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1、第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系九年级下册九年级下册梯子是我们日常生活中常见的物体梯子是我们日常生活中常见的物体 你能比较两个梯你能比较两个梯子哪个更陡吗？你子哪个更陡吗？你有哪些办法？有哪些办法？5m2.5mCBA2mE5mDF在图中的梯子在图中的梯子AB和梯子和梯子EF哪个更陡，你是怎样判断的？你有哪个更陡，你是怎样判断的？你有几种判断方法？能与大家交流一下吗？几种判断方法？能与大家交流一下吗？G1、可以从梯子与地面夹角的大小来比较；、可以从梯子与地面夹角的大小来比较；2、可以从夹角的对边与邻边的比值来比较。、可以从夹角的对边与邻边的比值来比较。观察下面两组图观察下面
2、两组图,请你根据数据请你根据数据,判断每组图中的两个判断每组图中的两个梯子哪一个更陡些梯子哪一个更陡些?你是用什么方法判断的你是用什么方法判断的?5m5m2m1m(1)4m3m2m1.2m(2)1、可以从梯子与地面夹角的大小来比较；、可以从梯子与地面夹角的大小来比较；2、可以从夹角的对边与邻边的比值来比较。、可以从夹角的对边与邻边的比值来比较。想一想想一想: (1) 梯子梯子AD如图放置如图放置,梯子与地面形成的角是哪一个梯子与地面形成的角是哪一个? 如果梯子的位置不变如果梯子的位置不变,那么这个角变不变那么这个角变不变? (2) BC:AC与与DE:AE的值有什么关系的值有什么关系?如果改变
3、点如果改变点B在在AD上的位置上的位置,这个比值变不变这个比值变不变? (3)如果改变这个角的大小如果改变这个角的大小,这个比值变不变这个比值变不变?你认为这个比值能用来描述梯子的倾斜程度吗你认为这个比值能用来描述梯子的倾斜程度吗? 在墙角处放有一架较长的梯子，你有什在墙角处放有一架较长的梯子，你有什么方法得到梯子的倾斜程度？么方法得到梯子的倾斜程度？ABCEFABCA的对边的对边A的邻边的邻边 在在RtABC中，如果锐角中，如果锐角A确定，那么确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做比叫做A的正切的正切。 在前面的学习过程中，你认为梯子的倾斜程在前面
4、的学习过程中，你认为梯子的倾斜程度与度与tanA有什么关系？有什么关系？ADC tanA的值越大，梯的值越大，梯子越陡子越陡， A越大越大； A越大越大，梯子越陡，梯子越陡，tanA的值越大的值越大。下图表示两个自动扶梯下图表示两个自动扶梯, ,那一个自动扶梯比较陡那一个自动扶梯比较陡? ?解解: :甲梯中甲梯中: :乙梯中乙梯中: :生活中生活中, ,常用一个锐角的常用一个锐角的正切正切表示梯子的倾斜程度表示梯子的倾斜程度. .tanDtanDtanA,tanA,乙梯更陡乙梯更陡. .5m13mCBA6m8mDFE甲甲乙乙已知：如图，已知：如图，RtRtABCABC和和RtRtDEFDEF中
5、，中，C C=F=90F=900 0，tanA=tanDtanA=tanD，则，则A A与与D D有什么关系？你能得出什么结论？有什么关系？你能得出什么结论？两锐角的正切值相等两锐角的正切值相等, ,则这两个锐角相等。则这两个锐角相等。两个锐角相等两个锐角相等, ,则两锐角的正切值相等。则两锐角的正切值相等。已知：如上图，已知：如上图，RtRtABCABC和和RtRtDEFDEF中，中，C C=F=90F=900 0，A=A=D D，则，则tanAtanA和和tanDtanD有什么关系？你能得出什么结论？有什么关系？你能得出什么结论？ 已知已知AA、BB为锐角为锐角 （1 1） 若若A=A=B
6、 B，则，则tanAtanA tanBtanB； （2 2）若）若tantanA=tanBA=tanB，则，则AA BB。=RtRtABCABCRtRtDEFDEFRtRtABCABCRtRtDEFDEF 判断对错判断对错: : 1 1、如图，如图，tanA= tanA= 错错如图如图 (2) tanA= （ ） (3)tanA= （ ） (4)tanA=0.7m（ ） (5) tanA=0.7或或tanA=-0.7 （ ） (6)tanB= （ ） 3 3、如图、如图, , C=90C=90，CDABCDABACBD( ) ( ) ( )tan=B( ) ( ) ( )子母图子母图tanBt
7、anB的大小只与的大小只与B B的大小有关，而与直角三角形的边长无关。的大小有关，而与直角三角形的边长无关。CDBDACBCADCD 2 2、在、在右右图中求图中求tanAtanA的值的值5、已知、已知 A、 B为锐角为锐角 （1） 若若 A= B，则，则tanA tanB（2）若）若tanA=tanB，则，则 A B。4、在、在Rt ABC中，锐角中，锐角A的对边和邻边同时扩大的对边和邻边同时扩大100倍，倍，tanA的值（的值（ ）A、扩大、扩大100倍倍 B、缩小、缩小100倍倍 C、不变、不变 D、不能确定、不能确定定义中应该注意的几个问题定义中应该注意的几个问题: :1.1.tanA
