第 28 章：锐角三角函数一、基础知识1. 定义：如图在△ ABC中，∠ C为直角，我们把锐角∠ A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sinA；sinA= asinAc把锐角∠ A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 cosA；cosbAc把锐角∠ A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 tanA tanaAb把锐角∠ A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作 cosAcosbAa2、三角函数值（1）特殊角的三角函数值角度三角函数0°30°45°60°90°sinA 0 1222321 cosA 1 3222120 tanA 0 331 3不存在（2）锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较：在900A时，随着A的增大，正弦值越来越大，而余弦值越来越小. 即：Asin是增函数，Acos减函数○1锐角三角函数值都是正数○2当角度在090 间变化时 : 正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦、余切随着角度的增大而减小3、 同角、互余角的三角函数关系：1、同角三角函数关系：1cossin22AA.sintancos；coscotsin；tancot1?2、互余锐角的三角函数关系：)90cos(cossinABA，)90sin(sincosABA。
解直角三角形: 由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型已知条件解法 一条边和一个锐角斜边 c 和锐角 A B=90°-A，a=csinA ，b=ccosA， s=c2sinAcosA 直角边 a和锐角 A B=90°-A，b=acotA ，csinaA，21cot2saA两条边两条直角边 a 和 b 22cab，由tanaAb，求角 A，B=90°-A，S=12ab 直角边 a和斜边 c 22bca， 由sinaAc， 求 角 A， B=90° -A， S=12a22ca知识梳理：二、精典例题第一部分：锐角三角函数的运算一、直角三角形中锐角的正弦、余弦的概念与表达式：例 1：如图所示，则EEDDcos,sin,cos,sin [ 考点透视 ] 本例主要是考查锐角三角函数的概念[ 参考答案 ]sinD=3 1313，cosD=2 1313，sinE=2 1313，cosE=3 1313例 2：在ABCRt中，如果各边长度都扩大4 倍，则锐角 A的正弦值和余弦值（）（A）都没有变化（B）都扩大 4 倍（C ）都缩小 4 倍（D）不能确定[ 考点透视 ] 本例主要是考查锐角三角函数的定义和性质，通过计算可以知道正弦值和余弦值 ，只与直角三角形中锐角的大小有关。
[ 参考答案 ]. 故应选 A.例 3：已知：A为锐角，并且5sin12A，则Acos的值为 .[ 考点透视 ] 本例主要是考查锐角三角函数的定义[ 参考答案 ] 12cos13A 例 4：（08 年密云一模）6．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tan∠AOB 的值为Ａ．55Ｂ．2 55Ｃ．12Ｄ．2 [ 考点透视 ] 本例主要是考查锐角三角函数的定义[ 参考答案 ] D 例 5：.某地有一居民楼,窗户朝南 ,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为(如图 1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD. 要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光, 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据 :∠α =24 °36′,∠β =73°30′,小明又得窗户的高 AB=1.65m. 若同时满足下面两个条件,(1) 当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图 ), 帮助小明算一算,遮阳篷 BCD 中,BC 和 CD 的长各是多少 ?(精确到 0.01m) 以下数据供计算中选用sin24°36′ =0.416 cos24°36′=0.909 tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184 sin73°30′ =0.959 cos73°30′=0.284 tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296 [ 考点透视 ] 本例主要是考查数形结合，构建直角三角形，再应用转化思想，使已知角得到转化，即可求得 BC 、CD的长A B O [ 参考答案 ].解 :在Rt△ BCD中 ,tan∠CDB=,∠ CDB= ∠α, ∴BC=CD ·tan∠ CDB=CD ·tanα. 在 Rt△ACD 中,tan∠CDA=,∠CDA= ∠β , ∴AC=CD ·tan∠CDA=CD ·tanβ∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD · tanα=CD(tan β-tanα). ∴CD=≈0.57(m). ∴BC=CD · tan∠CDB ≈0.57×0.458≈ 0.26(m). 答:BC 的长约为0.26m,CD 的长约为0.57m. [ 说明] 求解时应特别注意发挥数形结合的作用. 例 6：已知 2+3是方程01sin52xx的一个根，求cos的值（为锐角） . [考点透视 ]这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径．[ 参考答案 ]13cos5。
二、特殊角的正弦余弦值：例 7：求下列各式的值：（1）02026045cossin；（2）0000030454906045cossinsinsincos. [ 考点透视 ] 本例主要是考查特殊角的三角函数值，注意sin90 °=1[ 参考答案 ] （1）34， （2）-2例 8： （08 年顺义一模）19．已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，连结CE． 求ACEsin和ACEtan的值．[ 考点透视 ] 本例主要是考查角的三角函数值的定义及在四边形中应用解：过点E作ACEF于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴ACDBAD,90,90平分BAD，DCAD．∴45CAD，ADAC2．∵E是AD中点，∴ADDEAE21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分设xDEAE，则xDCAD2，xAC22，xCE5．在 Rt△AEF 中，xCADAEEF22sin，xEFAF22．⋯⋯ 2 分∴xxxAFACCF2232222．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴1010522sinxxCEEFACE，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分EDCBAFABCDE 3122322tanxxCFEFACE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分三、解直角三角形例 9（08 年平谷二模）19．