2023年北师大版中考知识点复习总结

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1、初中数学知识点总结（ 中考复习用）（ 34页） 第一章实数考点一、实数的概念及分类1 、实数的分类正 及 一件r 理数 零 有限小数和无限循环小数实数 I 负有理数正耳数 无理数 无限不循环小数负无理数2 、无理数在理解无理数时，要抓住“ 无限不循环”这一时之， 归纳起来有四类：（ 1 ）开方开不尽的数，如次等；JI（ 2 ）有特定意义的数， 如圆周率兀 ，或化简后具有7 1 的数，如 一 + 8等；3（ 3 ）有特定结构的数，如 0 .等；（ 4 ）某些三角函数， 如 s i 数0 。 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、根反第实数与它的相反数时一对数（ 只有符号不同的两个数叫做互为相反

2、数， 零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所相应的点关于原点对称， 假如a与 b互为相反数， 则有a + b = O, a = -b , 反之亦成立。2、绝 对 值 :一个数的绝对值就是表达这个数的点与原点的距离，| a |20。零的绝对值时它自身， 也可当作它的相反数， 若|a|= a,则 心0；若| a l= - a ,则aS 0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数， 两个负数，绝对值大的反而小。3、倒 数 :假 如a与b互为倒数，则 有ab = 1 ,反之亦成立。倒数等于自身的数是1和一 1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根: 假如一个数的平方等

3、于a ,那么这个数就叫做a的平方根( 或二次方跟) 。一个数有两个平方根， 他们互为相反数; 零的平方根是零; 负数没有平方根。正 数a的平方根记做“土 & ”。2、算术平方根：正 数a的正的平方根叫做a的算术平方根， 记 作 “ 。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。(a 0) 0 Y行=同= ； 注 意 的 双 重 非 负 性 ：J J-a (a 03、立方根：假如一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a的立方根( 或a的三次方根 ) 。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：户= - ； , 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四

4、、科学记数法和近似数1 、有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位, 就说它精确到哪一位， 这时， 从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2 、科学记数法：把一个数写做”X 1 0 的形式， 其中1 W a Q a b , a - b = 0 a = b, a b 0 a loa比 = loa = 网 0 4 ( 匕 。( 5 ) 平方法: 设a 、 b是两负实数， 则/ 考点六、实数的运算1 、力 I I 法互换律 a + b -b + a2、力口法结合律 ( a + b) + c = a + ( b + c)3、乘法互换律 ah - ba4、乘法结合律

5、 (ab)c - a(bc)5、乘法对加法的分派律a(b + c) = ab + ac6、实数的运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减， 假如有括号， 就先算括号里面的。第二章代数式考点一、整式的有关概念1 、代数式: 用运算符号把数或表达数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、单项式: 只具有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的， 其中系数不能用带分数表达，如- 4 / 乩这种表达31 3就是错误的， 应写成 - 巴 。 2 力。一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如 - 5/ 从。3是 6次单

6、项式。考点二、多项式1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数， 叫做这个多项式的次数。单项式和多项式统称整式。用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果， 叫做代数式的值。注意： （ 1 ）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（ 2 ）求代数式的值， 有时求不出其字母的值，需要运用技巧， “ 整体”代入。2 、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3、去括号法则括号前是“ + ”， 把括号和它前面的“ + ”号一起去

7、掉，括号里各项都不变号。（ 2）括号前是“- ”，把括号和它前面的“- ”号一起去掉，括号里各项都变号。4 、整式的运算法则整式的加减法： （ 1 ）去括号；（ 2 ） 合并同类项。整式的乘法: 优= 淤 + （ 加， 都是正整数） = 屋（ 也都是正整数）（ ab） =方 （ 都是正整数） （ a + b） （ a-b） = a2 -b2（ a + b）2 = a2 + 2ab + b2 （ -Z 7）2 =a2 - 2ab + b2整式的除法:a； a = a-n（ m,都是正整数, a丰0 ）注意：（ 1 ）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（ 2 ）单项式与多项式相乘， 结果是一个多项

8、式， 其项数与因式中多项式的项数相同。（ 3 ）计算时要注意符号问题， 多项式的每一项都涉及它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。（ 5 ）公式中的字母可以表达数， 也可以表达单项式或多项式。 a = 1 （ 。H 0） ; 。 一 为 正 整 数 ）ap（ 7）多项式除以单项式, 先把这个多项式的每一项除以这个单项式， 再把所得的商相加， 单项式除以多项式是不能这么计算的。考点三、因式分解1 、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫做把这个多项式因式分解, 也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解的常用方法( 1 ) 提公

9、因式法：ab + ac = a(b + c )( 2 )运用公式法: 力 一 =( 。+ 人) ( 。一人) ， a2 +2ab + b2 =( a + b)2, a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2( 3)分组分解法:ac + ad + bc + bd = a( c + d) + b( c + d) = ( a + b)( c + d)(4 )十 字 相 乘 法+( p + q)a+ pq = ( a+ p)(a + q)3、因式分解的一般环节：( 1)假如多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观测多项式的项数： 2项式可以尝试

