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1、 复习与总结复习与总结 兰州市第十八中学兰州市第十八中学 王立森王立森 设空间两点设空间两点 ，则则（一）两点间的距离公式（一）两点间的距离公式PAd注：注：1. “直线到平面的距离直线到平面的距离”用直线上任用直线上任意一点到平面的距离来计算意一点到平面的距离来计算 2. “平面到平面的距离平面到平面的距离”用一个平用一个平面上任意一点到另一个平面的距离来计面上任意一点到另一个平面的距离来计算算 设设是是平平面面外外一一点点，是是平平面面的的一一条条斜斜线线，交交平平面面于点于点，而，而 是平面是平面的法向量，那么向量的法向量，那么向量在在 方向上的正射影长就是点方向上的正射影长就是点到平面
2、到平面的距离的距离 ： nnAP 例例1：已知棱长为的正方体：已知棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，中， E、F分别是分别是B1C1和和C1D1的中点，的中点，求点求点A1到平面到平面DBEF的距离。的距离。zxBA1yFEB1C1D1DCAABCD若若是异面直线是异面直线a，b的公垂线段，点的公垂线段，点，分别为分别为a，b上的任意两点上的任意两点. 为直线为直线a，b的公共的公共法向量（即向量），则两异面直线法向量（即向量），则两异面直线a，b间的距离为间的距离为： 例例2：已知棱长为已知棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1，求直线求直线DA1和和AC间的距离。间的距离
3、。 zA1yxAC1BCD1B1D（一）异面直线所成的角（一）异面直线所成的角两异面直线两异面直线AB与与CD的夹角：的夹角：CDAB例例. 求例求例2中异面直线中异面直线DA1和和AC所成的角所成的角.直线直线与平面与平面所成的角所成的角可看成是向量可看成是向量与平面与平面的法向量所成的锐角的余角，所以有的法向量所成的锐角的余角，所以有 PAd例：已知棱长为例：已知棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E是是A1B1的中点，求直线的中点，求直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角。所成的角。zyExD1AC1B1A1BDC 已知二面角已知二面角l，向量、是半平面向量、是半平
4、面、的法向量，的法向量，为二面角为二面角l的平面角，的平面角，且且cos l当当为锐角时，为锐角时，arccos 当当为钝角时，为钝角时，arccos 例：已知棱长为例：已知棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面求平面A1BC1与平面与平面ABCD所成的二所成的二面角的大小。面角的大小。zyxD1A1DB1C1CBA利用坐标法（特别利是用法向量）来解决利用坐标法（特别利是用法向量）来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也
5、有局限性，全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。正棱锥等。 在棱长为在棱长为2的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是A1B1和和B1C1的中点。的中点。（1）求点）求点D到到BE的距离；的距离；（2）求点）求点D到面到面BEF的距离；的距离；（3）求）求BD与面与面BEF所成的角。所成的角。
