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1、习题 10-11 .写出下列级数的前五项: 1事0O( 2 ) E71=11-3( 2 -1)2-4( 3 )法 zn=lni( +l) 解：品小弄( 2)一1 十-1-3- -1-3-5 1-3-5 -7 1-3-5 -7 -9F十+2 2-4 2-4-6 2 - 4 - 6 S 2-4-6 -8 10(3 ) *-*5一( 4 )下1! + 铲2! + 不3! +4?! + 示5 !+一 2.写出下列级数的一般项:1 I-1 - 1 -1-1 ;2 4 61a义 + 金 +- +1-5 3 -7 5-9 7-11+ ；N + 3_Z + 2 _U + U一( 4 )丘 + 上+ 卫(x o
2、) .1 4 9 16 25 3 6 2 2-4 2-4 -6 2-4 -6-8解： （ 2）2nU (2 -1)(2”+ 3)( 3 )3 .判定下列级数的敛散性:n2 , !( 1)00Z( J +i - )；“ = |8 1( 2) y- !-f f ( 2n-l) ( 2n + l)( 3 )-+ - 1 . . . + 4 - , 1-2 2-3 - ( + 1)( 4 ) si n 4 -si n62兀 , nn + + sm + ；1 1166( 5)00 _ _ ： (J + 2 2 J 7 2 + 1 + A/A?) ；1T3 5 7 92 + 1( 6) 4 + 4 + 4
3、 +;3 V3 V3 V3+ ；( 9) 诟-2标)( 0 ) ； =1( 10) -L-+1 +1解：( 1) 因为 = ( J + 1 -y H) + (yfn yjn l) + . . . ( V2 1 ) = J / ? +1 -1 ,n - 8 .则li m S. f oo, 所以发散;” 78 z z( 2) 因为为( 2” 1； 2 + 1 ) = % 止12 + l)则S ,=f(1- -) - -( - oo) , 所以5 -收敛；n 2 2Z-1 2k + l 2 占( 2 -1) ( 2 + 1 )( 3 ) S“ = ( l-3 + L,d- -1-T)= 1- -收敛
4、( 4 ) 由于li m si n竺 w O ,发散71006( 5) 因 为 = J + 2 2， 几 + 1 + 占 = J + 2 J t + 1-( J + 1 )_ 1J /1 + 2 + J /2 +1 J . +1 + y n“1 1 1 1所以 S” = ( / - - r=- - f = 广)=I- /= - -j= f V + 2 + VTH AM + 2 + VH + I V2 + V1li m S, =i/丁 = 1-忘usV2 + VI( 6) 由于= 则级数发散；( 7)limS, =lim( = lim T im / = lim 一00 一 8D 乙 “T8co
5、D n 乙n QO收敛( 8 )I T 2/? - 1由于h m -“ T8 2 +11 , 发散( 9)113)- lim“ 8如1-12r, = 12 ( 2 蚣 - 2 夜 户 _ & + 2 “ 必 ，所以级数收敛/ | = 1( 10) 由于li m001( 1+与n发散e4 .证明下列级数收敛，并求其和:111-1 - 1 -1-4 4 -7 7-10+ -I-1 -( 3 ” 2) ( 3 + 1)证明：由于S， +（ 一 而 小 = （ ,一）则级数收敛，且其和:li m = - 77) = ；n oo n o o。 十I。5 .若 级 数 与 匕 , 都 发 散 时 ， 级数
6、（ ” , 土 匕 , ） 的收敛性如何？若其中一个n=l n=l n=l收敛，一个发散，那么，级 数 （ “ 匕 ） 收敛性又如何？n=l8 8 8 21 2 1解： 当级数2 ,与Z匕都发散时， 级数2 （ “ , ,士 匕 , ） 不一定收敛： 如 ! 与 工 （ 一与n=l =1 n=l = n=| 都发散，而（ 3） =。 + 。 +. 收敛；, 1 = 1 若其中一个收敛，一个发散，则级数（ , , 土 ） 发散，证明如下：=1假 设 级 数 发 散 ，则存在 。 0 ,对任何的自然数N ,总存在自然数外 N和4 ,有 卜 （ 5 + 匕 + | ） + （ % 2 + 匕 个2）
7、 + + 2+ 匕 。 ） |N 除M + + %春。 ，所以该级数发散。习 题10-21 .用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性:1111( 1)- H -1 - F -1 -2-5 3 -6 4 -7 ( + 1 ) + 4 )( 2) 1+- + + + ;3 5 7敛;ZQX 广1 宇1 十1 西1守+，( 4 ) ( si n 2) nj) 十( si n 2 ) + ；6 62 6( 5 ) - H - - + + - + ( a0 )；1 +。 1 + a2 1 + 优71 .7 1 .7 1 71sin + sin + sin + + sin 4- .2 4 8 2U
8、1 1 1解：(1 )由于i 匚 = ，且 与 收敛，故原级数收敛;( + 1) ( + 4 ) n-n n 狙( 2)( 3 )( 4 )( 5)1 1 1由于一之 上 ，且工上发散，故原级数发散;2n-l n g n1 1 8 1由于一且t与收敛，故原级数收敛;( 2/7-I )2 n 念 一由于驾且I ，且等比级数 4收敛，故原级数收敛;6 6 “ = 6由 于 士 弓 则当。 皿 时 , 原 级 数 发 散 ；当 的 原 级 数 收. 71sinc o由于li m =1 ,由于级数二 收敛，故原级数收敛。A 念22 2 .用比值判别法判别下列级数的敛散性:( 1),4 5 几+ 21
9、H -7 T + H -F 32 33 3 ( 2)32-2! 3 8 ” 00 ， + 2 ” a 3 ( + 2) 3则原级数收敛;3) , +| ( /? + 1) !(2 )由于l im4 = l i m( + 1) = i i m - C - = 3l ,则原级数发散;8 4 oo 3 . ！ ( n + 1)nn( n + l) si n (+ n si n jr(3)由于l i m &旦= li m -与一= li m 与一 =1 ，由上面知级数 T 0 LI T8 . 1 T8 . 1产 ” n s m si n 8 1 s i n （收敛，所以原级数收敛;n= l 2( 4
10、)( + 1)甲= l i m( 3 + ?L = i jm- - = 0 l , 则原级数收敛;“f 8 /J. T8 ( ! ) 2 3 ( 3 + 2) ( 3 + 1)( 3 /i ) !ln( +1)( 5) l im4 = Hm ? ” T= l i m： M( + D=0 l ,则原级数收敛;品 2 (n + l)( ( 6) li m = li m (nV) ! = li m ( ) = e l ,则原级数发散；m u AT8 一 oo 几n5+1)2( 7) l im = = li m l( )2 = - 0, li m a, , a, c z 0) .CT C O解：（ 1
11、）由于l i m W = li m - -=1 1 ，则级数发散； T O O Y T O O （ 色） ” （ i + 2向（ 3 ）由于l i m 7 = li m -= li m - -= 1 ,则级数发散；n oo * n oo ? n oo 2 2（ 4 ）由于 li m V/A? = l i m - j = 2 = - l ,则级数收敛；e当2 1时，级数发a a散；当2 =1时，无法判断；a 3 + e ,由于 li m 痴= l i m 2 = 2? I 00 Y n- 00 ZT Z7( 5)( 6 )由于l i m W = li m = ,当a = 0时， 发散； 当0 a
