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1、2024年8月18日自动化学院408教研室7.3.1 狄拉克函数7.3.2 周期函数傅立叶变换7.3.3 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换的性质7.3 狄拉克函数与周期函数傅立叶变换狄拉克函数与周期函数傅立叶变换2024年8月18日自动化学院408教研室7.3.1 狄拉克函数狄拉克函数概念问题质点的密度函数如何表示？思路质点是物体在尺度趋于零时的理想模型；一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为 的物体在宽度 趋向零时的极限；极限密度为一般定义2024年8月18日自动化学院408教研室狄拉克函数的应用描述功能位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为m(x-a)；位于x=a处电量为
2、q的点电荷，电荷线密度为q(x-a)；位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为I(t-a)；分解功能质量密度为(x)的物体，可分解为质点的空间叠加 电荷密度为(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加 信号函数为(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加 2024年8月18日自动化学院408教研室信号分析中常用的函数信号分析中常用的函数 函数函数: : 是一个理想函数，是物理不可实现信号。是一个理想函数，是物理不可实现信号。 t1/ t1面积恒面积恒等于等于1 12024年8月18日自动化学院408教研室 中包括了所有的频率成分，且所有频率分中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都
3、相同。因此，系统的单位冲激响量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个线性时间系统的特性，应才能完全描述一个线性时间系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。2024年8月18日自动化学院408教研室特性：特性：（1）乘积性）乘积性（2）积分性）积分性（3）卷积性）卷积性（4）傅氏变换）傅氏变换2024年8月18日自动化学院408教研室1 10 01 10 00 00 0不同脉冲宽度对频谱的影响不同脉冲宽度对频谱的影响可见，可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系信号在时域和频域之间有一种相反的关系。2024年8月18日
4、自动化学院408教研室( (称为称为理想低通滤波器理想低通滤波器) ) 与矩形脉冲情况对比，可以发现与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。域之间存在一种对偶关系。1，0，1 10 00 02024年8月18日自动化学院408教研室对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下:1 10 01 10 00 00 02024年8月18日自动化学院408教研室 同时可以看到，同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一信号在时域和频域之间也有一种相反的关系种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。主瓣越宽，反之亦然。
5、对该例，对该例， 我们可以想到，如果我们可以想到，如果 ，则，则 将将趋于一个冲激。趋于一个冲激。若若 则有则有因为因为所以所以2024年8月18日自动化学院408教研室 信号的带宽信号的带宽( Bandwidth of Signals ): 由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据
6、信号能量主要部分的效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法带宽。通常有如下定义带宽的方法:2024年8月18日自动化学院408教研室2. 对包络是对包络是 形状的频谱，通常定义主形状的频谱，通常定义主瓣宽度瓣宽度(即即频谱第一个零点内的范围频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。为信号带宽。 下降到最大值的下降到最大值的 时对应的频率范围时对应的频率范围, ,此此时带内信号时带内信号分量占有信号总能量的分量占有信号总能量的1/2。1. 以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，以矩形脉
7、冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数脉宽乘以带宽等于常数C (脉宽带宽积脉宽带宽积)。这清楚地。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。反映了频域和时域的相反关系。 2024年8月18日自动化学院408教研室7.3.2 周期信号的傅立叶变换 到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下的不一致，在某些情况下, , 会给我们带来不便。但会给我们带来不便。但由于周期信号不满足由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直条件，因