如图，在某区某建筑物AC上，挂着“抗震救灾，众志成城”的宣传条幅BC ，小明站在点 F 处， 看条幅顶端B， 测得仰角为30. 再往条幅方向前行20 米到达点E处，看条幅顶端B， 测得仰角为60，求宣传条幅BC的长 .( 小明的身高不计，结果精确到1 米; 可能用到的数据41.12,73.13）[ 考点透视 ] 主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用解： 19． 解：依题意∠F=30°，∠ BEC=60 ° .∴∠ FBE= ∠BEC-∠F=60°-30° =30°. ∴EF=EB=20. 在 Rt△BEC中∵∠ BCE=90 °, ∴sin ∠ BEC=BECB. ∴BEBECsinCB=sin60 °× 20=10317. 答：宣传条幅BC的长约为17 米. 例 10 一艘船向正东方先航行，上午10 点在灯塔的西南方向k海里处，到下午2 点时航行到灯塔的东偏南60°的方向，画出船的航行方位图，并求出船的航行速度．[ 考点透视 ] 主要考察解直角三角形中方向角的应用解： 如图，依题意，灯塔位于P点，船丛A点向东航行， 12 点到达C点，且有PB⊥AC，A＝45°，∠BPC＝30°；于是，在 △ABP中，有AB＝PB＝AP cos45°＝kk2222. 在△PBC中，又有BC＝PB tan30°＝663322kk，所以AC＝kkk66236622. 可知船的航行速度为2462346623v．第二部分：锐角三角函数的应用NPABC 30°45°EDCBA一、 锐角三角函数的应用例 11．如图所示，设A城气象台测得台风中心在A?城正西方向600km的 B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60°的 BF方向移动，距台风中心500km? 的范围内是受台风影响的区域．（ 1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（ 2）若 A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？(08 年门头沟二模) 18．如图，小明想测量塔BC 的高度．他在楼底A 处测得塔顶B 的仰角为 60o；爬到楼顶D 处测得大楼AD 的高度为 18 米，同时测得塔顶 B 的仰角为 30o，求塔 BC 的高度．[ 考点透视 ] 主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用解: 设 BE=x 米．在 Rt△ BDE 中，∵tan 30BEDEo， ∴33xDE．∴ DE=3x．∵ 四边形 ACED 是矩形，∴ AC=DE=3x，CE=AD=18 ．在 Rt△ABC 中，∵tan60BCACo， ∴1833xx∴ x=9 ．∴ BC=BE+CE=9+18=27( 米)．例 2（08 年平谷一模） 17．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78 米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29 米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin 270.45o，cos270.89o，tan270.51o）[ 考点透视 ] 主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用解：作CDAC交AB于D, 则27CABo∠．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分在RtACD△中， CD＝AC·tan∠CAB · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 分＝4×0.51＝2．04（米） ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 分所以小敏不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险．· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 分二、综合问题例 3（08 年顺义二模） 20．一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD ，如图所示，其中背水面为 AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45°改为 30°，若测量得AB= 20 米，求整修后需占用地面的宽度 BE 的长．（精确到 0.1 米，参考数据：21.414 ,31.732 ,62.449）[ 考点透视 ] 主要考察解直角三角形中坡度、坡脚、坡距的应用解：过点A 作 AF⊥BC，垂足为F．在 Rt△ABF 中，∵∠ ABF= 45°， AB= 20，∴二楼一楼4m A 4m 4m B 27°C DCBAF30°45°EDCBA2sin 452010 22AFAB．∴102BFAF．在 Rt△AEF 中，∠ EAF= 90°- ∠E= 90°-30°= 60°．∴tan6010 2310 6EFAF．∴10 610210(62)10(2.4491.414)10.4BEEFBF（米）．答：整修后需占用地面的宽度BE 的长约为10.4米．例 418. 已知：如图5，梯形 ABCD 中， AD ∥BC，∠ ADC=120 ° ，AD=5 ，CD=6，tanB=3，求：梯形 ABCD 的面积。
[ 考点透视 ]：解直角三角形在四边形中的应用，解此类问题通常是构建直角三角形，然后利用解直角三角形解答解：过 D 做 DM ⊥BC 于 M，过 A 做 AN ⊥BC 于 N 则∠ DMC= ∠ANB=90 ° ∴四边形 ANMD 为矩形∴ AD=MN=5 ∵等腰梯形ABCD ， AD∥BC， AB=CD ， ∠ADC=120 ° ∴∠ DCB=60 °AN=DM ， 在 Rt△CDM, ∠CDM=30° ,CD=6∴CM=3 , DM=33在 Rt△ABN, tanB=3=BNAN设 AN=3k , BN=k ∵DM=AN=33∴k= 3∴S梯形ABCD=29339233)3535(2)(DMBCAD注：关于解直角三角形的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解．三．适时训练（一）精心选一选1． （08 年通州一模） 7. 如图 , AB 是⊙ O 的直径 , CD 是弦 , 且 CD⊥AB, 若 BC=8, AC=6, 则 sin ∠ABD 的值为A. 43B. 34C. 45D. 352．已知 Rt△ABC中，∠ C=90 °， AC=2 ，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=23 B．cosB=23 C．tanB=23 D．tanB=32 ABC3．点（ -sin60 °， cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（）A． （32，12） B． （-32，12） C ． （-32，-12） D． （-12，-32）4．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．?某同学站在离旗杆12 米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高1.6 米，则旗杆的高度约为（） A．6.9 米 B ．8.5 米 C ．