12、 8时， 有当，1 ,即 工 1,即 该 级 数 发 散 ；当巴= 1,即x = a ,根值法不能判断.a a4 .判别下列级数的敛散性:( 1)/ 图+ 3图+ 4图+ ;(2 ) t( + l ) si n*；= 1 2(3) (1 - si n 1 ) + - si n I + + ( - - si n I + ； l n(l + 1) + l n(l +京 ) + l nl +卷 ) + ；/ L、 c 兀 . 兀 c” 兀(5) 2-si n + 2 -si n + - + 2 -si n + ;3 32 3(6)2mtg nc os M = 1 乙8 _ L(7 ) Z ( e ；
13、+ ” -2 ).= 17( / 2 + l )(-)， ， +l解： l i m 况= l i m -8 f 82 8 / _ 2n=0且Z 5收敛，所以级数收敛;2l n(l + ) 2( 4 )由于!吧 一 广= i而级数z /收敛，则原级数收敛;2 si n - oo y i( 5 )由于l i m 3 =1,且2等收敛，则原级数收敛;T8 乙 冗 n=l 37( 6 )由于-工 上_,且级数, l i m L = l i m = 0,则级数之(一1 )坐 (C ) .(A )发散； (B )绝对收敛;(C )条件收敛；(D )收敛或发散与女的取值有关.解 析 ：满 足 交 错 级 数
14、 的 条 件 (1 ) , =* 4用 = 攵 1(2)n (n +1 )k + nl i m “ =U = O, 所以级数收敛，由于= 则发散，所以原“ T 8 - 8 1n级数条件收敛；(2 )设a 0 为常数，则级数 (-l ) k -c os4 ( C ) .(A )发散；(B )条件收敛； (C )绝对收敛； (D )条件收敛与a有美 .1 -c os 2 si n2 -解析：因为l i m - = -m=2, 则级数 (1 -c os4 )收敛，所以原 仔)2 咛 了 2n 2n级数绝对收敛。已知级数 ( - 1 产 % =2 , % , 1=5 , 则 级 数 等 于 (C )
15、.n=l n=l n=l(A ) 3 ； (B )7 ； (0 8 ； (D )9.8 0 0 T 0 0 8 一 1解析：Za, =Z( T) % + 2 ( 。 2 .-1 一 1 ? 一 1) %)= 8w=l M+1 n = n+12 . 判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？（ 1 ）（ -1 尸 ； ；H=I 7 ni（ 3） si n ； = i 九8（ 5）之（ _1 ） 角 ； 二 | 加（ 6） -+ - 1 + a 2 +a 3 +a ( - 1 严 ( 4 ) y(-i ri n ；皿 - (a 不为负整数)4 +。（ 7 ）1111I n 2 I
16、n 3 I n 4 I n 5 (8 )1 +2 1 2 +2 J _3+2 1 4 +2 1-T +T 7 T+ 2 +i 7 2-3+T T 3+ 4 +i V 4-(9)1 . 7 t sin Ti2 21 . 兀 1 sin + sin兀3 3兀4714( 10) sin - sin 7- + sin - sin - + I2 22 32 42解：（ 1 ）满足交错级数的条件4=二,用=7二 且l i m = 3 =。，则7n VH + 1 T00 7n8 1 1级数收敛，又因为p = i则发散，所以原级数条件收敛;n-2（ 2 ）考 虑 级 数 之 二 -，由于l i m也= l i
17、 m攵 芈 二 1收敛，所以原菽级数绝对收敛；. 11 si n- 1 .（ 3）考虑级数l i m si n-v ,由于l i m *- = 1 ，且 级 数 1收敛， 则l i m si nj“ T 8 M T 8 1 M - 0 0 *收敛，原级数绝对收敛;, n + l（ 4 ）满足交错级数的条件，考虑级数 山3 由于limT = l,则n=n发散，原级数条件收敛；H = 1 （5 ） 满 足 交 错 级 数 的 条 件 ， 考 虑 级 数 V，由 于 = 】 ！2 （ +021加 “=上= 二1 ,级数 二 发散，原级数条件收敛；jnn 2 + 1 M ！n（ 6）满足交错级数的条件
18、，考 虑 级 数1_ ,由于发散，则原级+ a n + a数条件收敛;8 1 1 1( 7)满足交错级数的条件，考虑级数- ，由于 念 l n( + l ) l n(n + 1 ) ny 二发散，则原级数条件收敛；=i l n(n + 1 )(8 ) ( 1 )史 满 足 交 错 级 数 的 条 件 ，考虑级数竺 ！上 ，由于普 + 1 念+ 1lim= 则 发 散 , 则 原 级 数 条 件 收 敛 ；n + l dn 普 +1( 9 )考虑级数击si n 5T ,由于s in E v击，且g 击 收 敛 ，n = i 兀 n + 1 71 / 7 + 1 7 T 冗则工si n工 收 敛
19、，原级数绝对收敛；n=l 7 1 n + 1、 . J_oo i si n _Y _ oo i(1 0 )考虑级数 s i n F ,由于l i m 产 -=1 ,且工 二 收敛，则 si n y收n = n _ =1 rr敛，原级数绝对收敛。co c o 13 .已知正项数列也 单调递减，且级数 (-1 )可发散，试问( ) 的敛n = =l an + 1散性解：由于正项数列 % 单调递减，且级数发散，由交错级数性质可”=1知l i m a ,产0,又因为l i m亚 = / (一) = 一1,则 ( 一) 收敛。f8 78 a“ + l an+ M a “ + 14 .证明变号p- 级 数
20、 ； 当pl时绝对收敛；当0 “ +1 = |且limA, = lim； = 0n ( + 1 ) n则原级数收敛； 考 虑 级 数 则 可 知 当P 1时收敛， 原级数绝对收敛,n=l =1 当0I l z l l l ；解：( 1)由于R = lim + = limM ZJToC= 1 ,则基级数的收敛区间是(-1 ,1 ),n +1但当x = l时发散,所以收敛域( 2)由于R = lim 一001_r /-hm- i“ TOO _( +171 ,则幕级数的收敛区间是当x =1时 , 有 等 卜二则级数在X = l也收敛，所以级数的收敛域卜1 ；n( 3 )由于R = limnoo1li
21、m 2 ！ = 2 (+ 1 ) = 0 0 ,所以级数的收敛域n-oo _ _2 +,(/ 1 + 1 )!(-0 0 ,+oo)；2 (4 )由于 R = HmM00TimM -00+1=L 当 x = ，时,2 20 oo 4 十 Too _ _ ， J (n + l )-3(,+1 )收敛，当x = 3时* = 发散，则级数的收敛域-3,3） ；1（7 ） R = lim乌-=lim；0 = l i m 2 ”= 所 以 级 数 的 收 敛 域M-*0OQ“ + w-00 _ TOO2n（ -oo,+oo） ;1（ 8 ）由于E = Hm/ Ti m十 = 1 ，则级数的收敛半径为R
22、= i ，因而“ TOO + TOO _ + 181收敛区间, 一1 | x 4+ “TO O . +2, , +l收敛区间,2卜2即卜0 ,血 ） ，当x = 啦 时 ，级数发散，所以收敛域” =1 2为 V 2 , V 2 j ；（ 1 0）由于R = i m& = l i m- = 1 ，则级数的收敛半径为R = 1 ，因而“ T O O。 + “ TOO+ 1CC 1收敛区间|无-5 | 0O“ T O O敛区域为(-1 , 1 ) ,设其和函数为/( x ),对f(x) = l + 2 x + 3x2 + 4 x3 +, = n =l当 |无 |o o V1(n + l) (n +2
