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1、. Finite Element Method 3面力的移置 设三角形单元某边界 s 上受面力 q 作用,分量为xq,yq,如此 取 ds 如此 由一般公式： sTsedqNp 积分在边界 s 上 以上三种载荷的等效节点荷载由公式 e 导出 通常我们称： ssTeeAyxTeeeTmeetdqNpdtdpNpRNp 为荷载移量的一般公式： 几点说明： 1 虚功等效静力等效. N唯一性 2 一般 sTsAyxTeTmeetdqNdtdPNRNp 3 更多节点的单元公式形式不变,但 N不同 4 虽然公式 e 导出但对于面力和体力的计算都是很麻烦和困难的 N 为 x,y 的函数,假如 p, q 再为
2、 x, y 的函数如此更难,且单移分限不好定. 因此,我们将来还要进一步把这个问题解决好. . 四 三角形单元的面积坐标自然坐标,局部坐标 1 面积坐标的定义： 图示三角形单元 I ,j ,k 中任意一点 m ,其位置可由 xoy 坐标系中两个坐标来确定,即 m 假 如 我 们 连 接mi,mj,mk, 如 此 形 成 了3 个 小 三 角 形ijm,ikm,jkm. 如此有：假如 m确定ijm,ikm,jkm.面积确定. 反之,ijm,ikm,jkm.面积确定m确定 用同底等高的概念解释！ ！ 因此,三角形单元内任一点可以用三个三角形面积描述用直角坐标描述 我们如何用三角形面积来描述 m 点
3、的位置呢？ 定义：节点 I 对边为底的三角形面积为iA; 节点 j 对边为底的三角形面积为jA; 节点 k 对边为底的三角形面积为kA; 设三角形单元的面积为 A 令AALAALAALkKjJii 2-37 如此三个比值iL,jL,kL称为三角形单元中 m 点的面积坐标. 2.三角形面积坐标的性质： 1 面积坐标为三角形单元的局部坐标,与三角形的形状与位置无关.其定义域为10,kjiLLL ； . 2 三个面积坐标之和：iL+jL+kL=1.即只有两个面积坐标是独立的.2-38 证明：iL+jL+kL=AAi+AAj+AAk=A1iA+jA+kA=1 亦可几何解释. 3 三角形单元内与 jk
4、边平行的直线上各点iL一样轮换.同底等高三角形iL=AAi 4 形心处的面积坐标为： iL=jL=kL=1/3 2-39 5 三角形单元节点的面积坐标为： 1,0,0:0, 1,0:0,0, 1:KjikjikjiLLLkLLLjLLLi节点节点节点 2-40 证：节点 I: iA=A.jA=kA=0. 3.三角形面积坐标与直角坐标与形函数的关系 下面我们来推导面积坐标与直角坐标的关系： 设 m 点的坐标为 m,m 为任一点 如此：iA=21kkjjyxyxyx111=21jkjkkkjjyxyxxyyxyxxy =21jkkjyxyx+kjyy x+jkxx y 显然： iajkkjyxyx
5、,ibkjyy ,icjkxx iA=21ycxbaiii )(21)(21)(21ycxbaALycxbaALycxbaAAALkkkKjjjJiiiii 2-41 iL与iN表达式比拟可知：三节点三角形单元的面积坐标就是其. 形函数. 对于一般的情况： 面积坐标永远是线性坐标而形函数可以是非线性的,以后我们可以把形函数用面积坐标表示 即iN=iL,jjLN,kkLN 2-42 iL具有iN的全部性质 式2-41还可写成矩阵的形式： yxcbacbacbaALLLkkkjjjiiikji121 直面 2-44 这就是直角坐标与面积坐标的转换关系. 下面的结果留给大家自己证明： kjikjik
6、jiLLLyyyxxxyx1111 面直 2-45 4 面积坐标函数的运算 我们可以不加证明得地给出面积坐标函数的微积运算结果.证明复杂麻烦用函数等 1.偏导 设 z=f iL=g 如此：iikkjjiikjiiikkjjiiLzcALzcLzcLzcAyzLzbALzbLzbLzbAxz21)(2121)(21, 2-46 2 面积分AddLLLAyxkji2)!2(! 2-47 其中,为正整数； 0!1, A: 三角形面积 ex: 32)!2001 (! 0! 0! 1AAddLAyxi . 3.线积分： sdLLssji)!1(! s 为直线长 2-48 以上公式要会用 注意sd表示的边
