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1、 高中数学第五章-平面向量 考试内容： 向量向量的加法与减法实数与向量的积平面向量的坐标表示线段的定比分点平面向量的数量积平面两点间的距离、平移 考试要求： （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 （2）掌握向量的加法和减法 （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件 （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算 （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式 05.
2、 平面向量 知识要点 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a； 坐标表示法 aj（，）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作a. (4)特殊的向量：零向量aOaO. 单位向量aO为单位向量aO1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(1，1)（2，2）2121yyxx (6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作ab.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角
3、形法则 1212(,)abxxyy abba ()()abcabc ACBCAB 向量的 减法 三角形法则 1212(,)abxxyy ()abab ABBA ,ABOAOB 数 乘 向 量 1.a是 一 个 向 量 , 满足:| |aa 2.0 时, aa与同向; 0 时, aa与异向; =0 时, 0a. (,)axy ()()aa ()aaa ()abab /abab 向 量 的 数 量 积 a b是一个数 1.00ab或时， 0a b. 2.00|cos( , )aba ba ba b且时， 1212a bx xy y a bb a ()()()ababa b ()abca cb c
4、2222| |=aaaxy即 | |a ba b 4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1， 2，使a1e12e2. (2)两个向量平行的充要条件 abab(b0)x1y2x2y1O. (3)两个向量垂直的充要条件 ababOx1x2y1y2O. (4)线段的定比分点公式 设点P分有向线段21PP所成的比为，即PP12PP，则 OP111OP112OP (线段的定比分点的向量公式) .1,12121yyyxxx (线段定比分点的坐标公式) 当1 时，得中点公式： OP21（1OP2OP）或.2,2212
5、1yyyxxx (5)平移公式 设点P(x，y)按向量a（，）平移后得到点P（x，y） ， 则PO OP+a或.,kyyhxx 曲线yf（x）按向量a（，）平移后所得的曲线的函数解析式为： yf（x) (6)正、余弦定理 正弦定理：.2sinsinsinRCcBbAa 余弦定理：a2b2c22bccosA， b2c2a22cacosB， c2a2b22abcosC. （7）三角形面积计算公式： 设ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r. S=1/2aha=1/2bhb=1/2chc S=Pr S=abc/4R S=1/2sinCab=1/
6、2ac sinB=1/2cbsinA S=cPbPaPP 海伦公式 S=1/2（b+c-a）ra如下图=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb 注：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图： ABCOabcIABCDEFABCDEFrararabcaabcACBNEF 图1 图2 图3 图4 图 1 中的I为SABC的内心， S=Pr 图 2 中的I为SABC的一个旁心，S=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五个“心” ； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形
7、三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 已知O是ABC 的内切圆， 若BC=a，AC=b，AB=c 注：s为ABC的半周长,即2cba 则：AE=as =1/2（b+c-a） BN=bs=1/2（a+c-b） FC=cs =1/2（a+b-c） 综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4）. 特例：已知在RtABC，c为斜边，则内切圆半径r=cbaabcba2（如图 3）. 在ABC 中，有下列等式成立CBACBAtantantantantantan. 证明：因为,CBA所以CBAtantan，所以CBABAtantan
8、tan1tantan，结论！ 在ABC中，D是BC上任意一点，则DCBDBCBCABBDACAD222. 证明：在ABCD中，由余弦定理，有BBDABBDABADcos2222 在ABC 中，由余弦定理有BCABACBCABB2cos222，代入，化简 可得，DCBDBCBCABBDACAD222（斯德瓦定理） 若AD是BC上的中线，2222221acbma； 若AD是A的平分线，appbccbta2，其中p为半周长； 若AD是BC上的高，cpbpappaha2，其中p为半周长. DACB图 5ABC 的判定： 222bacABC为直角A + B =2 2c22baABC为钝角A + B2 2
9、c22baABC为锐角A + B2 附：证明：abcbaC2cos222，得在钝角ABC中，222222, 00coscbacbaC 平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(22222bababa 空间向量 1空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：空间的一个平移就是一个向量 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 baABOAOB baOBOABA )(RaOP 运算律：加法交换律：abba 加法结合律：)
10、()(cbacba 数乘分配律：baba )( 3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b记作ba/ 当我们说向量a、b共线（或a/b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线 4共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b0） ，a/b的充要条件是存在实数，使ab. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 tOAOPa 其中向量a叫做直线l的方向向量. 5向量与平面平行： 已知平面和向量a，作OAa，如
11、果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：/a 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6共面向量定理： 如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的充要条件是存在实数, x y使pxayb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对, x y，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB 式叫做平面MAB的向量表达式 7 空间向量基本定理： 如果三个向量, ,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z，使pxaybzc 推论：设, , ,O A B C是不共面
12、的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个 有序实数, ,x y z，使OPxOAyOBzOC 8 空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量,a b， 在空间任取一点O， 作,OAa OBb， 则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,a b；且规定0,a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab. 9向量的模： 设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a. 10向量的数量积： a b| | | | cos,aba b 已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则A B 叫做向量AB在轴l上或在e
13、上的正射影. 可以证明A B 的长度| |cos,|A BABa ea e 11空间向量数量积的性质： （1）|cos,a eaa e （2）0aba b （3）2|aa a 12空间向量数量积运算律： （1）()()()aba bab （2）a bb a（交换律） （3）()abca ba c（分配律） 空间向量的坐标运算 一知识回顾： （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标） ，y轴是纵轴（对应为纵轴） ，z轴是竖轴（对应为竖坐标）. 令a=(a1,a2,a3),),(321bbbb ，则 ),(332211babababa)(,(321Raaaa332211bab
14、ababa a)(,332211Rbababab332211bababa 0332211babababa 222321aaaaaa( 用 到 常 用 的 向 量 模 与 向 量 之 间 的 转 化 ：aaaaaa2) 232221232221332211|,cosbbbaaababababababa 空间两点的距离公式：212212212)()()(zzyyxxd. （2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法： 利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条射线，其中A，则点 B 到平面的距离为|nnAB. 利用法向量求二面角的平面角定理：设21,nn分别是二面角l中平面,的法向量， 则21,nn所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 （21,nn方向相同， 则为补角，21,nn反方，则为其夹角）. 证直线和平面平行定理：已知直线a平面，DCaBA,，且 CDE 三点不共线，则 a的充要条件是存在有序实数对使CECDAB.（常设CECDAB求解,若,存在即证毕，若,不存在，则直线 AB 与平面相交）. nBCAn2n1CEDAB