23、 )1 ,6 1/ ? = 1当 =1时Z-i 收敛，所占( + 1 ) ( + 2 )以收敛区域为 -1 , 1 ,设/ (x) = fn =lX+2( + 1 ) ( + 2 )8 十】，当 小 叫 ，/(M而专 与一= 占-1故 小 ) = 卜 占-1 )力 =-皿 则x ff(x) - - - (1 - x) ln (l - x) 4 - x - -,贝Uo o w+2y - ( + l) ( + 2 )2)-X-2IL-Xo1-2 因为f (-l) x 收敛区域为(-1 , 1 )设其和函数为/( x ),对V x (-1 , 1 ) ,n =l/ (% ) = 1 - 2 x +
24、3x2 - 4? + - = (-1 ) -|nx-，当凶 1 时=1x X 8 00f小9=注 (-1广 - % = ( ) =40o n= n= 1 + X则 / ( x ) =(一) =(|尤| ooa,i+1n =0，和宇 竺 都 发 散 ，其收敛4几 +1 n=Q 4 + 1域为(-1 ) ，设/ (乃=土V5 +土X95 94 / 1 + 1人H -4 +1，在收敛域W 1内求导，得F (x) = / + 尤8 +尤4 ” =1 -x2由尸 (0) = 0 ,既得 F(x) - J = In 匕2 + ar ct an x - x(|x| 8 ” + = o 2 - 1 =() 2
25、 1/ V5 丫2 “ - 1域为(7 , 1 ) ,设尸(x) = x + J +土 + + J +，在收敛域同 1内求导，得3 5 2 / 7 -1F (x) = 1 + x2 + %4 + = -1 -x由尸(0) = 0 ,既得尸(x) = j M y = 3 n匕2(因1 )i 1 -r 2 l-xY1 y5 丫2 -1 1 1 , r于是当 | x| 1 时有 x + + d + -d = In - (Ixl 1 )1 1 3 5 2 - 1 2 1 -x 1 1172令x则00 1 00 1y七(一 - -=V2V-二 一2 -1 ) 2 (2 - 1 ) (夜 产1 +J _争
26、 n = *in (3 + 2扬I 一 忑习 题1 051 .求下列函数的麦克劳林公式：(1 ) f(x) = xex ； (2 ) / (x) = co s 2 x ；(3) f(x) = tanx (展开到含有V的项为止) .解：( 1 )由于e* = l + x + + 工炉+ 1 ! 2 ! n i i pex则/ (乃=泥*=尤+上2 +上尤3 + _ + / +乙 无 ，川(0。 (_l)=)(|x| 0 ) ；(2 ) a(3)+ 3x + 2(4 ) s in2 x ；(5 )Xll + X2(6 ) ar cs inx ；(7 )xco s ；2(8 ) ln (l + x
27、- 2 x2) .解：(1 ) 由于 ln(l + x) = 3二 ，则 = 0 xln( + x) = In a + ln(l + )ax . ( 1) / 、Jlna + * -() ,x e (-a,a) = o n a(2)d = 5 (xlna) h ！由于lim /J = lim = oc，则收敛区间为(-8 , +8 ) Too + Too(3) 由于+ 3x + 2 x + 1 2 工 十 218, 且寸XT ，x 十1 = 011 1 11则x? + 3x + 2贝- 娉3霭=*】 严彖。 （ 国+8 ）( 5 )由于(1 + x) = l + ax +2!na = - -
28、, x = x2 可得:2- = x 1 +V u 7 I( 6 ) 5* D 得(-1X1)I dt iarcsin x = / =J(, Jo /+ +J 0 卡且2 2-4 2 4 62 3 2-4 5+ ,T /o p( 7 ) 由于cosx = Z/i=0( 1)”(2 ) !父，则令X = 2 得 c o s = 之 且 匚2 2 台 (2 )! - - Z ( - - x -怎 n 2 23 . 将 f(x) = lg尤展开为关于x -1 的嘉级数.解：x) = lgx = 1 = 4 1 n ( l + x 1)=占1)(0XW2)In 10 In 10 InlO 77 n4
29、. 将 /(x) = 7 7 展开为关于x -1 的幕级数，并求其收敛区间.解：该题即是求该函数在X=1处的泰勒展开式。兴 (上” 生“ ) 二 止整3;嘿 2(,一) 一 小在此，若n0,则n!=(-l)L所以f(x) = 4r = l + j(x -l) + 4(x-l)2 + . + W 2 ( -l)-3 !(x-l) + /;(x).2 2 2! 2 nlim/3 2(；1)- 3工=1,当* = 1时， y (i) = , 收敛；当x = / 时， / (一1)=82 8 V 2 ” !故收敛区间为(-1,1.5 . 将x) = 展开为x -2 泰勒级数.x +5x + 6解：_
30、_ !_ = _ L _ _ L = 1 _ 1 _x2 + 5x + 6 x + 2 x + 3 4 1 ( - 2 ) 5 1 (冗 一 ？ )8 1 1则/W = (- i r ( r - - r ) (x -2)(|x-2|e( ) = l + (l + z ) x + - - + + -. . .X2! ！ 2! n(1 + z )2 = 2z , (l + j)3 = -2 + 2z , (l + z )4 = -4, (1 + z )4n = (-4) 习 题1 0 71 .证 明 下 列 各 等 式 ：(1 )c o s nx c o s w i rd x = F * ， ；J
31、r 7 T , m = n;L . 1 0 , m w %(Z ) smnxsmmxax = J-n 兀 ，m = n.证 明 略 ，积 分 互 换 。2 .将 下 列 函 数 展 开 成 傅 立 叶 级 数 ：(1 ) f(x) = 3 x2 + 1 , -71 X 71 ； (2) / (x ) = 1 7 C X 0 si nx , 0 x n .解：(1 ) / 是 按段光滑的，它可以展开成傅里叶级数a0= f(x) d x =， 3x2 + d x - 2万？ + 24 J zr 兀 f1 a “、 . 1 a r 2 , 1 r T , 3x2 s i n nx 6XCOSHX =
32、 j(x) c osnxd x = 3 x c osnxax + c osnxd x = -+- - -冗 J* 乃 Jr 冗 j nn n7t1 2(-1 ) bn=-4 U3x2 + 1 s i n nxd x = 0x ) = /+ l + 9 c s xn= (2) / 是 按段光滑的，它可以展开成傅里叶级数 乃 1 1 .aQ = f(x) d x = s i nx心兀 ) -兀 乃Jo27T1 1 . 1 1 1 . . 1 1an = si nx c os nxd x = s i n(l - n) x + s i n(l + n) x d x = -； c o s (n-1 )
33、-1 乃)1 0 2 7t n0, = 3,5 = 2 1 , = 2,4,6 7T n21.1 产 1bn = sin % sin nxdx = cos(l 一 cos(l + n)xdx = 0万乃以 2则一 、1 2 6 1 ./ (x) = -/ z-cos 2nx万万占4 2 T3 .将 下 列 函 数 展 开 成 傅 立 叶 级 数 ，并分别作出原 函 数 与 傅 立 叶 级 数 的 和 函数在卜兀, 可上的图形.(1) f(x) = 2sin , -nx7t ; (2) /(x) = | e 兀兀，3 0 , 0 4 x 4兀.解 ：（ 1）/ 是按段光滑的，它可以展开成傅里叶级
