《高中数学 探究导学课型 第一章 集合与函数的概念 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射课件 新人教版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 探究导学课型 第一章 集合与函数的概念 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射课件 新人教版必修1（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时分段函数及映射【自主自主预习预习】主主题题1 1：分段函数：分段函数某市空某市空调调公共汽公共汽车车的票价按下列的票价按下列规则规则制定：制定：(1)5(1)5千米以内千米以内( (含含5 5千米千米) )，票价，票价2 2元元. .(2)5(2)5千米以上，每增加千米以上，每增加5 5千米，票价增加千米，票价增加1 1元元( (不足不足5 5千米千米的按的按5 5千米千米计计算算).).已知两个相已知两个相邻邻的公共汽的公共汽车车站站间间相距相距1 1千米，沿途千米，沿途( (包括包括起点站和起点站和终终点站点站) )有有1111个汽个汽车车站站. .请请根据以上内容，回答下面的根据
2、以上内容，回答下面的问题问题：1.1.从起点站出从起点站出发发，公共汽，公共汽车车的行程的行程x(x(千米千米) )与票价与票价y(y(元元) )间间的函数关系是什么？的函数关系是什么？提示：提示：当当0x0x5 5时，时，y=2y=2；当；当5x5121，所以所以f(2)=-4+3=-11f(2)=-4+3=-10a0时，由时，由a+1=4a+1=4，得，得a=3.a=3.所以所以a=-2a=-2或或3.3.【互互动动探究探究】1.1.分段函数的定分段函数的定义义域、域、值值域与每段的定域与每段的定义义域、域、值值域有域有何关系？何关系？提示：提示：分段函数的定义域是每段定义域的并集分段函数
3、的定义域是每段定义域的并集. .分段函数的值域是每段值域的并集分段函数的值域是每段值域的并集. .2.2.从集合从集合A A到集合到集合B B的映射的映射f f：ABAB与从集合与从集合B B到集合到集合A A的的映射映射f f：BABA是不是相同映射？是不是相同映射？提示：提示：映射映射f f：A AB B与映射与映射f f：B BA A不是相同映射不是相同映射. .3.3.映射一定是函数映射一定是函数吗吗？函数一定是映射？函数一定是映射吗吗？提示：提示：当集合当集合A A，B B为非空数集时，映射就是函数，否为非空数集时，映射就是函数，否则不是，但函数都是映射则不是，但函数都是映射. .【
4、探究探究总结总结】知知识归纳识归纳：方法方法总结总结：映射的判断方法：映射的判断方法(1)(1)在在A A中取元素的任意性中取元素的任意性. .(2)(2)在在B B中中对应对应元素的唯一性元素的唯一性. .注意事注意事项项：(1)(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数分段函数是一个函数，而不是几个函数. .(2)(2)作分段函数作分段函数图图象象时时要注意要注意衔衔接点的虚接点的虚实实. .【题题型探究型探究】类类型一：分段函数的求型一：分段函数的求值值【典例典例1 1】(2016(2016吉林高一吉林高一检测检测) )函数函数f(xf(x)=)=则则 的的值为值为. .【解题指南解题指南
5、】先求先求 ，再求，再求 . .【解析解析】f(3)=3f(3)=32 2-3-3=3-3-3=3，所以，所以 所以所以 答案：答案：【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问变问法法) )本例条件不本例条件不变变，求，求f(af(a) )的的值值. .【解析解析】当当a a1 1时，时，f(af(a)=1-a)=1-a2 2，当当a1a1时，时，f(af(a)=a)=a2 2-a-3.-a-3.2.(2.(增加条件增加条件) )本例若增加条件本例若增加条件f(a)+f(-1)=3f(a)+f(-1)=3，求，求a a的的值值. .【解析解析】因为因为-11-11a1时，时，f(a)+f(-1)