8、而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。 所对应的信号所对应的信号考查考查2024年8月18日自动化学院408教研室 这表明这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激周期性复指数信号的频谱是一个冲激。于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为就有就有周期信号的傅立叶变换表示周期信号的傅立叶变换表示若若 则则2024年8月18日自动化学院408教研室 这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处
9、，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。例例1： 2024年8月18日自动化学院408教研室例例2： 例例3： 均匀冲激串均匀冲激串2024年8月18日自动化学院408教研室0102024年8月18日自动化学院408教研室例例4. 周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲012024年8月18日自动化学院408教研室7.3.3 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换的性质 讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简
10、化傅立叶变换对的求取。运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。1. 线性线性: 则则若若2024年8月18日自动化学院408教研室2. 时移时移: 这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。特性会增加一个线性相移。则则若若3. 共轭对称性共轭对称性:若若 则则2024年8月18日自动化学院408教研室所以所以即即 若若 是实信号，则是实信号，则于是有于是有:由由可得可得2024年8月18日自动化学院408教研室 如果如果即信号是偶函数。则即信号是偶函数。则表明：表明： 实偶信号的傅立叶变换是偶函数。实偶信号的傅立叶变换是偶函数。
11、表明表明 是实函数。是实函数。 若若 即信号是奇函数，同样可即信号是奇函数，同样可以得出以得出:所以所以又因为又因为2024年8月18日自动化学院408教研室4.时域微分与积分时域微分与积分:(可将微分运算转变为代数运算可将微分运算转变为代数运算)(将将两边对两边对 微分即得该性质微分即得该性质)由时域积分特性从由时域积分特性从也可得到也可得到:（时域积分特性）（时域积分特性）则则若若2024年8月18日自动化学院408教研室5.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换:当当 时，有时，有 尺度变换特性表明：尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展信号如果在时域扩展 a 倍，倍，则其带宽相应压缩则
12、其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。倍，反之亦然。这就从理论上这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。宽带宽积等于常数的结论。则则若若时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）2024年8月18日自动化学院408教研室6.对偶性对偶性:若若则则证明：证明：2024年8月18日自动化学院408教研室对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下:1 10 01 10 00 00 02024年8月18日自动化学院408教研室也可由也可由得到证明。得到证明。根据根据得得这就是这就是移
13、频特性移频特性例如例如: : 由由 有对偶关系有对偶关系利用时移特性有利用时移特性有再次对偶有再次对偶有由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域2024年8月18日自动化学院408教研室由由得得所以所以7 频域微分特性频域微分特性该特性也可由对偶性从时域微分特性得出该特性也可由对偶性从时域微分特性得出:2024年8月18日自动化学院408教研室由由有有利用利用时域微分特性时域微分特性有有对对再次对偶得再次对偶得频域微分特性频域微分特性2024年8月18日自动化学院408教研室由时域积分特性，可对偶出频域积分特性由时域积分特性，可对偶出频域积分特性
14、利用利用时域积分特性时域积分特性再次对偶再次对偶由由有有频域积分特性频域积分特性2024年8月18日自动化学院408教研室8. 能量积分能量积分: :若若则则 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于以在频域求得。由于 表示了信号表示了信号能量在频域的分布，因而称其为能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度能量谱密度”函数。函数。2024年8月18日自动化学院408教研室9.卷积特性卷积特性 由于卷积特性的存在，使对由于卷积特性的存在，使对线性时间线性时间系统在频系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立域进行分析成为可能。本质
15、上，卷积特性的成立正是因为复指数信号是一切正是因为复指数信号是一切线性时间线性时间系统的特征函系统的特征函数。数。则则若若由由表明：表明：2024年8月18日自动化学院408教研室故有故有可将可将 分解成复指数分量的线性组合，每个分解成复指数分量的线性组合，每个 通过通过线性时间线性时间系统时都要受到系统系统时都要受到系统与与 对应对应的特征值的特征值的加权。这个特征值就是的加权。这个特征值就是所以所以2024年8月18日自动化学院408教研室 由于由于 的傅氏变换的傅氏变换 就是频率为就是频率为 的复指数信号的复指数信号 通过通过线性时间线性时间系统时，系系统时，系统对输入信号在幅度上产生的
