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1、制作制作: :罗家祥罗家祥 审校审校: :胥布工胥布工华南理工大学华南理工大学自动化科学与工程学院自动化科学与工程学院自动控制原理自动控制原理电子课件电子课件版本版本 2.02.020112011年年6 6月主编修改版月主编修改版 第五章第五章 根轨迹分析法根轨迹分析法版本版本2.02.020112011年年6 6月主编修改版月主编修改版制作制作: :罗家祥罗家祥 审校审校: :胥布工胥布工华南理工大学华南理工大学自动化科学与工程学院自动化科学与工程学院制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工第五章第五章 根轨迹分析法根轨迹分析法5.1 引言引言5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本
2、概念 5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法 5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用 5.5 开环零、极点对系统根轨迹的影响开环零、极点对系统根轨迹的影响 5.6 利用利用MATLAB分析控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹5.7 小结小结 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.1 引言引言根轨迹方程根轨迹方程绘制绘制(10(10个规则个规则) )根轨迹扩展应用根轨迹扩展应用根轨迹根轨迹开环零、极点对根开环零、极点对根轨迹的影响分析轨迹的影响分析改变开环零极点，改变开环零极点，提高系统稳态或提高系统稳态或动态性能动态性能本章知识体系本章知识体系MATLAB绘制
3、根轨迹图绘制根轨迹图制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.1 引言引言系系统统特特征征方方程程的的根根在在复复平平面面上上的的分分布布位位置置与与系系统统的的动动态态性性能能是是密密切切相相关关的的。闭闭环环控控制制系系统统是是否否稳稳定定取取决决于于其其特特征征方方程程的的根根是是否否位位于于复复平平面面的的左左半半平平面面内内，而而闭闭环环控控制制系系统统的的动动态态性性能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布。对对于于高高阶阶系系统统，为为了了避避免免解解析析法法求求解解所所有有特特征征根根的的繁繁琐琐性性，194
4、8年年伊伊万万斯斯（W.R.Evans）创创立立了了一一种种通通过过改改变变系系统统的的一一个个参参数数来来分分析析系系统统特特征征方方程程根根的的位位置置变变化化的的方方法法，并并给给出出了了绘绘制系统特征根变化轨迹的方法，简称为制系统特征根变化轨迹的方法，简称为根轨迹法根轨迹法。 根根轨轨迹迹法法是是一一种种分分析析线线性性控控制制系系统统的的图图解解方方法法，具具有有直直观观和和简简便便的的优优点点，并并且且是是一一种种通通用用方方法法，可可以以绘绘制制任任意意线线性性多多项项式式关关于于任任何何参参数数的的根根轨轨迹迹，这这样样不不需需要要用用解解析析法法求求特特征征方方程程的的根根也
5、也能能够够在在根根轨轨迹迹图图上上分分析析改改变变系系统统的的参参数数对对其其动动态态性性能能的影响。的影响。 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念5.2.1 5.2.1 根轨迹图根轨迹图 根轨迹的研究是在一个复平面（简称根轨迹的研究是在一个复平面（简称s平面）上展开的，平面）上展开的，这时的复平面就叫这时的复平面就叫根平面根平面。当系统开环传递函数的某一参数。当系统开环传递函数的某一参数从从0变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹就称为就称为根轨迹根轨迹。根平面加上根轨迹就叫
6、。根平面加上根轨迹就叫根轨迹图。根轨迹图。 根轨迹常用于研究开环传递函数增益变化对系统的影响，根轨迹常用于研究开环传递函数增益变化对系统的影响，因此，从因此，从0 0变化到无穷的某个参数通常是指与开环传递函数放变化到无穷的某个参数通常是指与开环传递函数放大系数大系数K K成正比的一个参数成正比的一个参数KgKg，一般称为，一般称为根轨迹增益。根轨迹增益。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念5.2.1 5.2.1 根轨迹图根轨迹图考虑开环传递函数的一般形式为考虑开环传递函数的一般形式为式（式（5-2）意味着与之间的关系与零值的开环极点无关，
