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1、4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理点积的微商点积的微商叉积的微商叉积的微商点积和叉积点积和叉积4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理l 由牛顿第二定律由牛顿第二定律: ，用用 点积等式两边，得点积等式两边，得借助标量积的微分法则，得：借助标量积的微分法则，得：一一 质点的动能定理质点的动能定理 (theorem of kinetic energy)AB在非相对论情况下，质量在非相对论情况下，质量 m 为常数，则为常数，则4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理于是：于是： 称为元功，称为元功，描述了力的空间累积效应。描述了力的
2、空间累积效应。 物理上，称物理上，称为质点的为质点的动能动能.于是有：于是有：可见：质点动能的微分等于作用于质点的合外力所作的元功，可见：质点动能的微分等于作用于质点的合外力所作的元功， 动能定理的动能定理的微分形式微分形式又又4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理对于有限的过程：对于有限的过程： 有限的过程的动能定理有限的过程的动能定理.即，即，合外力对质点所做的功等于质点动能的增量合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 Note: 若质点速度接近光速，则动能定理的叙述若质点速度接近光速，则动能定理的叙述不变，但不变，但动能表达式动能表达式改变改变!4 3 4 3 质
3、点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理一一 质点的动能定理质点的动能定理 动能（动能（状态状态函数函数） 动能定理：动能定理： 合合外力对外力对质点质点所作的功所作的功,等于质点动能的等于质点动能的增量增量 .AB4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理（1 1）功是能量变化的量度）功是能量变化的量度. . 功是一个功是一个过程量过程量；而动能；而动能是一个是一个状态量状态量（只有外力对质点作功，才能使得质点的动能（只有外力对质点作功，才能使得质点的动能发生变化）发生变化）；注意注意（3 3）动能的单位和量纲与功的单位和量纲相同。）动能的单位和量纲与功的单位和量纲相同。
4、（2 2）质点动能定理是根据第二定律导出的，质点动能定理是根据第二定律导出的，与牛二与牛二律一样，动能定理也仅适用于律一样，动能定理也仅适用于惯性系惯性系宏观低速运动的宏观低速运动的质点质点 ，并且功和，并且功和动能都与动能都与 参考系的选取参考系的选取有关；有关；功和动能功和动能4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理l 动能定理和动量定理比较：动能定理和动量定理比较：力的空间累积效应力的空间累积效应力的时间累积效应力的时间累积效应4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理单单 位：位： kgm/s (千克千克米米/秒秒) J(焦耳焦耳)(或或Nm牛顿牛
5、顿米米) 性性 质：质： 矢量矢量 标量标量 变化量：变化量： 由力的冲量决定由力的冲量决定 Ek由力的功决定由力的功决定 对于给定两个时刻对于给定两个时刻t1和和t2： 对于给定两个时刻对于给定两个时刻t1和和t2： 与惯性系的选择无关与惯性系的选择无关 Ek随惯性系的不同而不同随惯性系的不同而不同 l关关 系：系： 动量与动能的比较动量与动能的比较 物理量物理量 动量动量 (momentum) 动能动能 (kinetic energy) 表达式表达式 4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理 例例: 一质量为一质量为1.0kg 的小球系在长为的小球系在长为1.0m 细绳
6、下端细绳下端 , 绳绳的上端固定在天花板上的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直线成起初把绳子放在与竖直线成 角处角处, 然后放手使小球沿圆弧下落然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与竖直线成试求绳与竖直线成 角时小球的速率角时小球的速率 .解：解： 4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理由由动能定理动能定理得得4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理例题例题: 如图如图,物块质量物块质量m置于粗糙水平面上置于粗糙水平面上,用橡皮绳系于墙上用橡皮绳系于墙上,橡皮绳原长橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧的弹簧,现将