6、=af(a)+f(-1)=a2 2-a-3=3-a-3=3，即即a a2 2-a-6=0-a-6=0，所以，所以a=3a=3或或a=-2(a=-2(舍舍).).所以所以a=3.a=3.【规规律律总结总结】1.1.求分段函数求分段函数值值的方法的方法先确定要求先确定要求值值的自的自变变量属于哪一段，然后代入量属于哪一段，然后代入该该段的段的解析式求解析式求值值，直到求出，直到求出值为值为止止. .特特别别地，当出地，当出现现f(f(xf(f(x0 0)的形式的形式时时，应应从内到外依次求从内到外依次求值值. .2.2.已知函数已知函数值值求字母的求字母的值值的四个步的四个步骤骤(1)(1)讨论讨
7、论：对对字母的取字母的取值值范范围围分分类讨论类讨论. .(2)(2)代入：由不同取代入：由不同取值值范范围围，代入，代入对应对应的解析式中的解析式中. .(3)(3)求解：通求解：通过过解方程求出字母的解方程求出字母的值值. .(4)(4)检验检验：检验检验所求的所求的值值是否在所是否在所讨论讨论的区的区间间内内. .【巩固巩固训练训练】(2016(2016广州高一广州高一检测检测) )已知已知f(xf(x) )= = 则则f(2)+f(-2)f(2)+f(-2)的的值为值为( () )A.8A.8B.5B.5C.4C.4D.2D.2【解析解析】选选B.f(2)=2B.f(2)=22 2=4
8、=4，f(-2)=f(-2+1)=f(-1)=f(-2)=f(-2+1)=f(-1)=f(-1+1)=f(0)=f(0+1)=f(1)=1f(-1+1)=f(0)=f(0+1)=f(1)=1，所以所以f(2)+f(-2)=4+1=5.f(2)+f(-2)=4+1=5.类类型二：分段函数的型二：分段函数的图图象及象及应应用用问题问题【典例典例2 2】(1)(2016(1)(2016周口高一周口高一检测检测) )下列下列图图象是函数象是函数y= y= 的的图图象的是象的是( () )(2)(2)提高提高过过江大江大桥桥的的车辆车辆通行能力可改善整个城市的交通行能力可改善整个城市的交通状况通状况.
9、.在一般情况下，大在一般情况下，大桥桥上的上的车车流速度流速度v(v(单单位：千位：千米米/ /小小时时) )是是车车流密度流密度x(x(单单位：位：辆辆/ /千米千米) )的函数，当的函数，当桥桥上上的的车车流密度达到流密度达到200200辆辆/ /千米千米时时，造成堵塞，此，造成堵塞，此时车时车流流速度速度为为0 0；当；当车车流密度不超流密度不超过过2020辆辆/ /千米千米时时，车车流速度流速度为为6060千米千米/ /小小时时，研究表明：当，研究表明：当20x20020x200时时，车车流速流速度度v v是是车车流密度流密度x x的一次函数的一次函数. .当当0x2000x200时时
10、，求函数，求函数v(xv(x) )的表达式的表达式. .【解题指南解题指南】(1)(1)根据当根据当x0x0时，时，y=xy=x2 2，为抛物线的一，为抛物线的一段；当段；当x x0 0时，时，y=x-1y=x-1为射线判断为射线判断. .(2)(2)分分0x200x20和和20x20020x200两种情况，分别求解析式，两种情况，分别求解析式，最后分段表示最后分段表示. .【解析解析】(1)(1)选选C.C.当当x0x0时，时，y=xy=x2 2，为抛物线，为抛物线y=xy=x2 2在在y y轴轴左侧的部分，当左侧的部分，当x x0 0时，时，y=x-1y=x-1，为射线且与，为射线且与y
11、y轴交于轴交于(0(0，-1).-1).(2)(2)由题意，当由题意，当0x200x20时，时，v(xv(x)=60)=60；当当20x20020x200时，设时，设v(xv(x)=)=ax+bax+b. .故函数故函数v(xv(x) )的表达式为的表达式为【规规律律总结总结】(1)(1)作分段函数作分段函数图图象的方法象的方法作分段函数的作分段函数的图图象象时时，分，分别别作出各段的作出各段的图图象，在作每象，在作每一段一段图图象象时时，先不考，先不考虑虑范范围围的限制，作出其的限制，作出其图图象，再象，再保留保留对应对应范范围围内的一段内的一段图图象即可，作象即可，作图时图时要特要特别别注