34、数6r0 = f f(x)dx = f 2sin = 071 J-乃 71 J r 3cin = 2 sin cos nxdx = 0T V I ” 371 %sin =3兀 “3/1-1 3/? + l .cos-x -co s-x ax6 ( ( - 1)“ 3 ( - 1)3、33n3 - 1 3 + l J则 J(x)(T ) ” 3 ( - 1)3、3 - 1 3n + l )sin nx, x 6(-兀,左)（ 2） / 是按段光滑的，它可以展开成傅里叶级数o - enexdx =-一 兀711 p()an= ex cos nxdx = 一71 j 71e* + n2cos + s
35、in 心) 匕1-1 p0 .hn= ex sin nxdx =一71 J1” 71e* + n2(sin/?Jt-HCOSA2X) | =/(x ) = + f兀 冗n=l1一(1)%71,一 T- cosnx71smnx+ / ?+ /+ /4 .把函数兀 八,-71 X 0,7 1了0 X K展开成傅里叶级数，并由它推出(1)1 147133 5, 111 1 1=1 H -1 - 1 -F ;5 7 11 13 17(3)G ill i i7 1 =1 1 -1 -1- .6-5 7 11 13 17解：函数/(x )及其延拓后的图像是按段光滑的，故它可以展开成傅里口I级数,兀 JI
36、J-冗 4 万10 41 0 = 0,71 1=(-)cosnxdx + cosnxdx - 0 ,万 J- 4 41 1万 . . 11 sin nxdx = cosnx0 4 4.兀、. . 1(- )sin nxdx + 471% - -cosnx401 ，所以，当XG (-肛0) D 0 4 )时 :0, n - 2n1/w = En = l2/2-1sin(27?-l)x当x = 0时,又 因 企 ;上式右端收敛于0 ；当x = 1时，由于“ 9 = 2,所以- 111 = 1 1 - F 4 3 5 77T 1 1 1 1 匕 匚 x I= -+ -所以4 3 9 15 2771
37、71 71-= -1 -3 412n - l+l - l+) +(， +J _ L) _ i+J_J_L+_L一 + 二一寸+f+ 百一 万 +5-7-11+13当r时, 由于/ 号) = 2 ,所以4711 1 1 1 1 . -|- -1 - , I5 7 11 13 17则 手67T2冗 - 产4 V3, 111 1 15 7 11 13 17习 题 1 0 81 . 将函数f(x) = 2x2 ( 0 4x 4昉分别展开成正弦级数和余弦级数.解：具体过程参照总习题十(A) 六 1A ) . 2 )( 1 ) / (x ) = Z K - T -) (-1 ) T s i nnx0 x
38、z r)7i n n n2 8 / _ i y (2) f(x ) = -7 r2 + 8 V cosnx(0 x 7r)3 篇2 .将函数/ 二 工兀工兀) 展开为余弦级数，并由此求级数 的和.n=l n解 :4 =4 、 =?2 1 3 , 2 1 3 , 6 2 , 67rcos4 12 i . x cos nxdx = x a sin rvc =-x sin nxdx =- x cos tixdx =兀Jo nn n7iJo n 冗Jo67rcos 万 12 , 6 1 c o sr 12(1 -coszi-r)- -+ r sin nxdx =-+ - -n n7rJ() n n 冗
39、“ 3 8 x)9+ ZN n=l6;rcos12(l-cosnjr)l 乃 3 6- ：- -cos/?x = +“7 J 2 (-l)n6 12(1- ( - I f )n2 n47rcos nx.x221一 小亍 + O = 1( T ) ncosn x,xe( - ,),这是小的正弦傅里叶级数。尸a r s e v出等式:设f ( x )在 -肛句上可积或平方可积，则成立等式广dx7 71 J-左取而“小、 ) 小2 则n ” 1工 ” 厂4 ,公 444 3 1 2万4 - 1 万41r+ 1 6 1 / = 三 一 二 / = 痴X3 .设八刈的周期为2 , 且/ (x ) = 1
40、-1-lx0 ;0 x 1 ;将其展开成傅立叶级数. x 1 ,2解：函数是按段光滑的，系数为J ： / (x Wx = J ： A z Z x + j J Wx +J j -dx =-1 -1 2_2.竺rifofi i -(-i y 2 s in3= J /(x)co sn7i xd x = j xcosn/ rxd x + j2 cos n/ rxd x + J i - cosn/ rxd x = + - -1 o n 7 1 o 1 j 2 c o s bn = f / (x ) s i n n7rxd x= f x s i n nnxd x- - f s i n n7rxd x+ -
41、 s i n n7rxd x = -j-i J-i JO J- n 兀1 -(-1 /贝 1 J/ (% ) = _4 n=2 2n 7t2 s i n 1 2 c o s + -2 Ji C O S 1 1 7T X + -2 s i n n7rx)nT T n7T4 .将/ *) = | x | ,在(-； , ； ) 上展开成傅立叶级数，并 求 级 数 工 忌 % 的和.解：/ (x )是偶函数，则=0,可得1 f i , 10 = 1 J1o2 xd x = 24J ； r 2 1= 4 J。 x c o sIn/ rxd x -% 2丁(-2- -+- 1-) 2彳/ (x ) =
42、J4当x = 0时可得2 9 c o s 2(2 + 1 )乃工,1 , / 1、F / - z -, (- X W - )/ 占(2+ 1 ) 2 2 27c o 9 _ 2V- = 土占 (2 + 1 ) 2 80 % 1 ；2展开成正弦级数和余弦级数.4 /5 .将函数/ (x ) = ,I - X ,解：( 1 )把了展开为正弦级数，对/ 作奇延拓，则4 = 0 / = 0 , 1 , 2 , ,b“f / ( x )s i nJ x = 1r2 x s.i nn 兀x a, x + 2 f i, (z,/ - x ). s.i nn nx a, x = 2 1 rs.i n nK0
43、I I ” I ( 乃)2 2.njrs i n二2= 4攵 + 10 ,n =2 k I b” = x /W = - L 7； 市 s i n- - - - - - - - - , x e 0 , / ( 2 )把/ 展开为余弦级数，对/ 作偶式周期延拓，则bn =0 , = 1 , 2 , ,an = 2 J ： / ( x )c o s 6k = 2ex c o s 公+ 2 J ； (l-x) c os -d x =l,n = 4k2 1 ( 乃 八 2 1 . , ， 八-(-馆- -)7 I C OS H7T 4 - c o s -2- - - 1 J= -(- - -2,-l ,
44、 = 4+k 1 +,泉 2 + 3, k = 0 , , l , 2 , 所以当x e ( OJ )时，由收敛定理得到/W4 wg( c o s+c on/sr- - -八- l )c orsn-t-x- -2 16 .设周期函数/ ( x )的周期为2兀. 证明：(1)如 果/ ( X -兀 )=-f(x) ,则f(x)的 傅 里 叶 系 数4 = 0 ,a2 k = 0 ,砥 =0 ,( % = 1 , 2 , )；( 2 )如果/ ( x - 7t ) = f ( x ),则/ 3)的傅里叶系数句=0 ,砥M = ( ), ( 4 = 1 , 2 , )解： ( 1)& = 5 J：/