10.3 米 D．12.0 米5．某地夏季中午， 当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°，房屋朝南的窗子高AB=1.8m ；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC ，?使午间光线不能直接射入室内（如图 6 所示） ，那么挡光板AC的宽度应为（）A．1.8tan80 °m B． 1.8cos80 °m C ．1.8sin80m D．1.8cot80 °m 6．如图 ,测量人员在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°, 沿着倾角为30°的山坡前进1 000m 到达 D 处,在 D 处测得山顶B 的仰角为60°, 则山的高BC 大约是 (精确到 0.01)( ). A.1 366.00m; B.1 482.12m; C.1 295.93m; D.1 508.21m 7． 如图 5 所示，在 300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30?°和 60°，则塔高 CD为（） A．200m B． 180m C． 150m D．100m 8、 （08 年西城二模） . 在Rt ABC中,90C,sinA=35,则 cosB=（ ）. A. 53B. 45C. 34D. 359、 （07 年昌平一模） 5.三角形在正方形网格中的位置如图所示，则cosa的值是（）A.B. C. D.10 、（ 07年 昌 平 二 模 ） 7 ． 已 知 在ABC中 ，A、B都 是 锐 角 ，231sincos022AB，则C的度数是Ａ． 30°Ｂ． 45°Ｃ． 60°Ｄ． 90°11、 （07 年朝阳一模）7．在 Rt△ABC 中，∠ C=90°， sinA=54，则 tanB 的值为A．34B．43C．53D．5412、.如图 ,测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度 ,选 M 点作为观测点 ,从 M 点测量山顶P 的仰角 (视线在水平线上方 ,与水平线所夹的角)为 30°, 在比例尺为1:50 000 的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm, 则山顶 P的海拔高度为( ) A.1 732m; B.1 982m; C.3 000m; D.3 250m 13（07 年海淀二模） 6.某资料中曾记载了一种计算地球与月球之间的距离的方法：如图 2，假设赤道上一点D 在 AB 上，∠ ACB 为直角，可以测量∠A 的度数，则AB 等于（）A. cosACAB. cos AACC. sinACAD. sin AAC14（07 年怀柔一模） 7、根据右图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是A、0.43 B、0.26 C、0.90 D、223 15（07 年怀柔二模） 7、一架飞机在800 米的高度观察到底面上一导航灯的俯角为，则此时飞机与该导航灯的距离是A、800sin米B、800cos米C、800tg米D、800ctg米（二）细心填一填16． (08 年宣武一模 )10、 如图， 在△ ABC中， ∠C=90°， AB=10㎝， sinA=45， 则 BC的长为㎝。
答案：（8）17．计算 2sin30 ° -2cos60 °+tan45 °=________． 答案： 118．在△ ABC中，若 BC=2，AB=7，AC=3 ，则 cosA=________．答案：2319．如图 2 所示， 太阳光线与地面成60°角， 一棵倾斜的大树与地面成30°角， ?这时测得大树在地面上的影子约为10 米，则大树的高约为________米． （ ?保留两个有效数字，2≈1.41 ，3≈1.73 ）答案： 17 米20．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，?需要修一个如图3 所示的育苗棚，棚宽a=3m ，棚顶与地面所成的角约为30°，长 b=9m ，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m2．答案：18 3米21（07 年延庆二模） 3. 在Δ ABC 中，∠A和∠ B都是锐角， 且21sin A，22cosB，则Δ ABC三个角的大小关系是答案：∠C>∠B>∠A 三、认真答一答22．如图 ,在△ ABC 中,AD 是 BC 边上的高 ,tanB=cos∠DAC. (1)求证 :AC=BD; (2)若 sinC=,BC=12,求 AD 的长 . 答案 .(1)证明 :在 Rt△ABD和 Rt△ADC中, ∵tanB=,cos∠ DAC=, 又 tanB=cos∠ DAC, ∴=, ∴AC=BD. (2)解:在 Rt△ADC 中,由 sinC=,可设 AD=12k, 则 AC=13k, 由勾股定理,得CD=5k,又由(1)知BD=AC=13k, ∴13k+5k=12,解得 k=, ∴AD=8. 23．.已知 ,如图 ,A、B、C 三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km. 在 B 村的正北方向有一个D 村,测得∠DAB=45 ° ,∠DCB=28 °, 今将△ ACD 区域进行规划 ,除其中面积为0.5km2的水塘外 ,准备把剩余的一半作为绿化用地 ,试求绿化用地的面积.(结果精确到0.1km2,sin28° =0.469 5,cos28°=0.882 9, tan28° =0.531 7,cos28°=1.880 7) 答案 :在 Rt△ABD 中 ,∵∠ ABD=90 °,∠DAB=45 °, ∴∠ ADB=45 °,∴ BD=AB=2km. 在 Rt△BCD 中, ∵cot ∠ BCD=, ∠ DCB=28 ° , ∴ BC=BD.cot ∠ BCD=2cot28 ° ≈3.75(km). ∴S△ACD=AC·BD ≈5.76(km2). ∴S 绿地≈ 2.6km2.答:绿化用地的面积约为2.6km2. 24．我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长 96m 的一堤段 (原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1 改成 1:2,已知原背水坡长AD=8.0m, 求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数 据:) 答案 :如图 ,作 EG⊥FB 于 G,DH⊥FB 于 H,记堤高为h,则 EG=DH=h. 由 tan∠ DAH=1:1=1, 得∠ DAH=45 °. ∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8×, ∴ AH=DH=, 由 tan∠ F=EG:FG=1:2, 得 FG=2EG=2h=, ∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(+ED)- DA=+1.6, ∴ 海 堤 断 面 增 加 的 面 积S 梯 形FADE=(ED+FA) · h≈6.4×1.41+16≈25.0(m2) ∴工程所需土方=96×S梯形 FADE≈96× 25.0=2 400=2.4×103(m3). 答:完成这工程约需土方2.4×103m3. 25（08 年延庆一模）18．如图 7，等腰梯形ABCD 中， AD ∥BC， AB=CD ，∠ ACB=45°，翻折梯形ABCD ，使 点 C 重合于点A，折痕分别交边CD、BC 于点 F、E，若 AD=3 ，BC=12，求： （1）CE 的长； （2）∠ BAE 的正切值．