10、运用公式法分解因式;3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式;4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。考点四、分式A1、分式的概念: 一般地， 用A、B表达两个整式，A+B就可以表达成一的形式，假如B中具有字母，式子BA 就叫做分式。其中,A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。B2、分式的性质( 1)分式的基本性质: 分式的分子和分母都乘以( 或除以) 同一个不等于零的整式， 分式的值不变。( 2 )分式的变号法则：分式的分子、分母与分式自身的符号， 改变其中任何两个， 分式的值不变。3、分式的运算法则a c ac

11、a c a d adx - -, _ _ _ ：_ _= x = h d bd b d b c bea . b ab- - - - - -c c ca , c adbc1 =- - - - - - -h d bd考点五、二次根式1 、二 次 根 式 : 式 子 2 0 ） 叫做二次根式，二次根式必须满足：具有二次根号“ ” ； 被开方数a必须是非负数。2 、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数, 因式是整式; 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和环节：（ 1 ） 假如被开方数是分数（ 涉及小数） 或分式， 先运用商

12、的算数平方根的性质把它写成分式的形式， 然后运用分母有理化进行化简。（ 2 ） 假如被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3 、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，假如被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。4、二次根式的性质a（ a 0 ）（ 2 ） = 同= （ 1 ） （ V ）2 =a（ a0） - 。 （ 。 0 , 0 )( 4) Q, b Q)5 、二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序同样，先乘方， 再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（ 或先去括号）。第 三 章 方 程 （ 组）考点一、一元一次方

13、程的概念1、方程: 具有未知数的等式叫做方程。2、方程的解: 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3 、等式的性质等式的两边都加上（ 或减去） 同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。等式的两边都乘以（ 或除以）同一个数（ 除数不能是零），所得结果仍是等式。4 、一元一次方程只 具 有 一 个 未 知 数 ，并 且 未 知 数 的 最 高 次 数 是 1的 整 式 方 程 叫 做 一 元 一 次 方 程 ， 其中方程ax + /? = O（ x为 未 知 数 ，a # 0 ） 叫做一元一次方程的标准形式, a 是未知数x 的系数，b 是常数项。考点二、一元二次方程1、一元二次方程：具有一

14、个未知数， 并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式: a r 2 +匕 尤 +。= 0（ 。/ 0） ,特性: 等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式， 等式右边是零， 其中a / 叫做二次项, a 叫做二次项系数; bx叫做一次项, b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。考点三、一元二次方程的解法1、直接开平方法: 运用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法合用于解形如（ % +。 ）2 = 匕的一元二次方程。根据平方根的定义可知,X + Q是b的平方根，当 Z ? 2 0 时 ；x + a = 4b , x =

15、 - a 士 后 ， 当b 0时， 方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，并且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式。2 2。 人+ =3 +份2 ,把公式中的a看做未知数X ,并用 x 代 替 , 则 有X 2 2 x + Z ? 2 = （ x/ ? ） 2。3、公式法: 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法, 它是解一元二次方程的一般方法。IX一元二次方程办 2 + 汝 + 。= 0 （。#0 ）的求根公式：x=b b 4c, c （ b2 - 4 0 ）2a4、因式分解法: 因式分解法就是运用因式分解的手

16、段， 求出方程的解的方法，这种方法简朴易行，是解一元二次方程最常用的方法。考点四、一元二次方程根的判别式根 的 判 别 式 ： 一 元 二 次 方 程ax2 +bx + c = O（ a O ）中,b2-4 a c叫 做 一 元 二 次 方 程ax2 +bx + c = 0 （ a丰0 ）的根的判别式， 通常用“ A ”来表达，即 = - 4ac考点五、一元二次方程根与系数的关系h c假如方程o r + 8 x + c = 0 （。/0 ）的两个实数根是X ,彳2 ，那么项+ 工2=，X X , = 。也就是说，对a a于任何一个有实数根的一元二次方程, 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项

17、系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。考点六、分式方程1、分式方程：分母里具有未知数的方程叫做分式方程02、分式方程的一般方法: 解分式方程的思想是将“ 分式方程”转 化 为 “ 整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（ 2）解所得的整式方程（ 3）验根: 将所得的根代入最简公分母， 若等于零， 就是增根， 应当舍去; 若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时， 可考虑用换元法。考点七、二元一次方程组1、二元一次方程:

18、 具有两个未知数， 并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解: 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值， 叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组：两 个 （ 或两个以上） 二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4、二元一次方程组的解: 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法：（1）代入法（ 2 ）加减法6、三元一次方程：把具有三个未知数，并且具有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组: 由三个（ 或三个以上）一次方程组成，且具有三个未知数的方程组，叫做

19、三元一次方程组。第四章不等式（ 组）考点一、不等式的概念 （3 分）1、不等式：用不等号表达不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集对于一个具有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值， 都叫做这个不等式的解。对于一个具有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合， 简称这个不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式。3、用数轴表达不等式的方法考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（ 或减去） 同一个数或同一个整式, 不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（ 或除以） 同一个正数, 不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（ 或除以）同一个负数, 不等号的方