8、tanA是在直角三角形中定义的是在直角三角形中定义的, ,A A是一个锐角是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）。（注意数形结合，构造直角三角形）。2.tanA2.tanA是一个完整的符号是一个完整的符号, ,表示表示A A的正切的正切, ,习惯习惯省去省去“”号。但号。但tanBAC， tan1中的中的“”不能省略。不能省略。3.tanA3.tanA是一个比值（直角边之比是一个比值（直角边之比. .注意比的顺序注意比的顺序, ,且且tanAtanA0,0,无单位。无单位。4.tanA4.tanA的大小只与的大小只与A A的大小有关的大小有关, ,而与直角三角而与直角三角形的边长无关。形的
9、边长无关。5.5.角相等角相等, ,则正切值相等；两锐角的正切值相等则正切值相等；两锐角的正切值相等, ,则这两个锐角相等。则这两个锐角相等。ABCA的对边的对边A的邻边的邻边 例1：在RtABC中，C=90， (1)AC=3，AB=6，求tanA和tanB(2)BC=3，tanA= ，求AC 和AB。例2、在RtABC中，C=90， AB=15，tanA= ，求AC和BC。D7 7、在等腰、在等腰ABCABC中，中，AB=AC=13AB=AC=13，BC=10BC=10，求求tanBtanB。 ACB1313131310105126 6、在右图中、在右图中, ,若若BD=6,CD=12BD=
10、6,CD=12。求。求tanAtanA的值。的值。 8. 8.如图，如图，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出你能根据图中所给数据求出tanCtanC吗？吗？ ACBD 9 9、在在RtABCRtABC中，中，C=90C=90， (1)AC=(1)AC=2525，AB=AB=2727，求，求tanAtanA和和tanBtanB(2)BC=3(2)BC=3，tanAtanA= =0.60.6，求，求AC AC 和和ABAB。(3)AC=4(3)AC=4，tanAtanA=0.8=0.8，求，求BCBC。 1010、在梯形、在梯形ABCDABCD中，中，AD/B
11、CAD/BC，AB=DC=13AB=DC=13，AD=8AD=8， BC=18BC=18，求，求tanBtanB。 试一试：试一试：在在 ABC中中，D是是AB的中点，的中点，DC AC，tan BCD=0.5，AB=4 ，求，求AC。E100m60m有一山坡在水平方向上每前进有一山坡在水平方向上每前进100m100m就升高就升高60m,60m,求山坡的求山坡的坡度坡度i i。坡度等于坡角的正切。坡度等于坡角的正切。ABCA的对边的对边A的邻边的邻边1、在红顶工程中，要求许多楼顶是人字型并挂红瓦、在红顶工程中，要求许多楼顶是人字型并挂红瓦装饰，现知道楼顶的坡度超过装饰，现知道楼顶的坡度超过1.
12、3时瓦片挂不住。下时瓦片挂不住。下图是某一建筑楼顶的初步设计方案。你根据图图是某一建筑楼顶的初步设计方案。你根据图 中数中数据说明这一建筑的楼顶是否能挂住红瓦？据说明这一建筑的楼顶是否能挂住红瓦？10m12m12cm10cmACBD 3、在、在“小车下滑的时间小车下滑的时间”的实验过程中，如图所的实验过程中，如图所示，小车从斜坡的顶端滑下，已知一次实验的结果是示，小车从斜坡的顶端滑下，已知一次实验的结果是4秒，木板的坡度为秒，木板的坡度为0.75。请你根据图中数据计算小车。请你根据图中数据计算小车的平均速度是多少？的平均速度是多少？36cmABCA的对边的对边A的邻边的邻边 在在RtABC中，
13、如果锐角中，如果锐角A确定，那么确定，那么A的对边与邻边的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做的比便随之确定，这个比叫做A的正切的正切。这个比叫做这个比叫做A的余切的余切。斜边斜边这个比叫做这个比叫做A的正弦的正弦。这个比叫做这个比叫做A的余弦的余弦。锐角锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是的正弦、余弦、正切、余切都是 A的三角函数。的三角函数。ABCa ac cb 锐角锐角锐角锐角A A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做的正弦、余弦、正切、余切都叫做的正弦、余弦、正切、余切都叫做的正弦、余弦、正切、余切都叫做A A的锐角三角函数。的锐角三角函数。的锐角三角函数。的锐角三角函数。定义定义定义定义:
14、 :正切正切tanA=A的对边的对边A的邻边的邻边正弦正弦sinA= 余弦余弦cosA= 余切余切cotA=A的对边的对边斜边斜边A的邻边的邻边斜边斜边A的邻边的邻边A的对边的对边求锐角三角函数值求锐角三角函数值求比值求比值当当RtABCRtABC中的锐角中的锐角A A确定时，确定时， AA的对边和邻边的比是确定的。的对边和邻边的比是确定的。那么那么, ,其他各边之比也确定吗？其他各边之比也确定吗？ca=cb=ba=ab=直角三角形两锐角的关系直角三角形两锐角的关系: :两锐角互余两锐角互余 A+B=A+B=90900 0直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系: : 勾股定理勾股定理 a a
