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1、概率论概率论 第二节第二节 随机事件的概率随机事件的概率概率的定义概率的定义概率的性质概率的性质等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）几何概型几何概型研究随机现象研究随机现象, ,不仅关心试验中会出现哪些事件，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是也就是事件的概率事件的概率. .概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率越大，概率就越大！就越大！例如例如, 了解发生意外人身事故的可能性大小了解发生意外人身事故的可能性大小, 确定保险金额确定保险金
2、额. .例如例如, 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小, , 合理配置服务人员合理配置服务人员. .例如例如,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小了解每年最大洪水超警戒线可能性大小, , 合理确定堤坝高度合理确定堤坝高度. .1)一、一、概率的定义概率的定义1.1.概率的统计定义概率的统计定义(Frequency Approach)试验者试验者抛币次数抛币次数n “正面向上正面向上”次数次数nA 频率频率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson2400
3、0120120.5005抛掷钱币试验记录抛掷钱币试验记录可见可见, 在大量重复的试验中在大量重复的试验中, 随机事件出现的随机事件出现的频率具频率具 有稳定性有稳定性. 即通常所说的即通常所说的统计规律性统计规律性.)常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.1, 2, ，N 试验结果试验结果你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？2.2.概率的古典定义概率的古典定义(Classical Approach)(equally likely)2 3479108615 例如例如, 一个袋子中装有一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球个大小、形状完
4、全相同的球. 将球编号为将球编号为110. 把球搅匀把球搅匀, 蒙上眼睛蒙上眼睛, 从中任取一球从中任取一球.1324 5 6 7 8 91010个球中的任一个被个球中的任一个被取出的机会都是取出的机会都是1/10我们用我们用 i 表示取到表示取到 i 号球号球, i =1,2,10 . 称这样一类随机试验为称这样一类随机试验为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说基本事件或者说基本事件)出现的可能性相同出现的可能性相同 .=1,2,10 ,则该试验的样本空间则该试验的样本空间: 如如i =2称这种试验为称这种试验为等可能随机试验等可能随机试验或或古典概型古典
5、概型. 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.定义定义定义定义: :记记 A=摸到摸到2号球号球 P(A)=? P(A)=1/10记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=? P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6概率的频率定义和古典定义都有较严重的缺陷。概率的频率定义和古典定义都有较严重的缺陷。在概率的频率定义中，在概率的频率定义中，“n很大很大”是含糊不清的；是含糊不清的；在概率的古典定义中，在概率的古典定义中，“可
6、能性相同可能性相同”也是含糊不清的。也是含糊不清的。因此，数学家得到了概率的公理化定义。因此，数学家得到了概率的公理化定义。3.3.概率的公理化定义概率的公理化定义 (The Axioms of Probability)二、概率的性质二、概率的性质性质性质3的推论的推论三、等可能概型（古典概型）三、等可能概型（古典概型）给出一个记号，它是组合数的推广，规定 例5（女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否可信？ 10次试验一共有 个等可能的结果 解 假设该女士的说法不可信，即纯粹
7、是靠运气猜对的。在此假设下，每次试验的两个可能结果为：奶茶 或 茶奶且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。若记则 只包含了 个样本点中一个样本点，故由实际推断原理实际推断原理，假设错误，该女士的说法可信实际推断原理 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生古典概率计算练习古典概率计算练习把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：排成一列，
8、假设排列结果恰好拼成一个英文单词：C ISN C EE问：在多大程度上认为这样的结果问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？例例1拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为的情况数为:故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在在1260次试验中大约出现次试验中大约出现1次次 .解解: 七个字母的排列总数为七个字母的排列总数为7！这样小概率的事件在一次抽卡的
9、试验中就发生了这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了, 人们有比较大的把握怀疑这是魔术人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术的把握怀疑这是魔术.解解=0.3024允许重复的排列允许重复的排列问问错在何处？错在何处？某城市的电话号码由某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可个数字组成，每个数字可能是从能是从0- -9这十个数字中的任一个，求这十个数字中的任一个，求电话号码电话号码由五个不同数字组成由五个不同数字组成的概率的概率. .计算样本空间样本点总数和所求事件计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同所含样本点数计数方法不