20、向改变。考点三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只具有一个未知数， 未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般环节总） 去分母（ 2 ）去括号移项（ 4）合并同类项（5） 将 x 项的系数化为1考点四、一元一次不等式组1 、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起, 就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分， 叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程， 叫做解不等式组。当任何数X都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

21、2 、一元一次不等式组的解分别求出不等式组中各个不等式的解集( 2 ) 运用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。第五章记录初步与概率初步考点一、平均数1 、平均数的概念( 1 ) 平均数: 一， 般地， 假 如 有 n个数再, 乙， , 招， 那么)=，(/+ /+ + X ” ) 叫做这n个数的平均数n读 作 “ X 拔”。( 2 ) 加 权 平 均 数 ： 假 如 n 个 数 中 ，出 现 力 次 ， 赴 出 现 人 次 ， ， / 出 现 / . 次 ( 这 里/, + f2 + 人 = ) ， 那 么 ， 根 据 平 均 数 的 定 义 ， 这n 个 数 的 平

22、均 数 可 以 表 达 为=弓 . +三6 +三4, 这样求得的平均数1叫做加权平均数，其中工, 力, ， 力叫做权。n2、平均数的计算方法-1(1)定义法: 当所给数据2了2,，Z，比较分散时，一般选用定义公式：1 =一( 匹+X 2+ %)n( 2 )加权平均数法：当所给数据反复出现时， 一般选用加权平均数公式: 1 =可力+ d 2 +二力_ ,其中nfl + 力 + 人= 。新数据法: 当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：1 = P + a。其 中 ，常 数a通 常 取 接 近 这 组 数 据 平 均 数 的 较 “整 ” 的 数 ，x = xy- a , x2 =

23、 x2- a- a o 1 =上3 | +汹 + - +总 ) 是 新 数 据 的 平 均 数 ( 通 常 把 再 , 修， 叫 做 原 数 据 ，nX；,X2 ,， 总 ， 叫做新数据) 。考点二、记录学中的几个基本概念1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。2、个体: 总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本: 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。5、样本平均数: 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。6、总体平均数: 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数， 在记录中， 通常用样本平均数估计总体平均数。考点三、众数、中位数1、众数：在一组数

24、据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2、中位数：将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据( 或最中间两个数据的平均数) 叫做这组数据的中位数。考点四、方差1、方差的概念在一组数据王, % ， ， 匕 ， 中， 各数据与它们的平均数工的差的平方的平均数， 叫做这组数据的方差。通常用“ S2 ” 表达， 即.5 2 = 1 _ - ) 2 + 一 )2 + + ( 怎 - x)2 n2、方差的计算 一 一 一(1)基本公式: S? = (% - X)2 +。2 -X )2 + + (% -X )2n( 2 ) 简化计算公式( I ) : $2 =_L( X； +X；+ + X

25、： ) 也 可 写 成ns2 = ( X j2 H + 无 ： ) /n此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。1 2( 3 ) 简化计算公式(II)： 1= - ( x 7 + + .- + ) - n Z n当一组数据中的数据较大时， 可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接 近 的 常 数 a ,得 到 一 组 新 数 据 羽 = 玉 一 。 ，忘 = / 一 4， ，x = x - a , 那1 2么, S2 = ( X： + % 彳 +n此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。(4)新数据法：原数据用,

26、 2 ,， X， 的方差与新数据x i = X |- a ，x2 = %2 一a ， x = x 一a 的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式， 求得,x2， ， X” ， 的方差就等于原数据的方差。3、标准差方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“ S ”表达，即s = = J （ X X ） ， + （ % 2 x ） 2 +-F （ x “ 一 X ） -V n考点五、频率分布1、频率分布的意义在许多问题中， 只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理， 以便得到它的频率分布。2、研究频率分布的一般环节及有关概念（

27、1 ）研究样本的频率分布的一般环节是：计算极差（ 最大值与最小值的差） ; 决定组距与组数; 决定分点; 列频率分布表；画频率分布直方图（ 2 ）频率分布的有关概念极差: 最大值与最小值的差频数：落在各个小组内的数据的个数频率：每一小组的频数与数据总数（ 样本容量n ）的比值叫做这一小组的频率。考点六、拟定事件和随机事件1、拟定事件必然发生的事件: 在一定的条件下反复进行实验时，在每次实验中必然会发生的事件。不也许发生的事件: 有的事件在每次实验中都不会发生，这样的事件叫做不也许的事件。2、随机事件：在一定条件下， 也许发生也也许不放声的事件， 称为随机事件。考点七、随机事件发生的也许性对随机

28、事件发生的也许性的大小, 我们运用反复实验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小 要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的也许性是否同样。所谓判断事件也许性是否相同， 就是要看各事件发生的也许性的大小是否同样，用数据来说明问题。考点八、概率的意义与表达方法1、概率的意义: 一般地，在大量反复实验中，假如事件A发生的频率2会稳定在某个常数P附近， 那么m这个常数p就叫做事件A的概率。2、事件和概率的表达方法: 一般，事件用英文大写字母A B C -,表达事件A的 概 率p ,可 记 为P (A )=P考点九、拟定事件和随机事件的概率之间的关系1、拟定事件概率(1 ) 当A