答案 ：∵翻折梯形ABCD ∴∠ ACE= ∠EAC=45 ° ，AE=EC ∴∠ AEB= ∠AEC=90 °⋯⋯⋯⋯⋯1分过 D 做 DM ⊥BC 交 BC 于 M，则∠ DMB=90 °∴四边形 AEMD 为矩形∴ AD=ME=3 ∵等腰梯形ABCD ， AD ∥BC，AB=CD ∴∠ ABC= ∠ DCB AE=DM ，⋯⋯⋯⋯2 分在△ABE 和△DMC ∠AEB= ∠DMC =90 °AB=CD AE=DM ∴ △ABE≌△ DMC ∴BE=CM ∴BE=CM =(12-3)÷ 2=4.5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴CE=7.5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分在△BAE 中， tan∠BAE=535.75.4CEBEAEBE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分26（08 年通州二模） 22. （本小题满分4 分） 一筑路工程需要测量某河段的宽度.如图①，一测量员在河边的A处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100 米到达点C处，测得68ACB. （1）求所测之处的河宽（.48.268tan,37.068cos,93.068sin） ；（2）除 (1) 的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形.22． （1）在BACRt中，68ACB，∴24848.210068tanACAB（米）答案 ：所测之处的河宽约为248 米（ 2）表述无误，从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即得满分.27（09 年海淀一模） 19、如图，已知AB 为⊙ O 的弦， C 为⊙ O 上一点，∠ C=∠BAD ，且 BD⊥AB 于 B. （ 1）求证： AD 是⊙ O 的切线；（ 2）若⊙ O 的半径为3，AB=4，求 AD 的长 . 答案 （ 1）证明 : 如图 , 连接 AO 并延长交⊙ O 于点 E, 连接 BE, 则∠ ABE=90°. ∴ ∠EAB+∠E=90°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∵ ∠E = ∠C, ∠C=∠BAD ，∴ ∠EAB+∠BAD =90° . 图 7 ABCDOEABCDO ∴ AD 是⊙ O 的切线 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分（2）解：由（ 1）可知∠ ABE=90°. ∵ AE=2AO=6, AB=4, ∴5222ABAEBE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∵ ∠E= ∠C=∠BAD , BD⊥AB, ∴.coscosEBAD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴.AEBEADAB.6524AD即∴5512AD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分28（08 年昌平区二模）18．北京的 6 月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间．．．点 A 的位置，观测小亭子顶端B 的仰角∠ BAC＝60°，观测小树尖D 的仰角∠ DAE＝ 45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC 的长． ( 结果精确到0.1 ．41. 12，73.13)答案 ．解：根据题意得：∠C=∠E=90°. 在 Rt△ADE 中，∠ DAE=45°，∠ E=90°, ∴ ∠D=∠ DAE=45°. ∵ DE=2, ∴ AE=DE=2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∵ A 为 CE 的中点 , ∴ AC=AE=2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分在 Rt△ACB 中，∠ BAC=60°，∠ C=90°, ∴3tanACBCBAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴BC=32.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴BC≈2×1.73≈3.5 . 答：小亭子高约为3.5 米. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分29．如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是弦，点 D 是?BC的中点，DPAC,垂足为点P.（ 1）求证： PD 是⊙ O 的切线 . （ 2）若 AC=6, cosA=35，求 PD 的长 .得分EDACBA B C D E DBOCAP 答案 .（1）证明：如图：连接OD，AD . ∵ D 为弧 BC 的中点，∴弧 CD = 弧 BD.∴1122PAB. ∵122BOD，∴PABBOD. ∴ P A∥DO . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∵ DP⊥AP，∴∠ P=90°. ∴∠ ODP=∠P=90° . 即OD⊥ PD. ∵点 D 在⊙ O 上，∴ PD 是⊙ O 的切线 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分（ 2）连结 CB 交 OD 于点 E. ∵ AB 为⊙ O 直径，∴∠ ACB =∠ECP=90°. ∵∠ ODP=∠P=90°，∴四边形PCED 为矩形 . ∴ PD = CE，∠ CED = 90°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴ OD⊥CB.∴ EB = CE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分在 Rt △ABC 中，∠ ACB= 90°，∴ cosA = ABAC. ∵ AC = 6 , cosA = 53，∴ AB = 10 . ∴ BC = 8 . ∴ CE=PD=21BC = 4. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分30．已知：如图，AB 为⊙ O 的直径， AC、BC 为弦，点P为上一点， AB=10 ，AC∶BC=3∶4．（1）当点 P 与点 C 关于直线 AB 对称时（如图①） ，求 PC 长；（2）当点 P为的中点时（如图②） ，求 PC 长．答案：(1)在⊙O 中，如图①∵ AB 是直径，∴∠ ACB＝90゜．∵点 P 与点 C 关于 AB 对称, ∴PC⊥AB，且 CD＝DP．∴由三角形面积得：BCACABCD∵AB ＝10，4:3BC:AC， ∴由勾股定理求得AC ＝6， BC＝8． ∴CD＝8.41086． ∴PC＝2CD＝6 .9．(2) 过点 B 作 BE⊥PC 于点 E，连结 PB 由(1)得 AC＝6，BC＝8．∵点 P 为的中点， ∴∠ ACP＝∠ BCP＝45°得分12PACOBDE 在 Rt△BEC 中，可求得CE＝BE＝24∵∠ A＝∠ P，∠ ACB＝∠ BEC＝90°， tan∠P=an∠A．