7、同理）意味着与之间的关系与零值的开环极点无关，同理也与零值的开环零点无关。也与零值的开环零点无关。由式（由式（5-1）得与之间的关系为）得与之间的关系为 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念例例5-1 5-1 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念Kg0，系统闭环特征根始终在根平，系统闭环特征根始终在根平面的左半部，系统总是稳定的。面的左半部，系统总是稳定的。0Kg4，两个，两个共轭复根共轭复根，系统的阶跃，系统的阶跃响应变为响应变为衰减振荡过程衰减振荡过程，Kg越大，振越大，振荡越剧
8、烈。荡越剧烈。Kg的取值不同，系统特征根在的取值不同，系统特征根在s平面平面的分布不同，系统具有不同的的分布不同，系统具有不同的动态动态特特性。性。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念5.2.2 根轨迹方程根轨迹方程制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念2、相角条件、相角条件 规定相角以逆时针方向为正，规定相角以逆时针方向为正，顺时针方向为负。顺时针方向为负。1、幅值条件、幅值条件 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念注意事项：注
9、意事项：幅值条件仅是根轨迹应满足的必要条件，幅值条件仅是根轨迹应满足的必要条件，因为幅值还取因为幅值还取决于决于Kg的大小。在根轨迹上的点都满足幅值条件，而的大小。在根轨迹上的点都满足幅值条件，而s平面上满足幅值条件的点未必在根轨迹上。平面上满足幅值条件的点未必在根轨迹上。相角条件是根轨迹应满足的充要条件相角条件是根轨迹应满足的充要条件，因为相角大小与，因为相角大小与Kg的大小无关。在根轨迹上的点都满足相角条件，而的大小无关。在根轨迹上的点都满足相角条件，而s平面上满足相角条件的点一定在根轨迹上。平面上满足相角条件的点一定在根轨迹上。由于绘制根轨迹的目的是通过图上向量计算来进行系统由于绘制根轨
10、迹的目的是通过图上向量计算来进行系统的性能分析，因此的性能分析，因此s平面的横坐标和纵坐标必须采用相平面的横坐标和纵坐标必须采用相同的比例尺。同的比例尺。通常，直接利用幅值条件和相角条件绘制系统的根轨通常，直接利用幅值条件和相角条件绘制系统的根轨迹很复杂，可以尝试先画出近似的根轨迹曲线，进行迹很复杂，可以尝试先画出近似的根轨迹曲线，进行初步分析后，再细化和修正用计算机求解或者绘制出初步分析后，再细化和修正用计算机求解或者绘制出精确的根轨迹。精确的根轨迹。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法 5.3.1 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨
11、迹的基本法则规则规则1 根轨迹的连续性根轨迹的连续性闭环特征方程根是根轨迹增益闭环特征方程根是根轨迹增益Kg的的连续函数；根轨迹是连续的直线或曲连续函数；根轨迹是连续的直线或曲线。线。 规则规则2 根轨迹的分支数根轨迹的分支数=特征根个数特征根个数=系统阶数系统阶数n。 根根轨迹法是通用的方法，可以用于迹法是通用的方法，可以用于绘制制线性多性多项式中式中任何参数的根任何参数的根轨迹。本迹。本节以根以根轨迹增益迹增益Kg为参数参数归纳出出绘制根制根轨迹的基本法迹的基本法则。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法规则规则4 根轨迹起点与
12、终点根轨迹起点与终点根轨迹的起点根轨迹的起点(Kg=0时时) ：位于：位于开环传递函数的极点开环传递函数的极点处。处。根轨迹的终点根轨迹的终点(Kg=时：止于时：止于开环传递函数的零点开环传递函数的零点(包括包括m个个有限零点和有限零点和n-m个无穷远处的零点个无穷远处的零点)。 规则规则3 根轨迹的对称性根轨迹的对称性实系数特征方程的根必为实数或共轭复数实系数特征方程的根必为实数或共轭复数, 必对称于实轴。必对称于实轴。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法规则规则5 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹在奇数个零点和极点的
13、左侧。实轴上的根轨迹在奇数个零点和极点的左侧。 规则规则6 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线Kg时时, 有有n-m条根轨迹分支沿着与正实轴夾角条根轨迹分支沿着与正实轴夾角 , 截距为截距为- 的一组渐近线趋于无穷远处。的一组渐近线趋于无穷远处。注意到式（注意到式（5-14）中有）中有 k=0, 1, 2,制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法（2）渐近线在实轴上交点）渐近线在实轴上交点 故推得故推得n-m个渐近线与实轴的夹角为个渐近线与实轴的夹角为 （1）渐近线与实轴的夹角）渐近线与实轴的夹角 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥
14、布工胥布工由比较（由比较（5-17）分母多项式系数可得）分母多项式系数可得 5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工例例5-2 已知三阶系统的开环传递函数为已知三阶系统的开环传递函数为试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。解：系统无零点，而有三个开环极点：解：系统无零点，而有三个开环极点：-p1=0，-p2=-3和和-p3=-4，因此，因此有有n-m=3条根轨迹分支趋向无穷远。条根轨迹分支趋向无穷远。渐近线在实轴上交点的交点为渐近线在实轴上交点的交点为和和n-m=3个渐近线与实轴的夹角个渐近线与实轴的夹角
15、为为5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法规则规则7 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点（特征方程的重根点）（特征方程的重根点）1)若实轴若实轴两相邻开环极点两相邻开环极点之间有根轨迹之间有根轨迹: 该区段必有分离点该区段必有分离点;若实轴若实轴两相邻开环零点两相邻开环零点之间有根轨迹：该区段必有会合点之间有根轨迹：该区段必有会合点;2)2) 在分离点和会合点上，根轨迹切线与正实轴夾角称分离角或在分离点和会合点上，根轨迹切线与正实轴夾角称分离角或会合角会合角;3) 分离点或汇
16、合点必有重根分离点或汇合点必有重根：重根法重根法.由此，根轨迹的分离点或会合点，由此，根轨迹的分离点或会合点，重根必然满足如下式子：重根必然满足如下式子： 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法例例5-3 考虑例考虑例5-2中的开环传递函数中的开环传递函数根据规则根据规则5可知，闭环系统根轨迹在实轴上的区间为（可知，闭环系统根轨迹在实轴上的区间为（- , -4和和-3, 0，显然，点，显然，点s1=-3.5352在实轴上的根轨迹区间之外，故根轨在实轴上的根轨迹区间之外，故根轨迹分离点必位于点迹分离点必位于点s2=-1.1315处。处
17、。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法规则规则8 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 例例5-4 考虑开环传递函数考虑开环传递函数 方法方法1：制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法规则规则8 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 方法方法2：制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法规则规则9 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角 出射角：出射角：是指起始于开环复极是指起始于开环复极点的根轨迹变化切线
18、与正实轴点的根轨迹变化切线与正实轴的夹角。的夹角。 入射角：入射角：是指终止于开环复零是指终止于开环复零点的根轨迹变化切线与正实轴点的根轨迹变化切线与正实轴的夹角。的夹角。 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法例例5-5 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法规则规则10 根轨迹的走向根轨迹的走向 1)当当n-m 2时，闭环极点之和始终等于常数时，闭环极点之和始终等于常数. 根据闭环特征方程可得：根据闭环特征方程可得：系
19、统闭环极点之和等于常数系统闭环极点之和等于常数-an-1 随着随着Kg的增加，一些根轨迹向左移动时，另一些根轨迹必向右的增加，一些根轨迹向左移动时，另一些根轨迹必向右移动。移动。 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法2) 圆弧根轨迹圆弧根轨迹 当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，则在实当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，则在实轴外的根轨迹必然是沿着圆弧移动。轴外的根轨迹必然是沿着圆弧移动。例例5-6 5-6 考虑系统的开环传递函数为考虑系统的开环传递函数为 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘
20、制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法根据上述绘制根轨迹的基本法则，单回路控制系统根根据上述绘制根轨迹的基本法则，单回路控制系统根轨迹的绘制一般可按以下轨迹的绘制一般可按以下七个步骤七个步骤进行进行:（1）确定根轨迹的分支数及其起点和终点。）确定根轨迹的分支数及其起点和终点。（2）确定实轴上的根轨迹。）确定实轴上的根轨迹。（3）确定根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点。）确定根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点。（4）确定根轨迹的分离点和会合点。）确定根轨迹的分离点和会合点。（5）确定根轨迹与虚轴的交点。）确定根轨迹与虚轴的交点。（6）确定根轨迹的出射角和入射角。）确定根轨迹的出射角和入射角。（7）确
21、定根轨迹的走向，并绘制根轨迹。）确定根轨迹的走向，并绘制根轨迹。 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法分离角为直角。分离角为直角。 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法7) 随着随着Kg，4条根轨迹分支分别沿着条根轨迹分支分别沿着4条渐近线趋向无穷远条渐近线趋向无穷远 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法5.3.25.3.2 参数根轨迹的绘制参数根轨迹的绘制 绘制参数根轨迹的一般步骤为：绘制参数根轨迹的一
22、般步骤为：（1）写出原系统的闭环特征方程。）写出原系统的闭环特征方程。（2）以特征方程式中不含参数的各项除特征方程，求得等）以特征方程式中不含参数的各项除特征方程，求得等效系统的根轨迹方程，此时，等效系统的根轨迹增益即为效系统的根轨迹方程，此时，等效系统的根轨迹增益即为原系统的参量。原系统的参量。（3）绘制等效系统的根轨迹，即得原系统的参数根轨迹。）绘制等效系统的根轨迹，即得原系统的参数根轨迹。关键：等效单回路系统的开环传递函数。依照绘制关键：等效单回路系统的开环传递函数。依照绘制Kg变化变化时的根轨迹绘制法则绘制参量根轨迹。时的根轨迹绘制法则绘制参量根轨迹。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校
23、- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法 为参数，用为参数，用根轨迹绘制一般方法来绘制根轨迹绘制一般方法来绘制参数根轨迹。参数根轨迹。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的七个步骤如下：绘制根轨迹的七个步骤如下： （1）由）由n=2知，根轨迹的分支数为两条，知，根轨迹的分支数为两条，起点为：起点为：-p1=j4和和-p2=-j4 ，而终点分别为：，而终点分别为： -z1=0和无穷远处。和无穷远处。（2）实轴上根轨迹的存在区间）实轴上根轨迹的存在区间(- ,0。（3）由）由n-m=1知，根轨迹有一
24、条渐近线，知，根轨迹有一条渐近线，其与实轴的夹角为其与实轴的夹角为 而与实轴的交点为而与实轴的交点为（4）实轴上）实轴上-z1=0与无穷远处之间必有一个会合点，计算公式与无穷远处之间必有一个会合点，计算公式为为解得解得s= 4， 因因s=4不在根轨迹上，故会合点必位于不在根轨迹上，故会合点必位于s=-4处。处。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法（5）由（）由（1）-（4）可知，根轨迹位于）可知，根轨迹位于s平面左半部，根轨迹的起点平面左半部，根轨迹的起点-p1=j4和和-p2=-j4就是与虚轴的交点。就是与虚轴的交点。（6）根轨
25、迹在起点）根轨迹在起点-p1=j4的出射角为的出射角为而在起点而在起点-p2=-j4的出射角为的出射角为（7）利用式（）利用式（5-32）得）得 即在实轴外的根轨迹是以原点为圆心，即在实轴外的根轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆弧轨迹，如图以为半径的圆弧轨迹，如图5-15 所示。所示。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法当当K取不同值时，方法一致，取不同值时，方法一致，如图如图5-16。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用 5.4.1 双回路系统的根轨迹双回路系统的根轨迹方
26、法：方法：局部闭环子系统的极点为局部闭环子系统的极点为双双回路系统的开环极点回路系统的开环极点1）首先根据）首先根据局部闭环子系统的开环传递函数局部闭环子系统的开环传递函数绘制其根绘制其根轨迹，确定轨迹，确定局部闭环子系统的极点分布局部闭环子系统的极点分布；2）然后根据）然后根据双双回路系统的开环零极点分布回路系统的开环零极点分布，绘制出全，绘制出全系统的根轨迹。系统的根轨迹。例例5-9 已知双回路控制系统的结构已知双回路控制系统的结构 分析：分析：1) 含有两个参数，两个含有两个参数，两个回环；回环；2) 确定内环极点，再确确定内环极点，再确定系统开环极点。定系统开环极点。制作制作- -罗家