29、是必然发生的事件时,P (A) =1(2)当A是不也许发生的事件时,P(A)= 02、拟定事件和随机事件的概率之间的关系事件发生的也许性越来越小0(概率的值不也许发生 宓独发生事件发生的也许性越来越大考点十、古典概型1、古典概型的定义：某个实验若具有：在一次实验中， 也许出现的结构有有限多个；在一次实验中，各种结果发生的也许性相等。我们把具有这两个特点的实验称为古典概型。2、古典概型的概率的求法一般地， 假如在一次实验中，有n种也许的结果，并且它们发生的也许性都相等， 事 件A包含其中的m中结果， 那么事件A发生的概率为P （ A ）=n考点十一、列表法求概率1、列表法: 用列出表格的方法来分

30、析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。2、列表法的应用场合: 当一次实验要设计两个因素， 且也许出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有也许的结果，通常采用列表法.考点十二、树状图法求概率 （1 0分）1、树状图法: 就是通过列树状图列出某事件的所有也许的结果, 求出其概率的方法叫做树状图法。2、运用树状图法求概率的条件: 当一次实验要设计三个或更多的因素时， 用列表法就不方便了， 为了不重不漏地列出所有也许的结果，通常采用树状图法求概率。考点十三、运用频率估计概率（ 8分）1、运用频率估计概率: 在同样条件下， 做大量的反复实验，运用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数， 可以估计这

31、个事件发生的概率。2、在记录学中，常用较为简朴的实验方法代替实际操作中复杂的实验来完毕概率估计， 这样的实验称为模拟实验。3、随机数: 在随机事件中， 需要用大量反复实验产生一串随机的数据来开展记录工作。把这些随机产生的数据称为随机数。第六章一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中， 水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点。( 即公共的原点) 叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴

32、 和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用(a,b)表达，其顺序是横坐标在前， 纵坐标在后，中间有“ ，”分开， 横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时,(a, b )和(b,a)是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特性 (3分)1、各象限内点的坐标的特性点P(x,y) 在 第 一 象 限 x O , y O ；点P(x,y)在第二象限 = x O点P(x, y )在第三象限= x O , y O,y 0一k0Lb0r大图。像通过一、三、四象限，y随x的增大而增

33、k0图像通过一、二、四象限，y随x的增大而减小注：当 b = 0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。k 的符号b 的符号函数图像图像特性0 xb 0 时， 图像通过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大;( 2 ) 当 k0时,y 随 x 的增大而增大(2)当 k0k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 X的增大而减小。 x 的取值范围是xH 0,y 的取值范围是y # 0 ； 当 k 0a0XU0xX A0 x性质(1)抛物线开口向上， 并向上无限延伸；(2 )对 称 轴 是x =-,顶 点 坐 标 是2a/ b 4 a c - b2、( 一2

34、 / 4a) ；b( 3 )在对称轴的左侧，即 当x -二 时 ,y随X的增大而增大，简记左减2a右增；(4 )抛物线有最低点， 当X = - 2时，y有最小2a/ 土 4 a c - b2值，y最小值- 4a( 1 )抛物线开口向下，并向下无限延伸；(2 )对 称 轴 是x =-,顶 点 坐 标 是2ah 4 a c - b22 / 4a )b在对称轴的左侧，即当x - & - 时, 丫随* 的增大而减小， 简记左增2a右减；抛物线有最高点，当X = -2时,y有最大2a, 土 4 a c - b2但， ) 最大值一 4a2、二次函数y = ax?+bx + c(a,4 c是常数， ”工0

35、)中，a、b、c的含义:a表达开口方向：a 0 时，抛物线开口向上；a 0时，图像与x轴有两个交点；当A= 0时, 图像与x轴有一个交点；当A 0时, 图像与x 轴没有交点。补充：1、 两点间距离公式（ 当碰到没有思绪的题时，可用此方法拓展思绪，以寻求解题方法）如图：点 A坐 标 为 （ x i ） 点 B坐 标 为 （ x 2 , y 2 ）I则 A B_ I间的距离，即线段A B 的长度为忒- 一） 2+（ % 一 % ） 2 I2 、函数平移规律：左加右减、上加下减 ：一第八章 图形的初步结识考点一、直线、射线和线段1 、几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，涉及立体图形和平面图形。立体

36、图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内， 它们是立体图形。平面图形: 有些几何图形的各个部分都在同一平面内， 它们是平面图形。2 、点、线、面、体(1 ) 几何图形的组成点：线和线相交的地方是点， 它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面: 包围着体的是面， 分为平面和曲面。体: 几何体也简称体。点动成线，线动成面，面动成体。3 、直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象， 直线是直的， 并且是向两方无限延伸的。4 、射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。5 、线段的概念: 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两

37、个点叫做线段的端点。6 、点、直线、射线和线段的表达在几何里， 我们常用字母表达图形。一个点可以用一个大写字母表达。一条直线可以用一个小写字母表达。一条射线可以用端点和射线上另一点来表达。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表达。注意：(1 )表达点、直线、射线、线段时， 都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。(2 )直线和射线无长度，线段有长度。直线无端点，射线有一个端点， 线段有两个端点。(4)点和直线的位置关系有线面两种：点在直线上， 或者说直线通过这个点。点在直线外， 或者说直线不通过这个点。7、直线的性质( 1 ) 直线公理：通过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简朴地说成