∴EPBEACBC．∴238246BCBEACEP．∴ PC＝CE＋EP＝272324．31（08 年大兴区一模）如图，某人在A处测得电视塔尖点C的仰角为 60o，沿山坡向上走到P处，测得点C的仰角为 45o，已知100OA米，山坡坡度为12（即1tan2PAB）且点 O、A、B 在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P到 OB 的距离．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）. 答案 ．解：由题意知，OBCO，过 P 作 PE⊥OB 于点 E，PF⊥CO 于点 F，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∴∠ FOE=∠OEP=∠PFO=90°∴PFOE 为矩形 . ∴PF=OE，FO=PE. 在 Rt△AOC 中， AO=100，∠CAO=60°，∴CO=AO· tan60°=1003（米）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∵tan∠PAB=21AEPE∴设 PE=x,AE=2x. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴PF=OE=OA+AE=100+2xPE=OF= x ∴FC=OC－OF=x3100在 Rt△PCF 中，由题意知∠CPF=45°，∴FC=PF. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴xx31002100，解得3) 13(100x（米） . 答：电视塔OC 高为3100米，点 P 到 OB 距离为3)13(100米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分32. 如图，⊙ O 的直径 AB 交弦 CD 于点 M，且 M 是 CD 的中点 . 过点 B 作 BE∥ CD，交 AC 的延长线于点E. 连接 BC．（1）求证： BE 为⊙ O 的切线；EBCA （2）如果 CD=6，tan∠BCD=21，求⊙ O 的直径的长．答案 （ 1）证明：∵ AB 是⊙ O 的直径， M 是 CD 的中点，∴CD⊥AB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∴∠ AMC＝90°. ∵BE∥CD，∴∠ AMC＝∠ ABE. ∴∠ ABE＝90°，即 AB⊥ BE. 又∵ B 是⊙ O 上的点，∴BE 是⊙ O 的切线 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分（ 2）∵ M 是 CD 的中点， CD=6，∴CM=12CD=3. 在 Rt△BCM 中，∵tan∠BCD=BMCM=12, ∴3BM=12, ∴BM=32. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分又∵ AB 是⊙ O 的直径，∠ACB＝90°. ∵CM⊥AB 于 M，∴Rt△AMC∽Rt△CMB . ∴AMCMCMBM, ∴2CMAMBM . ∴2332AM. ∴AM=6. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴AB=AM+BM=6+32=152. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分即：⊙ O 的直径的长为152. 33（08 年大兴区二模）17. 如图 , 电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45角，60A，mCD4，mBC)2264(，则电线杆AB的长为多少米？ 答案解： 延长 AD 交地面于 E， 作 DF⊥BE 于 F， ∵∠ DCF=45°， 又 CD=4， ∴CF=DF=22，由题意知 AB ⊥BC，∴∠ EDF=∠A=60°，∴∠ DEF=30 °∴ EF=62，BE=BC+CF+FE=66.在 Rt△ABE 中，∠ E=30°，所以AB=BEtan30°=263366（m）.∴电线杆 AB 的长为62米.34（本题满分5 分）如图，AB是半⊙ O的直径，弦AC与AB成 30°的角，CDAC. （1）求证：CD是半⊙ O的切线；（2）若2OA，求 AC的长 . 答案．（1） 连结 OC∵OA=OC， ∠A=30°∴∠ A=∠ACO=30°∴∠ COD=60°又∵ AC=CD， ∴∠ A=∠D=30°.∴∠ OCD=180°－60°－ 30°=90°∴ CD 是半⊙ O 的切线（ 2）连结 BC∵AB 是直径，∴∠ACB=90°在Rt△ ABC 中，∵ cosA=ABACAC=ABcosA=4 ×3223∴AC=3235（08 年东城区二模）20. 如图，AB，两镇相距60km，C镇在A镇的北偏东60o方向， 在B镇的北偏西30o方向．C镇周围 20km的圆形区域内为文物保护区，有关部门规定，该区域内禁止修路．现计划修筑连接AB，两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？( 31.7)答案：作CDAB于D，由题意知：30CABo∠60CBAo∠90ACBo∠30DCBo∠．在RtABC△中，1302BCAB．在RtDBC△中，cos30CDBCo3302=15 315 320,Q答：这条公路不经过该区域．36. 如图，已知等边△ABC ，以边 BC 为直径的半圆与边AB、AC 分别交于点D、点 E。
过点 D 作 DF⊥AC ，垂足为点 F.（1）判断 DF 与圆 O 的位置关系，并证明你的结论；（2）过点 F 作 FH⊥ BC，垂足为点H若等边△ ABC 的边长为4，求 FH 的长（结果保留根号） 北北ACB60o30o20 D A F E B O H C (第 21 题图 ) 东北答案： 在梯形 ABCD 中， AD ∥BC， AB=5， tanB=43，∠ ACB=450，AD=2 ，求 DC 的长 . 过点 A 作 AE⊥ BC 于 E， AF∥DC,交 BC于 F.在 Rt△AEB 中， ∠ AEB=90 ° , tanB=AEBEQtanB=43∴AEBE=43设 AE=4x, 则BE=3x222AEBEABQ∴222(4 )(3 )5xx∴x=1∴AE=4,BE=3 在 Rt△AEC 中 , ∠AEC=90 ° ,∠ ACE=45 ° ∴∠ CAE=45 ° ∴AE=EC=4QAF∥DC ,AD ∥BC ∴四边形ADCF 为平行四边形∴AF=CD,CF=ADQAD=2 ∴CF=2∴EF=CE-CF=4-2=2 在 Rt△ AEF 中, ∠AEF=90 ° ,由勾股定理得AF=2 5∴DC=2 5. 37（08 年房山区一模）在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条河的宽．如图所示，一学生在点A 处观测到河对岸水边有一点C， 测得 C 在北偏东59o的方向上， 沿河岸向东前行20 米到达 B 处，测得 C 在北偏东45o的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：531tan59,tan31,sin 31352ooo）答案：过点 C 作 CD⊥AB 于 D．---------1 分设 CD=x，在 Rt△BCD 中,∠CBD=45o, ∴BD=CD=x.