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1、微积分基本公式微积分基本公式(1) 通过定积分的物理意义通过定积分的物理意义,例例变速直线运动的路程为变速直线运动的路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为(v(t)和和s(t)的关系的关系)设某物体作直线运动设某物体作直线运动,已知速度已知速度的一个连续函数的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔是时间间隔一、问题的提出一、问题的提出其中其中积分的有效、简便的方法积分的有效、简便的方法.找到一个计算定找到一个计算定2推论推论9例例 解解例例 解解10例例 解解11例例解解这是这是 型不定式型不定式,分析分析应用应用LHospita
2、l法则法则12例例 解解求极限求极限 2002年考研数学年考研数学(三三) 5分分 13证证例例证明函数证明函数为单调增加函数为单调增加函数.14为单调增加函数为单调增加函数.故故15证证 令令为单调增加函数为单调增加函数.证明证明:只有一个解只有一个解.例例所以原方程所以原方程只有一个解只有一个解.或或16 分析分析 求求必须先化掉必须先化掉积分号积分号,只要对所给积分方程两边求导即可只要对所给积分方程两边求导即可.解解对所给积分方程两边关于对所给积分方程两边关于x求导求导,得得需先求出需先求出即即)1(2xx+ +f17定理定理2 2（NewtonNewton-Leibniz-Leibni
3、z公式）公式）证证牛顿牛顿( (英英)16421727)16421727 莱布尼茨莱布尼茨( (德德)16461716)16461716如果如果是连续函数是连续函数的一个原函数的一个原函数, 则则都是都是f(x)在在a,b因为因为上的原函数上的原函数, 故有故有C是待定常数是待定常数, 即有即有三、三、NewtonLeibniz公式公式)(aFC- -= =18牛顿牛顿(Newton)莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式又称为微积分基本公式，即又称为微积分基本公式，即特别特别,19注注微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： （2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题公式揭示了积分学两类
4、基本问题不定积分与定积分两者之间的内在联系不定积分与定积分两者之间的内在联系（3）求定积分问题转化为求原函数的问题）求定积分问题转化为求原函数的问题. （4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。简便的方法，使得定积分的计算大为简化。注意注意例例例例例例 问题的关键是如何求一个函数的原函数.21例例解怎么办？怎么办？ 去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)22例例 原式原式解解 面积面积例例 解解平面图形的面积平面图形的面积.所围成的所围成的23例例 解解24解解如被积函数有绝
5、对值如被积函数有绝对值,注注再用再用去掉后去掉后,N-L公式公式.应分区间将绝对值应分区间将绝对值26思考题思考题1问:对吗对吗? ?错错!分析分析其中的其中的x对积分过程对积分过程是是常数常数,而积分结果而积分结果是是x的函数的函数.若被积函数是积分上限若被积函数是积分上限(或下限或下限)的函数中的的函数中的注意注意变量变量 x 及积分变量及积分变量 t 的函数时的函数时, 应注意应注意 x与与t 的区别的区别.对对 x求导时求导时, 绝不能用积分上限绝不能用积分上限(或下限或下限)的变量的变量x替替换积分变量换积分变量.27思考题思考题1问:对吗对吗? ?故故正确解答正确解答 因为因为28
6、302002年考研数学年考研数学(二二)填空填空3分分 填空题填空题解解 原式原式31解解 原式原式=32答案：答案：0 0确定常数确定常数 a a , , b b , , c c 的值的值, , 使使解解: :原式原式 = = c c 0 0，故，故又由又由，得，得33 微积分基本公式微积分基本公式积分上限函数积分上限函数(变上限积分变上限积分) 积分上限函数的导数积分上限函数的导数 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系分学之间的关系四、小结四、小结注意注意其推论其推论.作业作业习题习题5-2 (2405-2 (240页页) ) 4. 5. 6（双数
