《定积分的几何应用(面积和弧长)课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分的几何应用(面积和弧长)课件（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目录 上页 下页 返回 结束 利用元素法解决利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用目录 上页 下页 返回 结束 定积分的元素法元素法 一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 目录 上页 下页 返回 结束 表示为表示为一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量所求量 U 是与区间是与区间a , b上的某分布上的某分布 f (x) 有关的有关的2) U 对区间对区间 a , b 具有具有可加性可加性 , 即可通过即
2、可通过“分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取极限取极限”定积分定义定积分定义一个整体量一个整体量 ;目录 上页 下页 返回 结束 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用利用“分割分割 , 近似代替近似代替” 求出局部量的求出局部量的微分表达式微分表达式第二步第二步 利用利用“ 求和求和 , 取极限取极限 ” 求出整体量的求出整体量的积分表达式积分表达式这种分析方法称为这种分析方法称为元素法元素法 (或或微元分析法微元分析法 )元素元素的几何形状常取为的几何形状常取为: 条条, 带带, 段段, 环环, 扇扇, 片片, 壳壳 等等近似值近似值精确值精
3、确值第二节第二节 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用目录 上页 下页 返回 结束 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线与直线与直线及及 x 轴所围曲轴所围曲则则边梯形面积为边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为右下图所示图形面积为 OO目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围在第一象限所围图形的面积图形的面积 . 解解: 由由得交点得交点O目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算抛物线计算抛物线与直线与直线的面
4、积的面积 . 解解: 由由得交点得交点所围图形所围图形为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有O目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求椭圆求椭圆解解: 利用对称性利用对称性 , 所围图形的面积所围图形的面积 . 有有利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得应用定积分换元法得当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式目录 上页 下页 返回 结束 一般地一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时给出时, 按按顺时针方向顺时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积则曲边梯形面积O目录 上页 下页
5、返回 结束 例例4. 求由摆线求由摆线的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .解解:O目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形极坐标情形求由曲线求由曲线及及围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .在区间在区间上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为O目录 上页 下页 返回 结束 对应对应 从从 0 变变例例5. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:到到 2 所围图形面积所围图形面积 . O目录 上页 下页 返回 结束 心形线心形线 例例6. 计算心形线计算心
6、形线所围图形的所围图形的面积面积 . 解解:(利用对称性利用对称性)心形线心形线O目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 计算心形线计算心形线与圆与圆所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 , 所求面积所求面积目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 , 则所求面积为则所求面积为思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积所围公共部分的面积 .答案答案:O目录 上页 下页 返回 结束 二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接
7、折线上任意作内接折线 ,当折线段的最大当折线段的最大边长边长 0 时时, 折线的长度之和趋向于一个确定的极限折线的长度之和趋向于一个确定的极限 ,则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧 AB 的弧长的弧长 ,即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.( (证明略证明略) )目录 上页 下页 返回 结束 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :因此所求弧长因此所求弧长目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长目录 上页
8、下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :(自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:下垂悬链线方程为目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 计算摆线一拱的弧长 .解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长及边界长 s .提示提示: 交点为交点为弧线段部分弧线段部分直线段部分直线段部分以以 x 为积分变量为积分变量 , 则要分则要分两段积分两段积分, 故以故以 y 为积分变量为积分变量. 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：2. 求曲线求曲线所围图形的面积所围图形的面积.显然显然面积为面积为同理其他同理其他.又又故在区域故在区域
