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1、第八章第八章 SPSSSPSS的相关分析和回归的相关分析和回归分析分析 概述(一)相关关系(1)函数关系:(如:销售额与销售量;圆面积和圆半径.) 是事物间的一种一一对应的确定性关系.即:当一个变量x取一定值时,另一变量y可以依确定的关系取一个确定的值 (2)统计关系:(如:收入和消费;身高的遗传.) 事物间的关系不是确定性的.即:当一个变量x取一定值时,另一变量y的取值可能有几个.一个变量的值不能由另一个变量唯一确定概述统计关系的常见类型：线性相关：正线性相关、负线性相关非线性相关 统计关系不象函数关系那样直接,但却普遍存在,且有强有弱.如何测度?概述(二) 相关分析和回归分析的任务研究对象
2、:统计关系相关分析旨在测度变量间线性关系的强弱程度.回归分析侧重考察变量之间的数量变化规律,并通过一定的数学表达式来描述这种关系,进而确定一个或几个变量的变化对另一个变量的影响程度.相关分析(一)目的 通过样本数据,研究两变量间线性相关程度的强弱.(例如:职工的年龄和收入之间的关系、工人数和管理人员之间的数量关系）(二)基本方法 绘制散点图、计算相关系数 绘制散点图(一)散点图 将数据以点的形式绘制在直角平面上.比较直观,可以用来发现变量间的关系和可能的趋势.体现了正相关趋势绘制散点图(二)基本操作步骤(1)菜单选项:graphs-scatter(2)选择散点图类型:simple:简单散点图简
3、单散点图(显示一对变量的散点图显示一对变量的散点图)overlay:重叠散点图重叠散点图(显示多对变量的散点图显示多对变量的散点图)(3)选择x轴和y轴的变量(4)选择分组变量(set markers by):分别以不同颜色点的表示(5)选择标记变量(label case by): 散点图上可带有标记变量的值(如:职工号)绘制散点图(三)应用举例通过27家企业普通员工人数和管理人员数,利用散点图分析人数之间的关系散点图在进行相关分析时较为粗略计算相关系数(一)相关系数(1)作用:以精确的相关系数(r)体现两个变量间的线线性性关系程度.r:-1,+1; r=1:完全正相关; r=-1:完全负相关
4、; r=0:无线性相关; |r|0.8:强相关; |r|0.3:弱相关计算相关系数(一)相关系数(2)说明:相关系数只是较好地度量了两变量间的线性相关程度,不能描述非线性关系.如:x和y的取值为:(-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1) r=0 但 xi2+yi2=2数据中存在极端值时不好如:(1,1)(2,2)(3,3),(4,4),(5,5),(6,1)r=0.33 但总体上表现出: x=y 应结合散点图分析计算相关系数(一)相关系数(3)种类:简单线性相关系数(Pearson):针对定距数据. (如:身高和体重)计算相关系数(一)相关系数(3)种类:Spearman相关系数
5、:用来度量定序或定类变量间的线性相关关系(如:不同年龄段与不同收入段,职称和受教育年份)利用秩(数据的排序次序).认为:如果x与y相关,则相应的秩Ui、Vi也具有同步性.首先得到两变量中各数据的秩( Ui、Vi),并计算Di2统计量.计算Spearman秩相关系数,与简单相关系数形式完全相同.若两变量存在强正相关性,则Di2应较小,秩序相关系数较大.若两变量存在强负相关性,则Di2应较大,秩序相关系数为负,绝对值较大计算相关系数(一)相关系数(3)种类:Kendall相关系数:度量定序定类变量间的线性相关关系首先计算一致对数目(U)和非一致对数目(V)如: 对x和y求秩后为: x: 2 4 3
6、 5 1 y: 3 4 1 5 2x的秩按自然顺序排序后: x: 1 2 3 4 5 y: 2 3 1 4 5 一致对:(2,3) (2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(1,4)(1,5)(4,5) 非一致对:(2,1)(3,1) 然后计算Kendall相关系数.若两变量存在强相关性,则V较小,秩序相关系数较大;若两变量存在强负关性,则V较大,秩序相关系数为负,绝对值较大计算相关系数(二)相关系数检验应对两变量来自的总体是否相关进行统计推断.原因:抽样的随机性、样本容量小等(1)H0:两总体零相关(2)构造统计量简单相关系数Spearman系数,大样本 下,近似正态分布kendall系数,
7、大样本 下,近似正态分布计算相关系数(二)相关系数检验(3)计算统计量的值,并得到对应的相伴概率p(4)结论:如果pa,不能拒绝H0.计算相关系数(三)基本操作步骤(1)菜单选项:analyze-correlate-bivariate.(2)选择计算相关系数的变量到variables框.(3)选择相关系数(correlation coefficients).(4)显著性检验(test of significance)tow-tailed:输出双尾概率P.one-tailed:输出单尾概率P计算相关系数(四)其他选项statistics选项:仅当计算简单相关系数时,选择输出哪些统计量.means
