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1、 1 几何体的外接球与内切球的有关问题 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是计算球的半径或确定球心 O 的位置问题,其中球心的确定是关键 (一) 由球的定义确定球心 在空间中,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心 结论 1:正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点 例 1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 3,2,3,则此球的表面积为 . 结论 2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点 例 2 若一个底面边长为32,棱长为6的正六棱柱的所有
2、顶点都在一个平面上,则此球的体积为 结论 3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点,由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.(在1BOORt中,21212OOBOBO,即222)2(hrR.) 例 3 在直三棱柱111ABCABC中,2 2AB ,3BC ,14AA ,4ABC,则它的外接球体积为 . 结论 4:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得 BC2222abcR 2 (以正三棱锥为例:设正三棱锥的底面ABC 的边长为 a,高为 h,外接球球心为 O,半径为 R. 在1AOORt中,21212OOAOAO,即222
3、)(33RhaR.) 例 4 已知,A B C为球O的球面上的三个点,1O为ABC的外接圆,若1O的面积为4,1ABBCACOO,则球O的表面积为 . 结论 5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心,则公共斜边的一半就是其外接球的半径 例 5 已知三棱锥的四个顶点都在球 O 的球面上,ABBC 且 PA=7,PB=5,PC=51,AC=10,则球 O 的体积为 . (二)构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处 1. 可构造正方体的类型: 正四面体:棱长对应正方体的面对角线. 例 6 一个正四面体 P-ABC 的所有棱长
4、都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 . 三条侧棱两两垂直的正三棱锥:底面棱长对应正方体的面对角线,侧棱对应正方体的棱长. 例 7 设是球O面上的四点,且,PA PB PC两两互相垂直,若PAPBPCa,则球心O到截面ABC的距离是 . 四个面都是是直角三角形的三棱锥:最长的棱长对应正方体的体对角线. 例 8 在四面体SABC中,SA平面ABC,90ABC,21SAACAB,则该四面体的外接球的表面积为( ) A23 B43 C4 D5 ABCDABCPABCP 3 2.可构造长方体和正方体的类型 与与 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体;三个侧面两两垂直的三棱锥; 例 9 如果三
5、棱锥的三个侧面两两垂直,面积分别为 6cm2、4cm2 和 3cm2,那么它的外接球的体积是 . 有三个面是直角三角形的三棱锥; 例 10 已知球上四点 A,B,C,D,DA平面 ABC,ABBC,DA=AB=BC=3,则球 O 的体积等于 . 相对的棱相等的三棱锥:设对应长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,则 BC2=a2+b2,AC2=a2+c2,AB2=b2+c2. 所以对应长方体的体对角线为2222222ABACBCcba. 例 11 在三棱锥SABC中,5,17,10SABCSBACSCAB,则该三棱锥外接球的表面积为 . 含有其它线面垂直关系的棱锥. (三) 由性质确定球心 利用
6、球心 O 与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆,确定球心 记球的半径为 R,截面圆的半径为 r,球心 O 与截面圆圆心 O 的距离为 d,则有 R2=r2+d 2. 例 12 设A,B,C,D是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC为等边 三角形且其面积为9 3,则三棱锥DABC体积的最大值为( ) A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 (四) 圆柱外接球模型计算球的半径 一个底面半径为 r,高为 h 的圆柱,求它的外接球半径. 222)2(hrR 4 (1) (2) (3) 变形一:如果我们对圆柱上下底面对应位置处,取相同数量的点,比如都取三个点,如图(1)所示.我们可以得到(直
7、)三棱柱,它的外接球其实就是这个圆柱的外接球,所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的 h,而棱柱底面ABC 外接圆的半径则是公式中的r. 例 13 在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,若12AAAB,当四棱锥11BA ACC体积最大时,三棱柱外接球的体积为 变形二:如果把三棱柱上面的 C1去掉,如图(2)所示,我们得到有一个侧面矩形底面的四棱锥,其中r为垂直底面的侧面ABC 的外接圆半径,h为垂直于那个侧面的底面边长 AA1. 例 14 在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAB 平面ABCD,22PAPBAB,若PBC和PCD的面积分别为 1 和
8、3,则四棱锥PABCD的外接球的表面积为 变形三:如果把上面的那个三棱柱上面的 B1,C1两点去掉,如图(3)所示,我们得到一根侧棱底面的三棱锥,其中r为底面ABC 外接圆半径,h为垂直于底面的那条侧棱 AA1. 例 15 已知A,B,C,D为同一球面上的四个点.在ABC 中,23BAC,2 3ABAC,AD=6,AD平面ABC,则该球的体积为 二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球. 结论 1:内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. 结论 2:正多面体的内切球和外接球的球心重