12、意注意衔衔接点接点处处点的虚点的虚实实，保，保证证不重不漏不重不漏. .(2)(2)利用分段函数求解利用分段函数求解实际应实际应用用题题的策略的策略明确条件，将文字明确条件，将文字语语言言转转化化为为数学数学语语言；言；建立恰当的分段函数模型解决建立恰当的分段函数模型解决问题问题. .【巩固巩固训练训练】(2015(2015松原高一松原高一检测检测) )“水水”这这个曾个曾经经被人被人认为认为取之不尽、用之不竭的取之不尽、用之不竭的资资源，竟然到了源，竟然到了严严重重制制约约我国我国经济发经济发展，影响人民生活的程度，因展，影响人民生活的程度，因为为缺水，缺水，每年每年给给我国工我国工业业造成
13、的造成的损损失达失达20002000亿亿元，元，给给我国我国农业农业造成的造成的损损失达失达15001500亿亿元，元，严严重缺水困重缺水困扰扰着全国三分之着全国三分之二的城市二的城市. .为为了了节约节约用水，某市打算出台一用水，某市打算出台一项项水水费费政策，政策，规规定每季度每人用水量不超定每季度每人用水量不超过过5 5吨吨时时，每吨水，每吨水费费1.21.2元；元；若超若超过过5 5吨而不超吨而不超过过6 6吨吨时时，超，超过过部分的水部分的水费费按原价的按原价的200%200%收收费费；若超；若超过过6 6吨而不超吨而不超过过7 7吨吨时时，超，超过过部分的水部分的水费费按原价的按原
14、价的400%400%收收费费，如果某人本季度，如果某人本季度实际实际用水量用水量为为x(x7)x(x7)吨，吨，试计试计算本季度他算本季度他应应交的水交的水费费y(y(单单位：元位：元).).【解析解析】由题意知，当由题意知，当0x0x5 5时，时，y=1.2x.y=1.2x.当当5x65x6时，时，y=1.2y=1.25+(x-5)5+(x-5)1.21.22=2.4x-6.2=2.4x-6.当当6x76x7时，时，y=1.2y=1.25+(6-5)5+(6-5)1.21.22+(x-6)2+(x-6)1.21.24 4=4.8x-20.4.=4.8x-20.4.所以，所以，y=y=类类型三
15、：映射的概念及型三：映射的概念及应应用用【典例典例3 3】(1)(2016(1)(2016重重庆庆高一高一检测检测) )设设集合集合A=x|1xA=x|1x22，B=y|1y4B=y|1y4，则则下述下述对应对应关系关系f f中，不能构成中，不能构成A A到到B B的映射的是的映射的是( () )A.fA.f：xyxy=x=x2 2B.fB.f：xyxy=3x-2=3x-2C.fC.f：xyxy=-x+4=-x+4D.fD.f：xyxy=4-x=4-x2 2(2)(2016(2)(2016吉安高一吉安高一检测检测) )已知集合已知集合A=B=RA=B=R，xAxA，yByB，f f：xyxy=
16、 =ax+bax+b，若，若6 6和和9 9在在f f作用下分作用下分别别与与4 4和和1010对应对应，则则1919在在f f作用下与作用下与对应对应. .【解题指南解题指南】(1)(1)根据映射的定义，判断根据映射的定义，判断A A中的每一个中的每一个元素在对应关系元素在对应关系f f的作用下，在集合的作用下，在集合B B中是否都有唯一中是否都有唯一的元素与之对应的元素与之对应. .(2)(2)根据根据6 6和和9 9在在f f作用下与作用下与4 4和和1010对应，建立关于对应，建立关于a a，b b的的方程组，求出方程组，求出y=y=ax+bax+b的解析式，再将的解析式，再将x=19
17、x=19代入可解代入可解y y的的值值. .【解析解析】(1)(1)选选D.fD.f：x xy y=x=x2 211，44；f f：x xy y=3x-2=3x-211，44；f f：x xy y=-x+4=-x+422，33 11，44；f f：x xy y=4-x=4-x2 200，3.3.(2)(2)由题意可得由题意可得 解得解得 所以所以y=2x-8y=2x-8，当当x=19x=19时，时，y=30.y=30.答案：答案：3030【规规律律总结总结】判断一个判断一个对应对应是不是映射的方法是不是映射的方法判断一个判断一个对应对应是不是映射，看两点：是不是映射，看两点：(1)(1)任意性