7、）（双数）. 9. 10. 11. 微积分基本公式微积分基本公式34公主能嫁出去吗？公主能嫁出去吗？ 很久以前有位国王，住在一座通风良好的城堡里，他有三个既很久以前有位国王，住在一座通风良好的城堡里，他有三个既漂亮又聪明的公主。三位公主渐渐长大，到了该结婚的年龄，但漂亮又聪明的公主。三位公主渐渐长大，到了该结婚的年龄，但是对她们感兴趣的年轻人，没有一个是有出息的，不是飙车族，是对她们感兴趣的年轻人，没有一个是有出息的，不是飙车族，就是身无一技之长的流浪汉。于是国王设计了一个题目，来考察就是身无一技之长的流浪汉。于是国王设计了一个题目，来考察她们的追求者，主要目的就是要难倒那些飙车族。他向全国臣
8、民她们的追求者，主要目的就是要难倒那些飙车族。他向全国臣民宣布：任何人只要能够告诉他全国农民的正确人数，就可以得到宣布：任何人只要能够告诉他全国农民的正确人数，就可以得到1000块金币的奖赏，并得以任娶一位公主为妻；若是答错了，就块金币的奖赏，并得以任娶一位公主为妻；若是答错了，就得砍掉脑袋。（注：按照该国的法律规定，农民的人口密度必须得砍掉脑袋。（注：按照该国的法律规定，农民的人口密度必须刚好等于每平方英刚好等于每平方英 里里 15/8 人）人） 国王知道他这个问题不简单，因为该国的领土面积很不好计国王知道他这个问题不简单，因为该国的领土面积很不好计算。怎么说呢？它是一个不规则四边形，其中三
9、边是直线，长度算。怎么说呢？它是一个不规则四边形，其中三边是直线，长度分部是分部是100英里、英里、110英里和英里和10英里，但是第四条边界是沿着一条英里，但是第四条边界是沿着一条弯曲的河流，使得面积计算看起来几乎不可能。弯曲的河流，使得面积计算看起来几乎不可能。35 由于受到高额奖金与公主美色的诱惑，国内许多年轻人都舍命由于受到高额奖金与公主美色的诱惑，国内许多年轻人都舍命前来一试，不过不幸全都猜错了，当然也都丢掉了脑袋。悬赏不前来一试，不过不幸全都猜错了，当然也都丢掉了脑袋。悬赏不到一年，全国飙车族已经绝迹，国王非常满意，但是公主们却非到一年，全国飙车族已经绝迹，国王非常满意，但是公主们
10、却非常失望，他们埋怨道：常失望，他们埋怨道：“老爸！拜托你别再搞这个鬼名堂了吧。老爸！拜托你别再搞这个鬼名堂了吧。这么做实在是无聊透顶！我们的人民连微分都不会，何况积分呢这么做实在是无聊透顶！我们的人民连微分都不会，何况积分呢？看样子我们这辈子是永远嫁不出去啦！？看样子我们这辈子是永远嫁不出去啦！” 终于有一天，来了一个其貌不扬的外国年轻人，他向国王说：终于有一天，来了一个其貌不扬的外国年轻人，他向国王说：“我特地前来领取奖金，顺便娶走你的一位女儿。我特地前来领取奖金，顺便娶走你的一位女儿。”国王听他说国王听他说得这么有把握，哑然失笑道：得这么有把握，哑然失笑道：“你确定你办得到吗？且先告诉我
11、，你确定你办得到吗？且先告诉我，在我的王国里一共有多少个农民？在我的王国里一共有多少个农民？” “8125”,年轻人毫不迟疑地答道。顿时国王张口结舌，下巴年轻人毫不迟疑地答道。顿时国王张口结舌，下巴往下掉了一英尺长。这是哪门子的魔术呀！居然被让猜个正着。往下掉了一英尺长。这是哪门子的魔术呀！居然被让猜个正着。国王所不知道的是，这位看似腼腆的青年是周游各地的微积分教国王所不知道的是，这位看似腼腆的青年是周游各地的微积分教授，他骑着自行车来到此王国，路上听说了国王的这些奖赏，即授，他骑着自行车来到此王国，路上听说了国王的这些奖赏，即刻知道这是他有生以来能找到对象的最佳机会。刻知道这是他有生以来能找
12、到对象的最佳机会。36 他骑着自行车绕了过境一周，在沿着界河前进时，他发现河道他骑着自行车绕了过境一周，在沿着界河前进时，他发现河道正好是正好是 这条曲线，而其他边界界皆为直线并相互这条曲线，而其他边界界皆为直线并相互垂直，这个王国的疆域如右图所示：垂直，这个王国的疆域如右图所示： 经过如此这般的仔细分析后，他知经过如此这般的仔细分析后，他知道了王国的面积可由下面这个定积分计道了王国的面积可由下面这个定积分计算出来：算出来：37 由于问题问的是农民问题，所以还得把领土面积乘以农民由于问题问的是农民问题，所以还得把领土面积乘以农民人口密度的人口密度的15/8，于是他就求出了农民人数，于是他就求出
13、了农民人数： 这回国王倒是言而有信，马上下令找来内务大臣，即刻这回国王倒是言而有信，马上下令找来内务大臣，即刻张罗、准备婚礼，同时命令面前的年轻人说：张罗、准备婚礼，同时命令面前的年轻人说：“你到皇宫后你到皇宫后院去，自己选出你的新娘吧！院去，自己选出你的新娘吧！”这位看似胆小的年轻人很快这位看似胆小的年轻人很快的去而复返，牵着新娘，一脸胜利者的骄傲笑容。婚礼很快的去而复返，牵着新娘，一脸胜利者的骄傲笑容。婚礼很快就结束了，年轻人扛起金币，挽着漂亮的新娘，高高兴兴地就结束了，年轻人扛起金币，挽着漂亮的新娘，高高兴兴地去蜜月环球之旅了。去蜜月环球之旅了。 嘿嘿，掌握微积分还不错吧，不仅能收获财富，嘿嘿，掌握微积分还不错吧，不仅能收获财富，还能娶到美丽的新娘。如果你还没有学好，那就赶还能娶到美丽的新娘。如果你还没有学好，那就赶快行动吧！快行动吧！38结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！39