7、物块向后现将物块向后拉伸至橡皮绳长为拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放后再由静止释放.求物块击墙的速度求物块击墙的速度.物块与物块与水平面间的摩擦系数为水平面间的摩擦系数为 .解解弹力只存在于弹力只存在于ba 过程，过程，摩擦力始终存在，摩擦力始终存在，由动能定理有：由动能定理有： ( v0= 0 ) Oxxabm4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理例：例：m=1kg=1kg的物体的物体, ,在坐标原点处从静止在坐标原点处从静止出发沿出发沿x 轴运动轴运动, ,合力合力 (SI),则在则在x=0=03 3m内内, ,合力作功合力作功A A = = ; ; x=3=3m处，
8、物体速率处，物体速率v = = . .解：解：4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理例：例： 一质量为一质量为 m 的物体，受到沿的物体，受到沿 x 轴正方向外力轴正方向外力 F F = =F F0 0 + +kx 的作用（的作用（F F0 0k为常数为常数），从坐标原点由静止），从坐标原点由静止开始运动，求质点运动位移为开始运动，求质点运动位移为 x0 0 时外力作的功以及速度时外力作的功以及速度与位移之间的函数关系与位移之间的函数关系 . .解：解：（1）直线运动作功的表达式为）直线运动作功的表达式为Fx 为为 F 沿沿 x 轴的投影，于是轴的投影，于是4 3 4 3
9、 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理当当 x = x0 时，外力作功为时，外力作功为（2）由动能定理，得）由动能定理，得求得速度与位移之间的函数关系为求得速度与位移之间的函数关系为4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理二二 . 成对力的功成对力的功（work done by twin force） l 一对力：一对力： 分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力.A1B1A2B2 这说明：这说明：一对力作功等于其中一个质点受的力沿着该质点一对力作功等于其中一个质点受的力沿着该质点相对另一质点所移动的路径所作的功。相对
10、另一质点所移动的路径所作的功。l 力总是成对的，设质量为力总是成对的，设质量为 m1 和和 m2 的两个物体分别受到的两个物体分别受到 和和 的力，且的力，且4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理二二 . 成对力的功成对力的功 l 有限大小的功为有限大小的功为l 一对功的计算：视一质点一对功的计算：视一质点静止静止，取其为坐标原点，计算另一，取其为坐标原点，计算另一质点在此坐标系运动过程中受力作功质点在此坐标系运动过程中受力作功 .A1B1A2B2l 一对内力一对内力（internal force）做的功与参照系选择无关做的功与参照系选择无关 ，只决定于两质点的相互作用力
11、只决定于两质点的相互作用力及其相对位移及其相对位移.4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理l 说说 明：明：（1 1）成成对对力力的的功功只只与与作作用用力力和和相相对对位位移移有有关关（一一般般不不为零）为零）。 relative displacement（2）由于力和质点间的相对距离不因参照系的改变而改变，由于力和质点间的相对距离不因参照系的改变而改变，故一对内力做功之和与参考系的选择无关。即成对力的总功具故一对内力做功之和与参考系的选择无关。即成对力的总功具有有与参考系选择无关与参考系选择无关的不变性质的不变性质。l 为方便起见，计算时可认为其中一个质点静止，为方便
12、起见，计算时可认为其中一个质点静止，将参照将参照系固定在该质点上：系固定在该质点上：并以该质点所在位置为原点，再计算另并以该质点所在位置为原点，再计算另一质点受力所做的功。一质点受力所做的功。 只有在某些特殊情形中，如两质点的相对位置保持不只有在某些特殊情形中，如两质点的相对位置保持不变，内力的总功才为零。变，内力的总功才为零。例如对于刚体，由于各质点的相例如对于刚体，由于各质点的相对位置保持不变，内力的总功为零。对位置保持不变，内力的总功为零。4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理 （3 3） 一一对对滑滑动动摩摩擦擦力力的的功功恒恒小小于于零零（摩摩擦擦生生热热是是一