27、祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用局部闭环局部闭环全系统开环传递函数全系统开环传递函数制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用2）绘制整个系统的根轨迹）绘制整个系统的根轨迹 当确定内环系统参量的数值后，就可绘制整个系统的根轨迹。当确定内环系统参量的数值后，就可绘制整个系统的根轨迹。 ， 内环闭环极点为外环开环传函极点内环闭环极点为外环开环传函极点 -p1，2为外环开环极点，再考虑零值为外环开环极点，再考虑零值 极点，整个外环根轨迹如图极点，整个外环根轨迹如图5-19。制作制作- -罗家祥罗家祥审
28、校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用5.4.2 延迟系统的根轨迹延迟系统的根轨迹制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用例例5-10 已知延迟系统的开环传递函数为已知延迟系统的开环传递函数为 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用绘制延迟系统的根轨迹步骤如下绘制延迟系统的根轨迹步骤如下:(1) 根轨迹有无穷多条。根轨迹有无穷多条。 起点：实轴上的一个起点位于极点起点：实轴上的一个起点位于极点 -2处；处； =- 满足幅值条件，无穷多个满足幅值条件，无
29、穷多个无穷远开环极点无穷远开环极点； 终点：终点： =+ 满足幅值条件，无穷多个满足幅值条件，无穷多个无穷远开环零点无穷远开环零点；有起始于无穷远极点和趋有起始于无穷远极点和趋于无穷远零点的根轨迹的于无穷远零点的根轨迹的渐近线均为水平线，无穷渐近线均为水平线，无穷远零点与虚轴的交点为远零点与虚轴的交点为制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用所对应的主根轨迹如图所对应的主根轨迹如图5-21制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用（5）根轨迹与虚轴的交点可由关系式）根轨迹与虚轴的交点可
30、由关系式（6）k取不同数值时候的根取不同数值时候的根轨迹作图方法与轨迹作图方法与k=0类类似，图似，图5-22为为k=0，1，2时相对完整的根轨时相对完整的根轨迹。迹。k 1时，时，根轨迹根轨迹起始于无穷而终止于起始于无穷而终止于无穷。无穷。k=0时，为主根时，为主根轨迹，起主导作用。轨迹，起主导作用。 由于延迟，保证系统稳定由于延迟，保证系统稳定Kg值值不能取得太大，本例不能取得太大，本例Kg应小于应小于3.04。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用5.4.3 0度根轨迹的绘制度根轨迹的绘制0度根轨迹度根轨迹：相角遵循：相角遵循0
31、+360 k条件的根轨迹称为条件的根轨迹称为0度根轨度根轨迹，又因根轨迹增益（迹，又因根轨迹增益（-Kg）为负值，也称为）为负值，也称为负根轨迹负根轨迹。0度根轨迹分两种情况：度根轨迹分两种情况：（1）正反馈系统。）正反馈系统。（2）含有一个不稳定零点的）含有一个不稳定零点的非最小相位为系统，此时根轨非最小相位为系统，此时根轨迹方程为：迹方程为：制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用规则规则1 根轨迹的分支数，起点和终点同根轨迹的分支数，起点
32、和终点同180度根轨迹。度根轨迹。规则规则2 由于由于0度根轨迹相角条件的改变，实轴上的根轨迹在偶度根轨迹相角条件的改变，实轴上的根轨迹在偶数个开环零极点的左侧。数个开环零极点的左侧。规则规则3 根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同180度根轨度根轨迹，而与实轴的夹角的计算公式为迹，而与实轴的夹角的计算公式为 规则规则4 根轨迹的分离点和会合根轨迹的分离点和会合 点的计算方法同点的计算方法同180度度 根轨迹。根轨迹。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用规则规则5 由于相角条件的改变，由于相角条
33、件的改变， 计算离开开环极点计算离开开环极点-pq 的出射角公式变为的出射角公式变为而而 计算进入开环零点计算进入开环零点-zq的的 入射角公式为入射角公式为 规则规则6 根轨迹与虚轴交点的计算方法同根轨迹与虚轴交点的计算方法同180度根轨迹。度根轨迹。规则规则7 根轨迹的走向和其他性质，可按根轨迹的走向和其他性质，可按180度根轨迹类似度根轨迹类似 推得。推得。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用例例5-11 考虑一个单位正反馈系统考虑一个单位正反馈系统的开环传递函数的根轨迹的开环传递函数的根轨迹。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校