8、 and standard deviations:均值、标准差;cross-product deviations and covariances:分别输出两变量的离差平方和(sum of square 分母)、两变量的差积和(cross-products分子)、协方差(covariance 以上各个数据除以n-1)计算相关系数(五)应用举例通过27家企业普通员工人数和管理人员数,利用相关系数分析人数之间的关系*表示t检验值发生的概率小于等于0.05,即总体无相关的可能性小于0.05;*表示t检验值发生的概率小于等于0.01,即总体无相关的可能性小于0.01;*比*，拒绝零假设更可靠.计算相关系
9、数(五)应用举例根据若干对双胞胎心理学课程若干次考试的总分,分析双胞胎的成绩是否相关. 利用秩,通过计算spearman和kendall相关系数进行分析自动编码生成秩数据后,再计算相关系数,结论相同偏相关分析(一)偏相关系数(1)含义：在控制了其他变量控制了其他变量的影响下计算两变量的相关系数。虚假相关.如:小学16年级全体学生进行速算比赛（身高和、分数间的相关受年龄的影响）研究商品的需求量和价格、消费者收入之间的关系.因为:需求量和价格之间的相关关系包含了消费者收入对商品需求量的影响；收入对价格也产生影响，并通过价格变动传递到对商品需求量的影响中。又如：粮食产量与平均气温、月降水量、平均日照
10、时间、温度之间的关系的研究。偏相关分析(一)偏相关系数(2)计算方法：偏相关分析(二)基本操作步骤(1).菜单选项:analyze-correlate-partial(2).选择将参加计算的变量到variable框.(3).选择控制变量到controlling for 框。(4)option选项:zero-order correlations:输出简单相关系数矩阵回归分析概述(一)回归分析理解(1)“回归”的含义galton研究研究父亲身高和儿子身高的关系时的独特发现. (2)回归线的获得方式一:局部平均 回归曲线上的点给出了相应于每一个x(父亲)值的y(儿子)平均数的估计 (3)回归线的获得
11、方式二:拟和函数使数据拟和于某条曲线;通过若干参数描述该曲线;利用已知数据在一定的统计准则下找出参数的估计值(得到回归曲线的近似);回归分析概述(二)回归分析的基本步骤(1)确定自变量和因变量(父亲身高关于儿子身高的回归与儿子身高关于父亲身高的回归是不同的).(2)从样本数据出发确定变量之间的数学关系式,并对回归方程的各个参数进行估计.(3)对回归方程进行各种统计检验.(4)利用回归方程进行预测.线性回归分析概述(三)参数估计的准则目标:回归线上的预测值与观察值之间的距离总和达到最小最小二乘法(利用最小二乘法拟和的回归直线与样本数据点在垂直方向上的偏离程度最低)一元线性回归分析例:已知若干个父
12、亲和他们成年儿子的身高,通过父亲的身高预测其成年儿子的平均身高(利用相关分析和回归分析)(一)一元回归方程: y=0+1x0为常数项；1为y对x回归系数，即:x每变动一个单位所引起的y的平均变动(二)一元回归分析的步骤利用样本数据建立回归方程回归方程的拟和优度检验回归方程的显著性检验(t检验和F检验)残差分析预测一元线性回归方程的检验(一)拟和优度检验拟和优度检验:(1)目的:检验样本观察点聚集在回归直线周围的密集程度，评价回归方程对样本数据点的拟和程度。(2)思路:因为: 因变量取值的变化受两个因素的影响自变量不同取值的影响其他因素的影响如:儿子身高(y)的变化受:父亲身高(x)的影响、其他
13、条件于是: 因变量总变差=自变量引起的+其他因素引起的即: 因变量总变差=回归方程可解释的+不可解释的可证明:因变量总离差平方和=回归平方和+剩余平方和一元线性回归方程的检验(一)拟和优度检验拟和优度检验: (3)统计量：判定系数R2=SSR/SST=1-SSE/SST.R2体现了回归方程所能解释的因变量变差的比例;1-R2则体现了因变量总变差中，回归方程所无法解释的比例。R2越接近于1，则说明回归平方和占了因变量总变差平方和的绝大部分比例，因变量的变差主要由自变量的不同取值造成，回归方程对样本数据点拟合得好在一元回归中R2=r2; 因此，从这个意义上讲，判定系数能够比较好地反映回归直线对样本
14、数据的代表程度和线性相关性。一元线性回归方程的检验(二)回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验：F检验(1)目的:检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著,是否可用线性模型来表示.(2)H0: =0 即:回归系数与0无显著差异(3)利用F检验,构造F统计量:F=平均的回归平方和/平均的剩余平方和F(1,n-1-1)如果F值较大，则说明自变量造成的因变量的线性变动远大于随机因素对因变量的影响,自变量于因变量之间的线性关系较显著(4)计算F统计量的值和相伴概率p(5)判断pregression-linear(2)选择一个变量为因变量进入dependent框(3)选择一个变量为自变量进入indep
