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1、. 一、计算题与证明题 11|a, 4|b, 5|c, 并且0cba 计算accbba 解：因为1|a, 4|b, 5|c, 并且0cba 所以a与b同向，且ba 与c反向 因此0ba，0cb，0ac 所以0accbba 23|ba, 4|ba, 求|ba 解：3cos|baba 1 4sin|baba 2 222) 1 (得252 ba 所以 5 ba 4向量x与)2, 5 , 1(,a共线, 且满足3 xa, 求向量x的坐标 解：设x的坐标为zyx,，又2, 5 , 1a 则325zyxxa 1 又x与a共线，则0ax 即 所以05252222yxxzzy 即01042026529222x
2、yxzyzzyx 2 又x与a共线，x与a夹角为0或 整理得 103222zyx 3 联立 321、解出向量x的坐标为51,21,101 6点)7 , 8 , 3(A, )3, 2 , 1(B求线段AB的中垂面的方程 解：因为7 , 8 , 3A,)3, 2 , 1(B AB中垂面上的点到BA、的距离相等，设动点坐标为zyxM,，则由MBMA 得 化简得027532zyx . 这就是线段AB的中垂面的方程。 7向量a, b, c具有一样的模, 且两两所成的角相等, 假设a, b的坐标分别为) 1 , 1 , 0()0 , 1 , 1 (和, 求向量c的坐标 解：rcba且它们两两所成的角相等，
3、设为 则有1101101ba 则21cosrbaba 设向量c的坐标为zyx, 则11cos0112rrrbayxzyxca 1 11cos1102rrrcbzyzyxcb 2 所以2222zyx 3 联立1 、 2 、(3)求出101zyx或313431zyx 所以向量c的坐标为1 , 0 , 1或31,34,31 8点) 1 , 6 , 3(A, ) 1 , 4, 2( B, ) 3 , 2, 0( C, )3, 0 , 2(D， (1) 求以AB, AC,AD为邻边组成的平行六面体的体积 (2) 求三棱锥BCDA的体积 (3) 求BCD的面积 (4) 求点A到平面BCD的距离 解：因为1
4、03 ，A，1 , 4, 2 B,3 , 2, 0 C,3, 0 , 2D 所以0 ,10, 1AB 1ADACAB,是以它们为邻边的平行六面体的体积 2由立体几何中知道，四面体ABCD三棱锥BCDA的体积 3因为222 ，BC，444，BD . 所以216161622 BDBC，这是平行四边形BCED的面积 因此SSBCD21BCED2821621 (4)设点A到平面BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥BCDA的体积 所以22112112838833BCDTSVH 1求经过点) 1 , 2 , 3(A和)3, 2 , 1(B且与坐标平面xOz垂直的平面的方程 解：与xoy平面垂直的平面平行
5、于y轴，方程为 0DCzAx (1) 把点123 ，A和点321，B代入上式得 03DCA (2) 03DCA (3) 由2 ， 3得2DA,2DC 代入1得022DzDxD 消去D得所求的平面方程为 2求到两平面0623:zyx和1152:zyx距离相等的点的轨迹方程 解；设动点为zyxM,，由点到平面的距离公式得 所以10102512914623zyxzyx 3原点到平面的距离为 120, 且在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2, 求 的方程 解：设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为 化成一般式为0306515kzyx 又因点0 , 0 , 0O到平面的距离为 120，则有 求出2
6、864k 所以，所求平面方程为02861206515zyx 5 两平面02467:zymx与平面0191132:zmyx相互垂直， 求m的值 解：两平面的法矢分别为6, 1,1 mn，11,3, 22mn，由1n2n，得 . 求出1966m 6四点)0 , 0 , 0(A, )3 , 5, 2(, B, )2, 1 , 0(C, )7 , 0 , 2(D, 求三棱锥ABCD中ABC 面上的高 解：四点 7 , 0 , 2,2, 1 , 0,3 , 5, 2,0 , 0 , 0DCBA,则 由DCDBDA,为邻边构成的平行六面体的体积为 由立体几何可知，三棱锥ABCD 的体积为 设D到平面ABC
7、的高为H 则有 ABCABCDSHV31 所以 ABCABCDSVH3 又2, 1 , 0,3 , 5 , 2ACAB 所以，69212472121222ACABSABC 因此，696928692869213143H 7点A在z轴上且到平面014724:zyx的距离为 7, 求点A的坐标 解：A在z轴上，故设A的坐标为0 0 z ，由点到平面的距离公式，得 所以69147 z 则692z 则A点的坐标为692 , 0 , 0A 8 点A在z轴上且到点) 1 , 2, 0( B与到平面9326:zyx的距离相等, 求点A的坐标。 解：A在z轴上，故设A的坐标为z, 0 , 0，由两点的距离公式和
8、点到平面的距离公式得22222232693120zz 化简得022974402zz 因为031164229404742 . 方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。 1求经过点)0 , 2, 1 ( P且与直线011111zyx和0111zyx都平行的平面的方程 解：两直线的方向矢分别为01101121，vv，平面与直线平行，则平面的法矢CBAa，与直线垂直 由a1v，有00 BA 1 由a2v，有00 BA 2 联立1 ， 2求得0, 0BA,只有0C 又因为平面经过点021， P，代入平面一般方程得 所以0D 故所求平面方程0Cz，即0z，也就是xoy平面。 2求通过点 P(1，0，-