34、- -胥布工胥布工5.4 根轨迹法的扩展应用根轨迹法的扩展应用5) 三条根轨迹都沿着渐近线三条根轨迹都沿着渐近线趋向无穷远趋向无穷远制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响开环零极点对系统根轨迹的影响 系统根轨迹的形状、位置完全依赖于系统的开环传递函系统根轨迹的形状、位置完全依赖于系统的开环传递函数中的零极点，可用增加系统的开环零点和极点的方法来改数中的零极点，可用增加系统的开环零点和极点的方法来改造根轨迹，从而达到改善系统性能的目的。造根轨迹，从而达到改善系统性能的目的。 5.5.1 开环零点对根轨迹的影响开环零点对根轨迹的影响 z1 z2 z
35、3 随着增加的零点从负无穷远向虚轴移动，根轨迹从原来的位置随着增加的零点从负无穷远向虚轴移动，根轨迹从原来的位置向左移，且零点越靠近虚轴，则根轨迹变化越明显。向左移，且零点越靠近虚轴，则根轨迹变化越明显。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响开环零极点对系统根轨迹的影响 增加开环负实数零点增加开环负实数零点-zi就相当于增就相当于增加一个以加一个以1/zi为时间常数的微分环节为时间常数的微分环节 1 + d s其中，其中，微分时间常数为微分时间常数为 d=1/zi。 零点距虚轴越近，微分作用越强，零点距虚轴越近，微分作用越强，对动态特性的影响越
36、显著。对动态特性的影响越显著。 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响开环零极点对系统根轨迹的影响 增加开环零点对根轨迹的影响可归增加开环零点对根轨迹的影响可归纳如下：纳如下：（1）改变了根轨迹在实轴上的分布。）改变了根轨迹在实轴上的分布。（2）改变了根轨迹渐近线的条数，倾）改变了根轨迹渐近线的条数，倾角以及截距。角以及截距。（3）若增加的开环零点和某个极点重）若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，则两者作用相互抵消。合或距离很近，则两者作用相互抵消。因此，可加入一个零点抵消有损于系统因此，可加入一个零点抵消有损于系统性能的极点。性能的极点
37、。（4）根轨迹曲线将向左偏移，提高了）根轨迹曲线将向左偏移，提高了相对稳定性，有利于改善系统的动态性相对稳定性，有利于改善系统的动态性能，而且所加的零点越靠近虚轴，则影能，而且所加的零点越靠近虚轴，则影响越大。响越大。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响开环零极点对系统根轨迹的影响5.5.2 开环极点对根轨迹的影响开环极点对根轨迹的影响 p1 p2 p3 根轨迹向右移，且极点离虚轴越近，根轨迹向右移，且极点离虚轴越近，根轨迹向右偏移的程度越大；根轨迹向右偏移的程度越大； 增加开环负实数极点增加开环负实数极点-pl就相当于增加就相当于增加以以1
38、/pl为时间常数的一个惯性环节为时间常数的一个惯性环节 1/(Ts+1)其中，其中，惯性环节时间常数为惯性环节时间常数为T=1/pl。 极点离虚轴越近，惯性就越大，对系统稳定性不利。极点离虚轴越近，惯性就越大，对系统稳定性不利。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响开环零极点对系统根轨迹的影响 增加开环极点对根轨迹的影响可增加开环极点对根轨迹的影响可归纳如下：归纳如下：（1）改变了根轨迹在实轴上的分布。）改变了根轨迹在实轴上的分布。（2）改变了根轨迹渐近线的条数，倾）改变了根轨迹渐近线的条数，倾角以及截距。角以及截距。（3）改变了根轨迹的分支数
39、。）改变了根轨迹的分支数。（4）根轨迹曲线将向右偏移，不利于）根轨迹曲线将向右偏移，不利于系统的稳定性和动态性能，所加的极系统的稳定性和动态性能，所加的极点越靠近虚轴，影响就越大。点越靠近虚轴，影响就越大。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响开环零极点对系统根轨迹的影响5.5.3 开环偶极子对根轨迹的影响开环偶极子对根轨迹的影响 开环偶极子开环偶极子：是指开环系统中一对互相非常接近（和其他零极：是指开环系统中一对互相非常接近（和其他零极点相比）的零点和极点。点相比）的零点和极点。开环偶极子对系统根轨迹的影响可归纳为以下两点：开环偶极子对系统根
40、轨迹的影响可归纳为以下两点： 1）不影响距离它们较远的根轨迹形状及根轨迹增益不影响距离它们较远的根轨迹形状及根轨迹增益 Kg； 原因：原因：开环偶极子与远处根轨迹某点形成的向量基本相等开环偶极子与远处根轨迹某点形成的向量基本相等,它们在幅值条件及相角条件中可以相互抵消。它们在幅值条件及相角条件中可以相互抵消。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响开环零极点对系统根轨迹的影响原因：原因：开环放大系数开环放大系数提高提高 zc/pc 倍倍，由开环放大系数与系统的静态误，由开环放大系数与系统的静态误差系数差系数Kp、Kv、Ka关系可知，提高开环放大系