--------------------------2分在 Rt△ACD 中,∠DAC=31o, AD=AB+BD=20+x ，CD=x ∵tanCDDACAD∴3520xx-------------------------------------------------------------------------4分∴30x答：这条河的宽度约为30米．-------------------------------------------------5分38（08 年房山区一模）19． （本小题满分 5 分）如图，△DEC 内接于⊙ O，AC 经过圆心 O交Oe于点 B，且 AC⊥DE，垂足为 F ，连结 AD、BE，若1sin2A，∠BED=30°．（1）求证： AD 是⊙ O 的切线；A B C D E O F CDABCDAB （2）DCE△是否是等边三角形？请说明理由；（3）若Oe的半径2R，试求 CE的长．答案：（1）连接 OD ．---------------------------------------------------------1分∵30BEDo，60AODo，∵1sin2A∴∠A=30o∴∠A+∠AOD=90o∴∠ADO=90o∴ AD 是⊙O 的切线． --------------------------------------------------------------2分（2）DCE△是等边三角形．理由如下：BCQ为Oe的直径且 ACDE ．??CECD．CECD ．-----------------------------------------------------------------------------3分BCQ是Oe的直径，90BECo，30BEDoQ，60DECo，DCE△是等边三角形． -------------------------------------------------------------4分（3）QOe的半径2R．直径4BC∵△DCE 是等边三角形，∴∠EDC=60o∴∠EBC=60o在 RtBEC△中，sinCEEBCBC，sin 60CEBCo3422 3---------------------------------------------------5分 ABCD39（08 年丰台区一模）如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点处有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1 号救生员从A 点直接跳入海中；2 号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑50 米到 C 点，再跳入海中；3 号救生员沿岸边向前跑200 米到离 B 点最近的D 点，再跳入海中．若三名救生员同时从A点出发，他们在岸边跑的速度都是5 米/秒，在水中游泳的速度都是2 米/秒，∠ BAD=45°，请你通过计算说明谁先到达营救地点B．答案： 在△ ABD 中，45A，90D, 200AD．∴00 2cos45ADAB＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分tan45200BDAD＝．在BCD△中，200 50150CD∴2222200150250BCBDCD．⋯⋯⋯⋯⋯2分∴ 1 号救生员到达B 点所用的时间为2002100 22（秒）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分2 号救生员到达B 点所用的时间为502501012513552（秒） ，3 号救生员到达B 点所用的时间为20020040 10014052（秒） ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分1351401002Q，∴ 2 号救生员先到达营救地点B． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分40（07 年昌平二模） 18．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量一棵银杏树AB的高，他们来到与银杏树在同一平地且相距18 米的建筑物CD上的 C处观察，测得银杏树顶部A的仰角为 30°、底部B的俯角为45°. 求银杏树AB的高（精确到1 米）.（可供选用的数据：7 .13,4.12） . 答案：130 ,245 ,4590ABDCDBooo BD=18 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∴∠ DCB= ∠DBC=45oMDCBA 54321MABCD∴CD =BD =18 ∴四边形CDBM 是正方形∴CD=BM=CM=18⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分在Rt ACMV中tan1AMCM∴3tan30186 33AMCMog⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴186 3ABAMBM⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分28AB（米）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分答：银杏树高约28 米. 41（07 年昌平二模） 24．△ ABC 中，∠ BAC=9 0°， AB=AC ，点 D是 BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点 D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB 、AC于 E、F . （1）如图 1，观察旋转过程，猜想线段AF与 BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图 2，若连接EF，请探索线段BE 、 EF、FC之间的关系；（3）如图 3，若将“ AB=AC ，点 D是 BC的中点”改为： “∠ B=30°， AD ⊥ BC于点 D” ，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值 . 答案：（1）结论： AF=BE ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分连接 AD ∵AB=AC ，∠ BAC=9 0°，点 D是 BC的中点∴AD=BD=DC=12BC ，∠ADB= ∠ADC=9 0°∴∠ B=∠C=∠1=∠2=45°∴∠ 3+∠5==90°∵∠ 3+∠4==90°∴∠ 5=∠4 ∵ BD=AD ∴∠ B=∠2 ∴BDEADFVV∴BE=AF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（2）由（ 1）BE=AF 又∵ AB=AC ∴AE=CF 在Rt AEFV中，222EFAEAFEFDCBAEFDCBAEFDCBA图 1 图 2 图 3 EFCDBA ∴222EFBEFC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（3） （1）中的结论BE=AF不成立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分∵∠ B=30°， AD ⊥BC于点 D，∠ BAC=90 °∴∠ 3+∠5==90°，∠B+∠1==90°∵∠ 3+∠4==90°，∠ 1+∠ 2==90°∴∠ B=∠2 ，∠ 5=∠4 ∴BDEV∽ADFV∴3tan303AFADBEBDo⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分42 （09 大兴二模） 23． 