45、 ( x g = 尤 乃 心 = ；J2./(x*X = -=令 x = t-7r,alkcos2kxdx = - j f ( x -兀 )cos2kxdx = - j / (X)COS2AJTJX-0,:-j /(z)cos2ktdt - -a2k - 0;b2k =/(x)sin2fcxJx = /(x-)sin2fcxJx令x = t - 4,b2k - f sin 2ktdt - -b2k - 0.兀 jsin 2kxdx,(2)a = j / (x) cos nxdx = j / (x) cos nxdx + f (x) cos nxdx,令x = t-万,/ (x)cosnxdx
46、= /( r 一 万 )cosn(r cos(2n+l)- = -l,a2n+ =0;Ttdt = cos nt cos nTidt.hn = 1 f sinnxdx j f (x)sinnxdx + f (x)sinnjvJx,令x = f一 乃 , J / (x)sinnxdx = /( f 一 万 )sin“(f 乃)力=一/ /(f)故 cos(2n+l)= -1 也“ + =0.sin nt cos n/rdt,习题10-91 . 设篮球架上的篮筐到地面的距离为3. 05m, 一学生投篮未进，篮球落到地面后反弹到原来高度的40%处，落地后又反弹，后一次反弹的高度总是前一次高度的40%
47、.这样一直反弹下去，试求篮球反弹的高度之和.、2解：记“0=3.0 5 ,则有%+ =14“,” = 0,1,2 一 ；15.253h = 5.08 4 = 2.03ma 5.082. 2000年保险公司可以保证预定年利率一直是6. 5% ,儿十年不变. 某人每年在保险公司存入1000元( 每年按复利计算). 试求(1) 10年后，投资额累积( 即本息和)是多少？( 2 ) 要存入多少年后才能存到10万元？解:( 1 )51 0 = 1 0 0 0 ( 1 + 6. 5%) + 1 0 0 0 ( 1 + 6. 5%)9 + + 1 0 0 0 ( 1 + 6. 5%),x( l + 6. 5
48、%) - l=1 0 0 0 ( 1 + 6 .5 % ) _1.1 4371 . 56S , =1 0 0 0 ( 1 + 6. 5%) + 1 0 0 0 ( 1 + 6. 5%广 + . . . + 1 0 0 0 ( 1 + 6. 5%)(2 )由/ 、( 1 + 6. 5%) -1=1 0 0 0 ( 1 + 6 . 5 % ) 1 _= 1 0 0 0 0 0得到( 1 + 6. 5%)( 1 + 6. 5%)- 16 5 %= 1 0 0 ,于是M G % ) 5和 = 畋 于 是 黑 答 案 就 是 I n 7. 565 I n 1 . 0 65 -+ 1 31 . 2总习题十
49、(A)一、选择题1.若级数名“ ， 发散，则 ().n=l( A )可能 l i mun = 0 ,也可能 l i mu “ w 0Too n-8( C ) 一定 l i m“ ” = 8” 一 8A级数 工n2 .若 级 数 收 敛 ，则 ().n=l( A ) “ “ 收敛”=1( B ) 一定n-oo( D ) 一定l i m“ =0 .M 003 .下列级数条件收敛的是().( A ) 包 !( 0=1 ( B ) 收敛n=l( D ) “ 发散.n = l( B )仪 V2 之( T)( 2 - 1 ) n2解析D交错级数莱布尼茨判别法4 .级 数 . ”呵 是 ().(A)条件收敛
50、(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性不确定.则交错级数莱布尼茨判别法， 收敛,又 因 为 发 散 ，所以级数条件收敛;n=l5 .塞级数且 左 ; 在( Y0, +00)内的和函数S(X) = ().,)= 0 ！(A )e* (B) / ( 0 J (D)解析：A由于工 令 = -2 ,可得n= 0 ！ n= 0 ！X, T t, 0, 6. 函数x) = 2 1 和函数g(x) = 2； ,在-2,2上 在 指 定 区 间 上 ( )x sin, (0, n,.x(A) /(x )、g(x)都满足狄利克雷条件.(B) x)满足狄利克雷条件，g(x)不满足狄利克雷条件.(0 g(x)满足狄利
51、克雷条件，“ X)不满足狄利克雷条件.(D) /(x )、g(x)都不满足狄利克雷条件.解析D找定义7 .由函数在- 1 J上 的 傅 立 叶 级 数 1cos n TVC可 得 之 印 之3兀女 n值 为 ()(A) (B) ( C) 6 6 12解析：D令尤=0可 得 方 印 = 一千占 n2 12二、填空题(D)7Tn I解析：由于一 = - - - - -( - =)，则4 n2-l ( 2 + 1 ) ( 2 -1 ) 2 2 n -l 2 / 1 + 1 t f 4 n2-l 22 .基级数的收敛区间为金? +1 )1解析：= = l i m2nJ- = k则, 一1 | 00。什
52、 T00 _2 + 33 .函 数 切 = 工 在( -1 , 1)内的第级数展开式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .1 + X解析：由于一= ( 1 ) ” / 则 f(x) = ( 1 ) 3 + 31 + X n = 0 = 04.级数近与三当a满足_ _ _ _ _ _ _ _ 时收敛，在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _发散.念 解析：由于4=近三三=一.4 , 与P级数做比较，当na ” ( 师 臣 + 府 不. + 1即a 工时级数收敛，当。 + 工4 1即。4工时级数发散；2 2 2 25 .设 有 级 数4(区 ) “，若则该级数的收敛半径2 T
53、 8 a 3n=o 4 UM +1 J为.an解析：R = l i r n y = limy- = 2lim- = |- 00，“+l n-oo +l - 8 a ”+ D尹6 .界级数Z( -l ) x ”的和函数为.n=l00解 析 ： 因为 ( n -l ) x = x2 + 2 x3 + 3 x4 +- = X2(1 + 2X + 3X2 + -) 则由设= 】/ ( x ) = 1 + 2 x + 3/+ 贝| J/ ( x ) = 1 + 2 x + 3 f + 4 d + =t x ?:=1当国 1 时，力=x = 一，有0 0 =1 n=l 1 1 %f ( x ) =( 金
54、) = 1 )所以原级数的和函数为2X( 1 ) 2 三、判断题（ 对者打q ,错者打x ,并说明理由）i .若正项级数 “ 收敛，则级数 说 收 敛 （） .n=l n=|解 析 :收 敛 ，lim ” = 于是对 =1， 加 ， 当“ N时，= 1既有0 4 “ 1从而当 N时，0 4又知X 4 ,收敛，根据比较原则，级 数 收 敛 。tl=2 .若 级 数 发 散 ，则”尸尸0 （） .n=l解析：X反例n3 .若 正 项 级 数 “ 收敛，则lim殳立0）收 敛（） .n=l n=l解析：X 反例4= (-1 ) -, A = 1 则 (1 + (-1)-!-)发散n n5 .若级数卷