7、 五 三角形单元的荷载移置 有了面积坐标与形函数的关系,我们即可对荷载移置进展计算了. 1 集中力的移置 设 m 点)(mmyx作用有集中力 TyxRRR m 点的形函数为： )(21mimiimiycxbaAN 等效节点荷载为： 这就是三角形单元内 m 点作用有 TyxRRR 的等效节点荷载.只要计算出miN即可.作为特例,考虑三角形单元形心处重力的移置. 形心坐标： xip=xjp=xkp=0 yip=yjp=ykp=-31R 故：重力作用于形心时各节点均担. 2. 体积力的移置 设单元作用有体力 Tyxppp 如此等效节点荷载为： yxTAdtdPNp=TAykxkyjxjyixiPNP
8、NPNPNPNPNyxdtd yxxAiyxAxidtdPLdtdPN 假如xp为 x, y 的函数,如此把xp用面积坐标表示转换 . 在常体力的作用下有： yAxxixidtdPLPN=Atpx2)!2001 (! 0! 0! 1=Atpx2! 3! 1=3AtPx 即：常体力作用下,总体力均分三节点. 2 面力的移置. 设三角形单元 I ,j 边上作用有梯形分布的面力 q 由面力移置公式得： 可分别由节点合力表示与用节点分力表示 epekjippp= ssTtdqN= ssTkjitdqNNN q 为合力,非分力 如此 eiP=ssitdqN=ssitdqL q 为 x, y 的函数,把
9、q 表示面积坐标的函数有 q=jjiiqLqLiL,jL在门边上是线性坐标,可利用两点式方程写出. 如此：eip=ssjjiiitdqLqLL)(=sjjissiitdqLLtdqL2=tqtqji)!111 (! 1! 1)!102(! 0! 2=tqtqji! 3! 1! 3! 2=)2(61jiqqst 同理： ejPssjjiijtdqLqLL)(=)2(61jiqqst ekP=ssjjiiktdqLqLL)(=ssiiktdqLL+ssjjktdqLL 注意到在 s 上kL=0 ekP=0 故： ep=TkjiPPP=Tjijiqqqqst02261 或： ep=Tyjyixjxi
10、yjyixjxiooqqqqqqqqst22226 . 此法：1. 防止复杂的别离. 2. 便于编程计算. 特例：假如分布荷载为三角形分布.令0iq或0jq 如此有： ep=Tyjxjyjxjooqqqqst226 近端为 2 ,远端为 1 说明： 用以上积分的方法求等效节点荷载适用于任意节点的三角形单元,形函数也未必是线性的. 六 三角形单元节点荷载的形成 经过荷载处理后,我们已把非节点的荷载转化为常点荷载. 实际计算的荷载为： 计算荷载=原节点荷载+等效节点荷载 即： p 0p ep 2-49 等效节点荷载要注意： 1 同时贡献的问题 2 用哪个单元计算的问题. 七计算结果的整理： 有限元
11、计算提供的结果一般为：1.节点位移 2.单元应力 1 节点位移的处理： 一般把节点位移按比例标出,提供出结构常点位移分布规律 1 连成折线线性位移函数 2 连成光滑曲线实际变形 2 单元应力的处理： 输出的单元应力一般为x,y,xy形心处 三节点单元为常应力元,无所谓 . 1 变换为单元的主应力.xy,xy1,2 材力 2 变换为节点应力的主应力. max 平均法 Ex. 节点 5 的应力为： 即：=nnn1 x, y, xy max 然后标出应力变化曲线. 计算结果的工作量随结构的单元,节点划分增加面增大. 要关注的是：1位移的变化规律 2应力的最大值与发生地点. 小概念：位移最大的地方,应