如图所示， 在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形， BC∥ OA ， OA=7 ， AB=4 ， ∠ COA=60 °，点 P为 x 轴上的—个动点，但是点P不与点 0、点 A重合．连结CP ， D 点是线段AB上一点，连PD. (1) 求点 B的坐标； (2)当点 P运动到什么位置时，△ OCP 为等腰三角形，求这时点P的坐标；(3) 当∠ CPD= ∠OAB ，且ABBD=85，求这时点P的坐标 . 答案：（1）作 BQ⊥x 轴于 Q.∵四边形 OABC 是等腰梯形，∴∠BAQ=∠COA=60°在 Rt△BQA 中， BA=4，∴BQ=AB· sin∠BAO=4×sin60°=32AQ=AB· cos∠BAO=4×cos60°=2， ∴OQ=OA －AQ=7 －2=5 点 B 在第一象限内，∴点B 的坐标为（ 5，32）（2） 若△ OCP 为等腰三角形， ∵∠ COP=60°，∴△ OCP 为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形若△OCP 为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点 P 在 x 轴的正半轴上，∴点 P 的坐标为（ 4，0）若△ OCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P 在 x 轴的负半轴上，且OP=OC=4∴点 P 的坐标为（－4，0）∴点 P 的坐标为（ 4，0）或（－ 4，0）（3）∵∠ CPA=∠OCP+∠COP 即∠ CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP而∠ CPD =∠OAB= ∠COP=60°∴∠ OCP=∠DPA∵∠ COP=∠BAP∴△ OCP∽△ APD∴APOCADOP∴OP·AP=OC·AD∵85ABBD∴BD=85AB=25，AD=AB －BD=4 －25=23∵AP=OA－OP=7－OP∴OP（7－ OP）=4×23解得 OP=1 或 6∴点 P 坐标为（ 1， 0）或（ 6，0）ABCDFE54123 图 24-1 图 24-2 图 24-343 （09 昌平二模） 18． 如图，点P在半Oe的直径BA的延长线上，2ABPA，PC切半Oe于点C， 连结BC. （1）求P的正弦值；（2）若半Oe的半径为2，求BC的长度 . 答案：（1）证明：如图，连接OC．∵PC切半Oe于点C，90PCO．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∵2ABPA，PAOAOBOC．在RtPCO△中，1sin2OCPOP． ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 分（2）过点O作ODBC于点D，则2BCBD． ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 分1sin2PQ，30P，60POC．∵OCOB，30BOCB．在RtOBD△中，2OB，cos303BDOBg． ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 分2 3BC．44、(8 分)如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到 N的走向为南偏东30°，在 M的南偏东 60°方向上有一点A，以 A为圆心， 500m为半径的圆形区域为居民区。
取 MN 上另一点 B，测得 BA的方向为南偏东75°. 已知 MB=400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？答案： 不会穿过居民区过 A 作 AH ⊥MN 于 H，则∠ ABH=45 °， AH=BH 设 AH=x ，则 BH=x ，MH=3x=x+400 ，∴ x=2003+200=546.1＞500∴不会穿过居民区CBAOPDCBAOP 45、(10 分 )如图，点 A(tan α，0) ，B(tan β， 0)在 x 轴的正半轴上，点A 在点 B 的左边，α、β是以线段AB为斜边、顶点C在 x 轴上方的 Rt△ABC的两个锐角； (1)若二次函数y=－x2－25kx+(2+2k －k2) 的图象经过A、B 两点，求它的解析式 (2)点 C在(1) 中求出的二次函数的图象上吗?请说明理由答案： tanα· tanβ=k2―2k―2=1 ∴k1=3（舍） ，k2=－1 ∴解析式为y=― x2+25x―1 （2）不在46． （1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图 1 放置，点BAD， ，在同一条直线上．那么点C，A， E 在同一条直线上；①在图 1 中，作ABC的平分线BF，过点D作DFBF⊥，垂足为F；②猜想：线段BFCE，的关系，结论是：. （2）将（ 1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2, 连结 CE，请问你猜想的 BF 与 CE 的关系是否仍然成立？若成立，请证明,若不成立，请说明理由. 答案：（1）①画图．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分②结论是：BF⊥CE，BF=21CE．⋯⋯⋯⋯⋯3 分（ 2）如图 .①证明BF=21CE. ∵BF为∠ABF的平分线 , ∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABF=45°. ∵DF⊥BF, ∴∠F=90°．∵点B,A,D在同一条直线上, ∴△BFD为直角三角形. 得分得分得分DBAEC图 2 图 1 CEABDFHCEABD ∴ cos∠FBD=BDBF. ∴BF=22BD．又∵ Rt△ABC≌Rt△EDA, ∴BC=AD,BA=DE. 设BC=AD=a,BA=DE=b, ∴BD=a+b. ∴BF=22ba．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分过E作EH∥BD交CB的延长线于H. ∵∠CBA=90°, ∠ADE=90°，∴∠CBA=∠ADE．∴CH∥DE．∴四边形BHED为矩形 . ∴BH=DE=b,HE=BD=a+b. ∴CH=a+b．∴△HCE等腰直角三角形. 由勾股定理 , 得CE=ba2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分∴BF=CE21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分②证明BF⊥CE．∵ Rt△CHE是等腰直角三角形, ∴∠HCE=∠HEC=45°. ∵∠FBC=45°, ∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分∴BF⊥CE, BF=21CE仍然成立 . 47.已知抛物线y=- x2+mx-n 的对称轴为x=- 2，且与 x 轴只有一个交点. （ 1）求 m，n 的值；（ 2）把抛物线沿x 轴翻折，再向右平移2 个单位，向下平移1 个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；（ 3）已知 P 是 y 轴上的一个动点，定点B 的坐标为（ 0， 1） ，问：在抛物线C 上是否存在点D，使△ BPD为等边三角形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：： （1）∵抛物线的对称轴为2x，∴4m．