15、endent框(4)enter:所选变量全部进入回归方程(默认方法)(5)对样本进行筛选(selection variable)利用满足一定条件的样本数据进行回归分析(6)指定作图时各数据点的标志变量(case labels)一元线性回归分析操作(二) statistics选项(1)基本统计量输出Estimates:默认.显示回归系数相关统计量.confidence intervals:每个非标准化的回归系数95%的置信区间.Descriptive:各变量均值、标准差和相关系数单侧检验概率.Model fit:默认.判定系数、估计标准误差、方差分析表、容忍度(2)Residual框中的残差分析
16、Durbin-waston:D-W值casewise diagnostic:异常值(奇异值)检测 (输出预测值及残差和标准化残差)一元线性回归分析操作(三)plot选项:图形分析.Standardize residual plots:绘制残差序列直方图和累计概率图,检测残差的正态性绘制指定序列的散点图,检测残差的随机性、异方差性ZPRED:标准化预测值 ZRESID:标准化残差SRESID:学生化残差produce all partial plot:绘制因变量和所有自变量之间的散点图线性回归方程的残差分析(一)残差序列的正态性检验:绘制标准化残差的直方图或累计概率图(二)残差序列的随机性检验绘
17、制残差和预测值的散点图,应随机分布在经过零的一条直线上下线性回归方程的残差分析(三)残差序列独立性检验:残差序列是否存在后期值与前期值相关的现象,利用D.W(Durbin-Watson)检验d-w=0:残差序列存在完全正自相关;d-w=4:残差序列存在完全负自相关;0d-w2:残差序列存在某种程度的正自相关;2d-w4:残差序列存在某种程度的负自相关;d-w=2:残差序列不存在自相关.残差序列不存在自相关,可以认为回归方程基本概括了因变量的变化;否则,认为可能一些与因变量相关的因素没有引入回归方程或回归模型不合适或滞后性周期性的影响. . 线性回归方程的残差分析(四)异常值(casewise或
18、outliers)诊断利用标准化残差不仅可以知道观察值比预测值大或小,并且还知道在绝对值上它比大多数残差是大还是小.一般标准化残差的绝对值大于3,则可认为对应的样本点为奇异值异常值并不总表现出上述特征.当剔除某观察值后，回归方程的标准差显著减小,也可以判定该观察值为异常值线性回归方程的预测(一)点估计y0(二)区间估计 95%的近似置信区间: y0-2Sy,y0+2Syx0为xi的均值时,预测区间最小,精度最高.x0越远离均值,预测区间越大,精度越低.多元线性回归分析(一)多元线性回归方程多元回归方程: y= 0 +1x1+2x2+.+kxk1、2、k为偏回归系数。1表示在其他自变量保持不变的
19、情况下，自变量x1变动一个单位所引起的因变量y的平均变动(二)多元线性回归分析的主要问题回归方程的检验自变量筛选多重共线性问题多元线性回归方程的检验(一)拟和优度检验拟和优度检验:(1)判定系数R2: R是y和xi的复相关系数(或观察值与预测值的相关系数),测定了因变量y与所有自变量全体之间线性相关程度 (2)调整的R2:考虑的是平均的剩余平方和,克服了因自变量增加而造成R2也增大的弱点在某个自变量引入回归方程后，如果该自变量是理想的且对因变量变差的解释说明是有意义的，那么必然使得均方误差减少，从而使调整的R2得到提高；反之，如果某个自变量对因变量的解释说明没有意义，那么引入它不会造成均方误差
20、减少，从而调整的R2也不会提高。多元线性回归方程的检验(二)回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验：(1)目的:检验所有自变量与因变量之间的线性关系是否显著，是否可用线性模型来表示.(2)H0: 1 = 2 = k =0 即:所有回归系数同时与0无显著差异(3)利用F检验,构造F统计量:F=平均的回归平方和/平均的剩余平方和F(k,n-k-1)如果F值较大，则说明自变量造成的因变量的线性变动大于随机因素对因变量的影响,自变量于因变量之间的线性关系较显著(4)计算F统计量的值和相伴概率p(5)判断pregression-linear(2)选择一个变量为因变量进入dependent框(3)选择一
