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1、 1 几何体的外接球与内切球的有关问题 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心 O 的位置问题，其中球心的确定是关键 （一） 由球的定义确定球心 在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心 结论 1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点 例 1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 3,2,3，则此球的表面积为 . 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点 例 2 若一个底面边长为32，棱长为6的正六棱柱的所有
2、顶点都在一个平面上，则此球的体积为 结论 3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOORt中，21212OOBOBO，即222)2(hrR.） 例 3 在直三棱柱111ABCABC中，2 2AB ,3BC ,14AA ,4ABC，则它的外接球体积为 . 结论 4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得 BC2222abcR 2 （以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面ABC 的边长为 a，高为 h，外接球球心为 O，半径为 R. 在1AOORt中，21212OOAOAO，即222
3、)(33RhaR.） 例 4 已知,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为 . 结论 5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜边的一半就是其外接球的半径 例 5 已知三棱锥的四个顶点都在球 O 的球面上，ABBC 且 PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，则球 O 的体积为 . （二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处 1. 可构造正方体的类型： 正四面体：棱长对应正方体的面对角线. 例 6 一个正四面体 P-ABC 的所有棱长
4、都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 . 三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长. 例 7 设是球O面上的四点,且,PA PB PC两两互相垂直,若PAPBPCa,则球心O到截面ABC的距离是 . 四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线. 例 8 在四面体SABC中，SA平面ABC，90ABC，21SAACAB,则该四面体的外接球的表面积为（ ） A23 B43 C4 D5 ABCDABCPABCP 3 2.可构造长方体和正方体的类型 与与 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥； 例 9 如果三
5、棱锥的三个侧面两两垂直，面积分别为 6cm2、4cm2 和 3cm2，那么它的外接球的体积是 . 有三个面是直角三角形的三棱锥； 例 10 已知球上四点 A,B,C,D，DA平面 ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球 O 的体积等于 . 相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 BC2=a2+b2，AC2=a2+c2，AB2=b2+c2. 所以对应长方体的体对角线为2222222ABACBCcba. 例 11 在三棱锥SABC中，5,17,10SABCSBACSCAB，则该三棱锥外接球的表面积为 . 含有其它线面垂直关系的棱锥. （三） 由性质确定球心 利用
6、球心 O 与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆，确定球心 记球的半径为 R，截面圆的半径为 r，球心 O 与截面圆圆心 O 的距离为 d，则有 R2=r2+d 2. 例 12 设A,B,C,D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边 三角形且其面积为9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为（ ） A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 （四） 圆柱外接球模型计算球的半径 一个底面半径为 r，高为 h 的圆柱，求它的外接球半径. 222)2(hrR 4 （1） （2） （3） 变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直
7、）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的 h，而棱柱底面ABC 外接圆的半径则是公式中的r. 例 13 在三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，若12AAAB，当四棱锥11BA ACC体积最大时，三棱柱外接球的体积为 变形二：如果把三棱柱上面的 C1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面矩形底面的四棱锥，其中r为垂直底面的侧面ABC 的外接圆半径，h为垂直于那个侧面的底面边长 AA1. 例 14 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB 平面ABCD，22PAPBAB，若PBC和PCD的面积分别为 1 和
8、3，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为 变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的 B1,C1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱底面的三棱锥，其中r为底面ABC 外接圆半径，h为垂直于底面的那条侧棱 AA1. 例 15 已知A,B,C,D为同一球面上的四个点.在ABC 中，23BAC，2 3ABAC，AD=6，AD平面ABC，则该球的体积为 二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 结论 1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. 结论 2：正多面体的内切球和外接球的球心重