55、“ 和级数小” 都发散, 则级数之（ % + % ） 发 散 （n=l n= n=l) .解析：X jun = -n则匕收敛n6 .若级数Z M 发散，则级数z “也发散（） .， t In=l1 I n 00 8解析：x ,=（T） T 级数X ” 发散，但级数z ”“ 收敛M n=l n=l四、计算题1 .判断下列级数的敛散性：00- P( 1) V (l-cos ) (p0)；=i 恶(3) (% o )； =1 n sin 港(4) V 二 ( 5 )之 上LT fn - sin n( 6) 型;n=l (7) 3M 一 In n(8) t a n矣M = 1 乙（ l-c o s-）
56、p 2sin2p 1解：（ 1）因为lim- J =-丝= 2 ,则当p 上时，收敛；当0 8 ” 8 乙 n 00 3 / J( 3 )满足莱布尼兹级数的条件=* 向 = 勺 1, lim “= ? =0,n (n + l) “T0 nk + n所以级数收敛，由于lim = J = 1 ,则字发散，所以原级数条件收敛; - 8 1n.7 Tsin_3 1（ 4）由于H m 句 ，且 二 三 收敛，则原级数收敛；n oo 兀 = ，3（ 5）级数满足莱布尼兹级数的条件，交错级数，单调趋于零，且 一 - 1n -sinn n则原级数条件收敛；（ 6）由于limF ：= lim） =0 ,级数收敛
57、；H-00 V “TOO （ 7）级数满足莱布尼兹级数的条件，交错级数，单调趋于零，且 一 In n则原级数条件收敛；（ 8） tanx在0附近， 即 在 有 限 项 之 后tan ， 从而tan 2 伫， 而2 2 2 2后 者 级 数 收 敛 ， 故 收 敛2.求下列级数的收敛域:1 f ( - 1 ) # n= 2 2 n 号 卦 ;解:(1)令U = f， 则在该级数中r的收敛域是115；x + l 0 , - ( x + l ) W x - l x e 0 , + o o ; x + 1 无 解。收敛域x e 0 , + o o ) ;2v3 c o v2/i+l 3 oo 2 n
58、3 co( 2)该级数= + ( _ i y T _-= + x y ( -iY2 2 - 2 ( ” + 2) 2 )2+2(n + 2) 2 )n + 2 2 ( + 2)52令则级数 （ 一） (n + 2)2/i=lx”+2 2 ( + 2尸这与原级数同敛散, 并且该级数”=1的 收 敛 域 为 于 是X,722 可 （ + 2） 5I +2 i-注：函数f（x） = 3（ x + 2月在Xl,+oo）上严格单调递减所以，收敛域 卜加,及）11tl2 1 对切成立， , I 运 i - n T 8 - e(-l,l)|xM| |x| V23 .求下列级数的收敛区间:9( 1 ) Y -
59、 - (2-1)(2 )( 2) ( 1 + 3一 ， “=1 n解：（ 1 ）由于A =( 2+ 1 ) ( 2+ 2)1lim 0 -； ） （2 ）一 = i则 收 敛 区 间 为 ；（ 2 ）由于lniTm8 1。 = 则 /4V则R = e,收敛区间为（ -e ,e ）4 .求下列塞级数的收敛区间和收敛半径:zn-1(x -l)2n .n -32( 2) 3 + ( -2 )% + ) “ ；解：（ 1 ）收敛半径R1rn - 32lim-r-/I 00 _ .如 =3 , 且|(XT)|3M + 1-32,+2则收敛区间为( -2,4) ；( 2)记 % = 3， ，-(-) ，-
60、，由于 l i m & = :则收敛半径 R = L 且Kx+ 1 ) | d ,“TOO3 3 3收敛区间为( -二) .5 .将函数加) =1展成,的基级数./( X ) = W ( T) Tq ) 2-2 = ( -1 ) 1 e ( -3,3)“n = l J n = l J6 .求下列基级数的收敛域及和函数.( 1 ) Z n(n + l) x；解：( i )因为l im- M l imS f，且当* = i时，级数发散，其收敛“ T8 T8 域为( -1 ,1 ) ,设其和函数为/ ( X ) ,则/( x) = ( + l) x,xe ( -l,l) ,在收敛区域内积分，得:5
61、8 27 (= Z ( +力=. 巨 6 = ( 凶 1 ) =1 =1 (1 % )所以x) =X 0且li m % = A * 0 ,证 明 发 散 .证明：由极限定义知，对0 0曰0 10 ,使得对一切1 1 0 1满足:| 血1 1-4| A- 6不妨取 = 一，则a “ 一 0 .2 2n再结合调和级数的发散，由柯西的级数收敛准则知该级数发散。2 .证明：若打 ： 收敛，则 绝 对 收 敛 .证明： ( 反证法) 假设级数个组不绝对收敛，即之同不收敛，从 而 鸡 0 ,VN 0 ,1 0向n en满足: 3 1 + 氏 * 1 + +显1 则在这p项中，至少由一项大于某个给定的大于0
62、 的数，记 这 个 数 为 国 2 0 , 于是| 4| 2乂 ,婷是给定的数。另 外 由 级 数 收 敛 ，故/ 0 ,王 5 0 , 0 7 满足：atl2 s - at 0 , n = l , 2 , ) ，试 证 ：a bn( 1 ) 如 果 ,收 敛 ，则 上 “ 收 敛 ； 如 果 以 “ 发 散 ，则 我 发 散 .n=l /=1 n=l n=l证 ：由于4 ，故 用 4 加。 ” + 1 , 故 由 比 式 判 别 法 知 ，当 以 “% b “，i收 敛 ，则 % 收 敛 ； f % 发 散 ，则 f 发散.w=l n=l =1六 、傅立叶级数的计算1.将 X ) = x 在
63、 ( 0 ,2) 上展开成正弦级数和余弦级数.解 ：( 1 ) 把 了 展 开 为 正 弦 级 数 ，对 /作 奇 式 周 期 延 拓 ，则a” = 0 , = 0 ,1 ,2,，bn = f xs i n n 7 l Xd x = - - - c o snn = ( -l)n + l,n = 1 ,2， 一2Jo 2 nn n 兀所 以 当 x e ( 0 ,2) 时 ， 由收敛定理得到/( x) = x = V ( -l)n + s i n ( 0 x 2 )= i 兀 2( 2 ) 把 /展 开 为 余 弦 级 数 ，对 /作 偶 式 周 期 延 拓 ，则b = 0 , = 1 ,2,2
64、. 2 HTTX . 4 . 八 4 八 “ I - , i i = 2 k - ia- = 5kc s Fi -D E( -D - ,的 T _(2k_8)2 万2,a2 k - ( % = 1 ,2,)所以当xe ( 0 ,2)时，由收敛定理得到人 ) - 8 ( 2 (2 1)2 / 22 .将c o s /在0 R( 兀内展开成以2兀为周期的正弦级数，并在-2兀SxV2兀 写出该级数的和函数.解：bn = c o s xs i nnxd x = s i n ( + l) i + s i n( 一 1 )x d x =712c o s ( + l)乃n-1=I T)2c osxn - l
65、2 n7171(Ts i n nx.1c o s ( - 1 ) 4n2 -1 + l-7r(n2-1Cs X在一2兀4 x 4 2兀上满足:分段单调有界， 又是连续的， 故该级数在任意一点收敛于函数值本身. 于是在- 2兀4 x 4 2无 有 :1 8 P四 一 ) 一 12 n-7r(n2 - 1si n nx = c os x9xe ( 一2乃 ,2乃 ) ,x w 0 , 土 乃l , x = 0 , 2乃-1 ,X = 7T3.将/ ( x ) = 2 + | x | ( - 1 4 x 4 1 )展开成以2为周期的傅立叶级数，并由此求级数z 4的和.n=l 解：y ( x ) =