9、2)，而与平面 3*-y+2z-1=0 平行且与直线12341zyx相交的直线的方程 解：设所求直线的方向矢为pnmv， 直线与平面0123 zx平行，则vn，有 023pnm 1 直线与直线12341zyx相交，即共面 则有0200311124pnm 所以01287nm 2 由1 ， 2得 87137123212821pnm，即31504pnm 取4m，50n，31p，得求作的直线方程为 3求通过点)0 , 0 , 0(A与直线141423zyx的平面的方程 解：设通过点)0 , 0 , 0(A的平面方程为0)0()0()0(zCyBxA . 即 0CzByAx (1) 又直线141423z
10、yx在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢n垂直 所以 02CBA (2) 直线上的点4 , 4, 3 也在该平面上，则 0443CBA 3 由1 ， 2 ， 3得知，将CBA,作为未知数，有非零解的充要条件为 即01158zyx，这就是求作的平面方程。 4求点)0 , 1, 1 ( P到直线01112zyx的距离 解：点1, 0 , 2A在直线上，直线的方向矢0 , 1, 1v 1 , 1, 1AP,则AP与v的夹角为 所以090 因此点0 , 1, 1P到直线的距离为 3111222 APd 5取何值时直线01540623zyxzyx与z轴相交 解：直线01540623zyxzyx与z轴相交
11、，则有交点坐标为z， 00， 由直线方程得015062zz，求得5 7求过点)25, 3(且与两平面34 zx和13zyx平行直线方程 解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢 所确定的平面，即直线的方向矢为 将点代入直线的标准方程得 8一平面经过直线即直线在平面上l：41235zyx，且垂直于平面015 zyx，求该平面的方程 解：设求作的平面为0DCzByAx (1) 直线41235zyx在该平面上，则有点0 , 2 , 5在平面上， 且直线的方向矢4 , 1 , 3v. 与平面的法矢CBAn,垂直 所以025DBA (2) 043CBA (3) 又平
12、面与平面011zyx垂直，则它们的法矢垂直 所以0CBA (4) 联立(2),(3),(4)得DCDBDA342347395 代入1式消去D并化简得求作的平面方程为 3求顶点为)0 , 0 , 0(O，轴与平面*+y+z=0 垂直，且经过点) 1 , 2 , 3()的圆锥面的方程 解： 设轨迹上任一点的坐标为zyxP， 依题意， 该圆锥面的轴线与平面0zyx 垂直，则轴线的方向矢为111 ，v，又点0 , 0 , 0O与点1 , 23，在锥面上过这两点的线的方向矢为1 , 2 , 31l，点)0 , 0 , 0(O与点zyxP，的方向矢为zyxl,2，则有1l与v 的夹角和2l与v的夹角相等，
13、即 化简得所求的圆锥面方程为 4 平面过z轴, 且与球面0411086222zyxzyx相交得到一个半径为 2 的圆, 求该平面的方程 解：过z轴的平面为0 ByAx 1 球面方程化为9543222zyx 表示球心坐标为5, 4 , 3O到截面圆的圆心的距离为 52322d,如题三.4 图所示 由点到平面的距离公式为 化简得01124422BBAA 解关于A的一元二次方程地421144242422BBBA . 求出BABA211,2121 分别代入(1)式得0211, 021ByBxByBx 消去B得所求平面方程为yx2或yx113 5 求以轴为母线z, 直线11yx为中心轴的圆柱面的方程 解
14、:如习题三.5所示,圆柱面在xoy平面上投影的圆心坐标为 1 , 1, 半 径 为2, 所 以 求 作 的 圆 柱 面 方 程 为21122yx 6求以轴为母线z, 经过点)7 , 3, 6()2 , 2 , 4(,BA以及的圆柱面的方程 解:设以z轴为母线的柱面方程为222abyax (1) 因为点)2 , 2 , 4(,A,)7 , 3, 6( B在柱面上,则有 22224Rba (2) 22236Rba (3) 则 22200Rba (4) 联立(2),(3),(4)求出825a,45b,642252R 代入(1)式得所求的柱面方程为 7根据k的不同取值, 说明1)1 ()4()9(22
15、2zkykxk表示的各是什么图形 解:方程1149222zkykxk (1) 9k时,(1)式不成立,不表示任何图形; 94 k时,(1)式变为1222222czbyax,表示双叶双曲线; 41 k时,(1)式变为1222222czbyax,表示单叶双曲线; 1k时,(1)式变为1222222czbyax,表示椭球面; . 1k时,(1)式变为12222byax,表示母线平行于z轴的椭圆柱面; 4k时,(1)式变为12222bzax,表示双曲柱面; 9k时,(1)式变为12222czby,不表示任何图形; 12|a, 7|b, 5|c, 并且0cba 计算accbba 解:2|a, 7|b,
16、5|c, 且0cba 则反向均与、同向，与bcaca. 所以0accbba 3点)4 , 1 , 0(A, )0 , 3 , 2(B求线段AB的中垂面的方程 解：点)4 , 1 , 0(A, )0 , 3 , 2(B，设AB的中垂面上任一点的坐标为zyxM,，由两点间的距离公式得222222012410zyxzyx 化简得012zyx 4平面与三个坐标轴的交点分别为CBA,且ABCO的体积为 80, 又在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4, 求的方程 解：设在三个坐标轴上的截距之比为 kcba3:5:4:，则平面与三个坐标轴的交点为 kCkBkA3 , 0 , 0,0 ,5, 0,0 , 0 ,4 所以，2, 83kk 因此，63,105, 84kckbka 平面的方程为16108zyx 5两平面0112:xmyx与平面1:zymx相互垂直, ,求m的值 解：平面0112:zmyx， 1, 21mn 平面1:zymx， 1, 1,2 mn 与垂直，则1n2n，所以021nn . 即012mm 所以31m 6取何值时直线0132012zyxzyx与x轴相交 解：直线0132012zyxzyx与x轴相交，则交点坐标为0 , 0 , x，代入直线方程为 01x 1 01x 2 1 + 2 得01x， 而原点0 , 0 , 0O不在直线上， 故0x， 所以1, 01
