标原点的极惯性矩。二、极惯性矩二、极惯性矩定义：定义： 图形面积对某点的二次矩：图形面积对某点的二次矩：特点：特点：（1 1）具有惯性矩的特点。）具有惯性矩的特点。yzOdAyz材料力学平面图形的几何性质A.3 A.3 惯性积惯性积一、惯性积一、惯性积定义：定义：yzOd
8、Ayz图形对一对相互垂直的轴的矩。图形对一对相互垂直的轴的矩。特点特点: :(1)(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4 4 、 cm4 4 、 mm4 4. .(2)(2)其值可正、可负，可为零。其值可正、可负，可为零。(3)(3)所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。材料力学平面图形的几何性质有对称轴截面的惯性积有对称轴截面的惯性积z zy yC Cd dA Ad dA Ay yy yz z-z -zIyz= (yizidA- yizidA)=0材料力学平面图形的几何性质二、几个主要定义二、几个主要定义(
9、1)(1)主惯性轴：主惯性轴：I Iy y0 0z z0 0=0=0，则，则y y0 0、z z0 0为主惯性轴。为主惯性轴。有对称轴截面的主惯性轴有对称轴截面的主惯性轴z zy yC Cd dA Ad dA Ay yy yz z-z -zIyz= (yizidA- yizidA)=0 当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主惯性轴。意轴即为过二者交点的主惯性轴。 材料力学平面图形的几何性质(4)(4)形心主惯性矩：形心主惯性矩：对形心主惯性轴的惯性矩对形心主惯性轴的惯性矩(2)(2)主惯性矩：主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩。
10、对任一主惯性轴的惯性矩。(3)(3)形心主惯性轴：形心主惯性轴：过形心的主惯性轴。过形心的主惯性轴。材料力学平面图形的几何性质求所示图形的形心主惯性矩。求所示图形的形心主惯性矩。例例例例3 3 3 3解：解：求所示图形的形心主惯性矩求所示图形的形心主惯性矩例例例例4 4 4 4解：解：同理，对于空心圆：同理，对于空心圆：材料力学平面图形的几何性质A.4 A.4 平行移轴公式平行移轴公式一、惯性矩的平行移轴公式一、惯性矩的平行移轴公式 C C为形心，为形心，y y、z z为原坐标轴，为原坐标轴，y yc c、z zc c为为过形心过形心C C分别与分别与y y、 z z平行的坐标轴平行的坐标轴y
11、zOzcycC材料力学平面图形的几何性质(1)(1)两平行轴中必须有一轴为过形心轴。两平行轴中必须有一轴为过形心轴。(2)(2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯性矩来换算。轴惯性矩来换算。(3)(3)截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性矩为最小。矩为最小。则有：则有：说明：说明：yzOzcycC材料力学平面图形的几何性质二、惯性积的平行移轴公式二、惯性积的平行移轴公式说明：说明： 不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为a
12、a、b b（形（形心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。yzOzcycC材料力学平面图形的几何性质三、组合图形形心主惯性矩的计算三、组合图形形心主惯性矩的计算3 3、利用平行移轴公式，叠加、利用平行移轴公式，叠加1 1、确定组合图形的形心主惯性轴、确定组合图形的形心主惯性轴2 2、求各组成图形分别对自身形心轴、求各组成图形分别对自身形心轴y yi i、z zi i轴的惯性矩轴的惯性矩, , y yi i、z zi i轴分别平行与轴分别平行与y y、z z轴。轴。a. a. 确定形心确定形心b. b. 确定形心主惯性轴确定形心主惯性轴材料力学平面图形
13、的几何性质例例5：试计算图示截面的形心主惯性矩。试计算图示截面的形心主惯性矩。解解： （1）确定形心及形心主惯性轴。）确定形心及形心主惯性轴。 由于由于y、 z为对称轴，故为对称轴，故y、z都为都为形心主惯性轴。形心主惯性轴。（2）计算三部分对形心主惯性轴的形）计算三部分对形心主惯性轴的形心惯性矩。心惯性矩。（3 3）计算组合图形的形心惯性矩。）计算组合图形的形心惯性矩。材料力学平面图形的几何性质3003027050例例6：试计算试计算T形截面的形心主惯性矩。形截面的形心主惯性矩。CC1C2zyyc解解： （1）确定形心及形心主惯性轴。）确定形心及形心主惯性轴。 由于由于z为对称轴，故为对称轴
14、，故yc、zc都都为形心主惯性轴。为形心主惯性轴。（2）计算两矩形对自身形心）计算两矩形对自身形心C1、C2的惯性矩。的惯性矩。（3 3）计算形心惯性矩。）计算形心惯性矩。材料力学平面图形的几何性质工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不等边角钢可查附录工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不等边角钢可查附录例如：型号为例如：型号为25a的工字钢的工字钢查表可知：查表可知：材料力学平面图形的几何性质课堂练习材料力学平面图形的几何性质求图示截面对求图示截面对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。习题负面负面积法积法材料力学平面图形的几何性质Eg1 Eg1 求求图图I-2I-2所示半所示半圆圆形的形的 静矩静矩及
15、形心位置及形心位置 材料力学平面图形的几何性质解解：由对称性，由对称性， 现现取平行于取平行于 轴轴的狭的狭长长条作条作为为微面微面积积 材料力学平面图形的几何性质Eg2Eg2、如图所示、如图所示, ,确定其形心位置。确定其形心位置。材料力学平面图形的几何性质解：将解：将图图形看作由两个矩形形看作由两个矩形I和和组组成，成，在在图图示坐示坐标标下每个矩形的面下每个矩形的面积积及形心位置分及形心位置分别为别为矩形矩形：mm2 mm， 矩形矩形：mm2 mm， mmmm材料力学平面图形的几何性质整个整个图图形形心形形心的坐的坐标为标为材料力学平面图形的几何性质Eg3 求如求如图图I-6所示所示图图
16、形的形的 及及 材料力学平面图形的几何性质解解：取平行于取平行于 轴轴的狭的狭长长矩形，由于矩形，由于 ，其中，其中宽宽度度 随随 变变化，化，由由如如图图则则 材料力学平面图形的几何性质 Eg4、 由两个由两个8号槽号槽钢钢和两和两块块 cm2 钢钢板板组组成的截面，成的截面，如图如图 I-8 I-8 ，求，求 材料力学平面图形的几何性质解：解：计计算算 根据平行移根据平行移轴轴公式，求得每一公式，求得每一钢钢板板对对 轴轴的的惯惯性矩性矩为为从型从型钢钢表中表中查查得每一槽得每一槽钢对钢对 轴轴的的惯惯性矩性矩为为 cm4 cm4 则该组则该组合截面合截面对对 轴轴的的惯惯性矩性矩为为cm4材料力学平面图形的几何性质
