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1、 第一章 二二 、收、收敛数列的性数列的性质 一、数列极限的定一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限按自然数按自然数1,2,3,编号编号 依次排列的一列数依次排列的一列数 称为称为数列数列 记为记为 . , 如如: 1, , 1, 1, 1, 第二第二节 数列的极限数列的极限一、数列极限的定一、数列极限的定一、数列极限的定一、数列极限的定义义注注: 数列是整标函数数列是整标函数 xn= f (n)直观定义直观定义 若当若当n无限增大时无限增大时,数列对应的项数列对应的项无接近与常数无接近与常数a,则称常数则称常数a为数列为数列 xn的的极限极限, 记为记为例如例如,趋势不定收 敛
2、发 散总存在自然数总存在自然数N, 当当n N时时, 不等式不等式都成立都成立, 定定定定义义那么就称常数那么就称常数 a 是数列是数列 的极限的极限, 或称数列或称数列 收敛于收敛于a 记为记为:如果数列没有极限如果数列没有极限,就就说数列是数列是发散的散的.几何解释几何解释:例例1证证所以所以,小小结:用定用定义证数列极限存在数列极限存在时,关关键是是例例2 证明证明证证由由得得任意任意给定定 0 寻找找 N ,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3证证例例4证证思考题思考题那么对任意自然数那么对任意自然数p ,当当 n N 时时 ,当当 n N 时时 ,当当 n N 时时 , , 定
3、理定理定理定理1111若数列若数列若数列若数列 x xn n 收收收收敛敛，则则它的极限唯一它的极限唯一它的极限唯一它的极限唯一. . . .证证故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.二、收二、收二、收二、收敛敛数列的性数列的性数列的性数列的性质质定理定理定理定理2 2 收收收收敛敛的数列必定有界的数列必定有界的数列必定有界的数列必定有界. .证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .得得定理定理定理定理3 3（保号性）（保号性）（保号性）（保号性）且且且且时时, , 有有有有证: 对 a 0 , 取推推
4、论: 若数列从某项起(用反证法证明)若若若若注意：注意：例如，例如，证证定理定理定理定理4 4 若数列若数列若数列若数列 x xn n 收收收收敛敛于于于于a a，则则它的任意一个它的任意一个它的任意一个它的任意一个子数列也收子数列也收子数列也收子数列也收敛敛，且极限，且极限，且极限，且极限为为a a . .由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !则原数列一定发散 .说明明: 1. 夹逼准逼准则 (准则1)三、极限存在准三、极限存在准三、极限存在准三、极限存在准则则2. 单调有界数列必有极限有界数列必有极限 ( 准准则2 )内容小内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则思考与思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知, 求时,下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不不对!此处