21、个或多个变量为自变量进入independent框(4)选择多元回归分析的自变量筛选方法:enter:所选变量全部进入回归方程(默认方法)remove:从回归方程中剔除变量stepwise:逐步筛选；backward:向后筛选；forward:向前筛选(5)对样本进行筛选(selection variable)利用满足一定条件的样本数据进行回归分析(6)指定作图时各数据点的标志变量(case labels)多元线性回归分析操作(二) statistics选项(1)基本统计量输出Part and partial correlation:与Y的简单相关、偏相关和部分相关R square change
22、:每个自变量进入方程后R2及F值的变化量Collinearity dignostics:共线性诊断.多元线性回归分析操作(三)options选项:stepping method criteria:逐步筛选法参数设置.use probability of F:以F值相伴概率作为变量进入和剔除方程的标准.一个变量的F值显著性水平小于entry(0.05)则进入方程;大于removal(0.1)则剔除出方程.因此:Entryremovaluse F value:以F值作为变量进入(3.84)和剔除(2.71)方程的标准(四)save选项: 将回归分析结果保存到数据编辑窗口中或某磁盘文件中线性回归分析
23、中的共线性检测(一)共线性带来的主要问题高度的多重共线会使回归系数的标准差随自变量相关性的增大而不断增大,以至使回归系数的置信区间不断增大,造成估计值精度减低.(二)共线性诊断自变量的容忍度(tolerance)和方差膨胀因子容忍度:Toli=1-Ri2. 其中: Ri2是自变量xi与方程中其他自变量间的复相关系数的平方.容忍度越大则与方程中其他自变量的共线性越低,应进入方程. (具有太小容忍度的变量不应进入方程,spss会给出警)(T0.1一般认为具有多重共线性)方差膨胀因子(VIF):容忍度的倒数SPSS在回归方程建立过程中不断计算待进入方程自变量的容忍度,并显示目前的最小容忍度线性回归分
24、析中的共线性检测(二)共线性诊断用特征根刻画自变量的方差如果自变量间确实存在较强的相关关系，那么它们之间必然存在信息重叠，于是可从这些自变量中提取出既能反映自变量信息(方差)又相互独立的因素(成分)来.从自变量的相关系数矩阵出发，计算相关系数矩阵的特征根，得到相应的若干成分.如果某个特征根既能够刻画某个自变量方差的较大部分比例(如大于0.7),同时又可以刻画另一个自变量方差的较大部分比例，则表明这两个自变量间存在较强的多重共线性。条件指标0k10 无多重共线性; 10=k=100 严重线性回归分析中的异方差问题(一)什么是差异方差回归模型要求残差序列服从均值为0并具有相同方差的正态分布,即:残
25、差分布幅度不应随自变量或因变量的变化而变化.否则认为出现了异方差现象(二)举例理解异方差收入水平和消费种类打字时间和出错类型线性回归分析中的异方差问题(三)差异方差诊断可以通过绘制标准化残差序列和因变量预测值(或每个自变量)的散点图来识别是否存在异方差(四)异方差处理实施方差稳定性变换残差与yi(预测值)的平方根呈正比：对yi开平方残差与yi(预测值)呈正比:对yi取对数.残差与yi(预测值)的平方呈正比,则1/yi线性回归分析中的异方差问题(四)异方差处理利用加权最小二乘法来代替普通最小二乘法估计回归模型参数.一般:wi=1/i2 wi=1/xim 实现方式:WSL按钮,指定加权变量(同SP
26、SS的weight estimation权重估计)曲线估计(curve estimate)(一)目的: 在一元回归分析或时间序列中,因变量与自变量(时间)之间的关系不呈线性关系,但通过适当处理,可以转化为线性模型.可进行曲线估计.(二)曲线估计的常用模型:y=b0+b1t(线性拟和linear)y=b0+b1t+b2t2(二次曲线quadratic)y=b0+b1t+b2t2+b3t3(三次曲线cubic)t为时间,也可为某一自变量.曲线估计(curve estimate)(三)基本操作步骤(1)绘制散点图,观察并确定模型.(2)菜单选项: analyze-regression-curve e
27、stimation(3) 选择因变量到dependent框(4) 选择自变量到independent框或选time以时间作自变量(5)选择模型 (R2最高拟和效果最好)曲线估计(curve estimate)(四)其他选项(1)display ANOVA table:方差分析表(2)plot models:绘制观察值和预测值的对比图.(3)save选项:predicted values:保存预测值.Residual:保存残差值.prediction interval:保存预测值的默认95%的可置信区间.Predict case:以time作自变量进行预测.Predict from estimation period through last case:计算保存所有预测值.Predict through :如果预测周期超过了数据文件的最后一个观测期,选择此项,并输入预测期数.