13、一对对滑动摩擦力作功的结果）。滑动摩擦力作功的结果）。 以地面为参考系：以地面为参考系： 以滑块为参考系：以滑块为参考系：4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理（4 4） 在在无无相相对对位位移移或或相相对对位位移移与与一一对对力力垂垂直直的的情情况下，一对力的功必为零。况下，一对力的功必为零。4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理（5 5）系统内力虽成对出现，但内力功的和不）系统内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零一定为零（因各质点位移不一定相同）（因各质点位移不一定相同）。l 说说 明：明： 例：例：炸弹爆炸过程，内力和为零，但内力所做炸弹爆炸
14、过程，内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。的功转化为弹片的动能。4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理例：例：摩擦力做功摩擦力做功从地面看摩擦力对物体作功从地面看摩擦力对物体作功在物体参考系（也是惯性系），物在物体参考系（也是惯性系），物体没有移动，体没有移动，摩擦力是一对力，成对摩擦力作的功：摩擦力是一对力，成对摩擦力作的功： vf摩擦力对物体作功摩擦力对物体作功一对摩擦力所做的功与参考系的选择无关一对摩擦力所做的功与参考系的选择无关 = 运动中放出热能运动中放出热能4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理例如：例如：A板对板对B板的摩擦力为
15、板的摩擦力为A板相对板相对B板滑动板滑动 B板对板对A板的摩擦力为板的摩擦力为求：当求：当B板从一端移到另板从一端移到另一端时，摩擦力所作功一端时，摩擦力所作功 .解：解：摩擦力是一对力，据对力作功的一般表达式，应有：摩擦力是一对力，据对力作功的一般表达式，应有：是相对位移量是相对位移量4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理二二 质点系的动能定理质点系的动能定理（Kinetic energy theorem for a system of particles）对第对第 i 个质点用质点动能定理个质点用质点动能定理:两边对所有质点求和，得两边对所有质点求和，得4 3 4 3
16、 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理 上式说明，上式说明，作用在质点系的一切内力和一切外作用在质点系的一切内力和一切外力所作功的代数和等于质点系的动能增量力所作功的代数和等于质点系的动能增量. . 质点系的动能定理质点系的动能定理. .例：例：P128 例例1. 结论：结论：一对滑动摩擦力的功恒小于零一对滑动摩擦力的功恒小于零（摩擦生热是一对滑（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）动摩擦力作功的结果）。内力可以改变质点系的动能内力可以改变质点系的动能（但不能改变质（但不能改变质点系的动量）点系的动量）.注意注意4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理 例例 ：已知
17、：已知 m 和和 l ,水平静止下落水平静止下落,求下落求下落 角时的速率及绳中张力角时的速率及绳中张力.mgT解：珠子受力解：珠子受力不作功不作功 ,重力重力mg 作功作功.4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理例：例：将一重物匀速推上一斜坡将一重物匀速推上一斜坡, ,因其动能不变因其动能不变, ,所以所以(A)(A)推力不做功推力不做功(B)(B)推力功和摩擦力功等值反号推力功和摩擦力功等值反号(C)(C)推力功和重力功等值反号推力功和重力功等值反号(D)(D)此重物所受的外力的功之和为零此重物所受的外力的功之和为零 答案：答案：D D思考思考外力的冲量之和是否为零？
18、外力的冲量之和是否为零？外力之和是否为零？外力之和是否为零？匀速运动，外力为零匀速运动，外力为零.外力为零，则外力冲量之和为零外力为零，则外力冲量之和为零.4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理例：例：质点在外力作用下运动质点在外力作用下运动, ,下述哪种说法正确？下述哪种说法正确？(A)(A)质点的动量改变时质点的动量改变时, ,其动能一定改变其动能一定改变. .(B)(B)质点的动能不变时质点的动能不变时, ,其动量也一定不变其动量也一定不变. .(C)(C)外力的冲量是零外力的冲量是零, ,则外力的功一定是零则外力的功一定是零. .(D)(D)外力的功是零外力的功是零, ,则外力的冲量一定是零则外力的冲量一定是零. . 答案：答案：C C思考思考外力的冲量为零外力的冲量为零, ,则外力是否一定为零则外力是否一定为零？外力的功为零外力的功为零, ,则外力是否一定为零则外力是否一定为零？外力有可能垂直于位移方向外力有可能垂直于位移方向（例如匀速圆周运动）（例如匀速圆周运动）.例如：例如：质点作匀速圆周运动（绕一圈），外力质点作匀速圆周运动（绕一圈），外力冲量为零，但外力始终不为零冲量为零，但外力始终不为零. .否否.否否.4 3 4 3 质点和质点系的动能定理质点和质点系的动能定理l 作作 业：业： 4.3.4 ， 4.3.7.
