立体几何垂直关系专题

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1、 1 立体几何垂直关系专题 高考中立体几何解答题中垂直关系的基本题型是: 证明空间线面垂直需注意以下几点： 由已知想性质,由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面或辅助体）是解题的常用方法之一。 明确何时应用判定定理,何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明线线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直。 另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一.

2、垂直题目的解决方法须熟练掌握以下相互转化关系： 2 垂直转化:线线垂直线面垂直面面垂直； 每一垂直判定就是从某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的。 例如:有两个平面垂直时,一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直。 2 “升降维”思想 直线是一维的,平面是二维的，立体空间是三维的。运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题,可以化难为易，化新为旧,化未知为已知，从而使问题得到解决。运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广,可以立易解难,温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法。平

3、面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。 注意：证明线面关系，严禁跳步作答 证明线面位置关系的基本思想是转化与化归,根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化,但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上,通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的,但证明线面垂直又要借助于线线垂直,在不断的相互转化中达到最终目的 解决空间问题常添加的辅助线与辅助面 1.遇到线面平行面面平行做辅助面引出平行线，遇到线面垂直做出过垂线的平面引出垂面 2。 。遇到面面垂直在一平面内做出两垂面交线的垂线引出线面垂直的条件 添加辅助线的策略： 一、添加垂线策略。

4、因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的,如线面角、 二面角的定义,点到平面、 线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理,正 2 棱柱、正棱锥的性质，球的性质等,所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线,才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理. 二、添加平行线策略. 其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。 三向中心对称图形对称中心添加连线策略. 这主要是因为对称中

5、心是整个图形的“交通” 枢纽，它可以与周围的点、 线、 面关联起来，常见的有对平行四边形连对角线，对圆的问题向圆心连线，对球体问题向球心连线。 四、名线策略。 即添加常用的、重要的线，如中位线、高、角平分线、面对角线和体对角线等。尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强化一下，这些线有着广泛的联系。尤其是添加三角形中位线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了两个边的中点，并且中位线平行于底边，且是底边长的一半， 它可以把底边与其他线面的角度关系平移， 使已知和未知集中在一个三角形中。 典型例题精讲 空间垂直题型一 线线垂直问题 1. 证明：体对角线与与侧面上无公用定点的对角线互相垂直，同一侧

6、面上的两条对角线互相垂直，不在同一侧面上的两条对角线的交角为 60 ， （1）含 AC 的对角面共有几个分别是哪几个？ 答案： 共三个分别是平面 AA1CC1、 平面 A1B1CD、 平面 A1BCD1 2。 （06 江西卷）如图，在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD3，BDCD1，另一个侧面是正三角形，求证：ADBC A 3 3. 已知直三棱柱 ABCA1B1C1中,ACB=900，BAC=300，BC=1,AA1=6,M 为 CC1中点，求证：AB1A1M。 4. 已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 ABCD,再过 A 作 A

7、ESB 交 SB 于 E,过 E 作 EFSC 交 SC于 F .（1）求证:AFSC ;（2）若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AGSD 5.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是棱 A1A 的中点,N 在 AB 上，且 ANNB，求证：C1MMN N D1 M C1 B1 A1 C D B A A C D E F B G S 5 空间垂直题型二 线面垂直问题 1已知三棱锥ABC 中，、分别是 AC、AB 的中点，ABC，PEF 都是正三角形，PFAB证明 PC平面 PAB 2.在正方体 ABCDA1B1C1D1，G 为 CC1的中点,O 为底面 ABCD 的中心.求证：A

8、1O平面 GBD 3 （06 天津）如图,在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面 CDE 是等边三角形，棱12EFBC. (I)证明FO平面;CDE （II)设3,BCCD证明EO 平面.CDF A C B P F E O D C B F E A D A B A1 C B1 C1 D1 G O 6 4. （ 福 建 卷 ) 如 图 ， 四 面 体ABCD中 ， O 、 E分 别 是BD 、 BC的 中 点 ，2,2.CACBCDBDABAD （I)求证：AO 平面 BCD； （II）求点 E 到平面 ACD 的距离。 5。如图所示,已知 PA矩形 ABCD 所

9、在平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点 (1）求证:MNCD; （2）若PDA45，求证:MN平面 PCD. CADBOE 7 空间垂直题型三 面面垂直问题 1。如图所示，已知ABC 中，ABC90，P 为ABC 所在平面外一点,PAPBPC。 求证:平面 PAC平面 ABC。 2.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，点 D 是 AB 的中点 (1)求证：BC1平面 CA1D； （2）求证：平面 CA1D平面 AA1B1B. P A B C 8 3. （山东理)如图， 在五棱锥 PABCDE 中,PA平面 ABCDE， ABCD， ACED， AEBC，ABC=45，AB=2

10、,BC=2AE=4，三角形 PAB 是等腰三角形 （）求证：平面 PCD平面 PAC； （）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小； （）求四棱锥 PACDE 的体积 4。如图，棱柱 ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形， B1CA1B (）证明：平面 AB1C 垂直平面 A1BC1； （）设 D 是 A1C1上的点，且 A1B/平面 B1CD ，求 A1D：DC1 的值. 5。下图是一几何体的直观图和三视图 (1)若 F 为 PD 的中点，求证：AF平面 PCD; （2）求几何体 BECAPD 的体积 9 探索性问题 1.如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是的菱形,DA

11、B60,侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD. （1)求证：ADPB； （2)若 E 为 BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD，并证明你的结论 2。(2009 年宁夏海南高考)如图,四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P 为侧棱 SD 上的点 （1)求证:ACSD； (2)若 SD平面 PAC，求二面角 PACD 的大小； (3)在（2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE平面 PAC。若存在，求 SEEC 的值；若不存在,试说明理由 E F 10 3。 （本题满分 12 分)如图， 在矩形 ABCD 中， AB=2BC， P、 Q 分别为线段 AB、 CD 的中点,EP平面 ABCD。 (1)求证：DP面 EPC; （2）问在 EP 上是否存在点 F 使平面 AFD面 BFC.？若存在求出PAFP的值 4。已知BCD 中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面 BCD,ADB=60,E、F 分别是AC、AD 上的动点,且ADAFACAE（ 10） (1)求证：不论为何值，总有平面 BEF平面 ABC; （2)当为何值时，平面 BEF平面 ACD。