38、: 过两点有且只有一条直线。( 2 ) 过一点的直线有无数条。(3 ) 直线是是向两方面无限延伸的, 无端点， 不可度量， 不能比较大小。(4 ) 直线上有无穷多个点。( 5 ) 两条不同的直线至多有一个公共点。8、线段的性质(1)线段公理: 所有连接两点的线中，线段最短。也可简朴说成：两点之间线段最短。(2)连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。线段的中点到两端点的距离相等。(4 )线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距

39、离相等。逆定理: 和一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。考点二、角1 、角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。平角的一半叫做直角; 小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。假如两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角叫做另一个角的余角。假如两个角的和是一个平角， 那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。2 、角的表达角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表达， 具体的有一下四种表达方法：用数字表达单独的角，

40、如/ I ，/ 2 , / 3 等。用小写的希腊字母表达单独的一个角，如/ a , ZP,ZY，等。用一个大写英文字母表达一个独立（ 在一个顶点处只有一个角）的角， 如N B , NC等。用三个大写英文字母表达任一个角，如/B A D, N B A E , N C A E 等。注意：用三个大写英文字母表达角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3 、角的度量角的度量有如下规定：把 一个平角1 8 0 等分， 每一份就是1度的角，单位是度， 用”表达， 1 度记作“ 1 ” , n度记作“ n ”。把 1 的角6 0 等分，每一份叫做1分的角，1分记作“ 1 ”。把 V 的角6 0等

41、分， 每一份叫做1秒的角, 1 秒 记 作ui-n o r = 6 0 = 6 0 4 、角的性质（ 1 ）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。；（ 2 ） 角的大小可以度量, 可以比较； （ 3 ）角可以参与运算。5 、角的平分线及其性质: 一条射线把一个角提成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理:（1 ） 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。考点三、相交线1、相交线中的角两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。

42、我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。临补角互补, 对顶角相等。直线A B , C D与EF相 交 （ 或者说两条直线AB, C D被第三条直线E F所截） ， 构成八个角。其中N 1与N5这两个角分别在AB, C D的上方， 并且在E F的同侧， 像这样位置相同的一对角叫做同位角;/ 3与N 5这两个角都在AB,CD之间，并且在E F的异侧， 像这样位置的两个角叫做内错角;N 3与N 6在直线A B,CD之间， 并侧在E F的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。2、垂线两条直线相交所成的四个角中, 有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条

43、直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直 线A B ,C D互相垂直，记 作“ A B J.C D（ 或“ C D LA B ”） , 读 作“ A B垂 直 于C D （ 或“ C D垂直于AB”）。垂线的性质：性 质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称: 垂线段最短。考点四、平行线1、平行线的概念在同一个平面内， 不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“ ”表达， 如 “ABCD” ， 读 作 “A B 平行于C D ” 。同一平面内， 两条直线的位置关系只有两种: 相交或平行。注意：(1)平行线是无限延伸的，

44、无论如何延伸也不相交。(2 ) 当碰到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。2、平行线公理及其推论平行公理: 通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论: 假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3、平行线的鉴定：平行线的鉴定公理: 两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么两直线平行。简称: 同位角相等，两直线平行。平行线的两条鉴定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么两直线平行。简称: 内错角相等，两直线平行。(2)两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补， 那么两直线平行。简称: 同旁内角互补， 两直线平行。补充平行线的鉴

45、定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。(2 ) 垂直于同一条直线的两直线平行。(3 ) 平行线的定义。4、平行线的性质(1 ) 两直线平行, 同位角相等。( 2 ) 两直线平行, 内错角相等。(3)两直线平行，同旁内角互补。考点五、命题、定理、证明1、命题的概念: 判断一件事情的语句，叫做命题。理解: 命题的定义涉及两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类（ 按对的、错误与否分）真命题（ 对的的命题）Y命题假 命 题 （ 错误的命题）所谓对的的命题就是：假如题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：假如题设成立， 不能证明结

46、论总是成立的命题。3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题， 叫做公理。4、定理：用推理的方法判断为对的的命题叫做定理。5、证明：判断一个命题的对的性的推理过程叫做证明。6、证明的一般环节（1）根据题意， 画出图形。（2 ）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）通过度析， 找出由已知推出求证的途径， 写出证明过程。考点六、投影与视图1、投影投影的定义：用光线照射物体， 在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（ 如太阳光线） 形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图当我们从某一角度观测一个实物时，所看

47、到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。主视图: 在正面内得到的由前向后观测物体的视图, 叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观测物体的视图，叫做俯视图。左视图: 在侧面内得到的由左向右观测物体的视图， 叫做左视图， 有时也叫做侧视图。第九章 三角形考点一、三角形1三角形的概念：由不在批准直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角， 简称三角形的角。2、三角形中的重要线段(1 )三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫

48、做三角形的角平分线。( 2 )在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。(3 )从三角形一个顶点向它的对边做垂线, 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线( 简称三角形的高) 。3、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表达三角形有下面三个特性：(1)三角形有三条线段 (2 )三条线段不在同一直线上三本形是封闭图形（ 3 ）首尾顺次相接三角形用符号“ A”表达, 顶点是A 、B 、C的三角形记作“ A A B C ”，读 作 “ 三角形A B C”

49、。5 、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不周边三角形Y三角形 底刖腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：f角三角形（ 有一个角为直角的三角形）三角形 褪角三角形（ 三个角都是锐角的三角形）Y斜三角形钝角三角形（ 有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起， 我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6 、三角形的三边关系定理及推论（ 1 ）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（ 2 ） 三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形。当已知两边时， 可拟定第三边的范围

50、。证明线段不等关系。7 、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理: 三角形三个内角和等于1 8 0 。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边; 等边对等角；大角对大边；大边对大角。8 、三角形的面积: 三角形的面积= X底 X高2考点二、全等三角形1 、全等三角形的概念可以完全重合的两个图形叫做全等形。可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做相应顶点，互相重合的边叫做相应边, 互相重合的角叫做相应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,

51、夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2 、全等三角形的表达和性质全等用符号“ g”表达，读 作 “ 全 等 于 。如 A B C g D E F , 读 作 “ 三 角 形 A B C 全 等于三角形D EF ”。注：记两个全等三角形时， 通常把表达相应顶点的字母写在相应的位置上。3 、三角形全等的鉴定三角形全等的鉴定定理：（ 1 ）边角边定理: 有两边和它们的夹角相应相等的两个三角形全等（ 可简写成“ 边角边”或 “ S A S ” ）（ 2 ） 角边角定理：有两角和它们的夹边相应相等的两个三角形全等（ 可简写成“ 角边角”或 “ A S A ”）（ 3 ）边边边定理：有三边相应相等的

52、两个三角形全等（ 可简写成“ 边边边”或 “ S S S ”） 。直角三角形全等的鉴定:对于特殊的直角三角形， 鉴定它们全等时， 尚 有 HL定 理 （ 斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边相应相等的两个直角三角形全等（ 可简写成“ 斜边、直角边”或 “ H L ” ）4 、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换涉及一下三种：（ 1 ） 平移变换: 把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（ 2 ） 对称变换：将图形沿某直线翻折1 8 0 , 这种变换叫做对称变换。（ 3 ） 旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考

53、点三、等腰三角形1 、等腰三角形的性质（ 1 ）等腰三角形的性质定理及推论：定理: 等腰三角形的两个底角相等（ 简称：等边对等角）推 论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2 : 等边三角形的各个角都相等， 并且每个角都等于6 0 o（ 2 ）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于4 5 等腰三角形的底角只能为锐角， 不能为钝角（ 或直角），但顶角可为钝角（ 或直角） 。等腰三角形的三边关系：设腰长为a , 底边长为b,则2 B C = - i - A B2N C = 9 0 3 、直角三角形斜边上的中

54、线等于斜边的一半Z A C B = 9 0 可表达如下:= CD=-AB=BD=AD2D为A B的中点4、勾股定理直角三角形两直角边a, b的平方和等于斜边c的平方， 即a2+ b2 = c2A D BZACB=90 r CD? = AD* BDA Y=ACZ = ADABCDABBC2 = BD AB6、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=AC*BC考点二、直角三角形的鉴定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、假如三角形一边上的中线等于这边的一半, 那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理: 假如三角形的三边长a, b , c有关系合 +/ =。2 ,那么这个三角形是直角

55、三角形。考点三、锐角三角函数的概念NA的邻边NB的对边NA的对边NB的邻边1、如图， 在AABC 中，N O 9 0锐角A的对边与斜边的比叫做N A的正弦,A记 为s in A ,即sin A =野 边斜边ac锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 NA 的余弦记为c o s A ,即cosA = /缥 售 = B斜 边 c锐角A的对边与邻边的比叫做/ A的正切, 记为ta n A ,即tan A =N A的对边N A的邻边ab锐角A的邻边与对边的比叫做/ A的余切， 记为cot A,即cotA =N A的邻边 bNA的对边a2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做N A的锐角三角函

56、数3、一些特殊角的三角函数值三角函数0 3045 6090sina02V2V31c osa1出V220ta n a01不存在c ota不存在V31后T04、各锐角三角函数之间的关系( 1 )互余关系：sinA=cos(90。 一A), cosA=sin(90 A) ； tanA=cot(90 A),co t A =tan(9 0 A)(2)平方关系：sin2 A + cos2 A = 1倒数关系：tanA t a n（ 9 0 一 A ） =1弦切关系:tanA=、cosA5 、锐角三角函数的增减性当角度在0 90。 之间变化时，（ 1）正弦值随着角度的增大（ 或减小）而 增 大 （ 或减小）