18、：集合任意性：集合A A中任一元素在中任一元素在B B中都有元素与之中都有元素与之对应对应. .(2)(2)唯一性：唯一性：对应应对应应是多是多对对一或一一或一对对一一. .【巩固巩固训练训练】(2016(2016惠阳高一惠阳高一检测检测) )下列分下列分别为别为集合集合A A到到集合集合B B的的对应对应. .其中，是从其中，是从A A到到B B的映射的是的映射的是( () )A.(1)(2)A.(1)(2)B.(1)(2)(3)B.(1)(2)(3)C.(1)(2)(4)C.(1)(2)(4)D.(1)(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)【解析解析】选选A.A.映射关系中可以是一
19、对一的关系，可以映射关系中可以是一对一的关系，可以是多对一的关系，不能是一对多的关系，因此是多对一的关系，不能是一对多的关系，因此(1)(2)(1)(2)构构成映射关系成映射关系. .【巩固巩固训练训练】a a，b b为实为实数，集合数，集合A= A= ，B=aB=a，00，f f：x2xx2x表示把集合表示把集合A A中的元素中的元素x x映射到集合映射到集合B B中中为为2x2x，求求a+ba+b的的值值. .【解析解析】由题意，由题意，A A中的元素中的元素1 1只能对应集合只能对应集合B B中的中的a a，故故a=2a=2，所以，所以B=2B=2，00，而，而A A中的中的 可能对应可
20、能对应B B中的中的2 2或或0.0.当当 对应对应2 2时，时， =1=1，此时，此时A A中有两个相同元素，不合中有两个相同元素，不合题意题意. .当当 对应对应0 0时，应有时，应有 =0=0，则，则b=0b=0，此时，此时A=0A=0，11，符合题意符合题意. .综上，综上，a=2a=2，b=0b=0，a+ba+b=2.=2.拓展拓展类类型：映射与函数的关系型：映射与函数的关系【典例典例】判断下列判断下列对应对应是不是从集合是不是从集合A A到集合到集合B B的映射，的映射，是不是从集合是不是从集合A A到集合到集合B B的函数的函数. .(1)A=N(1)A=N* *，B=NB=N*
21、 *，对应对应关系关系f f：x|x-3|.x|x-3|.(2)A=(2)A=平面内的平面内的圆圆 ，B=B=平面内的矩形平面内的矩形 ，对应对应关系关系f f：作作圆圆的内接矩形的内接矩形. .(3)A=(3)A=高一高一(1)(1)班的男生班的男生 ，B=RB=R，对应对应关系关系f f：每个男：每个男生生对应对应自己的身高自己的身高. .(4)A=x|0x2(4)A=x|0x2，B=y|0y6B=y|0y6，对应对应关系关系f f：xyxy= x.= x.【解题指南解题指南】根据映射与函数的概念，对每一小题逐根据映射与函数的概念，对每一小题逐一判断一判断. .【解析解析】(1)A(1)A
22、中元素中元素3 3在对应关系在对应关系f f的作用下为的作用下为0 0，而，而0 0 B B，故不是映射，也不是函数，故不是映射，也不是函数. .(2)(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A A中任何一中任何一个元素在集合个元素在集合B B中有无数个元素与之对应，故不是映射，中有无数个元素与之对应，故不是映射，也不是函数也不是函数. .(3)(3)对对A A中任何一个元素，按照对应关系中任何一个元素，按照对应关系f f，在，在B B中都有中都有唯一的元素与之对应，是集合唯一的元素与之对应，是集合A A到集合到集合B B的映射，但集的映射，但集合合A A不是数集，故不是集合不是数集，故不是集合A A到集合到集合B B的函数的函数. .(4)(4)因为因为A A中每一个元素在中每一个元素在f f：xyxy= x= x作用下对应的元作用下对应的元素构成集合素构成集合C=y|0y1C=y|0y1 B B，是，是A A到到B B的映射，也是从的映射，也是从集合集合A A到集合到集合B B的函数的函数. .【规规律律总结总结】判断判断对应对应是否是否为为函数的两个关函数的两个关键键点点(1)(1)两个集合是否两个集合是否为为数集数集. .(2)(2)从集合从集合A A到集合到集合B B的的对应对应是否是否为为映射映射. .
