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1、教学课件教学课件 数学数学 九九年级上册年级上册 北师大北师大版版第四章 图形的相似4.4 探索三角形相似的条件相似三角形的相关概念相似三角形的相关概念l三个角对应三个角对应相等相等,三条边对应三条边对应成比例成比例的两个三角形的两个三角形, 叫做相似三角形叫做相似三角形(similar trianglec).l相似三角形的各相似三角形的各对应角相等对应角相等,各对应边各对应边对应成比例对应成比例.l相似比等于相似比等于1的两个三角形全等的两个三角形全等.l注意：注意：l要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.l反之反之,写在对应位置上的字母就是对应角
2、的顶点！写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！l由于相似三角形与其位置无关由于相似三角形与其位置无关,因此因此,能否弄清对应能否弄清对应是正确解答的前提和关键是正确解答的前提和关键.判定三角形相似的方法判定三角形相似的方法l判定两个三角形相似的方法判定两个三角形相似的方法:l两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似.l三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似.类比三角形全等的判定方法类比三角形全等的判定方法:边角边边角边(SAS);角边角角边角(ASA);角角边角角边(AAS);边边边边边边(SSS);斜边直角边斜边直角边(HL).你还能得出判定三角形相似的
3、其它方法吗你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?相似与全等类比相似与全等类比新化旧新化旧由由角边角角边角(ASA)、角角边、角角边(AAS)可知可知,有两个角对应相等的有两个角对应相等的两个三角形相似两个三角形相似;由由边边边边边边(SSS)可知可知:有三边对应成比例的两个三角形相似有三边对应成比例的两个三角形相似;由由边角边边角边(SAS)可猜想可猜想:两边对应成比例两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似且夹角相等的两个三角形相似;由由斜边直角边斜边直角边(HL)可猜想可猜想:斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.我们已经把前两个猜想变为现实我
4、们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗？剩余的还有问题吗？问题三问题三:如如果果 ABC与与 ABC有有一一个个角角相相等等,且且两两边边对对应应成成比比例例,那么它们一定相似吗那么它们一定相似吗?(1)如如果果这这个个角角是是这这两两边边的的夹夹角角,那么它们一定相似吗那么它们一定相似吗?我们一起来动手我们一起来动手:画画 ABC与与 ABC使使 A= A, 和和 都都等等于于给给定的值定的值k（如（如 ）.设法比较设法比较 B 与与 B的大的大小小, C与与 C的大小的大小. ABC与与 ABC相似吗相似吗?说说你的理由说说你的理由.改变改变k值的大小值的大小(如如1 3),再试一试
5、再试一试.通过上面的活动通过上面的活动,你猜出你猜出了什么结论了什么结论?判定三角形相似的方法判定三角形相似的方法两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图如图,在在 ABC与与 ABC中中,如果如果那么那么 ABCABC(两边对应成比例且夹角相等的两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似两个三角形相似.)CBAA B Cw这又是一个用来判定两个三角形相似的方法这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使但使用频率不是很高用频率不是很高,务必引起重视务必引起重视.且且 A= A,图图中中 ABCABC,你还你还能用其它方法来说明其正确能用其它方法来说
6、明其正确性吗性吗?且且A=A=450,A=A=450,ABCABCABCABC( (两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的两个三角形相似.).)CBAA B C解法解法2: 如如图图,设设小正方形小正方形的的边长为边长为1,由勾股定理可由勾股定理可得得:问题四问题四:在在Rt ABC与与Rt ABC中中, C= C=900,如果有一直角边和斜如果有一直角边和斜边对应成比例边对应成比例,那么它们一定那么它们一定相似吗相似吗?我们一起来动手我们一起来动手:画画 ABC与与 ABC,使使 和和 都等于给定的值都等于给定的值k（如（如 ）.设设法比法比较较 B 与与 B的大