9、合. 结论 3:正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合. 例 16 正三棱锥的高为 1,底面边长为2 6.求它的内切球的表面积. 例 17 正四棱锥SABCD,底面边长为 2,侧棱长为 3,则其外接球和内切球的半径是多少? 结论 4:基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理. Rr2hABC1A1B1CABC1A1BABC1A 5 结论 5:体积分割是求内切球半径的通用做法. (一)正方体的的内切球 设正方体的棱长为 a,求(1)内切球半径;(2)与棱相切的球半径. (1)内切球:截面图为正方形的内切圆,得2aR . (2)棱切球:切点为正方体各棱的中点,截面图为为正方形的外接圆,得2
10、2aR . 例 18 一个正方体的棱长是 4 cm,它的内切球的体积为cm3,棱切球的体积为cm3. 例 19 甲球内切于正方体的各面,乙球内切于正方体的各条棱,丙球外接于正方体,则三球表面积之比为 . (二)棱锥的内切球(分割法) 将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线,将棱锥分割成以原棱锥的面为底面,内切球的半径为高的小棱锥,根据分割前后的体积相等,列出关于半径的方程. 设三棱锥的棱长为 a,内切球半径为 r. VVVVVPABOPBCOPACOABCOABCP rSrSrSrSPABPBCPACABC31313131 rSSSSPABPBCPACABC)(31 内切球rSABCP31ABCP
11、ABCPSVr3内切球 一般地,记棱锥的体积为 V,表面积为 S,则内切球的半径为SVr3. 6 例 20 正三棱锥的高为 3,底面边长为8 3,正三棱锥内有一个球与其四个面相切,则球的表面积与体积分别为 (说明: 球与正三棱锥四个面相切, 实际上, 球是正三棱锥的内切球, 球心到正三棱锥的四个面的距离相等,都为球半径 R这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离,而点面距离常可以用等体积法解决) 例 21 如图,在棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,2PDAB, PD 平面ABCD在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为( ) A2 B21 C2 D21 (三)圆柱、圆锥的内切球(截
12、面法) (1)圆柱的内切球:圆柱的轴截面为正方形,记圆柱的底面圆的半径 r,内切球的半径 R,则 R=r. (2)圆锥的内切球:圆锥的轴截面为三角形的内切圆,记截面ABC的面积为 S,周长为 C,内切球的半径 R,则CSR2. 例 22 圆柱的底面直径和高都是 6,求该圆柱内切球的半径_. 例 23 圆锥的高为 4,底面半径为 2,求该圆锥内切球与外接球的半径比. 三、有关内切球和外接球的综合问题 1.正四面体的内切球与外接球的半径之比(正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”) 设正四面体 A-BCD 的棱长为 a,内切球半径为 r,外接球半径为 R, 7 则 OA=OB=R,OE=r
13、,且 R+r=AE. 底面BCD 为正三角形,BE=a33 在ABERt中,aaaBEABAE36312222,arR36 在BEORt中,222OEBEBO,即22233raR 由,得araR12646, 1:3:rR, 即球心 O 为正四面体高 h 的四等分点. 例 24 求棱长为 2 的正四面体内切球和外接球的体积 2.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比 正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的,过侧棱1AA和它们的球心 O 作截面如下图所示: 设正三棱柱底面边长为 a. 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆,所以aR632,从而正三棱柱的高为aRh3322 . 在ODARt11
14、中,得 ,22222211211256333aaaRDAR.1251aR 因此1:5:21RR. 例 25 一个正三棱柱恰好有一个内切球和一个外接球,则此内切球与外接球表面积之比为 . 巩固练习 1. 在正三棱锥SABC中,6ABBCCA,点D是SA的中点,若SBCD,则该三棱锥外接球的表面积为 8 2已知三棱锥PABC的底面是正三角形,PAa,点A在侧面PBC内的射影H是PBC的垂心,当三棱锥PABC体积最大值时,三棱锥PABC的外接球的表面积为( ) A34 3a B23 a C332a D212a 3在平面四边形PACB中,已知120APB,2 3PAPB,10AC ,8BC 沿对角线A
15、B折起得到四面体PABC,当PA与平面ABC所成的角最大时,该四面体的外接球的半径为 4已知正三棱柱111ABCA B C中,侧面11BCC B的面积为 4,则正三棱柱111ABCA B C外接球表面积的最小值为( ) A2 33 B4 33 C8 33 D16 33 5已知正方体1111ABCDABC D棱长为 2,点P是上底面1111DCBA内一动点,若三棱锥PABC的外接球表面积恰为414,则此时点P构成的图形面积为_. 6.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 是球 O 的直径.若平面SCA 平面 SCB,SAAC,SBBC,三棱锥SABC的体积为 9,则球 O 的表
16、面积为_ 备注: 1.三角形内切圆的半径 SSSSAOBAOCBOCABC rcbacrbrar)(21212121 内切圆rCABC21 所以三角形内切圆的半径为CSr2,其中 S 为ABC 的面积,C 为ABC 的周长. 2. 三角形外接圆的半径 利用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin,CcBbAaRsin2sin2sin2. 9 正三角形:aaR3360sin2,其中 a 为正三角形的边长. 直角三角形:290sin2ccR,其中 c 为直角三角形的斜边. 3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比 正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”. 设正三角形的边长为 a,内切圆半径为 r,外接圆半径为 R. 由于aaR3360sin2, aaaaaaCSr6360sin2122, 所以1:2:rR,即圆心 O 为正三角形高 h 的三等分点.