15、2 2+b+b2 2=c=c2 2bABCac直角三角形直角三角形边与角边与角之间的关系之间的关系: :锐角三角函数锐角三角函数正切正切tanA=A的对边的对边A的邻边的邻边正弦正弦sinA= 余弦余弦cosA= 余切余切cotA=A的对边的对边斜边斜边A的邻边的邻边斜边斜边A的邻边的邻边A的对边的对边ca=cb=ba=ab=在在RtABC中，中，C为直角，为直角，A、B为锐角，它们所对的边分别为锐角，它们所对的边分别为为c 、a、b ，其中除直角，其中除直角c 外，其余的外，其余的5 5个元素之间有以下关系：个元素之间有以下关系： 3 3、如如图图所所示示，在在ABCABC中中，C=90C=
16、90, , B=30B=30，AD AD 是是BACBAC的平分线。已知的平分线。已知AB= AB= ，那么，那么AD=AD= . . 41 1、在在RtABCRtABC中中，B=90B=900 0，AC=200AC=200，sinAsinA=0.6=0.6。求求BCBC的长的长. .求求:AB:AB，sinBsinB。2 2、在在RtABCRtABC中中,C=90,C=900 0,AC=10,AC=10,1.1.在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=2,BC= ,AB=2,BC= ,则则 tan =tan = 。 2 2等腰三角形底角为等腰三角形底角为3030，底边长为，底
17、边长为 ，则腰长为，则腰长为 ( ) ( ) A.4 B.A.4 B. C.2 D. C.2 D. C C3.3.如图所示，如图所示，RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=BCAC=BC，点，点D D在在ACAC上，上，CBD=30CBD=30，则，则AD/DCAD/DC的值为的值为( ) ( ) A. A. B. B. C. C. D.D.不能确定不能确定 C4.4.在在ABCABC中，中，C=90C=90，若，若BC=4cmBC=4cm，sinsin= = ， 则则ACAC的长是的长是 ( ) ( ) A.6cm B. A.6cm B. cm C C. cmcmD. cmD.
18、 cmB5.5.如图所示，在如图所示，在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CDCDABAB于于D D，coscos A= A= BD=8BD=8，则，则AC=( )AC=( ) A.15 B.16 A.15 B.16 C.18 D. C.18 D. D一个人先爬了一段一个人先爬了一段45o的山坡的山坡300m后，又爬了一段后，又爬了一段60o的山坡的山坡200m，恰好到达山顶。你能计算出山的，恰好到达山顶。你能计算出山的高度吗？高度吗？ABCD300m200mFE梯子的倾斜程度与梯子的倾斜程度与sinA和和cosA有什么关系？有什么关系？sinA的值越大，梯子越陡；的值越大
19、，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡；的值越小，梯子越陡；如图，在如图，在RtABC中，中，B=90，AC=200， sinA=0.6，求求BC的长的长ABCcosAcosA= = 。sinCsinC= = 。cosCcosC= = 。tanA=tanA= 。cotAcotA= = . .tanCtanC= = 。cotCcotC= = . .你能得出什么结论？你能得出什么结论？课本第课本第9页页如图，如图， sinA= cosA= tanA= cotA=ABCabsinB=cosB=tanB=cotB=cabaabcbbacacbacb观察以上结果，你发现了什么观察以上结果，你发现了什么?
20、 ?1、sin2A+cos2A=同角三角函数之间的关系同角三角函数之间的关系2、cotA=3、tanA=1tanA= 或或 tanAcotA= 1互余两角的正弦、余弦及正切、余切间的关系互余两角的正弦、余弦及正切、余切间的关系sinA=cosB, cosA=sinB sinA=cosB, cosA=sinB tanA=cotBtanA=cotB， cotA=tanBcotA=tanB条件：条件：A+B=9003、cotA=完成下表完成下表角 三角函数sincostan3045 60观察一副三角板观察一副三角板, ,其中有几个锐角其中有几个锐角, ,他们分别等于多少度他们分别等于多少度?1 1、通过这节课的学习活动你、通过这节课的学习活动你有哪些收获？有哪些收获？2 2、对这节课的学习，你还有、对这节课的学习，你还有什么想法吗？什么想法吗？1 1、正切的定义。、正切的定义。2 2、梯子的倾斜程度与、梯子的倾斜程度与tanAtanA的关系。（的关系。（A A和和tanAtanA之间的关系）。之间的关系）。 3 3、数形结合的方法；构造直角三角形的意识；方、数形结合的方法；构造直角三角形的意识；方程思想。程思想。 4 4、“一般一般 特殊特殊 一般一般”的数学思想的数学思想方法。方法。小小 结结