7、的大小小, A与与 A的大小的大小.Rt ABC与与Rt ABC相似相似吗吗?说说说说你的理由你的理由.改改变变k值值的大小的大小(如如1 3 ),再再试试一一试试.通通过过上面的活上面的活动动,你猜出你猜出了什么了什么结论结论?斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.如图如图,在在Rt ABC与与Rt ABC中中,如果如果那么那么 ABCABC, (斜边直角边对应成比例的两斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似个直角三角形相似.)CBAABCw这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必引起重视务必引起重视
8、.我们重新来看问题三我们重新来看问题三:如果如果 ABC与与 DEF有一个有一个角相等角相等,且两边对应成比例且两边对应成比例,那那么它们一定相似吗么它们一定相似吗?(2).如果这个角是这两边中一如果这个角是这两边中一条边的对角条边的对角,那么它们一定相那么它们一定相似吗似吗?小明和小颖分别画出了下面小明和小颖分别画出了下面的的 ABC与与 DEF:通过上面的活动通过上面的活动, ,你猜出你猜出了什么结论了什么结论? ?两边对应成比例两边对应成比例, ,且其中且其中一边的对角对应相等的两一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。个三角形不一定相似。ABC5003.2cm4cm2cmDFE500
9、1.6cm判定三角形相似的常用方法判定三角形相似的常用方法: :两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似. .三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似. .两边对应成比例两边对应成比例, ,且夹角相等的两个三角形相似且夹角相等的两个三角形相似. .斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. .相似三角形的各相似三角形的各对应角相等对应角相等, ,各对应边各对应边对应成比例对应成比例. .相似三角形相似三角形对应高对应高的比的比, ,对应角平分线对应角平分线的比的比, ,对应对应中线中线的的比比, ,对应周长对应周长的比
10、都等于相似比的比都等于相似比. .如图如图:在在 ABC和和 DEF中中 ，如果，如果 A= D, B= E,那么那么 ABC DEF.ABCDEF那么那么 ABC DEF.且且 A= D，那么那么 ABC DEF.量量人的身高，量量人的身高，从脚底从脚底往上，往上，0.6180.618处处正好是在正好是在肚脐肚脐附近附近 . .画家们绘画时依照画家们绘画时依照黄黄金比例金比例勾勒出的脸谱勾勒出的脸谱.点点 C把把 线线 段段 AB分分 成成 两两 条条 线线 段段 AC和和 BC,如如 果果 ，那那么么称称线线段段AB被被点点C黄黄金金分分割割,点点C叫叫做做线线段段AB的的黄黄金金分分割割
11、点点,AC与与AB的的比比叫叫做做黄黄金金比比.黄金分割黄金分割如何找出黄金分割点如何找出黄金分割点 如图如图,已知线段已知线段AB按照如下方法作图按照如下方法作图:1.1.经过点经过点B B作作BDAB,BDAB,使使2.2.连接连接AD,AD,在在ADAD上截取上截取DE=DB.DE=DB.3.3.在在ABAB上截取上截取AC=AE.AC=AE.4.C4.C点就是点就是ABAB的黄金分割点的黄金分割点.ABABD DE EC C 一条线段有几个黄金分割点？一条线段有几个黄金分割点？两个两个黄金分割与人体学、生物学、摄影艺术、建筑学等黄金分割与人体学、生物学、摄影艺术、建筑学等许多领域广泛存
12、在，让我们来尽情地欣赏黄金分割许多领域广泛存在，让我们来尽情地欣赏黄金分割的美吧！的美吧！黄黄金金螺螺线线蜗牛蜗牛的外的外壳壳呈呈黄金螺线黄金螺线形。形。树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金比例树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金比例树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金比例树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金比例在现在生活中在现在生活中，黄金比例黄金比例也一直被使用也一直被使用着着，例如，例如国国旗、明信片、旗、明信片、报纸报纸、邮票邮票等等，其等等，其长宽长宽之比均接近之比均接近黃金比，黃金比，据统计黄据统计黄金比也是被使用最多的比例金比也是被使用最多的比例. 东方明珠塔，塔高东方明珠塔，塔高462.85462.85米米. .设计师将设计师将在在295295米处设计了一米处设计了一个上球体，使平直单个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观彩，非常协调、美观. .文明古国埃及的金字文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔各异。但这些金字塔底面的边长与高这比底面的边长与高这比都接近于都接近于0.618.0.618.通过本节课的学习你有什么收获和体会？通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有什么困惑？你还有什么困惑？ ? 本 课 小 结