12、力未必最大. 八：有限元计算小结： 1 根本原理： 连续法离散有限个节点连接,有限大小的单元的组合法. 建立的节点位移 为未知数,总刚 k为系的阶线性代数方程组. 2 研究方法 确定节点位移位移函数单元位移几何方程单元应变物理方程单元应力 虚功原理单刚节点平衡总刚虚功等效计算荷载等效节点荷载 引入边界条件约束处理求解方程整理结果 解答特点： 假定单元内的位移分布规律,近似离散的数值解. . 误差主要来源于：结构离散连续离散,假定位移分布. 收敛性：单元缩小划分细密收敛于准确解. Chap3. 平面问题较精细单元的分析矩形,高阶单元,等参单元 3-1 问题的提出 在三角形单元中,我们假定位移函数
13、是线性的.即：单元内的位移按线性规律变化.这是最简单,最根本的一个有限单元.而实际结构中在外载荷的作用下位移分布常非按线性变化. 设单元位移曲线为图示的 f.显然,用线性插值解的精度较差.提示解的精度的方法： 1 增加单元,节点数工作量大,费用高 2 提高插值阶数 因此,提出了用高阶插值,高阶单元的问题 我们大家都知道,位移是一个连续函数连续体,而任意的连续函数都是可以展成幂级数,用幂级数来表示的. 因此,一个单元内的位移分布为 f时,我们就可以取级数的前几项来表示它.用二次三次函数来插值,以改善计算结果. 至于等参数单元等参单元是一种为去除曲边误差而 出的一种单元. 如果实际结构为曲线边界,
14、如此无论怎样提高位移函数插值的阶数也不能使解得到多大的改善.有限个直边代替曲边,终究是代替,而不会是相等.为了处理曲边问题,人们提出了等参单元的概念.有平面等参单元,空间等参单元等.我们只向大家介绍平. 面等参单元,以供了解. 3-2 四节点矩形单元的有限元分析. 矩形单元常用于规如此边界的有限元分析,它也是常用的一种有限单元. 一 单元的位移函数. 设单元 e 为矩形单元,边长为 2a,2b;其节点为 I,j,k,m;为研究方便我们取局部坐标系 x-y 如图原点在形心. 1 单元的自由度与位移函数： 4 个节点,每个节点 2 个自由度位移u,v,如此单元的总自由度为 8 个.为保证单元的收敛
15、性准如此,位移函数必须保证有常数项,线性项. 设位移函数为： 对称性与坐标选择无关 xyyxuxyyxu87654321 U 关于坐标对称 3-1 其中 xy 项是根据 pascal 三角形与 xy 的对称性选取 选二次项尚有协调问题,选2x,2y项不行 这样,iivui=1,2,3,4 这八个节点位移确定ii=1,28 2.形函数的推导： 同理：4321432143214321abbauabbauabbauabbaumkji8765876587658765abbavabbavabbavabbavmkji 我们不难从前 4 个方程中解出1,2,3,4,具体做法： +：31312222buubu
16、umkji+：)(411mkjiuuuuv . + ： - : )(413mkjiuuuubv - :42422222abauuabauumkji)(412mkjiuuuuav -)(414mkjiuuuuabv =)()(1)(1)(41mkjimkjimkjimkjiuuuuabxyyuuuubxuuuuauuuu =)1 ()1 ()1 ()1(41mkjiuabxybyaxuabxybyaxuabxybyaxuabxybyax u=)1)(1 ()1)(1 ()1)(1 ()1)(1(41mkjiubyaxubyaxubyaxubyax 令：)1)(1 (41)1)(1 (41)1)(
17、1 (41)1)(1 (41byaxNbyaxNbyaxNbyaxNmkji 3-2 如此： mkjiiimmkkjjiiimkjiikkjjiivNvNvNvNvNvuNuNuNuNu, 3-3 式3-2称为节点矩形单元的形函数；式3-2尚可写为： )1)(1 (41iiiyyxxN 式3-3为节点位移表示的单元位移函数. 式3-3还可以写成矩阵的形式 =mkjimkjiNNNNNNNN00000000 e1001I 3-5 式中： e=emmkkjjiivuvuvuvu 3-6 二. 形函数的性质： 1形函数iNI =I, j, k, m在节点 I 上iN=1,在其余节点上iN=0 轮换
