《部分计算机图形学Bezier曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《部分计算机图形学Bezier曲线（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2024/8/18李辉 副教授Bezier曲线R第2页2024/8/18第10部分 Bezier曲线内容nBezier 曲线历史nBezier 曲线的定义nBernstein基函数的性质nBezier 曲线的性质nBezier 曲线的递推算法nBezier 曲线的拼接nBezier 曲线的升阶和降阶第3页2024/8/18第10部分 Bezier曲线Bezier 曲线历史由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲
2、线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。第4页2024/8/18第10部分 Bezier曲线三次Bezier曲线示例0P1P2P3P0P1P2P3P第5页2024/8/18第10部分 Bezier曲线Bezier 曲线的定义n定义给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则Bezier曲线可定义为： 其中：Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：第6页2024/8/18第10部分 Bezier曲线Bernstein基函数的性质1.正性2.端点性质第7页2024/8/18第10部分 Bezier曲线3.权性4.对称性第8页20
3、24/8/18第10部分 Bezier曲线5.递推性第9页2024/8/18第10部分 Bezier曲线6.导函数第10页2024/8/18第10部分 Bezier曲线Bezier 曲线的性质1.端点性质曲线端点位置矢量由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0 ；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。第11页2024/8/18第10部分 Bezier曲线切矢量 当t=0时，P(0)=n(P1-P0)，当t=1时，P(1)=n(Pn-Pn-1)，说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形
4、的第一条边及最后一条边的走向一致。第12页2024/8/18第10部分 Bezier曲线二阶导矢当t=0时当t=1时结论：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关第13页2024/8/18第10部分 Bezier曲线2.对称性由控制顶点 构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：第14页2024/8/18第10部分 Bezier曲线3.凸包性 且 Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。凸包第15页2024/8/18第10部分 Bezier曲线4.几何不变性Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0, 1,
5、, n)的位置有关，不依赖坐标系的选择。5.变差缩减性若Bezier曲线的特征多边形 是一个平面图形P0P1Pn， 则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。第16页2024/8/18第10部分 Bezier曲线Bezier曲线的矩阵表示一次三次二次第17页2024/8/18第10部分 Bezier曲线n需求计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。n基本递推算法抛物
6、线三切线定理Bezier曲线的递推算法1P 0P 2P 11P 10P 20P Bezier曲线上的点第18页2024/8/18第10部分 Bezier曲线1P 0P 2P 11P 10P 20P 第19页2024/8/18第10部分 Bezier曲线n递推性质当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的二条二次Bez
7、ier曲线的线性组合第20页2024/8/18第10部分 Bezier曲线由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ., n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线 P0n-1与P1n-1的线性组合：由此得到Bezier曲线的递推计算公式这便是著名的de Casteljau算法。Pn0即为曲线P(t)上具有参数t的点。第21页2024/8/18第10部分 Bezier曲线0P1P2P3P10P11P12P20P21P30Pn=3时niP的递推关系第22页2024/8/18第10部分 Bezier曲线几何作图法求Bezier曲线 上
8、一点（n=3，t=1/3）) 3/ 1(30PP =011/30P1P2P3P10P11P12P20P21P第23页2024/8/18第10部分 Bezier曲线Bezier 曲线的拼接n拼接的需求几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。第24页2024/8/18第10部分 Bezier曲线b1Pn-2Pn-1P(t)an-1anPnQ0Q1b2Q2Q(t)要使它
9、们达到G0连续的充要条件是：Pn= Q0；要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三点共线，即：第25页Bezier曲线的升阶与降阶2024/8/18第10部分 Bezier曲线原始控制顶点P0,P1,.,Pn新控制顶点为P0*,P1*,.,Pn+1*第26页从Bezier曲线到B样条曲线n以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。n1972 年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Be
10、zier方法的弱点。2024/8/18第10部分 Bezier曲线第27页B样条曲线2024/8/18第10部分 Bezier曲线在上式中，0 t 1； i= 0, 1, 2, , m所以可以看出：样条曲线是分段定义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。 样条曲线第28页B样条基函数2024/8/18第10部分 Bezier曲线F k,n ( t ) 为 n 次B样条基函数，也称样条分段混合函数：式中： 0 t 1 k = 0, 1, 2, , n 第29页二次B样条曲线2024/8/18第10部分 Bezier曲线n=2,二次B样条曲线m+n+1个顶点，三点一段，共m+1段。第30页2024/8/18第10部分 Bezier曲线图例(Bezier)第31页2024/8/18第10部分 Bezier曲线第32页2024/8/18第10部分 Bezier曲线图例(B样条）第33页图例(2重点、3重点)2024/8/18第10部分 Bezier曲线2重点3重点