9、合. 结论 3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合. 例 16 正三棱锥的高为 1，底面边长为2 6.求它的内切球的表面积. 例 17 正四棱锥SABCD，底面边长为 2，侧棱长为 3，则其外接球和内切球的半径是多少？ 结论 4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理. Rr2hABC1A1B1CABC1A1BABC1A 5 结论 5：体积分割是求内切球半径的通用做法. （一）正方体的的内切球 设正方体的棱长为 a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径. （1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得2aR . （2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得2
10、2aR . 例 18 一个正方体的棱长是 4 cm,它的内切球的体积为cm3，棱切球的体积为cm3. 例 19 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于正方体的各条棱，丙球外接于正方体，则三球表面积之比为 . （二）棱锥的内切球(分割法) 将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程. 设三棱锥的棱长为 a，内切球半径为 r. VVVVVPABOPBCOPACOABCOABCP rSrSrSrSPABPBCPACABC31313131 rSSSSPABPBCPACABC)(31 内切球rSABCP31ABCP
11、ABCPSVr3内切球 一般地，记棱锥的体积为 V，表面积为 S，则内切球的半径为SVr3. 6 例 20 正三棱锥的高为 3，底面边长为8 3，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则球的表面积与体积分别为 （说明： 球与正三棱锥四个面相切， 实际上， 球是正三棱锥的内切球， 球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径 R这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决） 例 21 如图，在棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，2PDAB， PD 平面ABCD在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ） A2 B21 C2 D21 （三）圆柱、圆锥的内切球(截
12、面法) （1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径 r，内切球的半径 R，则 R=r. （2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记截面ABC的面积为 S，周长为 C，内切球的半径 R，则CSR2. 例 22 圆柱的底面直径和高都是 6，求该圆柱内切球的半径_. 例 23 圆锥的高为 4，底面半径为 2，求该圆锥内切球与外接球的半径比. 三、有关内切球和外接球的综合问题 1.正四面体的内切球与外接球的半径之比（正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”） 设正四面体 A-BCD 的棱长为 a，内切球半径为 r，外接球半径为 R， 7 则 OA=OB=R，OE=r
13、，且 R+r=AE. 底面BCD 为正三角形，BE=a33 在ABERt中，aaaBEABAE36312222，arR36 在BEORt中，222OEBEBO，即22233raR 由，得araR12646， 1:3:rR， 即球心 O 为正四面体高 h 的四等分点. 例 24 求棱长为 2 的正四面体内切球和外接球的体积 2.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比 正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱1AA和它们的球心 O 作截面如下图所示： 设正三棱柱底面边长为 a. 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以aR632，从而正三棱柱的高为aRh3322 . 在ODARt11
14、中，得 ，22222211211256333aaaRDAR.1251aR 因此1:5:21RR. 例 25 一个正三棱柱恰好有一个内切球和一个外接球,则此内切球与外接球表面积之比为 . 巩固练习 1. 在正三棱锥SABC中，6ABBCCA，点D是SA的中点，若SBCD，则该三棱锥外接球的表面积为 8 2已知三棱锥PABC的底面是正三角形，PAa，点A在侧面PBC内的射影H是PBC的垂心，当三棱锥PABC体积最大值时，三棱锥PABC的外接球的表面积为( ) A34 3a B23 a C332a D212a 3在平面四边形PACB中，已知120APB，2 3PAPB，10AC ，8BC 沿对角线A
15、B折起得到四面体PABC，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为 4已知正三棱柱111ABCA B C中，侧面11BCC B的面积为 4，则正三棱柱111ABCA B C外接球表面积的最小值为( ) A2 33 B4 33 C8 33 D16 33 5已知正方体1111ABCDABC D棱长为 2，点P是上底面1111DCBA内一动点，若三棱锥PABC的外接球表面积恰为414，则此时点P构成的图形面积为_. 6.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径.若平面SCA 平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球 O 的表
16、面积为_ 备注： 1.三角形内切圆的半径 SSSSAOBAOCBOCABC rcbacrbrar)(21212121 内切圆rCABC21 所以三角形内切圆的半径为CSr2，其中 S 为ABC 的面积，C 为ABC 的周长. 2. 三角形外接圆的半径 利用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，CcBbAaRsin2sin2sin2. 9 正三角形：aaR3360sin2，其中 a 为正三角形的边长. 直角三角形：290sin2ccR，其中 c 为直角三角形的斜边. 3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比 正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”. 设正三角形的边长为 a，内切圆半径为 r，外接圆半径为 R. 由于aaR3360sin2， aaaaaaCSr6360sin2122， 所以1:2:rR，即圆心 O 为正三角形高 h 的三等分点.