57、乂 2） 余弦值随着角度的增大（ 或减小）而 减 小 （ 或增大） ； （ 3）正切值随着角度的增大（ 或减小）而增大（ 或减小）；（ 4 ）余切值随着角度的增大（ 或减小） 而减小（ 或增大）考点四、解直角三角形 （ 35）1、解直角三角形的概念在直角三角形中， 除直角外， 一共有五个元素， 即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2 、解直角三角形的理论依据在 RtZABC 中，NC=90 ,N A ,/B ,/C 所对的边分别为 a,b, c三边之间的关系：/ + = 。 2 （ 勾股定理）锐角之间的关系：ZA+ZB=90（ 3）边角之

58、间的关 a 人 b A a 人 b . 八 b a 八 b 八 a系：sin A = ,cosA = Jan A = ,cotA = ;sin B = ,COSD = ,tann = - ,cotn = ccbaccab第十二章 圆考点一、圆的相关概念1 、圆的定义在一个个平面内， 线 段 0A绕它固定的一个端点。旋转一周， 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆， 固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径。2 、圆的几何表达:以点。为圆心的圆记作“ 。0”，读 作 “ 圆 。”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（ 1 ）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（ 如图中的AB）直径:通过圆心的弦叫做直径

59、。（ 如途中的C D） 直径等于半径的2倍。（ 3 ）半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧， 每一条弧都叫做半圆。（ 4） 弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧。弧用符号“ 表达， 以A , B 为端点的弧记作“ 病 ”， 读 作 “ 圆弧AB”或 “ 弧 AB”。大于半圆的弧叫做优弧（ 多用三个字母表达）；小于半圆的弧叫做劣弧（ 多用两个字母表达）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推 论1：平分弦（ 不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线通过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的

60、一条弧的直径垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：j圆心 、I垂直于弦直 径 平 分 弦 知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性 （3分）1、圆的轴对称性:圆是轴对称图形, 通过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。推论

61、：在同圆或等圆中，假如两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所相应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半 圆 （ 或直径）所对的圆周角是直角；9 0 的圆周角所对的弦是直径。推论3：假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。考点七、点和圆的位置关系设。半径r,点P到圆心距离为d ,则：d rO点P在。外。考点八、过三点的圆

62、1、过三点的圆:不在同一直线上的三个点拟定一个圆。2、三角形的外接圆：通过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（ 四点共圆的鉴定条件）：圆内接四边形对角互补。考点九、反证法先假设命题中的结论不成立， 然后由此通过推理， 引出矛盾，鉴定所做的假设不对的，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法.考点十、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线， 公共点叫做交点；( 2 )相切：直线和圆有唯一

63、公共点时,叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，( 3 )相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。若。 。半径r, 圆心0 到直线1距离d ：直 线 1 与。相交O d r 。考点十一、切线的鉴定和性质1、切线的鉴定定理：通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2 、切线的性质定理：圆的切线垂直于通过切点的半径。考点十二、切线长定理1、切线长: 在通过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2 、切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。考点十三、三角形的内切圆1 、三角形的内切圆：与三角形的

64、各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点， 它叫做三角形的内心。考点十四、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系假如两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。假如两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。假如两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与鉴定设两圆的半径分别为R 和 r,圆心距为d , 那么两圆外离O d R + r；两圆外切。 d = R + r;两圆相交O R rd r)； 两圆内含 O d r )4、

65、两圆相切、相交的重要性质假如两圆相切， 那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。考点十五、正多边形和圆1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系只要把一个圆提成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。考点十六、与正多边形有关的概念1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径: 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心

66、角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。考点十七、正多边形的对称性1、正多边形轴对称性: 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共n条对称轴， 每条对称轴都过正n边形中心。2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆， 再做正多边形。考点十八、弧长和扇形面积1、弧长公式:n 的圆心角所对的弧长I的计算公式为/ =4 ”1807 7 12、扇形面积公式：成2 = / R ,其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，1是扇形的扇 360 2弧长。3、圆锥的侧面积：5 = !/ 2万 =

67、 勿 /其 中1是圆锥的母线长， 是圆锥的地面半径。2补充：（ 此处为大纲规定外的知识，但对开发学生智力， 改善学生数学思维模式有很大帮助）1、相交弦定理 O中，弦AB与弦CD相交与点E,则A E BE=CE DE2、弦切角定理弦切角: 圆的切线与通过切点的弦所夹的角,叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：ZBAC=ZADC3 、切割线定理P A 为。切线，PBC为。割线， 则 PA? = P B P C第十三章 图形的变换考点一、平移1、定义：把一个图形整体沿某一方向移动， 会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,图形的这种移动叫做平移变换，简称平

68、移。2、性质(1 ) 平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动(2 ) 连接各组相应点的线段平行( 或在同一直线上)且相等。考点二、轴对称、1 、定义: 把一个图形沿着某条直线折叠，假如它可以与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,该直线叫做对称轴。2 、性质( 1)关于某条直线对称的两个图形是全等形。( 2 )假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是相应点连线的垂直平分线。 ( 3 ) 两个图形关于某直线对称，假如它们的相应线段或延长线相交， 那么交点在对称轴上。3 、鉴定: 假如两个图形的相应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直

