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1、城口职教中心城口职教中心 罗诗明罗诗明1.分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：分组（堆）问题的六个模型：分组（堆）问题的六个模型：分组（堆）问题的六个模型： 无序不等分；无序不等分；无序不等分；无序不等分；无序等分；无序等分；无序等分；无序等分；无序局部等分；无序局部等分；无序局部等分；无序局部等分；( (有序不等分；有序不等分；有序不等分；有序不等分；有序等分；有序等分；有序等分；有序等分；有序局部等分有序局部等分有序局部等分有序局部等分.) .)处理问题的原则：处理问题的原则：处理问题的原则：处理问题的原则：若干个不同的元素若干个不同的元素若干个不同的元素若干个不同的元素“ “等分等
2、分等分等分” ”为为为为 个堆个堆个堆个堆, ,要将选取出要将选取出要将选取出要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以每一个堆的组合数的乘积除以每一个堆的组合数的乘积除以每一个堆的组合数的乘积除以m! m! 若干个不同的元素局部若干个不同的元素局部若干个不同的元素局部若干个不同的元素局部“ “等分等分等分等分” ”有有有有 个均等堆个均等堆个均等堆个均等堆, ,要要要要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以将选取出每一个堆的组合数的乘积除以将选取出每一个堆的组合数的乘积除以将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! m! 非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法
3、原理非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积作积作积作积. .要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列素个数作全排列素个数作全排列素个数作全排列. .1.分组（堆）问题分组（堆）问题例例例例1.1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，有四项不同的工程，要发包给三个工程队，有四项不同的工程，要发包给三个工程队，有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程要求每个工程队至
4、少要得到一项工程要求每个工程队至少要得到一项工程要求每个工程队至少要得到一项工程. . 共有多少共有多少共有多少共有多少种不同的发包方式？种不同的发包方式？种不同的发包方式？种不同的发包方式？解：解：解：解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：先将四项工程分为三先将四项工程分为三先将四项工程分为三先将四项工程分为三“ “堆堆堆堆” ”，有，有，有，有 种分法；种分法；种分法；种分法；再将分好的三再将分好的三再将分好的三再将分好的三“ “堆堆堆堆” ”依次给三个工程队，依次给三个工程队，依
5、次给三个工程队，依次给三个工程队，有有有有3!3!6 6种给法种给法种给法种给法. .共有共有共有共有66663636种不同的发包方式种不同的发包方式种不同的发包方式种不同的发包方式. . 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排解决一些不相邻问题时，可以先排“一般一般”元素然后插入元素然后插入“特殊特殊”元素，使问题得以解决元素，使问题得以解决. 例例例例2 2 . 7 . 7人排成一排人排成一排人排成一排人排成一排. .甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？法？法？法？解：解：解：解：
6、分两步进行：分两步进行：分两步进行：分两步进行：第第第第1 1步，把除甲乙外的一般人排列：有步，把除甲乙外的一般人排列：有步，把除甲乙外的一般人排列：有步，把除甲乙外的一般人排列：有 种种种种第第第第2 2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中( (插孔插孔插孔插孔) )：几个元素不能相邻时几个元素不能相邻时几个元素不能相邻时几个元素不能相邻时, ,先排一般元素，再让特殊元素插孔先排一般元素，再让特殊元素插孔先排一般元素，再让特殊元素插孔先排一般元素，再让特殊元素插孔. .捆绑法捆
7、绑法3相邻元素的排列，可以采用相邻元素的排列，可以采用相邻元素的排列，可以采用相邻元素的排列，可以采用“ “局部到整体局部到整体局部到整体局部到整体” ”的排法，即将的排法，即将的排法，即将的排法，即将相邻的元素局部排列当成相邻的元素局部排列当成相邻的元素局部排列当成相邻的元素局部排列当成“ “一个一个一个一个” ”元素，然后再进行整元素，然后再进行整元素，然后再进行整元素，然后再进行整体排列体排列体排列体排列. .例例例例3 3 . 6 . 6人排成一排人排成一排人排成一排人排成一排. .甲、乙两人必须相邻甲、乙两人必须相邻甲、乙两人必须相邻甲、乙两人必须相邻, ,有多少种不的排有多少种不的
8、排有多少种不的排有多少种不的排法法法法? ?解：解：解：解：（1 1）分两步进行：）分两步进行：）分两步进行：）分两步进行： 第一步，把甲乙排列第一步，把甲乙排列第一步，把甲乙排列第一步，把甲乙排列( (捆绑捆绑捆绑捆绑) )： 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： . .几个元素必须相邻时几个元素必须相邻时几个元素必须相邻时几个元素必须相邻时, ,先捆绑成一个元素，再与其它的进先捆绑成一个元素，再与其它的进先捆绑成一个元素，再与其它的进先
9、捆绑成一个元素，再与其它的进行排列行排列行排列行排列4.消序法消序法(留空法留空法) 几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了的了.例例4.5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？少种站法？解法解法1：将将5个人依次站成一排，有个人依次站成一排，有种站法，种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数然后再消去甲乙之间的顺序数甲总站在乙的右侧的有站