16、影响，所以称为统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统系统的频率响应的频率响应。 鉴于鉴于 与与 是一一对应的，因而是一一对应的，因而线性时间线性时间系统可以由其频率响应完全表征。由于并系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应非任何系统的频率响应 都存在，因此用都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了为，稳定性保证了2024年8月18日自动化学院408教研室10.相乘性质相乘性质利用对偶性可以利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质从卷积性质得出相乘性质若若则则2024年8月18日自动化学院408教研
17、室2024年8月18日自动化学院408教研室2024年8月18日调制与解调调制与解调调制原理调制原理调幅、抑制载波调幅及其解调波形调幅、抑制载波调幅及其解调波形2024年8月18日自动化学院408教研室 在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往要进行调制和解调：现信号的传输，往往要进行调制和解调：高频信号容易以电磁波形式辐射出去高频信号容易以电磁波形式辐射出去多路信号的传输多路信号的传输频分复用频分复用 相关课程中讲解相关课程中讲解“调制与解调调制与解调”的侧重点不同：的侧重点不同：“信号与系统信号与系统”应用傅里叶变换的性质说
18、明搬应用傅里叶变换的性质说明搬移信号频谱的原理；移信号频谱的原理；“通信原理通信原理” 研究不同的调制方式对系统性研究不同的调制方式对系统性能的影响；能的影响；“通信电子电路通信电子电路”调制解调电路的分析。调制解调电路的分析。一调制原理2024年8月18日自动化学院408教研室1 1调制调制调制：将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段调制：将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段上的过程。上的过程。调制的分类调制的分类按载波按载波正弦型信号作为载波正弦型信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波连续性连续性模拟（连续）调制模拟（连续）调制数字调制数字调制模拟调制是数字调制
19、的基础。模拟调制是数字调制的基础。2024年8月18日自动化学院408教研室幅度调制（抑制载波的振幅调制，幅度调制（抑制载波的振幅调制，AM-SCAM-SC）2024年8月18日自动化学院408教研室 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制幅度调制。其中。其中一个信号称为一个信号称为载波载波，另一个是，另一个是调制信号调制信号。移频性质移频性质2024年8月18日自动化学院408教研室频谱结构频谱结构2024年8月18日自动化学院408教研室分析分析频频移移性性质质2024年8月18日自动
20、化学院408教研室2解调将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。本地载波，本地载波，与发送端载波与发送端载波同频同相同频同相2024年8月18日自动化学院408教研室频谱2024年8月18日自动化学院408教研室二调幅、抑制载波调幅及其解调波形二调幅、抑制载波调幅及其解调波形调制信号调制信号载波信号载波信号抑制载波调幅抑制载波调幅调幅调幅解调解调2024年8月18日自动化学院408教研室例例1. 正弦幅度调制正弦幅度调制: :102024年8月18日自动化学院408教研室01/22024年8月18日自动化学院408教研室 正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的
21、频谱搬正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。移到载频位置。例例2. 同步解调同步解调:1/21/41/42024年8月18日自动化学院408教研室 此时，用一个频率特性为此时，用一个频率特性为的系统即可从的系统即可从 恢复出恢复出 。20只要只要即可。即可。具有此频率特性的线性时间系统称为具有此频率特性的线性时间系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。例例3. 中心频率可变的带通滤波器：中心频率可变的带通滤波器：2024年8月18日自动化学院408教研室A1理想低通的频率响应理想低通的频率响应2024年8月18日自动化学院408教研室1等效带通滤波器等效带通滤波器 相当于从相当
22、于从 中直接用一个带通滤波器滤中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为 的带通滤波器，改变的带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。即可实现中心频率可变。2024年8月18日自动化学院408教研室傅立叶变换可将时域上较复杂的运算简化为相对简单的频域运算。作为时域卷积积分例子的函数r(t)对应的频域函数为2024年8月18日自动化学院408教研室小结与思考小结与思考本章以信号分析为背景，介绍了傅立叶变换的概念、性质、条件，从周期函数推广到非周期函数，从三角到复指数级数、变换。重点是傅重点是傅立叶变换的概念和性质。立叶变换的概念和性质。