66、2 + | x = 2 x x X2 7i 急(2-1)令x = 0,则有, 1 1 万 21 4 - . d - - - - - F . + 二32 (2n-I)2 8设c , 1 1 1S 1 4 - - - 7 - - - 7+ , - * - - - 7+ 22 32 21S1+ -F 1，+1 32 (2H- I)2c 1 1 182 = 22+42+(2疗+因为sS = + S2 9 52 = 所以4 47 2 万2S = 5.= - - - - - - - = 3 1 3 8 6- - = -ln 21-1 22总习题十（ B）L 求级数f的和n=2T） 2解 ： 由于q 1 q
67、 1 _ 1 1( 1 L_J_ _ yj _L )七 ( 2-1)2 - 七 5 + 1)( - 1)2 - 2 七F H T 一瓦T)一 Hi -白 谈 *18 丫 “且自 力1 n（H 2(ln2-) ,H 2 + 18 1 1 5 S 3所以= -(-ln 2 -2 1 n 2 + - ) = - - - ln 2 (“ 21)2 2 2 4 8 42 . 设 q=2, / + =； ( + ) , = 1,2,， 证明( 1) 存在； ( 2 )级数 1)2 an T n= l an + 收敛.解：（ 1）由an+ 2（ 等号不成立） ，得到% 1,且易证 2. 从而有：an+ an
68、 = f a” oo另外，0 2 _ 1 = 二 1,所以lim4n=91；由柯西正项级数判别法知该级数收敛。oo“ TOO= lim“T8-4 + 11 , 所以之（ 一 =1 0 ”L ） ” 是收敛的。+ 1 0 ,n=l 级 数 收 敛 .“ =】 解 : a, = -ln, V2 / 尚 ， 乃|cosx| = - In , a2 - (tanx - x) | = 1 - - ;乃“”an = 4 (sec2 x-l)tan/,-2 xd x = 4 tann-2 xd ta n x -jj tan/,-2 xd x = -x )正 一 。 “ 一 2Hni i即-ki+-=；7 T
69、、所以, n=%+ 2 + 28 1= y -( +00 1= y -i)1 _n + l). 证 明 ：由得：an= -。 _2 4 一且。 ” 0n-1 n-1所以R1一、, 又 士 丁/J,由正项级数x W 收 敛 （ 4 0 ）， 得正项nA /（ 一 1） nM n（ n - l ） n+A级数乙ZJ r收敛，从而命题得证。1 （ - 1）5.求 一 级 数 1 “ 的 收 敛 区 间 , 并 讨 论 级 数 在 该 区 间 端 点 处 的 收 敛 = 3 + ( - 2 ) n性.解 ： 记a“ = 丁 _- ， ， 则 l i m 4= ， 故收敛半径R = 3 , 收敛区间为(
70、 一 3 , 3 ) ；3 + ( 2 ) n _8 | 3当x = 3时，基级数为Z- - - - - - - - L念 3 + ( 2 ) n8江n=l( - D 1n1 +级数lim 一1 +1 7= 1且 出收敛,n=l 00则” =1小子小子, 所以nx = - 3时收敛;8当x = 3 时，基级数为n=l1 3 3 + ( - 2 ) “ n00=z” =1- 23级数lim 11 +7 = 1 且 上1发散，则 x = 3 时发散。1 1n1 +6.设 函 数 / * ) = ,x1arc tanx x O,试 将 幻 展 开 成 的 界 级 数 ，并求级数x = 0器 的 和
71、解 ： 由 于 arc tan x =x d to 1 + r2oo 2 n - y 则当X H O时, 2 - 1/ ( %) = arc tan x = - arc tan x + x arc tan xX X1 8 v2 n- loo 2 n 2 oo 丫2“ oo 2n oon =x2 n2 n-lx2n-12 n- l+必产oo 2 w 8 _ 2n oo11)2 n + 1 2 / ? -1QC91 + (- 1 ) X e 一 1 ， 1 ， X R 0 ；令X = 1 ,则2 _1 1 + 1-arctanl-1)= -4 _27 .设/ “ =si n x c osx d x
72、 , ” = 0 ,2 ,，求 / ” .n=0n_ n+ i si n o o o o si nn+ I 解： 因为 In = p si nx c osx tZx = - - - - - - - J = - - - - - - 贝U - - - - - - -且l n( l - x ) = -土 ，令1 =$1 1 1 工，则 / =- l n( l - si n工) = l n( 2 + V)n=l 4 ,1=0 48 .求函数y = 2 ,的麦克劳林公式中尤” 项的系数.解： 由于y = / ( x ) = / ( o ) + / ( o ) + Z +小+ =1 + 如2 +/好+ +
73、 xQ +2! n 2! n则x 项的系数为更生。 ！oo2n9求基级数i + （ _ i） L（ | x | i）的和函数x ）及其极值.4 6 8 2n解： 由于 l n( l + X ? )=彳2 -1 -1- 1 -( -1 )/?-1, ( 一 X W1 )2 3 4 n8 X2 t， 1 x x2 n 1则x ) = l + Z ( T ) 丁 = 1 彳工产 一 =1 73 1 + / ), ( -I WXW I ) =i 2 2 =1 n 2/ ( x ) = 0得x = 0为极极值点，则极大值/ ( 0) = I。1 0 .设有基级数 犷与若! 吧也=： ， ! 吧初一3，试
74、求基级数才琢=i =1 a V 5 ex b” “=i bn的收敛半径. 2 2解：R = lim j4 = lim4第= 净了 = 5 T 8 。 ” + 1 ATOO。 + 。1 1 .设函数/ （ X ）在闭区间 -1 , 1 上具有三阶连续微商，且_ 1 ） = 0, 1 ） = 1 ,八0) = 0 .证明：在开区间( -1 , 1 )内至少存在一点，使 / ) = 3.解：/ ( X )在x = 0处的泰勒展开式为：/ ( x ) = / ( O)+ ?在0与x之间.因 3).解：该题就是找出函数f ( x )在x = 0处的泰勒展开式的系数。由 =1 x + %2 + , + 1
75、 )( ，x + ， 得:I n ( 1 + x ) = x x2 M %3 + , , , + - x, H 1 + , , l+x 2 3 n + 1因此， x ) = d 一l / + _ 1 / + . . . + / 正3+， 比较系数立得： / ( ) =(T) !2 3 n+ l n - 21 3 .设函数/ ( x )在区间 -a , a ( a 0)上具有二阶连续微商，/ ( 0) = 0,( 1 )写出/ ( x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；( 2)证明在 -% 句上至少存在一点，使) = 3/ (x )dr . 解 ：/ ( 耳 =( (0卜+ 筲1/4在0与彳
76、之间.( 2)证明： 3j ：/ ( x )dx =3j ：尸( 0)苫 + 畀 炉 = 3尸 3 = / 女 =)/ ( 分第十章答案习 题10-11 / 1 I 2 3 4 51 . 7 +不 + #+;(3 ) -4- + - - :10 20 30 40 50(2 )1 1-3 1-3-5 1-3-5-7 1-3-5-7-9 - 1 -1 -1 -1- ;2 2-4 2-4-6 2-4-6-8 2-4-6-810“ 、I! 2! 3! 4! 5! 下 + 铲 + 不 + 歼 + #+ 2.( 1 ) ” =； ；Inl1时收敛；当0 。41时发散.（ 6 ）收敛.2. （ 1 ）收敛.