10、法总数为甲总站在乙的右侧的有站法总数为解法解法2：先让甲乙之外的三人从先让甲乙之外的三人从5个位置选出个位置选出3个站好，个站好，有有种站法，留下的两个位置自然给甲乙有种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法种站法甲总站在乙的右侧的有站法总数为甲总站在乙的右侧的有站法总数为4.消序法消序法(留空法留空法)变式：变式：如下图所示如下图所示,有有5横横8竖构成的方格图竖构成的方格图,从从A到到B只能上行或右只能上行或右行共有多少条不同的行共有多少条不同的路线路线? 解解: 如图所如图所示示也可以看作是也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,顺序一顺序一定的排列，有定的排列，有种排法种排法.将一条
11、路经抽象为如下的将一条路经抽象为如下的一个排法一个排法(5-1)+(8-1)=11格格:1 1 2 2 3 34 45 5 6 67 7其中必有四个其中必有四个和七个和七个组成组成!所以所以, 四个四个和七个和七个一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经,所以从所以从A到到B共有共有 条不同的路径条不同的路径. 5.剪截法（隔板法）：剪截法（隔板法）： n n个个个个 相同小球放入相同小球放入相同小球放入相同小球放入m(mnm(mn) )个盒子里个盒子里个盒子里个盒子里, ,要求要求要求要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于每个盒子里至少有一个小球的放法等价于每个盒子里至少有一个小球的放
12、法等价于每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n n个相个相个相个相同小球串成一串从间隙里选同小球串成一串从间隙里选同小球串成一串从间隙里选同小球串成一串从间隙里选m-1m-1个结点剪截成个结点剪截成个结点剪截成个结点剪截成mm段段段段. .例例5. 某校准备参加今年高中数学联赛某校准备参加今年高中数学联赛,把把16个选手个选手名额分配到高三年级的名额分配到高三年级的1-4 个教学班个教学班,每班至少一个每班至少一个名额名额,则不同的分配方案共有则不同的分配方案共有_种种.解：解： 问题等价于把问题等价于把16个相同小球放入个相同小球放入4个盒子里个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题每
13、个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将将16个小球串成一串，截为个小球串成一串，截为4段有段有 种截断法，对应放到种截断法，对应放到4个盒子里个盒子里.因此，不同的分配方案共有因此，不同的分配方案共有455种种 .5.剪截法：剪截法：n个个 相同小球放入相同小球放入m(mn)个盒子里个盒子里,要求每个盒要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球个相同小球串成一串从间隙里选串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成个结点剪截成m段段变式：变式： 某校准备参加今年高中数学联赛某校准备参加今年高中数学联赛,把把16个个选手名额分配到高三年级的选手名额分配到高三年级
14、的1-4 个教学班个教学班,每班的每班的名额不少于该班的序号数名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共则不同的分配方案共有有_种种.解：解： 问题等价于先给问题等价于先给2班班1个，个，3班班2个，个，4班班3个，个，再把余下的再把余下的10个相同小球放入个相同小球放入4个盒子里个盒子里,每个盒每个盒子至少有一个小球的放法种数问题子至少有一个小球的放法种数问题. 将将10个小球串成一串，截为个小球串成一串，截为4段有段有 种截断法，对应放到种截断法，对应放到4个盒子里个盒子里.因此，不同的分配方案共有因此，不同的分配方案共有84种种 . 6.错位法：错位法： 编号为编号为编号为编号为1 1至
15、至至至n n的的的的n n个小球放入编号为个小球放入编号为个小球放入编号为个小球放入编号为1 1到到到到 n n的的的的n n个个个个盒子里盒子里盒子里盒子里, ,每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球. .要求小球与盒子的要求小球与盒子的要求小球与盒子的要求小球与盒子的编号都不同编号都不同编号都不同编号都不同, ,这种排列称为这种排列称为这种排列称为这种排列称为错位排列错位排列错位排列错位排列. .特别当特别当n=2,3,4,5时的错位数各为时的错位数各为1,2,9,44.例例6. 编号为编号为1至至6的的6个小球放入编号为个小球放入编号为1至至6的的6个个
16、盒子里盒子里,每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球,其中恰有其中恰有2个小球与个小球与盒子的编号相同的放法有盒子的编号相同的放法有_种种.解：解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种种,其余其余4组球与盒子需错位排列有组球与盒子需错位排列有9种放法种放法.故所求方法有故所求方法有159135种种.7.剔除剔除法法 从总体中排除不符合条件的方法数，这从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法是一种间接解题的方法. 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的
17、综合性，解答这析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例例7. 从集合从集合0,1,2,3,5,7,11中任取中任取3个元素分别作个元素分别作为直线方程为直线方程Ax+By+C=0中的中的A、B、C，所得的经过，所得的经过坐标原点的直线有坐标原点的直线有_条条.解：所有这样的直线共有解：所有这样的直线共有 条，条，其中不过原点的直线有其中不过原点的直线有 条，条，所得的经过坐标原点的直线有所得的经过坐标原点的直线有210-18030条条.巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习4. 5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（）法种数是（）A.6B.12C.72D.144小结小结分堆问题；分堆问题；解决排列、组合问题的一些常用方法：解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法除法、插孔法、消序法(留空法留空法). 作业：作业： 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！再见！