----------------------------1分∵抛物线与x轴只有一个交点，∴0422nm．∴4n．---------------------------2分（2）∵4m，4n，∴442xxy．∴2)2(xy． ∴抛物线C的解析式为12xy．---------------------------3分（3）假设点D存在，设D),(ba．作yDH轴于点H，如图．则DH︱a︱，BH︱b－1︱．由△ DPB 为等边三角形，得 Rt△DHB 中，∠ HBD =60°．∴BHDH60tan．∴13ba．∴22)1(3 ba．∵D),(ba在抛物线C上 ，∴12ab．∴1)1(32bb．∴2b或31b．∴3a或332a．∴满足条件的点存在，分别为)31,332(),31,332(),2, ,3(),2 ,3(4321DDDD．--------------------7分48．已知：如图，一等边三角形ABC 纸片的边长为2a，E 是 AB 边上一动点，（点 E 与点 A、B 不重合），过点E 作 EF∥ BC，交 AC 于点 F，设 EF=x. （1）用 x 的代数式表示△AEF 的面积；（2）将△ AEF 沿 EF 折叠，折叠后与四边形BCFE重叠部分的面积为y，求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围 . 答案：(1) 解：在等边△ ABC 中作 AD⊥BC 于 D，交 EF 于 H∴BD=DC=aBC21又∵ABDtantan60°=BDAD∴AD=3a⋯⋯⋯ 1 分∵EF∥BC AEF∽ABC∴ADAH=BCEFaAH3=ax2∴ AH=23x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分HPBxOyD4D3D1D2 ∴S△AEF=21AH×EFS△AEF=2123x2=43x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分(2) 解：①当折叠后△ AEF 的顶点 A 落在四边形 BCFE 内或 BC 边上时y=43x2 (0＜x≤a ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分②当折叠后△ AEF 的顶点 A 落在四边形 BCFE 外点 A′处时，A′F 交 BC 于 M， A′E 交 BC 于 N，连结 AA′交 EF 于 H，交 BC 于 D∴ADAH=ax2∴HDAH=xax2又 ∵AH= A′H ∴HDHA'=xax2∴DAHA''=axx22∴MNAEFASS''=axx222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分MNASx'243=2222axx∴ S△A’MN=22243ax∴ S四边形 MFEN=43x2-22243ax⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∴ y=-22332433aaxx (a＜x＜2a ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分49．已知：如图，AB 为⊙ O 的弦，过点O 作 AB 的平行线，交⊙ O 于点 C，直线 OC 上一点 D 满足∠ D=∠ ACB. （1）判断直线BD 与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙ O 的半径等于4，4tan3ACB，求 CD 的长 .答案：（1）直线 BD 与⊙ O 相切．证明：如图3，连结 OB．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠ 1=∠D，∴ ∠2=∠CBD．∵ AB∥OC ，∴ ∠2=∠A ．∴ ∠A=∠CBD．∵ OB=OC ，∴23180BOC，∵2BOCA，∴390A．∴390CBD．∴ ∠OBD=90°．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分∴ 直线 BD 与⊙ O 相切．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分（2）解：∵∠D=∠ACB ，4tan3ACB，∴4tan3D．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分在 Rt△OBD 中，∠ OBD=90°， OB = 4，4tan3D，∴4sin5D，5sinOBODD．∴1CDODOC．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分5 0 ． 已 知 ：2PA，4PB， 以A B 为 一 边 作 正 方 形A B C D ， 使P、D两 点 落 在 直 线A B 的两侧 .（1）如图，当∠ APB= 45°时，求AB 及 PD 的长；（2）当∠ APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小 . 答案：（1）①如图11，作 AE⊥PB 于点 E． - - - - - - - - - - - - -1分∵ △APE 中，∠ APE= 45°，2PA，∴2sin212AEPAAPE，2cos212PEPAAPE．∵4PB，∴3BEPBPE．- - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分在 Rt△ABE 中，∠ AEB= 90°，∴2210ABAEBE．- - - - - - - - - - - - -3分②解法一：如图12，因为四边形ABCD 为正方形，可将△P AD 绕点 A 顺时针旋转90°得到△P AB，图 3 321CDOAB图 12 P'DCBPEA 可得△PAD≌△P AB，PDP B,PAP A．∴PAP= 90°，APP=45°，P PB= 90°．∴22PPPA．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分∴2222242 5PDP BPPPB．- - - - - - - - - - - - - -5分解法二：如图13，过点 P 作 AB 的平行线，与DA 的延长线交于F，设 DA 的延长线交PB 于 G．在 Rt△AEG 中，可得10coscos3AEAEAGEAGABE，13EG，23PGPBBEEG．在 Rt△PFG 中，可得10coscos5PFPGFPGPGABE，1015FG．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分在 Rt△PDF 中，可得22()PDPFADAGFG22101010 = ()( 10)202 55315．- - - - - - - - - - - - - - - - -5分（2）如图 14 所示，将△ PAD 绕点 A 顺时针旋转90°得到△P AB， PD 的最大值即为P B的最大值 .∵ △PPB中，P BPPPB，22PPPA，4PB，且 P、D 两点落在直线AB 的两侧，∴ 当PPB、 、三点共线时，P B取得最大值（见图15）.此时6P BPPPB，即P B的最大值为6. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分此时∠ APB= 180°－APP=135°. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7分图 14 P'DCBPA图 15 P'DCBPA图 13 GFDCBPEA 。