18、. 即在 节点 I ：iN=1 0jN0kN0mN 节点 j: iN=0 1jN0kN0mNiN=ji=ijij01 节点 k: iN=0 0jN1kN0mN 节点 m: iN=0 0jN0kN0mN 证明：)1)(1 (41iiiyyxxN i=I, j, k, m 在节点 i x=ix,y=iy时： )1)(1 (41iiiyyxxN=1 j, k, m 各节点至少有一个节点坐标 x=-ix或 y=-iy故iN=0 i=j, k, m 同理可得到全部结果. 24 个形函数之和：iN+jN+kN+1mN 证明： 写出形函数ax,by的符号与该点的ix,iy一样 iN+jN+kN+mN=)1)
19、(1 ()1)(1 ()1)(1 ()1)(1(41byaxbyaxbyaxbyax =)1 ()1 ()1 ()1(41abxybyaxabxybyaxabxybyaxabxybyax=1 因此：4 个形函数只有 3 个是独立的. 在 I j 边上,iN,jN0节点除外,kN=mN=0 轮换 一条边上的四个iN 证明：)1)(1 (41iiiyyxxN 在 I j 边上,y=iy, )1 (21) 11)(1 (41iiixxxxN 在 I, j 边上,y=jy . )1 (21) 11)(1 (41jjjxxxxN x-jx I, j 边上 y=iy=jy=-ky )1)(1 (41kkk
20、kyyxxN=0 同理：I, j 边上：mN=0. 证毕 4iN在 4 条边界上的性质节点除外 在包含节点 I 的边界上,iN0,否如此iN=0.轮换 四条边上的一个iN 证明：性质 3 的另一种表述 在包含节点 I 的边界上： X=ix, 或 y=iy 显然有：)1 (21iiyyN1 iyy yiy或)1 (21iixxN 节点 j, m 除外 在不包含节点 I 的边界上： X=- ix或 y=-iy 显然：iN=0 得证 由以上iN的性质,我们可以描述iN的几何图形. 三 位移函数的性质 1 位移函数是双线性的 位移函数：xyyxu4321 显然, u, v 包含坐标 x y 的二次项
21、x y,但当 x=const 或y=const 时 U,V 都是一个线性函数. 即： 在单元内任一点,无论沿 x 方向变化 此时 y=const 或沿 y 方. 向变化x=const u, v 都是线性的. 2 位移函数解满足收敛准如此： 解反映单元的刚体位移.位移=刚+弹 位移函数 xyyxu4321 写成如下的形式： 显然：第一项1,5与 x, y 无关.反映了单元内各点沿 x, y 方向的刚体位移. 假如令: w=236,如此 w 反映单元内各点绕 z 轴的刚体转动. 解反映单元的常应变 由几何方程： 显然,2,7分别反映了沿 x, y 方向的常应变；63反映了2121,xy常量的剪切应
22、变. 面4和8分别反映了线性变化的x,y,xy.4,80 1,5反映单元的刚体移动. 6-3反映单元的刚体转动. 一般：位移函数只要包含1+x2+y3 选择变量的一次式,如此必须保证收敛性. 单元内各应变都不是常量,你如何能解释其收敛？ 解释：当单元尺寸逐步缩小时,单元内各点 x, y 的变化必然很小. 以x为例： 单元尺寸逐步缩小单元内minmaxyy逐步缩小 . 可以保证单元内x以2为基准,收敛于2附近. 20 否如此： 假如2=0,如此x=y4在 y=0 处x=0y=0 处,永远仅发生刚体位移. 同理可知：7,63的意义. 由于有4,80 的存在,四边形单元称为非常应变单元. 位移函数在单元内连续,在边界上与相邻单元协调. 证明：u, v 是连续的明显 由于 u, v 是双线性函数,而单元的每条边界都满足 x=const 或 y=const. 因此：在每条边界上： u, v 都是一个线性函数. 设1e,2e为相邻单元; 1e的节点为：I, j, k, m,2e的节点为：I, p, q, j. 如此 I, j 为公共边界.