41、数可改善系统关系可知，提高开环放大系数可改善系统的稳态性能。的稳态性能。 2）若开环偶极子位于若开环偶极子位于s s平面原点附近，则由于闭环主导极点离平面原点附近，则由于闭环主导极点离原点较远原点较远，开环偶极子对闭环主导极点的位置及增益的影响，开环偶极子对闭环主导极点的位置及增益的影响不大，但此时开环偶极子可不大，但此时开环偶极子可使开环增益增加使开环增益增加 zc/pc 倍倍，从而从而显显著影响系统的稳态性能。著影响系统的稳态性能。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.6 利用利用MATLAB分析控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹 5.6.1 绘制根轨迹与求取根轨迹增益
42、绘制根轨迹与求取根轨迹增益关键语句：关键语句：rlocus (num，den) 或或rlocus(num, den, k)k，poles=rlocfind(num, den)例例5-12 单位负反馈开环传递函数单位负反馈开环传递函数 试绘制根轨迹图，试求在根试绘制根轨迹图，试求在根轨迹上点轨迹上点(-1,0)处的坐标值处的坐标值和所对应的根轨迹增益值和所对应的根轨迹增益值命令窗口输入内容见命令窗口输入内容见166页。页。鼠标移动获取轨迹上的坐标鼠标移动获取轨迹上的坐标值值增益。增益。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.6 利用利用MATLAB分析控制系统的根轨迹分析控制系统
43、的根轨迹5.6.2 分析控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性p, k = rlocus(num,den)命令窗口输入：命令窗口输入： num = 1 1; d1 = 1 0; d2 = 1 -1; d3 = 1 4 16; d4 = conv(d1,d2); den = conv(d4,d3); rlocus(num,den); axis(-6,6,-6,6); axis equal; p,k = rlocus(num,den);运行结果如图运行结果如图5-28所示。所示。例例5-13 设某单位负反馈设某单位负反馈系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 随着随着K增大，不稳增大，不稳定定稳定
44、稳定不稳定不稳定制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工5.7 小结小结（1 1）根）根轨迹的基本概念迹的基本概念所谓的根轨迹，就是当控制系统中某参数由零趋向于无穷大变化时，系统所谓的根轨迹，就是当控制系统中某参数由零趋向于无穷大变化时，系统的闭环特征根在的闭环特征根在s s平面上移动的轨迹。根轨迹方程是系统闭环特征方程的平面上移动的轨迹。根轨迹方程是系统闭环特征方程的变形，由其导出的幅值条件和相角条件也分别称为根轨迹的幅值方程和相变形，由其导出的幅值条件和相角条件也分别称为根轨迹的幅值方程和相角方程。角方程。相角方程是决定根轨迹的充分必要条件，可依据其来绘制控制系相角方程是决定根
45、轨迹的充分必要条件，可依据其来绘制控制系统的根轨迹，幅值方程可用来确定根轨迹上各点对应的增益值。统的根轨迹，幅值方程可用来确定根轨迹上各点对应的增益值。 （2 2）绘制根制根轨迹的一般方法迹的一般方法基于基于绘制根制根轨迹的十条迹的十条规则，可迅速描，可迅速描绘出根出根轨迹的大致迹的大致图形。形。本章也介本章也介绍了用绍了用MATLABMATLAB绘制根轨迹的方法。绘制根轨迹的方法。 （3 3）根）根轨迹的迹的扩展展应用用多回路根多回路根轨迹、延迹、延迟系系统根根轨迹以及迹以及0 0度根度根轨迹的迹的绘制方法。制方法。（4 4）开）开环零、极点以及开零、极点以及开环偶极子偶极子对根根轨迹的影响
46、迹的影响在控制系在控制系统中适当增加一些开中适当增加一些开环零、极点，可以改零、极点，可以改变根根轨迹的形状，从而迹的形状，从而达到改善系达到改善系统性能的目的。一般情况下，增加开性能的目的。一般情况下，增加开环零点可使根零点可使根轨迹左移，迹左移，有利于改善系有利于改善系统的相的相对稳定性和定性和暂态性能；如果增加开性能；如果增加开环极点，极点，则根根轨迹迹右移，不利于系右移，不利于系统的相的相对稳定性以及瞬定性以及瞬态性能；如果在原点附近加入一性能；如果在原点附近加入一对开开环偶极子，偶极子，则可增加开可增加开环增益从而增益从而显著地改善系著地改善系统的的稳态性能。性能。制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工本章结束！本章结束！