69、线对称。4 、轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，假如直线两旁的部分可以互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。考点三、旋转1 、定义：把一个图形绕某点。转动一个角度的图形变换叫做旋转， 其 中 。叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2 、性质( 1)相应点到旋转中心的距离相等。( 2 )相应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。考点四、中心对称1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转18 0。， 假如旋转后的图形可以和本来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2、性质( 1)关于中心对称的两个图形是全等形。( 2 )关于中心对称的两个图形

70、， 对称点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分。(3)关于中心对称的两个图形,相应线段平行( 或在同一直线上)且相等。3、鉴定: 假如两个图形的相应点连线都通过某一点， 并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转18 0。，假如旋转后的图形可以和本来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 这个点就是它的对称中心。考点五、坐标系中对称点的特性1、关于原点对称的点的特性两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x, y )关于原点的对称点为P，(-x ,-y )2、关于x轴对称的点的特性两个点关于x轴对称时: 它们的坐标中,x相等，

71、y的符号相反，即点P(x,y)关于x轴的对称点为I (x,-y)3、关于y轴对称的点的特性两个点关于y轴对称时， 它们的坐标中,y相等，x的符号相反， 即点P (x, y)关 于y轴的对称点为P (-x,y)第十四章 图形的相似考点一、比例线段1、比例线段的相关概念a m假如选用同一长度单位量得两条线段a, b的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段的比是， 一二 或写h n成 a :b=m:n,在两条线段的比a： b中,a叫做比的前项，b叫做比的后项。在四条线段中， 假如其中两条线段的比等于此外两条线段的比， 那么这四条线段叫做成比例线段, 0 = ， 简b d称比例线段若四条a, b,c

72、, d满足或a:b=c：d,那么a, b, c , d叫做组成比例的项，线 段a, d叫做比例外项，线段b ,c叫做比例内项， 线段的d叫做a, b, c的第四比例项。假如作为比例内项的是两条相同的线段，即0 = 2或a:b=b： c ,那么线段b叫做 线 段a, c的比例中b c项。2、比例的性质（ 1）基本性质：a： b =c： d o a d = b c a： b=b:cZ?2 = ac（ 2）更比性质（ 互换比例的内项或外项）（ 互换内项）c da c y d c ， 寸也, , 七、 = = 3 = （ 互换外项）b d b aX h上 二 一 （ 同时互换内项和外项）c an r

73、h d反比性质（ 互换比的前项、后项）：- = -=- = -b d a c、 人口 3a c a b c d4合比性质：一 = 一 = - - - - - =- - - - -b d h d（,5）、等e比性M 工质 ：a一 = c =e = = m ZI , 八 、 a + c + e + + / a （ Z? + d + f H -= b d f n b + d + /H-n b3、黄金分割把线段A B提成两条线段A C , BC（ ACB C ） ,并且使A C是A B和B C的比例中项， 叫做把线段A B黄金分割，V 5 -1点C叫做线段A B的黄金分割点，其中A C二二AB0.61

74、8 A B2考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的相应线段成比例。推论：（ 1 ）平行于三角形一边的直线截其他两边（ 或两边的延长线）， 所得的相应线段成比例。逆定理: 假如一条直线截三角形的两边（ 或两边的延长线）所得的相应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边。（ 2 ） 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边相应成比例。考点三、相似三角形1 、相似三角形的概念相应角相等，相应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“ S”来表达，读 作 “ 相 似 于 。相似三角形相应边的比叫做相似比（ 或相似系数）。2 、相似三角形的基本

75、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（ 或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：D E BC, / . A A D EAA B C相似三角形的等价关系:（ 1）反身性: 对于任一AABC,都有ABCsaABC：对称性: 若A B C sZV V B C ,则A， B C s/iA B C（ 3） 传递性：若ABCS A E C ,并且AB， C szABC, 则ABCSZAB C 。3、三角形相似的鉴定三角形相似的鉴定方法定义法：相应角相等， 相应边成比例的两个三角形相似平行法: 平行于三角形一边的直线和其他两边（ 或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三

76、角形相似鉴定定理1 : 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角相应相等，两三角形相似。鉴定定理2:假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相应相等，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似， 可简述为两边相应成比例且夹角相等， 两三角形相似。鉴定定理3 : 假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边相应成比例， 那么这两个三角形相似， 可简述为三边相应成比例， 两三角形相似直角三角形相似的鉴定方法以上各种鉴定方法均合用定理: 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边相应成比例，那么这两个直角三角形相似垂直法：直

77、角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（ 1）相似三角形的相应角相等， 相应边成比例；（ 2） 相似三角形相应高的比、相应中线的比与相应角平分线的比都等于相似比；（ 3）相似三角形周长的比等于相似比；（ 4） 相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、相似多边形（1 ）假如两个边数相同的多边形的相应角相等，相应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形相应边的比叫做相似比（ 或相似系数）（ 2 ） 相似多边形的性质相似多边形的相应角相等，相应边成比例; 相似多边形周长的比、相应对角线的比都等于相似比；相似多边形中的相应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形假如两个图形不仅是相似图形，并且每组相应点所在直线都通过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。性质: 每一组相应点和位似中心在同一直线上， 它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。运用位似变换可以把一个图形放大或缩小。