77、（ 2）发散.（ 3）收敛.（ 4）收敛.（ 5 ）收敛.（ 6 ）发散.（ 7 ）收敛.3. （ 1 ）收敛.（ 2）发 散 .（ 3）发散.（ 4）发散.（ 5 ）当然1 ,即b “ ，该级数发散；当仁1 ,即 / , =a a a不能判断.（ 6 ） 1 ）当a = 0时，发散，2）当o a 8时，有当，1 ,即x 1 ,即x a ,该级数发散；当己=1 ,即x = a,根值法不能判断.a a4. （ 1 ）收敛.（ 2）发 散 . 收 敛 .（ 4）收敛.（ 5 ）收敛.（ 6 ）收敛.（ 7 ）收敛.习题1 0-31 . （ D C . （ 2） C. （ 3） C.2. （ 1 ）
78、条件收敛. （ 2）绝对收敛.（ 3）绝对收敛.（ 4）条件收敛.（ 5 ）条件收敛.（ 6 ）条件收敛.（ 7 ）条件收敛.（ 8 ）条件收敛.（ 9 ）绝对收敛.（ 1 0）绝对收敛.3 . 收敛.4 .略 .习题1 0-41. ( 1 ) ( 1 , 1 ) ( 2) -1 , 1 . ( 3) ( 0 0 ,+ 0 0). (4 ) . ( 5 )(-0 0 ,4 -0 0).( 6 ) -3, 3). ( 7 ) ( -00, 4-00). ( 8 ) ( 0, 2 ( 9 ) ( -7 2, 7 2) . ( 1 0) 4, 6 ).* 12. ( 1 ) V nx/ , _ ,
79、=- - ( -1 x 1 ).白 (J , X2g “ + 2 一。一% )1 1 1 ( 1一工)+ % ( -1 X (3) (-ir-H x-1 ( -i x i).=l (1 + X)小 U -L- 1 + x 1 , , 八= In- + - arctanx-x (-1 x 1).占4 + 1 4 - x 28 丫2-1 1 1 I v(5) V -= In - ( - 1 x 1).t f 2/7-1 2 1-x1 ln ( l + 0( 有错)y5 ( 2 -1)2习题10-5/ 、x3 x4 rn e0x1. ( 1) . f(x) = xex =x + x2 + + 一 +
80、 + -+ xn+ (091).2! 3! ( - 1)! n(2) cos2x = 1 - 2x2 + - x4 + x2/, + o(x2n) .3 (2n)l(3) tanx = /(0) + / (0)x +，x3 +t7(x3) = x + x3 4-o(x3) 2. (1) ln( 4- x) = In tz + ln(l + ) = In 6 7 4- V -( - )n x e (-a,a) ;Q = a(2) 因为 = ( /) / (- 8, + 8)；M n181人？= 2 (一1) ( 1一 尹)X X I -r / “ =o Z .( 4) sin2 x = V (-
81、I/1 - .x2n x e ( -0 0 , + 0 0 ) ；M (2n)!(5) - = =x + f (_1)“2.(2?!( 与向7 1 7 7 占 S T 2，(-1 X1);(6) arcsin x = x +00zn=l2-(2n)! ,x、2.+i- )(n!)2(2n + l) 2 c o s 9 t品 栉2 (-cox)；2 M (2)! 2(8) ln(l + x - 2x2) = g(-1)，l2， l-lx ( _ 1 X 1 ) .3- lg x = ： (x-l) (0x2).InlOM n4. 1 + * _ 1 ) + ,( T ) ( 0 3 42).2=
82、o 2 ( !) ( + l)( + 2) 23 1 15 2 ( -1) (尸 -前 ) ( 、 -2)” (|x-2| 4).”=0 、 ,6.( x +了 G ( x + ：严- y ( - i )n + - 2 士 ( 2) ！ ( 2n + l ) !(-0 0 X +00) 7 - / F ( x + 4) T ( 卜 + 44) .n=l -e e e8 . e + (X Q)H-(x a)2 + i-(x-a)n + ( - 0 0 x + o o ) .a 2! 6r n an习 题10 -61. ( 1) 2. 7 18 28 ; ( 2) 2. 9926 ; ( 3) 0
83、 . 9461 ; ( 4) 0 . 4940 .x3 I2. x + x2 H -x5 4- (-0 0 X ? cos/次；M n-( 2) + s inx- - V 7 cos 2 nx.7 1 2 兀 4 * - 13.18百 寸 ( -1严n h 9n2-ls in nxX ( -7 1,7 1) ；l + 2c osnx +一叩一（ T） 2s m x1 + n2004-ZM=1- s in( 2 - l ) x .2 一 1( 1 1 ) J (2兀 兀4习 题10 -81. ( 1) ) ( -1/ - -s innx ( 0 XT T) ;兀 =i n n n( 2) 2兀之
84、 + 8s( ? cos - ( 0 x7 i) .3 n=l 2. % + 6 s 空4 M n + 1 -( -l )z, cosnx (0 x-,a ；时，收敛；当0 p ；时，发散.( 2 )收 敛 .( 3 )条件收敛 .( 4 )收敛.( 5 )条件收敛.( 6 )收敛.( 7 )条件收敛.( 8 )收敛.2. ( 1) 0 ,+oo) ； ( 2) -7 2,7 2. 3. ( 1) ( -1,1) ； ( 2) ( 一e ,e ) .A 7 R 1二 -14. (1 )( -2,4) ； ( 2) . 5. (一 1广干xe ( -3,3) .z=l D2 x6. ( 1) 77 P ，( T ， D； ( 2) xe ( x + l ) , ( -oo,+oo) .五、略、 /* / 4 八“+i . mix八1 /嗔嬴) 而( 2 )； 、 8 三 1 (2 - 1)口/W =1 - -FLT； CO S几=i (2 - 1) 2(0 x ( o) = t l ) n-213. ( 1) /( x) = /( 0 ) + f(O) x + - x2 - f Q) x + - x2 其中 J在0 与x之间.