10、同.从从10个不同数字中个不同数字中取取5个的排列个的排列例例2例例3 设有设有N件产品件产品, 其中有其中有M件次品件次品, 现从这现从这N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解解: 令令B=恰有恰有k件次品件次品 P(B)=？次品正品M件次件次品品N-M件件正品正品“等可能性等可能性” 是一种假设，是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必
11、须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.请注意：请注意：在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我们就可以认为我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.2、在用、在用排列排列组合组合公式计算古典概率时，公式计算古典概率时， 必须注意不要重复计数，也不要遗漏必须注意不要重复计数，也不要遗漏.3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中，求指定的间房的每一间中，
12、求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.人人房房有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这求这n (n 365)个人的生日互不相同的概率个人的生日互不相同的概率.人人任一天任一天3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N个车个车站，设每个人在每站，设每个人在每站下车的概率为站下车的概率为1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n个站各有个站各有一人下车的概率一人下车的概率.旅客旅客车站车站某城市每周发生某城市每周发生7次车祸，假设每天
13、发生车祸的概次车祸，假设每天发生车祸的概率相同率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸车祸天天问题问题1 1：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定当指针：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定当指针指向指向B B区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获胜的概率？分别求甲获胜的概率？甲获胜的概率与字母甲获胜的概率与字母B B所在扇形区域的圆弧的长度有关，所在扇形区域的圆弧的长度有关，而与字母而与字母B B所在区域的位置无关所在区域的位置无关. .四、几何概型四、几何概型（Geometric probabilityGeomet
14、ric probability）射中靶面直径为射中靶面直径为122cm122cm的大圆内的任意一点的大圆内的任意一点. .基本事件基本事件: :问题问题2 2：射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环. .从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色, ,金色靶心叫金色靶心叫“黄心黄心”. .奥运会的比赛靶面直径为奥运会的比赛靶面直径为122cm,122cm,靶心直径为靶心直径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70m外射箭外射箭, ,假设假设每箭都能中靶每箭都能中靶, ,且射中靶面内任一点都是等可能的且射
15、中靶面内任一点都是等可能的, ,那么射中黄心的概率是多少那么射中黄心的概率是多少? ?定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度（面积或体积）长度（面积或体积）成比例成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型，则称这样的概率模型为几何概率模型， 简称为简称为几何概型几何概型。在几何概型中，事件在几何概型中，事件A A的概率的计算公式如下：的概率的计算公式如下： 例例1 1 （等车问题）（等车问题） 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7 7时起，每隔时起，每隔1515分钟来一趟分钟来一趟车，一乘客在车，一乘客在7:007:00到到7:
16、307:30之间随机到站，求：之间随机到站，求： (1) (1) 该乘客等候不超过该乘客等候不超过5 5分钟上车的概率。分钟上车的概率。 (2) (2) 该乘客候车时间超过该乘客候车时间超过1010分钟的概率。分钟的概率。解解: : 例例2 2 （会面问题）（会面问题） 甲、乙两人约定在下午甲、乙两人约定在下午6 6时到时到7 7时之间在某处会面，时之间在某处会面，并约定先到者等候另一人并约定先到者等候另一人2020分钟，过时不候，求两人分钟，过时不候，求两人能会面的概率。能会面的概率。*布丰投针布丰投针公元公元1777年的一天，法国科学家年的一天，法国科学家D布丰布丰(D.Buffon 17
17、071788)的家里宾客满堂，他们是应主人的邀请进行一次奇特试验。的家里宾客满堂，他们是应主人的邀请进行一次奇特试验。 布丰先生拿出一张纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接布丰先生拿出一张纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：然后布丰先生宣布：“ 请诸位把这些小针一根一根往纸上扔请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧吧! 不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。诉我。”
18、*布丰投针布丰投针*布丰投针*布丰投针布丰投针投针结果，共投针投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的次，其中与平行线相交的704次。次。 总数总数2212与相交数与相交数704的比值为的比值为3.142。 值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方法来计算法来计算值。值。意大利数学家拉兹瑞尼意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini)。他在。他在1901年宣称进行了多年宣称进行了多次的投针试验，每次投针数为次的投针试验，每次投针数为3408次，平均相交数为次，平均相交数为1084次，次，代入布丰公式求得代入布丰公式求得3.1415929。作业习题1-1 2,4 习题1-2 2,3,7,10,12
